历算全书

戊己余己乙今求倍甲戊之甲丁弧正丁癸与余癸乙法先作丁甲线为丁戊甲倍弧之通此线必为乙戊线平分

于壬则壬甲亦为甲戊弧正与

戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊

己则其余壬乙亦必等己乙法

用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数

与戊巳正若乙壬余【即乙己】与壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸为倍弧甲丁之正

论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得为余又乙戊己乙壬庚两形相似故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必为丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲既平分于壬从壬作壬辛垂线亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊丁正又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧之余也

表法三　求象限内六十度左右距等弧之正解曰六十度左右距等弧之正与其前后弧两正之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度【不动】有丙己小弧【须在三十度以上】丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其大小两弧正一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正壬甲为余

论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何则形中壬子丁壬子己两形相等【丁子壬己子壬两角本等又同用壬子边则两形自等】而丁子壬角与乙甲戊角等【以丁庚与乙甲平行故】为三十度【乙甲戊为丙戊甲角六十度之余】则丁子巳角为丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬两角等则其余壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为

平边三角形夫丁子巳既为平边

三角形其巳癸垂线必平分丁子

于癸子壬垂线必平分丁巳于壬

两分之丁癸与丁壬必等而丁癸

乃己丙丁丙大小二弧两正【一巳辛一丁庚】之较

按此须先求得象限内六十率之正依上法可求左右三十率之正外此即不可用以六十度之余止三十度故也

表法四　任设两弧之正余求两弧并及较弧折半之正

解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙

一置在下如丁壬中间所容丙丁

弧即戊丙丁壬两弧并之余今求

半丙丁弧丙乙【丁乙同】之正法作

丁壬弧正丁辛余丁癸戊丙

弧正丙壬【即癸己】余丙子又作丙丁线为较弧之通成丙己丁直角形次以丁壬弧正【丁辛巳子同】减戊丙弧余【丙子】得丙己为股丁壬弧余【丁癸】减戊丙弧正【癸己】得丁己为句句股求得丙丁邉半于庚得丙庚或庚丁为丙丁半弧丙乙之正

巳上俱系厯书原法

表法五　有一弧之正求倍本弧之矢因得余解曰设戊乙弧其正乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正丙己正矢戊己丙戊为倍弧通半于辛其辛戊与乙

丁等法用戊丙己戊辛甲两直角

相似形【二形同用戊角故相似】甲戊与戊辛

若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之

理二三相乗之矩内形与一四相

乗之矩等则丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形为辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方倍之为丙庚矩即丙戊与戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛】而全数【甲戊也】又省一除故以乙丁正【即辛戊】自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得倍弧余己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得半本弧之正【丁乙】　此孔林宗术勿庵称为正简法余作此图以着其理

表法六　任设不齐之两弧求两弧相并之正及相较之正

解曰寅巳未圏甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧戊子为后弧正子甲其余午辛为前弧正午甲

其余次取辛丑弧与己戊后

弧等则己戊丑为前后两弧之

并弧丑亥即并弧之正次作

丑壬线为丑辛弧正与戊子

等其余壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以后弧之余壬甲因前弧之正辛午全数【甲辛】除之得壬丁为初数【卯亥等】寄位　次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角与丑乙辛角等因丑壬乙为直角其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午角等又二形之卯午俱为直角则两形相似】甲辛与甲午若丑壬与丑卯则以前弧之余甲午因后弧之

正丑壬全数【辛甲】除之得丑

卯为次数末以五卯与初数

卯亥相并得丑亥为已戊丑

两弧相并之正　若求两

弧相较之正法以后弧丑壬正引长之抵圈界于癸则丑癸为丑辛癸弧之通因壬防为直角其癸壬与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正癸酉其余法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形丑癸既平分于壬则从壬作壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰股于申而癸申壬丑卯壬两形必等】因得壬申即丑卯次数【壬申等卯辰卯辰即丑卯】用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正亦与戊辛弧正等

