同文算指

为隅法

并入廉法呼除一二为二　一上削二

又一二为二　一上三变一　二八

一十六恰尽得长七十二

又有两方共积若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干问大小方面各几何者倍乗积以减共积以所余积为实开方得较再置二方乗数为实以较为减纵开平方除之得大方面以较减之得小方面

假如大小方田二段共积六千五百二十九步以小方大方各一边相乗得三千一百二十步求大小方面几何者倍二方乗积【得六千二百四十步】以减共积余二百八十九为实以开平方法除之得较一十七步再置二方乗数三千一百二十步为实以较为负纵初商六十纪右以负纵减之余四十三注下为方法以呼所商四六二十四　四上壹变七进削叄三六一十八　三上贰变四

进位七变五余实五百四十乃于

六右加○以并方法共得一百零

三为廉法列下续商五纪右亦注

尾位为隅法并入廉法共一百零

八以相呼　一五除五五八四十

恰尽得大方面六十五步以较一

十七减之得小方面四十八步

带纵益隅开平方法【积和求濶】

凡积和求濶者用其和为带纵则已兼长濶而积有长无濶故虚置一积为负隅而以负隅益积即以带纵开之得濶数名带纵益隅开平方列实定位另置带纵数以初商纪右用自乗以益原积是为负隅而以所商呼纵方除之不尽者倍商为廉注退位又再商纪右亦注廉次为隅法廉隅并数以乗所商益积乃用商呼纵方若不尽须再商者则以后廉并前廉余如前法除尽得濶数

假如直积八百六十四长濶和六十求濶几何置积为实

以和为带纵初商二纪右亦注首

位下自乗得四以益积共一千二

百六十四乃以初商乗带纵二六

一十二　二上削二进削一余实

六十四倍方为廉得四注次位次

商四纪右亦注尾位为隅法以乗

廉法得一十六并入余实四上陆

变二进加二亦以乗隅法尾位肆

变○进位二变四共二百四十而

以次商呼带纵恰尽得濶二十四

二积共一千

四百四十步

以带纵六十

除之得濶二

十四步

假如直积二万一千六百四十八长濶和二百九十六求濶几何列实定位置和为带纵初商一列右为方法亦注首位下自乗仍得一以益积首位贰变三乃以方法与带纵相呼除实首位三变一　次位壹变二进削一退位陆变○余实二千○四十八倍方为廉得二注退位次商三纪右为方法亦注廉次为隅法共【三二】以乗方法得六十九益入本段余积三上○变九　二上二变八共得八九四八乃以方法呼带纵除之二三除六

二上八变二　三

九二十七　三上九

变二进削二　三六

一十八退位四变六

进削二余实六十八

又倍方法之三为六

作廉法注退位倂入

前廉【二】共二百六十【所以倂入前廉者盖一方外必具两廉故】为方法再商二纪右亦注尾位为隅法并入方法共　以乗所商【二】得五百二十四以并余积尾位八变二进位六变九进位加五乃以所商【二】与带纵呼除恰尽得濶一百三十二歩

假如直积三千四百五十六步长濶和一百二十步求濶几何列实以和为带纵初商四纪右为方法亦注首点下自乗得一十六益积四上肆变○进位叄变五乃以方法呼带纵一四除四首位五变一二四除八退位

○变二进削一尚剰二百五

十六次倍方四得八为廉注

次位续商得八为方法纪右

亦注尾位为隅并入廉法得

【八八】而与方法【八】相乗共七百

四以益余实尾位陆变○进位伍变六　进位二变九乃以所商【八】呼带纵恰尽得濶四十八步

带纵负隅减纵开平方【积和求濶】

积濶求和若难以益隅开之者即用减隅法而减负隅于纵名带纵负隅减纵开平方列实定位列和为带纵置一为负隅初商纪右乗负隅以减带纵列减余于实下而乗所商以开之不尽者倍方为廉以廉减纵次再商纪右亦减余纵而以其减余乗商除尽得濶数假如直积八百六十四长濶和六十求濶列实定位另列和为纵方初商二纪右亦纪首点下以乗负隅一仍得二为方法以减纵数陆剰四随首位注之以呼初商

