同文算指

三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九

○之一段因前用二一三是为二百一十三今又倍其

数作四二六为亷法空有防之○

而于九下系六于进位九下系二

于○下系四先以四商上三○看

四除三十凡防转该七转则用七

纪七于格右亦系于有防○下以

相呼先呼四七二十八于三十内

除二十八尚剩二数四上○变二

进抺三次呼二七一十四于廿九

内除十四二上九变五进位二变

一次呼六七四十二六上九变七进

位五变一次呼七七四十九依借法

七上○变一进位七变二完四段余

实一十一万二千一百一十二另开

次除一一二一一二总作一段前已用二一三七是为二千一百三十七今倍之当作四二七四为亷法空有防之二而于进位一下系四于又进之一下系七于进二下系二于进一下系四先以四商上一十一看除该二转则用二纪格右亦系二于末位防下而先呼二四为八以除一十一余数三乃抺一改三进抺一

次呼二二为四依借法二上二

变八进位三变二又呼二七一

十四依借法七上一变七进位

八变六再呼二四为八依借法

四上一变三进位七变六又呼

二二为四依借法二上二变八

进位三变二完第五段除实四

亿五千六百七十六万二千三

百八十四余二万六千六百二

十八为不尽数

右开方二万一千三百七十二以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四并入余数二万六千六百二十八得原数

开平竒零法第十三

凡开方法有可尽者如十六用四除尽如二十五用五除尽是也亦有必不可尽者假如列实二十者用四除去十六尚余四此所余之四将何术以开之其法依除法立子母数倍用数为亷法外加一为隅法并为母而以余数为子乃以原所用开之数依母数化之而并子数俱以为子乃以母自乘子亦自乘以取开方而以小数除其大数视其所得之数若干即开尽数若原数内

更有未尽者再法开之　　　　倍用数得八加一为

母共九而以余数四

为子次以用数乘母

共三十六并子四共四十

以八十一而

除一千六百

得一十九零

八十一之

六十一为

开方之数

尚有未尽

另法具后

右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一比前但开除一十六者所得多矣然尚余八十一之二十未尽另立一法开焉用盈不足对稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不

足五对前四又九　　　　　　　　五内除四余一依前

之四而以少除多　　　　　　　　法化一为九内又除

【以五为实以四又九之四为法除之】　　　　　　　四余五是九之五也

乃以前四零九之四者而　　　　五八并得十三倍之为八零九之八并入今　　　除一九是一整余九之五共得九零九之四　　　数尚剰九之四【其倍之为亷法也并入今余又用盈不足相并】

次取九零九之四以除前所余未尽八十一之二十依化法整九与母九相乘得八十一并入子四共八十五

是为九之八　　　　　　　　　　　两母乘得六

十五又倒位　　　　　　　　　　　千八百八十

对相母乘母　　　　　　　　　　　五两子乘得

子乘子　　　　　　　　　　　　　一百八十

又以母子乘　　　　　　　　　　两母数以九乘

出之数与原　　　　　　　　　　六千八百八十五

存九之四十　　　　　　　　　　得六万一千九百

对列而以两　　　　　　　　　　六十五为共母其

母相乘为母　　　　　　　　　　子数以六千八百

次以子母互　　　　　　　　　　八十五乘四十得

乘各为子而　　　　　　　　　　二十七万五千四

并之【原存盈数也今】　　　　　　　　　　百以九乘一百八

【乘出数不足也亦相并】　　　　　　　　　　十得一千六百二

九百六十五之二万九千一百六十约

之即十七分之八也为开方零数

若欲知其已于二十数内除过防许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母数除子数即见

依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五较前十九零八十一之六十一逺矣尚余二百八十九

之四未尽欲尽

之再依前法开

除

又法以四开二十因用四开之不尽乃用四零二之一

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>数加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八并入三十四得三百二十二】为三十六之三百二十二若用约法则为八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四并入十七共得一百六十一】为一十八之一百六十一此倍出亷数也以之倒位而对前所余数母子俱自乘