若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同【钤记同前】有不齐之两弧求相并相较弧正又法

法曰两弧【小甲丙大甲戊】相并曰总弧【甲癸】相减曰多弧【戊丙】置大小两弧以大弧正【戊辛】因小弧较【子庚】曰先数【庚乙】以大弧较【辛庚】因小弧正【庚午】曰后数【午未】　视两弧在象限内者以后数【亥壬】减先数【亥丙也以午亥丙形与庚乙子形等故】为多弧正【壬丙】以后数卯丑加先数【丑已以庚巳丑形与庚乙子形等故】为总弧正【卯巳也以卯午巳形与庚酉癸形等故卯己即酉癸】若两弧过象限者加减各异

又或置大小两弧【同上】以

大弧正【戊辛】因小弧正

午庚曰先数【庚未】以大

弧较【庚辛】因小弧较

【庚子】曰后数【子乙】　视两弧在象限下以后数【午亥】加先数得多弧较【壬庚】以后数【庚丑】减先数【庚未】得总弧较【丑未即午卯亦即庚酉】若两弧象限内外不等加减亦异

此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦着其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正也

表法七　圆内有五通错互成四不等边形求不知一弧之通

解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕丙庚相乗之矩形内减丁庚偕丙戊相乗之矩形余为戊庚与丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩与戊庚丁丙相乗之矩并与丁戊丙庚两对角线相乗之矩

等也若有丙戊丁庚戊庚丙

庚丁戊五通用此可得丙

丁弧之通

论曰庚戊丁形与庚丙丁形

其戊丙两角等【同乗丁庚弧故】若以

丙丁引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理二三相乗矩形与一四相乗之矩等则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也【取己癸与庚戊径等】次作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子角【子戊弧】则丙丁戊庚丁子两角必等其所乗之丙戊庚子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通又庚子丁角与庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】于庚作庚乙垂线与己丙平行成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁若子庚与庚乙依四率之理庚子【即丙戊】与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊己丁即庚乙】用以减己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通

若戊丙丁庚非半圈【或大或小不论】则庚

戊为戊丙庚弧之通理亦同但

己壬为斜方形如上图戊丁庚为

小半圈成己壬斜方其庚乙线不

与丁己平行法作己庚乙角令与

丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之余与丁己庚角自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相似形庚乙即丁己

此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图庶不昧古人精意　已上二法系余所增

用上七法交互推求可得象限内各度之正细推之又可每隔十五分【四分度之一】得一正十五分以下用中比例法以十五分正为实十五为法而一得一分之正逓加之得每度内各分之正立割圆表又此正算一象限巳足以适满一直角故也

求切线角线矢线

割圆正而外又有切割矢三线并正为四线合其余为八线葢以八线凖一弧弧之曲度得其真矣切线止切圈以一防全在圏外割线从圈心过规半在内半在外正与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正乙辛【戊甲同】为余次于圏外作庚己线与戊乙平行切圈于庚又从甲心过所截弧乙防作甲己线与庚己交于己成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊与戊乙若甲庚与庚己故以余除正半径因之得本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以余除半径全数因之得本弧正割以戊甲余减甲庚半径得庚戊本正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既为正弧则乙丁为余弧作乙辛线为余弧之作丙丁线切圏于丙为余弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为余弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲

辛与辛乙若甲丁与丁丙得

余切甲辛与甲乙若甲丁与

甲丙得余割乙戊【即甲辛】正

减甲丁半径得辛丁余矢此

又丁乙余弧相当之线也一正一余共有八线若或以丁乙为正弧即庚乙反为余弧其八线正余之名亦互易葢此为正彼自为余耳

论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所成乙丁余弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成而甲庚己形与甲丁丙形相似【一为顺句股一为倒句股】又圆内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四设算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八线此八线表所由名也

按表中不列矢线者以矢线用正余减半径即得且不常用故省之　又按割圆之难全在求正若切割线俱以比例得之

附求割线省法【用加减算】

如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以余己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次

以戊乙切线引长之令与戊甲

等作甲戊辛两腰等三角形而

乙庚弧必与丁丙等即查乙庚

弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也

解曰乙庚弧何以与丁己弧等葢甲辛戊既为两腰等三角形则甲角之己庚弧必为丙己余弧【己壬也】之半壬庚与己庚等而庚防居己壬弧之中夫丙己与己壬并等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角【或丁乙弧】则丙己与乙庚等