二四为八二上削捌余实二十四倍

方法之二作四为廉法注初商之次

位亦乗负隅得四以减纵剰二十注

退位次商四纪右亦注末位为隅以

减余纵之二十余一十六附注乃与

右四相呼先呼一四除四　一上陆变二再呼四六二十四恰尽得濶二十四亦有初商除实讫即以初商再减剰纵以所余为纵方而即以再商再减为下法者【前法倍初商为廉以减原纵此即以初商减剰纵不立廉数然已将原纵再减以应两廉之数与倍商同】

初商除实八百讫即将初商之二十

再减余纵【四十】剰二十退位列之

次商四以减余纵【二十】尚剰一十六呼

除如前

右得广二十四以除实积得纵三十

六若欲还原以广纵相乗

长濶和变作通

长六十

濶二十四共负

四百八十

假如列实三万三千六百长濶和四百列实亦列和

为减纵初商一乗负隅仍得一以减

纵【四】余三百随首位列注以呼所商

一三除叄讫　次倍初商一作二为

廉法以减纵四仍余二注退位再商

二亦以减纵变二○为一八而以次

商呼之　一二除二一上叄变一

又呼二八一十六恰尽　格右加○

以结末位得濶一百二十

右法同前但减纵有借法进位故録

为式

假如列实六万九千三百六十长濶和七百八十二列

如前初商一以乗负隅仍得一减纵

【七】余六相呼　一六除陆　一八除

八玖变一　一二除二叄变一讫

次倍一作二为廉法以减纵仍剰五

附列而纵数多于原数无可商除则

纪○于右并初次商得一十另倍一

十作二十为廉法挨注退位以二减

纵七是为　挨尾段列之续商二以相呼　二五除一十　进削一　二八一十六除尽得濶一百二【初商除讫即以先减纵数亦然】

假如列实九万六千长濶和六百四十

初商二以乗负隅一仍得二纪右亦

注首位以减六　余四以相呼　二

四除八　四上玖变一又呼二四除

八　四上陆变八　进削一讫

乃倍二作四为廉法以减纵六剰二

亦随退位注之　次商四纪右亦注

退位为隅以减纵【只剰二】乃以四变○

以商相呼　二四除八恰尽　因有

余位　右加○得濶二百四十

右法已见因纵有重位故録备例

若以积与虚长濶共若干而欲求其濶者及欲求其长者皆以共若干为带纵方而求濶则以濶为负隅以长乗积为实求长则以长为负隅以濶乗积为实列例如左

假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求濶几何以三乗积步得二千五百九十二为实【三长原有

三积故以三乗】五为负隅【已用三长尚少五濶故用为负隅暗

添五段濶方之积】以共步为带纵列实定位

初商二纪右以乗负隅【五】得【○一】以一

减纵首　贰变一　余纵一百二十

八挨注首位与商相呼一二除二二

二除四退位伍变一　二八一十六退位玖变三进削一余实三十二再以所商【二】乗负隅得【○一】以【一】减余纵剰二十八【即前倍方为廉之法】续商【四】以乗负隅得【○二】再减余纵二十剰八以呼所商四八三十二恰尽得濶二十四步

假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求

长几何以五乗积步得四千三百二

十为实【五濶原有五积故五乗之】以三为负隅【于原

纵减去二长故】以共步为带纵初商三以乗

负隅三得九减纵注其退位九上贰

变三　进位贰变一余纵一三八挨

注首位以呼初商一三除三　一上

肆变一　三三除九退位叄变四

进削一　三八二十四　八上贰变八　进位四变一余积一百八十复以初商三乗负隅【三】得九以减纵九上三变四进削一剰四十八次商六又乗负隅【三】得十八亦以减纵剰三十与商相呼恰尽得长三十六步

