历算全书

先以乙庚戊形求乙庚斜距次

以甲庚戊形求甲庚斜距末以

乙甲庚形【有乙庚邉甲庚邉及庚角】求乙甲邉即所求

三角测髙第十一术

若山之髙颠为次髙所掩则用逓测

山前后左右地势不同则用环

测环测者从髙测下与测深同

太髙之山则用屡测

癸极髙为甲次髙所掩则先测

甲复从甲测癸谓之逓测

乙丁与子丑居癸山之下为地

平而各不等则从癸四面测之如测癸辛之髙以辛乙为地平又测癸戍之髙以戌子丑为地平则乙丁与子丑之较为戍辛谓之环测

若山太髙太大则于乙测甲又于甲测癸或先测卯又测寅又测丑测子再从子丑测癸细细测之则真髙自见而地之髙下亦从可知矣谓之屡测

三角测逺第一术

平面测逺

有所测之物如乙于甲立表安象限以邉指乙余一邉对丁从甲乙直线上任取九歩如丁于丁复安象限以邉对甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切线算得乙距甲二十七步

一　半径

二　丁角切线

三　丁甲

四　乙甲

若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而开方即得乙丁

若径求乙丁则为以半径比丁角之割线若甲丁与丁乙也是为以句求

省算用矩度自丁数自癸取丁癸之分如丁甲之距【或以

分当步或二分或三分当一步皆可】作壬癸丁小

句股则壬癸之分即乙甲也【或一

分当步或二分三分并如丁癸之例】而丁壬亦即

当丁乙【若尺上有分数即径取之】

若先从丁测测以测噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直线行至甲务令测噐之一邉顺丁甲直线余一邉指乙则甲为正方角如前算之即得【若甲非正方角则于丁甲直线上或前或后移测求为正方角乃止】

三角测逺第二术

省算法

人在甲欲测乙之逺于甲置仪

噐一邉向乙一邉向丁成正方

角乃依甲丁直线行至丁以邉

向甲闚管指乙作四十五度角

即甲丁与甲乙等

若用矩度以乙丁线正对方角则丁角为正方角之半而甲丁等乙甲

论曰丁角为正方角之半则乙角亦正方角之半而句与股齐故但量甲丁即知甲乙

又省算法

于甲置仪噐以邉向丁闚管指

乙作六十度角顺甲丁直线行

至丁复作六十度角则甲丁等

甲乙

论曰甲角丁角俱六十度则乙角亦六十度矣故三邉俱等

若丁不能到则于甲丁线上取丙以仪噐二邉对甲对乙成正方角则甲丙为乙甲之半

三角测逺第三术

平面测逺用斜角

人在甲测乙而两旁无余地可

作句股则任指一可测之地如

丁量得丁甲二十丈于丁安仪

噐以邉向甲窥筩指乙得丁角

【四十六度】又于甲安仪噐以邉指丁窥筩指乙得乙甲庚角【二十一度】加象限【九十度】得甲钝角【一百一十一度】法为以乙角之正【二十三度乃甲丁二角减半周之余】比丁甲若丁角之正与乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸

若求乙丁则为以乙角之正比丁甲若甲角之正与乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸【甲为锐角法同】

省算法于仪噐作壬甲线与乙丁平行作壬癸线与乙甲平行成壬癸甲小三角形与丁乙甲等则甲癸当甲丁而壬癸当甲乙又壬甲当乙丁用矩度同【但于象限内作横直分用同矩度】

论曰壬角既同乙角【壬甲与乙丁平行壬癸与乙甲平行则作角必相等】癸钝角又同甲角则两三角相似而比例等

锐角形于甲测乙用矩度之邉指

丁作甲角另用一矩度【其矩须于两面纪度】从丁测之以邉向甲闚筩指乙作

丁角末移丁角作癸角于噐上作

壬癸线与乙丁平行则癸甲当丁

甲而壬甲当乙甲壬癸当乙丁

三角测逺第四术

平面测逺借他线为比例

甲乙为两所顺甲乙直线行任取

若干步至丙又于丙任作直线至

丁得若干步于丁安仪噐以邉对

甲闚衡指丙作丁角顺此直线至

戊复安仪噐邉对乙衡指丙作戊

角令与丁角等则丙丁比丁戊若丙甲与甲乙

省算法于乙甲直线上取丙

又从丙作丙戊直线截丁丙

如乙丙于丁用象限闚乙作

丁角再于戊闚甲作戊角令

与丁角等则丁戊即甲乙

又法甲置仪噐指乙指丁作

角以减半周成外角【己戊为甲角之

度丙庚戊为外角之度】于丁置仪噐指

甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙论曰凡外角能兼内余二角【乙丁】之度丁角既为外角之半则乙角亦外角之半矣角等者所对之邉亦等故甲丁等甲乙