仍对前所化

亷数求之

次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母次以两子各乗总母得数对减余为实乃取所并

此为开方不足之数比前则所剩微矣欲开尽依法再推同文算指通编卷六

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>

钦定四库全书

同文算指通编卷七

明　李之藻　撰

积较和相求开平方诸法第十四

凡平方长濶不等以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和

凡以积和求较者以和自乗以积四因相减开其余得较

假如直田积八百六十四步长濶和六十步求长多濶几步者用和自乗【得三千六百】又四因直积【得三千四百五十六】以少减多余一百四十四平方开之得差一十二步

右开法见前不重列所以和自乗又四因直积者葢和自乗有四段直田积一段差方积故以四积减和乃剰下差方一段以取方面见步【有图在后】比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与

【得银数共六十其】

【差几何银数爲濶人数爲长得三十六人毎人】【二十四两凡以积较求和者四因实积又以差】【自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因以较自乗相并开方得长濶和六十歩右四　因积有　四长四】

【濶纵横列之于外又较自之一段】

【居中故开方得和其用和自乗者得此图全数外兼四积内兼较自乗故除积得较比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求锭与两共若干两数爲长锭数爲濶得锭与两共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百长三十六步】各

若夫积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为减积以方乗减谓之减积开平方

积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乗上商以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以负纵减方法谓之带减纵开平方

积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅或益负隅于积或减负隅于纵皆可以求其濶也其益隅于积者乗负隅为方法又乗方法以益积是为带纵益隅开平方其减隅于纵者乗负隅以减纵命余纵以除实是为带纵负隅减纵开平方

积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余积纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方

右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷也此外有积与二濶较及长濶较求濶者则有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至于匿其积实而虚张长濶和较之数互求长濶者则又有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带纵廉负隅乗纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途而取今每则畧着数例以便初学

带纵开平方法【积较求濶】

有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法带除其股积余为开方名带纵开平方法列实点定开位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并纵数列首点下【有小数者照常退位排之】次第呼乗以除实数但所商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之假如有直田积八百六十四步濶不及长一十二步求濶几步列实定位以带纵【二一】随首位列之初商二纪格

右亦列首点下以并带纵【一】共三乃

变壹贰注三　相呼二三除六　三

上捌变二二二除四　贰上陆变二

完首段余实二百二十四步次倍二

作四为廉法挨退位下亦列带纵以

廉四并纵一其下列五次商四纪格

右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得

濶二十四步

比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银多为长人少为濶得银两数二十四人数三十六

假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为

隅以并带纵七共九乃变二七作

九是为【二九】与右二疉呼除之　二

九一十八　九上叄变五进削贰

本位下削九　次以右二乗二除

四用借法　二上○变六　进位

五变四本位下削二次倍二作四

为廉法列次点之进位○下另列

带纵数于廉下以待商除次商四

纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入除之四七并一十一廉下变一　进位亦加一　四二并得六隅下变六乃以右四呼首一　　一四除四　一上削四又以右四呼次一　一四除四　一上六变二又以右四乗次六四六二十四　六上除肆　进位除二恰尽因尚余一点于右加一○

右平方二百四十带纵共九百六十

若实数首位寡而带纵数多不能并累开方者虽点段在首位亦退一位列商及列带纵而减一商

假如列实一万六千一百卄八带纵七十二点段该将

左首位商起因带纵是七即减

一商置次点下　初商九纪格

右亦注次点之下并带纵七共

一十六乃改七九作六进位置

一为方法与商九相呼　一九

除九　一上陆变七进抹一

六九五十四　六上壹变七进位七变一　二九一十八　二上贰变四进位七变五次倍九得一十八为廉法叧退一位置带纵再商六纪右亦注末点下为隅法而并廉法带纵呼除如前得濶九十六带纵七十二共长一百六十八

其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点段位开起

假如列实三万八千四百带纵二百首位三自为一段初商一纪右亦纪一于首位下并带纵二得三乃以贰变三与右一相呼一三如三径除叄次倍一作二为廉法以注初商之次位以并带纵得四注纵下如前再商二以纪右亦以注第二点下俱与右二相呼先呼二四如八径除捌又呼二二如四径除肆外尚剰一点该于格右加○

右开方一百二十纵三百二十

若点段开位少而带纵之位反多【如开位三点只该百而带纵乃至千之类】以初商置首点下而以带纵大数进位列之必首段系二位者方有此例

假如列实一十九万八千带纵一千五百三十只点作三段其开数止有三位初商只是百数而所带乃逾至千此其并纵亦须以百随百以千进一位　初商一纪右亦注首点之下并带纵五得六另改注其下先以右一与纵一呼之一一除壹次以右一呼并六　一六如