又有以积与虚长濶和较共若干求濶者及求长者约和得长濶几何并濶与较得长几何而视其所求为长为濶如前法以别实积及负隅而皆以共数为带纵

假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一

十二步求濶几何约三和自具三

长三濶以并一长二濶共四长五

濶又以四较益濶为四长共得八

长而余一濶应八乗积步得数六

千九百一十二为实以余一为负

隅以共步为带纵初商二以乗负

隅【一】仍得二【因点为二段此为二十】以置纵

次位减之二上壹变九　进位叄

变二余纵二百九十二列原积之下以呼所商二二除四二上陆变二　二九一十八次位玖变一　进位二变

一　二二除四　二上壹变七　进位一变○　余实一○七贰复以初商二又乗负隅以减纵二上九变七　剰纵二七贰续商四又乗隅减纵四上贰变八　进位七变六是为二六八以乗所商【四】除尽得濶二十四步又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶若干者法以长母乗濶子为濶率以濶母乗长子为长率又两母相乗以乗共数为带纵而约带纵为几长几濶以一乗原积为实以一为负隅如前法为减纵开平方除之

假如直积二千三百五十二步只云长取八之五濶取三之二并得六十三步求濶者两母【三八】互乗得二十四以乗相并【六十三】共一千五百一十二为带纵而以长母【八】乗濶子【二】得一十六为濶率以濶母【三】乗长子【五】得一十五为长率则知此带纵数内具有长十五濶十六也以长十五乗直积得三万五千二百八十为实以濶一十六为负隅初商四纪右【有二点即作四十】以乗负隅得六百四十以减纵四上壹变七六上伍变八　进削壹　余纵八百七十二以注实下与商呼除四八三十二　八上伍变三进

削三四七二十八七上贰变四

进削三二四除八　尾位变○

余实四百再以初商所乗隅算

【六百四十】减余纵四上七变三　六

上八变二余纵二百三十二续

商二纪右以乗负隅得三十二

亦以减纵尾位除贰进位三变

○剰纵二百与续商二相呼恰

尽得濶四十二以除直积得长

五十六

带纵负隅减纵翻法开平方法【积和求长】

凡积与勾股和求股者原积但有长乗濶数而负长自乗之数法须损濶益长求之先立一为负隅以和为纵方而以负隅减纵方初商令稍浮常法以乗负隅减纵次呼余纵开积而原积不及翻以原积减商除之积而以余负积为实复以初商乗隅以减余纵如余纵不及即以余纵翻减以为负纵而隅积纵三者俱负乃以负纵约余负积以得次商命负隅以除负积为带纵负隅减纵翻法开平方

假如直积八百六十四长濶和六十求长几何列实以和为纵方一为负隅初商三【有二段即系三十正得长濶之平损濶益长】纪右以乗负隅【一】仍得三以减纵剰三十与商相呼三三得九【即九百】而原积不及乃翻列九百于原积之上而以原积减之尾位○变六进位○变三　首位削九得余负积三十六为实再以初商【三】命负隅【一】以减余纵【三十】减尽乃约余实得次商六纪右以乗负隅【一】仍得六注尾位呼除负实六六三十六恰尽得长三十六

假如直积三千四百五十六长濶和一百二十求长几何列实定位列和为纵方立一为负隅初商七【有二段即七十】乗负隅【一】仍得七纪右以减纵方余纵【五即五十】以呼初商合除三千五百而原积不足乃翻以原积除之列三五于原积之上反以原积除之尾位○变四进位○变四　进位削五又进位削三　剰负积四十四为实仍以初商七十乗负隅减余纵【五十】而余纵不足乃以余纵【五十】反减初商【七十】余二十为廉法挨注次位而纵又为负次商二纪右亦注二

于尾位为隅法共二十二皆与所商之二呼除恰尽得长七十二

亦有虚立长濶和较求长者假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一十二步求长若干依前法演

得八长一濶以一濶为实

八长为负隅共步为纵方

列实初商三纪右【即三十】以

乗隅【八】得二百四十以减

纵一变七进削三余纵七

十二以呼所商【三】除积合除二千一百六十而积反不足乃翻以积除之列二一六○于上　肆上○变六　进位六变九　进位一变二　进位二变一　尚余负积一二

九六复以初商【三】乗负隅

【八】合减纵二百四十而余

纵【七十二】不足翻以余纵减

之剰负纵一百六十八是

余纵积算俱负

次约负积商六纪右以乗负隅八又并负纵共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二　二上削二进削一　一六除六　一上九变三　六六三十六恰尽得长三十六