三角测逺第五术

平面测逺借他形为比例法

从甲测乙任立一表于丙从甲

用仪噐以邉向乙闚管指丙得

甲角复于丁加仪噐以邉向戊

闚管指丙使丁丙甲为一直线

而作丁角与甲角等乃顺仪噐邉取直线至戊令戊丙乙为一直线则丁丙与丁戊若丙甲与甲乙【钝角形句股形并同一理】

论曰丙戊丁与丙甲乙两三

角形相似以两形之丙角为

交角必相等而丁角又等甲

角则戊角亦等乙角矣故其

比例等

三角测逺第六术　省算

有甲乙两所欲测其距如前立丙

表以噐测得甲丙乙角之度又顺

乙丙直线行至戊令丙戊之距同

甲丙而止再从戊行至丁从丁闚

丙至甲成一直线于此直线上进退移测使乙丁丙角为乙丙甲角之半则但量丁戊即同乙甲【甲为钝角或丙为钝角并同】

论曰甲丙与丙戊既相等乙

丁丙角为乙丙甲外角之半

则丙乙丁角亦外角之半是

乙丙与丁丙亦等也而丙交

角又等是甲丙乙三角形与

戊丙丁形等角等邉也故丁

戊即乙甲

三角测逺第七术　重测

甲乙为两所欲测其距而俱不能

到则两测之于戊于丁量得戊丁

之距【十六步半】用噐测得戊角【五十度四十三

分】丁角【三十六度一十分】两角之余切线

较【五五○○○】为一率半径【一○○○○○】为二率戊丁【十六步半】为三率得四率为乙甲之距【三十步】

若求戊甲之距以两测之余切较【五五○○○】为一率先测戊角之余切【八一八○○】为二率丁戊【十六步半】为三率得四率戊甲【二十四步五四】

论曰此即古人重表测逺法也必丁戊甲直线与乙甲线横直相遇使甲为正角其算始真假如乙甲正南北距则丁戊甲必正东西斯能横直相交而成正角也

三角测逺第八术

分两处重测

乙岸在河东欲测其距西岸之逺

如甲则任于甲之左右取丁戊两

所与甲参相直而距河适均测得

丁角【五十度四十三分】戊角【五十五度四十三分】用

两角度之余切线并【一五○○○○】为一

率半径【一○○○○○】为二率丁戊之距【九十六步】为三率求得四率乙甲之距【六十四步】为两岸阔

论曰此法但取丁戊直距与河岸平行则不必预求甲防而自有乙甲之距为丁戊之垂线尤便于测河视用切线较更简捷而穏当矣

三角测逺第九术

用髙测逺

甲乙为两所不知其逺而先知丁

乙之髙于甲用仪噐测丁乙之髙

几何度分即知甲乙法为半径比

甲角之余切若丁乙髙与甲乙之逺

若人在髙处如丁用髙测逺则为半径比丁角之切线若丁乙与甲乙其理并同但于丁加仪噐而用正切三角测逺第十术

用不知之髙测逺

欲知丁乙之逺而不能至乙乙之

上有庚又不知庚乙之髙法用重

测先于丁测之得丁角【三十八度一十三分】又依丁乙直线进至甲测之得甲

角【五十三度五十二分强】两余切较【○五四○○一】

为一率丁角余切【一二七○○一】为二率丁甲之距【二十步】为三率得四率丁乙【四十七步○三】　或丁后有余地退后测之亦同

省算作壬癸丙线以壬癸分当丁甲之距壬丙当丁乙之逺

若人在髙处如庚于庚测丁测甲以求丁乙其法亦同但于庚施仪噐而用正切【法为以两庚角之切线较比丁庚乙之切线若丁甲与丁乙】

三角测逺第十一术

用髙上之髙测逺

甲乙为两所而乙之根为物所掩

【如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽亏或岛屿盘纠荻苇深阻】难

得真距若用两测甲外又无余地

但取其髙处如戊为山颠山上又

有石台台上有塔如丁丁戊之髙

原有定距以此为用从甲测丁又测戊得两角【一丁甲乙二戊甲乙】求其切线法为以切线较比半径若丁戊与乙甲省算作壬癸丙小线以壬癸当丁戊则甲丙当甲乙矩度同

若从髙测逺则于丁于戊两用仪噐测甲用丁戊两角之余切较以当丁戊而半径当甲乙其理亦同

三角测逺第十二术

从髙测两逺

甲乙两逺人从髙处测之于丁用

仪器测甲测乙得两丁角【一甲丁丙二乙

丁丙】法为以半径比两角之切线较

若丁丙髙与乙甲也

又法既得两角则移仪噐窥戊作

戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窥己作己丁乙角如乙丁丙之倍度则但量己戊即知乙甲

三角测逺第十三术

连测三逺

丙乙为跨水长桥甲乙为桥端斜岸今于丁测桥之长

并甲乙岸阔及其距丁之逺近

法于丁安仪噐以邉指戊衡指

甲指乙指丙作丁角五【一甲丁戊二乙

丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小】次顺仪噐邉直行至戊得丁戊