求矢线　余减半径得正矢正减半径得余矢求切线　余除正半径因之得正切正除余半径因之得余切

求割线　余除半径半径因之得正割正除半径半径因之得余割

按圆内矢二线当正弧初度则无九十度极大即半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九十度防有极大之切割线

定八线正余之界

庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为

正切其戊乙余弧乙己为余己

戊为余矢甲辛为余割戊辛为余

切若设庚戊乙为正弧在九十度

外亦以乙壬为正丁丙为正切

甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢其余弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外乙己为余戊己为余矢戊辛为余切甲辛为余割葢乙壬正为丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为余弧也凡算三角形取用正余诸线以此为凖

厯算全书卷五十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

歴算全书卷五十六

宣城梅文鼎撰

方圆幂积一卷

方圆幂积说

歴书周径率至二十位然其入算仍用古率【十一与十四之比例本祖冲之径七周二十二之宻率】岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例【径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用】亦即为立方立圆之比例【同径之立方与圆柱若四与二一四有竒则同径之立方与立员若六与三一四有竒】殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反覆推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也

方圎相容

新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云

又云径一围三絶非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例

假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁

员员内又容甲乙丙丁小平方小方

内又容壬丑癸子小平员如此逓互

相容则其幂积皆如二与一也

假外大平方【戊己庚辛】之积一百则内小平方之积【甲丁乙丙】必五十平员亦然

若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径【甲丙或丁乙并同】开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径【或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同】开方求二百之根得径一十四一四有竒

甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四【一四竒】也折半则为五与七【○七竒】故曰方五则斜七有竒也

三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为

四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己

平员平员内又容丁戊己小三邉则

内小三邉形为外大三邉形四之一

内外两平员之幂其比例亦为四与一

若有多层皆以此比例逓加

浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边【丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同】丙戊甲辛为立方面【余六面并同】丙甲【为方面斜线】丙丁【为立方体内对角线】即浑员径【乙甲同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同】丙乙及甲丁等又皆为立楞【戊壬及辛己同】解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍【句股法也

斜为方为句又为股并句股实成实故倍方幂即成斜径之幂】又以斜径

为股立方之立楞为句求得立方体内両对

角之斜径为此实内有股实【即面上斜径之幂为

方幂者二】有句实【即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂】共得方

幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径

若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七【又三十五之一十一】为径若有几层互容皆以此比例逓加卽得若求其体积则为五倍有竒之比例【若有多层亦以此比例逓加】假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七【又三十五之一十一】乗之得五千一百九十四【又七之二】　此言大方积又在圗上浑员之外

积之比例

立方同径之立员其比例为六○○与三一四

立方同径之员柱其比例为四○○与三一四

员柱与同径之立员其比例为三与二

方圎周径相求

同积较径　为方变员员变方之用

凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○

解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除

有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除

凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五

法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径

有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六

解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径

有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径

约法

以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周

凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○

解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也

方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法

以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也

论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例

约法

以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周

以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周　皆用异乗同除例如左

一　员周一○○○○○○　　一　方周一○○○○○○二　方周一一二八三七九　　二　员周○八八六二二六三　方径○二八二○九四【七五】　三　员径○二八二○九四【七五】四　员径○三一八三○九【八八】　四　方径○二五○○○○积七九五七七【四四八　　　○○○○○○】　　积六二五○○○○○○○○

一　员径一○○○○○○　　　一　方径一○○○○○○二　方径○八八六二二六　　　二　员径一一二八三七九三　方周三五四四九○四　　　三　员周三五四四九○四四　员周三一四一五九二　　　四　方周四○○○○○○积七八五三九【八一六　　　○○○○○○】　　积一○○○○○○○○○○○○

第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积

论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理

同径较积较周　即方内容员员外切方

凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

方径一○○○○周四○○○○　积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○　积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差

径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也

同周较积较径

凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五

方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆陞皆视周数之位今用百万为周则积陞六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬絶定位之法所以当明也

问位既大陞而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也

又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例

浑圎内容立方径一万寸求圎径　法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为实开方得一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径

又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱　周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也

圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之

倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