六六上玖变三　次以右一呼纵

三三上捌变五完首段　乃倍初

商之一作二为廉法注初商之次

其带纵亦于次位列之【列五百于廉下二五

并得七另注七于下一千进位】再商二纪右亦注

次点下以并三得五另注五乃以

递呼　先呼一二如二　一上三

变一　再呼二七一十四　七上

五变一　进除一　又呼二五得一十恰尽外尚余一点右加○

右开方一百二十纵一千六百五十

带纵并商数有共一十者进位照式呼除【第一图亦有此】假如列实七万二千带纵四百八十点在首位初商一纪右亦注点下并纵四得五注于下以呼一五除五四上防变二　再呼一八除八　八上贰变四进位二变一乃倍初商之一作二为廉法注次位其

下另列带纵以二并四得六注于

下次商二纪右亦注次点之下以

相呼除　二六除一十二　六上

四变二进削一商二并纵八得一

十进位注一本位注○以相呼除

一二除二恰尽外余一点加○于

右

右开方一百二十纵六百

若实数纵数商除数俱多杂糅易淆者务须先将带并之数逐一归并停当各注其本位之下乃以呼除大抵只据最下一字为准则不淆乱

假如列实一十六万六千四百六十四带纵一千○八十八先点定该开三位讫其带纵低二行列之以便填商置初商于第二位点下以带纵之千进一位列之【初商是百故带纵之千进位与前法同】初商一并入为一千一百八十八以初商一纪右相呼首位呼一一如一以削壹　次

位呼一一如一　一上陆变五

三位呼一八如八　八上陆

变八　进位五变四　四位呼

一八如八　八上肆变六进位

八变七毕一段【以上甚简】倍初商之

一作二为廉法注次位下另列

带纵数【并得一千二百八十八】次商三纪

右亦注次点下并入以商【三】并

纵【八】得一十一注一于八下又注一于进位廉二之下以商纵【一】并廉【二】得三另注三于廉【二】之下并毕其并注数多认定最下字为主以与右相呼首位呼一三如三一上四变一次位呼三三如九三上七变八进削一第三位呼一三如三　一上六变三第四位呼三八二十四　八上陆变二进位三变一毕二段以上除过一十五万八千三百四十余实八千一百二十四未尽又倍前商之一三作二六为廉法空末位之点以待隅

法而以六注【二】下【右第二位】以二注

【一】下【右第三位】另列

带纵数以相并

乃以廉六并纵

八共一十四系

四于八下一进

位又以一并廉

二共得三系于其下乃商六纪右亦注末位下又以并纵八共一十四注四于末位下一进位四下改作五并讫以最下字与右相呼一六除六　一上八变二　三六一十八　三上一变三进除二　五六三十进除三四六二十四除恰尽

右开方一百三十六纵一千二百二十四

减积开平方法【积较求濶】

勾股积若干勾不及股亦有减积法减积者于实内减股之积以就其方也列实定位另列不足数为减积以商乗减积以所乗出之数列原积下对减视余实若干以所商依法除之有未尽者倍方为廉约得再商别置为隅亦乗减积以减余实乃倂廉隅除之

假如直田八百六十四步濶不及长一十二步求濶几何列实点位如前另列不及一十二为减积以初商乗之初商可用三因有乗数故约用二纪右亦注首位下以乗减积得二十四随位列之相对减原积二上捌变

六　四上陆变二余实六百二

十四乃以方法呼除　二二除

四二上六变二余实二百二十

四次倍二作四为廉法注退位

再商得四纪右亦纪末位为隅

法以乗减积得四十八亦相对

减余实四上二变八进位二变

一　八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除　四四除十六　四上七变一进削一又以方隅呼除四四除一十六恰尽得濶二十四步

假如直积一千七百五十濶不及长一十五问濶几何列实定位叧列不及为减积初商三纪右亦注首点之

下为方法以乗减积得【五四】随方

法之位列之以减原积四上防

变三　五上伍变○　乃以方

法除之　三三除九　四上三

变四进削壹余实四百次倍三

作六为廉法注退位再商五纪

右亦注末位为隅法以乗减积

得七十五对注以减余实五上

○变五　七上○变二　进位四变三尚余三百二十五皆与次商相呼五六进除三　五五二十五恰尽得广三十五

假如直积一十六万七千四十濶不及长一百三十二求濶几何列实定位另置不及为减积初商三纪格右亦注首点下以乗减积得三百九十六随首点列位对减　六上○变四因有借故进位仍七　三上陆变二余实一十二万七千四百四十乃以方法开之三三除九　三上二变三进削壹余实三七四四○次倍三作六为廉法注退位商实得四纪右亦注次段点下为隅法亦乗减积得五