之距于戊复用仪噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三【一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小】

一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上并二角一邉求余邉得甲乙丙三处距丁之逺近

一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上并二邉一角求余邉得岸阔与桥长

三角测斜坡第一术

斜坡上平面测两所之距

斜坡上有甲乙两所欲量其相距

之数任立丙表测得乙丙甲角度

乃顺甲丙直线进退闚乙至戊得

乙戊丙角为乙丙甲角之半又横

过至丁从丁闚丙至乙成一直线顺此直线进退闚甲至丁得甲丁丙角亦为丙角之半则丁戊即乙甲又法不必立表但任指一防为丙而于甲丙直线上任取己防乙丙直线上任取庚防作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊两角为丙角之半即所求

论曰此因乙甲在斜面髙处而不能到故借用丁丙戊形测之以丁丙戊乙丙甲两形相等故也何则丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙两角之度戊角既分其半乙角亦半则两角等而乙丙戊丙两邉亦等矣凖此论之则甲丁丙角为丙外角之半者丁甲丙角亦必为丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣两形之角既等各两邉又等则三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙两所在下而丁戊两测在上亦同

三角测斜坡第二术

斜坡测对山之斜髙

对山之斜髙如甲戊乙于对

山之斜坡测之如丙丁先量

得丙丁之距于丙安仪噐得

丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】于丁安仪

噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形

先用乙丙丁形【有丙角丁角及丁丙邉】测乙丁邉　次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】测丁戊邉　三用乙丁戊形【有乙丁戊丁二邉及丁角】测乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形【有乙角丁角及乙丁邉】测乙甲邉乙甲内减乙戊得戊甲邉【乙戊甲为垂线之髙法同】

三角测斜坡第三术

测对坡之斜髙及其岩洞

从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊

一乙丙丁形【有丙丁两测之距丙角丁角】可求乙丁邉　二戊丙丁形

【有丙丁邉丁角丙角】可求丁戊丙戊二

邉　三乙丁戊形【有乙丁邉戊丁邉丁

角】可求乙戊邉为所测对山

上斜入之岩　四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉为所测对坡斜髙

或戊为髙处基址乙为房檐亦同

三角测深第一术

测井之深及濶

甲乙为井口之濶于甲作垂线至丁【或用砖石投之以识其处】从乙

测之得乙角成甲乙丁句股

形即以甲乙井口为句得甲

丁股为井之深　既得乙丙

深【即甲丁】即可用乙己戊形得

己戊为底濶法以半径当井

深【乙丙】以两乙角【一戊乙丙二己乙丙】之

切线并当井底之濶【己戊】若不知井口则立表于井口

如庚甲求庚甲二角成庚甲

丁形测之

三角测深第二术

登两山测谷深

先于二山取甲乙之平而得其距

数为横线即可用三角形求丙丁

垂线为谷之深与测髙同理【亦可用以】

【测髙也】法为甲乙两角之余切线并比半径若甲乙与丙丁论曰深与髙同理测深之法即测髙之法也存此数则以发其例有不尽者于测髙诸术详之可也

附隔水量田法

甲乙丙丁田在水中不可

得量于岸上戊庚两处用

仪噐测之得诸三角形算

得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次

求乙丁对角线分为两三

角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和较法求得分形之两垂线【一甲癸二壬丙】并两垂线而半之以乗乙丁即得田积