假如直积三千四百五十六步一长二濶三和四较共六百二十四步求长几何仍前八长一濶以一为实八为负隅共步为纵方初商七纪右以乗负隅【八】得五百六十以减纵方剰六十四注首位合除四千四百八○

列原积上以视原积不

足翻以原积减之尾位

○变四　四上八变二

六上四变○　进位

四变一　余负一千二

十四为实再以初商【七十】乗负隅【八】得五百六十者减余纵而纵又不足则翻以纵减之余纵四百九十六而隅法纵法积法俱负续商二纪右以乗隅【八】得一十六并入负纵共五百一十二挨尾注之与所商二相呼恰尽得长七十二步

同文算指通编卷七

钦定四库全书

同文算指通编卷八

明　李之藻　撰

带纵诸变开平方第十五

开方带纵其变无穷更绎其要有十一种余可神而明之若积与二濶较及长濶较求濶用带纵减积开平方假如三广田积二千四百六十五步第云中广不及南广八步亦不及北广三十六步又不及正长六十七步

问广并长各几何列积为实

并不及二广【共四十四】以四而一

得一十一为纵方以不及正

长【六十七】为减积初商一纪右

【即一十】以并带纵共二十一列

注首点下为方法以乗减积得一千四百七先以减积所乗呼商一七除七尾位伍变八　进位陆变五　一四除四　进位肆变○一一除一首位贰变一　次以

所注方法呼商一二除二

二上○变八进削一　一

一除一　一上五变四余

实八四八乃倍方一作二

为廉法【即二十】并减积【六十七】

又并带纵【一十一】共九十八为方法注退位续商八纪右以并方法得一百六呼除一八除八　一上削八　六八四十八恰尽得中广一十八步各加不及得南广二十六步北广五十四步正长八十五步

右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以积求长广者俱以此法求之

凡大小二方和积求径者用减积带纵负隅并纵开平方

假如大小方田二段共积七千五百九十二步大方面较小方面多二十八步求大小方面各几何用较自乗【得七百八十四】以减积余六千八百零八为实倍较【二十八】得五

十六为带纵叧置二为负隅初

商四【即四十】乗负隅【二】得八十并

纵方共一百三十六为方法注

积下以呼所商一四除四　一

上陆变二　三四一十二　三

上捌变六进位二变一　四六二十四　六上○变六进位六变三余实一三六八次倍商得八并初方【一百三十六】共二百一十六为廉法注退位续商六纪右亦乗负隅得一十二为隅法并入廉法共二百二十八与次商呼除尽得小方面四十六步加较得大方面七十四步又假如大小方田三段共积四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面几何以大方面较小面数【三十】自乗得【九百】以中方面较小面数【十二】自乗得【一百四十四】相并共一千四十四以减共积余三千七百四十四为实并二较倍之得八十四为纵方以三为负隅初商二纪右【即二十】以乗负隅【三】得六

十并纵方共一百四十四为

方法列首位以呼所商二四

除八　四上肆变六　二四

除八　四上防变八进位叄

变二　一二除二　一上削

二余实八百六十四倍方法【六十】作一百二十为廉法以并纵方【八四】得二百四注退位为方法次商四纪右以乗负隅【三】得一十二为隅法并方法共二百一十六与次商呼除二四除八　二上削八　一四除四　一上六变二　四六二十四恰尽得小方面二十四步以较加之得中方面三十六步大方面五十四步

凡方田圆田径相似以其共积求相似之径几何者用隅算开平方凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算用四乗原积开方

假如方圆田共积二千二百六十八步只云方面圆径相等求方面圆径者四乗原积得九千七十二步为实叧列七为隅算初商三纪右【即三十】乗隅【七】共二百一十为方法与商相呼二三除六　二上玖变三一三除三一上○变七进位三变二余实二七七二乃倍三十作