百二十八退前积一位

列之对减八上肆变六

二上四变一五上七

变二仍余三二一六却

以廉隅呼除四六二十

四六上二变八进削三

四四一十六　四上

一变五进位八变六尚

余六五六○乃倍三四

作六八为廉法挨尾点

一位列之再商得八纪

右亦注尾下为隅法又

乗减积得一千五十六

挨尾位列之对减六上

○变四　五上六变○

一上六变五仍余五

五○四乃以廉隅呼除

六八四十八　六上五

变七进削五　八八六

十四　八上○变六进

削七又八八六十四恰尽得濶三百四十八

负纵益积开平方法【积较求长】

有勾股积若干勾不及股为较以积及较求股而勾少于股则益积以补勾名负纵益积开平方列实定位另置所不及数为负纵以商乗负纵虚增其积而后以方法开除不尽者倍方为廉又以再商乗负纵増积而另置一算为负隅以再商乗负隅为隅法置于廉次以商呼廉隅除尽

假如直积八百六十四濶不及长一十二求长几何列实定位叧列不及十二为负纵而初商则约所増负纵之乗命之如首位捌开法宜用二因有负纵之乗乃商三纪右亦注首位下为方法而以乗负纵得三十六注三于首位注六于次位以并原积六上陆变二　三上捌变二　进位置一益积得数一千二百二十四乃以

方法呼除三三除九　三上二变

三余积三二四又倍三作六为廉

法另商六纪右以乗负纵得七十

二退位列之添积二上肆变六

七上二变九共积三九六而另置

一算为负隅以次商【六】乗之仍得

六为隅法乃并廉隅呼除六六三

十六　六上九变三进削三又呼六六三十六恰尽得长三十六

假如直积二十三万四百长濶较七百二十求长几何列实亦列较为负纵初商九纪右亦注首点下为方法以乗负纵得六四八以益积　八上○变八　四上叄变七六上贰变八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七变六进削八余实六八肆○○乃倍九作【八一】为

廉法注八于次隅之进位又

注一于进位次商六亦乗负

纵得四三二以益余积二上

肆变六　三上八变一　四

上六变一　进位置一共得

一一一六○○又以次商六

乗负隅一仍得六注本段点

下为隅法乃以廉隅呼除

一六除六　一上一变五进

削一　六八四十八　八上

一变三进削五　六六三十六恰尽得长九百六十带减纵开平方【积较求长】

凡以较及积求股者股长于勾亦有损股之长以就其方者名减纵开平方列实定位列较为减纵以减初商而以所减之余即乗初商以开之其次商又即以初商并入为廉法而商之置隅如常

假如直积八百六十四濶不及长一十二求长若干列实叧置不及一十二为负纵初商三十【因有二点故知三十】置右另以负纵减之余一十八挨注首位点下为方法以呼所商三八二十四　八上陆变二　进位捌变六　一三除三

一上六变三　余积三百二十肆乃

于右三加○以并方法一十八共四十八为廉法注退位再商六纪右亦注隅而并入廉法共五十四而六八并改四

进位四改五以呼次商五六三十

五上进位削三　四六二十四恰尽得

长三十六　其次商若不以隅相并亦同前法

六　　　次商六并前【八一】为四十八退位注之以

呼四六二十四　四上二变八　进位

削三　六八四十八　八上肆变六

进位八变三　又置隅法于尾位六六

三十六恰尽

只就本段积

比类以金换绢八百六十四匹

不知金一两换绢几匹但云原

金总两多于绢数十二今求原

金几何如长绢匹如濶得金三

十六两其所换匹数即直积也

假如直积三千四百五十六濶不及长二十四求长几何列实定位另置较二十四为负纵初商七十【因有二点故知七十】纪右以负纵减之余四十六挨注首位为方法【四多于三照例退位】与商相呼　四七二十八　四上肆变六进削叄　六七四

十二　六上伍变三进位六变二　余

实二百三十陆乃于右七加○以并四

十六共一百一十六为廉法列于下续

商得二改右○为二亦注尾位为隅法