或用三较连乗法求三角形积并之亦同

凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观者并可以此法测之

解测量全义一卷十二题加减法

甲寅象限弧　甲乙半径全数

为首率

丙寅弧之正丙辛为一率

丁寅弧之正丁庚为三率

戊己为四率

二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除

丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧其余辰卯【即子癸】丙寅内减丁寅为丑寅【即丙丁】存弧其余癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即

四率【其壬子壬丑皆与戊己等】　此因总弧

不及象限故以两余相减

甲寅象限弧甲乙半径全数

为首率

丙寅弧之正丙辛为二率

丁寅弧之正丁庚为三率

戊己为四率

以上皆与前同

丙寅加丁寅【即辰丙】为辰寅总弧【此总弧大于象限】其余卯辰【即子癸】　丙寅内减丁寅【即丙丑】余丑寅为存弧其余丑癸

以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求

此因总弧过象限故以两余相加

今订本书之譌

甲寅皆象限弧　甲乙半径

一○○○○○为首率

丙辛○五九九九五为二率

丁庚○二五○一○为三率

以三率法取之得○一五○

○四为四率

今用加减法

以丙辛线为正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余○六二四五六如辰卯【即子癸】

又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余○九二四六六如丑癸

因总弧小于象限当以两余相减其较○三○○一○如子丑【于丑癸内减子癸得之】乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率　此所得与三率所推但有微差而不相逺

按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣

又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余又必用中比例三也两余有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其防而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余相加减而半之者即初得数也然彼以两正相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故

甲寅象限弧　乙丙半径为首率

丙寅弧之正丙辛为次率

丙丑弧之正丑戊为三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳为四率【丑壬及壬子并同】

论曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形与

丙辛乙句股形相似故其比例

等法为乙丙与丙辛若丑戊与

丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

又论曰凡两十字垂线相交作

句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正与丙乙半径相交于戊防一十字也辰午线【辰寅弧之正也】丑癸线【丑寅弧之余】相交于子防一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣

解曰乙丙首率半径也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯则总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余两余相减其较为子丑【子癸同辰卯故以子癸减癸丑得较子丑】子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也

如此以量法代算法的确不易但细数难分耳

若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】

酉辰为存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小于总弧今则总弧正小于存弧正大则余小正小则余反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也

又按壬丑即初得数也两正相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余相加减而半之成初得数省两正乗矣又以初得数去减余成次得数省两余乗矣

两余加减例

凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余相减　若存弧在象限内总弧在象限外则两余相加

初得数减余弧例

凡存弧之正小于总弧即用存弧之余在位以初得数减之余为次得数　若总弧之正小于存弧即用总弧之余在位以初得数减之余为次得数盖

小者余大其余内

皆兼有初得次得两数详

见环中黍尺

甲寅象限弧　乙丙半径

为首率

丙寅弧之正【丙辛】为次率

丙丑弧之正丑戊为三

率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】

求得戊巳为四率【丑壬壬子并同】

以上皆与前图同

论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也【或辰戊与戊巳亦同】

解曰乙丙首率半径全数也丙辛正为次率其弧丙寅丑戊正为三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余也以丙丑【三率之弧】减丙寅【次率之弧】其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余也两余相加成子丑【子癸同辰卯皆总弧余】子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也

厯算全书卷五十四

钦定四库全书

厯算全书卷五十五

宣城梅文鼎撰

解八线割圆之根

八线割圆説

天体至圆最中一防为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例【有宻术徽术各家不同】然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反覆抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次防通遂着其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之防而成帙以备好学者之采择云尔

立表之根有七

一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通而全割圆表即从此推出又絶无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉

表根一　圆内作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数

解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛【以丁为戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为

心辛为界则丁辛与丁丙皆

为戊庚圏之半径仍用辛丁

为度辛为心丁为界则辛丁