六十为廉法注退位次商六以乗

隅【七】得四十二为隅法又以乗廉

六十得三百六十并共四百○二

仍并入廉法共四六二与商相呼

恰尽得方面圆径俱三十六步

又法四乗原积得九千○七十二步并方四圜三得七为法除之得一千二百九十六为实乃以开平方法求得方面圜径三十六步更简易

凡匿其原积只云一长二濶三和四较更以长乗之共数若干其长濶之较若干以求其长几何者用益积以补濶则有带纵隅益积开平方

假如田不知积但以长乗一长二濶三和四较共得四万四千九百二十八步其长濶之较二十四步求长者列实叧置较为益纵约三和得三长三濶并一长二濶得四长五濶又并四较入濶为长得八长一濶共九段

以九为隅算初商

七十乗隅算【九】得

六百三十为隅法

又以初商【七】乗益

纵【二十四】得一千六

百八十注原积之

下以益原积　八上贰变○进加一六上玖并一变六进加一　一上肆并一变六共四万六千六百○八却以隅法【六百三十】注退位与商相呼六七四十二六上六变四进削四　三七二十一　三上六变五进位四变二余实二五○八乃倍隅法【六百三十】得一千二百六十为方法注退位以商余实得二纪右又乗隅算【九】得一十八为隅法另以所商二乗益纵【二十四】得四十八并入余实八上八变六　四上○变五共得二五五六却以方

隅二法并共一千二百七十八皆与所商【二】呼除恰尽得长七十二步

又同前田不知实用长数乗一长二濶三和四较共若干及其较若干以求长者或损长以就之用带纵负隅减纵开平方

假如一长二濶三和四较以长乗之得四万七千二百一十二其较二十八步而不知其积求其长列长乗之积为实较为纵方仍前法推得【九】为负隅初商七十纪

右乗负隅得六百三十为

方法内减纵法【二十八】剰六

百二退位注实下以呼所

商六七四十二六上防变

五进削肆　二七一十四

二上壹变七进位贰变

○余实五○七二次倍方法得【一千二百六十】内减纵法【二十八】得一千二百三十二为廉法列余实之下约实续商得四纪右乗负隅得三十六为隅法并廉法共一二六八改注尾位与续商相呼恰尽得长七十四步

又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方

假如设为一长二濶三和四较以濶数乗之得二万九千九百五十二其较二十四问长几何置较自乗【五百七十六】以减原积余二万九千三百七十六为实【以较自乗减其原积故曰减积】较为益纵六为隅算初商七十纪右乗隅【六】得四

百二十为隅法注实下

又以商【七十】乗益纵【二十四】得一千六百八十以益

原积尾次七变五进位

叄变○　又进玖变一

又进贰变三得三一

○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八　四上一变三进削三　二七一十四　二上○变六　进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商【二】以乗隅【六】得一十二为隅法另以所商【二】乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步

亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者

假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅【共得九长】初商七纪右【即七十】以乗负隅得

六百三十为方法

内减纵方【二八】得六

百二注实下又以

乗纵方得一万六

千八百五十六以

益实六上捌变四

五上肆变○　八上叄变二　六上玖变六　一上

贰变四乃以所商【七】呼除所注之下法【六百二】二上○变六进位二变○　六上六变四进削四余实四○六四次倍方法【一千二百六十】减纵方得一千二百三十二为廉法次商四纪右以乗负隅【九】得三十六为隅法以乗纵方得一千零八为益实并入余积八上四变二进位六变七　一上四变五以廉【一千二百三十二】隅【三十六】相并【一千二百六十八】呼商恰尽得长七十四步

右法以濶求长积欠一较故乗较为益实以补其缺

亦有同前不知积而以濶乗长濶和较共数及较求濶者用带纵廉开平方

假如直田不云积步只云一长二濶三和四较以濶乗得二万九千九百五十二步濶不及长二十四步求濶者置乗积为实减较之半【一十二】为纵廉而以初商乗之初商四【即四十】纪右为方法以乗纵廉得四十八即与商相并共五十二注实下照式退位以呼初商【四】五四二