御制历象考成

二三均数法俱见后

求初均数

太隂之行因迟疾而生加减差朔望用之者名为初均数自最髙至最卑六宫为迟厯为减差自最卑至最髙六宫为疾厯为加差葢因最髙前三宫与后三宫相当最卑前三宫与后三宫相当其差数皆相等故求得最髙后六宫之差数而最卑后六宫之差数视此但加减不同耳【如最髙前三十度与最髙后三十度其差数必等但在最髙前者为加差最髙后者为减差也】授时厯名为迟疾差其最大者为五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分约之得五度二十一分零五秒朔朢两同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒【即四度零十分度之九分七四二】惟朔朢为然名之初均数者所以别于朔朢以外之二三均数也

如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为五十八万戊为最

髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万辛为最逺【去本轮心逺也】癸为最近【去本轮心近也】本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三

分五十四秒即自行引数太隂则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则太隂在均轮之最近癸从地心甲计之成一直线无平行实行之差故自

行初宫初度无均数也

如均轮心从本轮最髙戊向己行一百八十度至最卑庚为六宫初度则太隂

从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之亦成一直线无平行实行之差故自行六宫初度亦无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则太隂从均轮最近癸行六十度至丑【丑癸弧为戊子弧之倍度】从地心甲

计之太隂当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙本轮半径之半二十九万【于子丙半径五十八万内减去子癸半径二十九万即得】求得癸卯边一十四万五千卯丙边二十五万一千一百四十七以卯丙边与丙甲半径一千万相加

得一千零二十五万一千一百四十七为卯甲边以癸卯边三因之得四十三万五千为丑卯边【辛丑癸三角形与丙卯癸三角形为同式形葢癸为交角丑角立于圜界之一半为直角与卯角等则辛角必与丙角等是三角俱等也辛癸为均轮全径为癸丙之二倍则丑癸亦必为癸卯之二倍故三因癸卯即得丑卯也】于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧为太隂自行一宫初度之初

均数是为减差以减于平行而得实行也【凡求得初均角即求得丑甲边为太隂距地心数存之为后求二均之用余仿此】若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则太隂从均轮最近癸行一周复自最近癸厯辛行三百度至己【癸巳弧为戊辰弧之倍度】从地心甲计之太隂当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均

数与一宫初度等但为实行过于平行之数是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差【初宫初度至二宫末度】即得最髙前三宫之加差【九宫初度至十一宫末度】

如均轮心从本轮最髙戊行九十二度至未为三宫二度则太隂从均轮最近

癸歴辛行一百八十四度至申从地心甲计之太隂当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角八十八度则癸角必二度癸丙边为二十九万求得癸戌边二十八万九千八百二十三丙戌边一万零一百

二十一以丙戌边与丙甲边相减余九百九十八万九千八百七十九为戌甲边以癸戌边三因之得八十六万九千四百六十九为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧为太隂自行三宫

二度之初均数是为极大之减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯庚行二百六十八度至亥为八宫二十八度则太隂从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百七十六度至子从地心甲计之太隂当本天之丑丑丙

弧与酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均数与三宫二度等但为实行过于平行之数是为极大之加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差【三宫初度至五宫末度】即得最卑后三宫之加差【六宫初度至八宫末度】

求二三均数

太隂之加减差朔朢以外用者名为二均三均数其二均数之生于次轮全径与三均数之生于次均轮半径亦犹初均数之生于本轮及均轮半径也故欲求二均三均之数必先定次轮及次均轮之径而欲定次轮及次均轮之径又须先测二均及三均之数也厯家于上下当自行三宫或九宫时累测之【惟此时太隂距本轮心甚逺平行视行之差极大】其极大之均数得七度二十五分四十六秒查其切线得一百三十万四千内减去本轮均轮两半径之共数八十七万余四十三万四千半之得二十一万七千即次轮之半径也于两及朔朢之间【约太隂距太阳四十五度时】当自行三宫或九宫时累测之其均数常与推算不合差至四十一分零二秒是即次均轮所生之三均数也依法求其半径得一十一万七千五百既定次轮与次均轮之半径乃逐度求其二均三均之数复用三均数以加减乎二均数是为二三均数用以推步月离乃与测验脗合矣

如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径戊丙己为本轮全径戊为最髙己为最卑庚丙辛为负均轮圈全径【省曰负圈】庚为最髙辛为最卑壬庚癸为均轮全径壬为最逺癸

为最近子癸丑为次轮全径子为最逺丑为最近寅丑卯为次均轮全径寅为最上卯为最下本轮心从本天冬至度右旋【本天上与黄道冬至相对之度也】为经度均轮心从负圈最髙左旋【即同本轮最髙】为引数【即自行度】次轮心从均轮最近右旋为倍引数次均轮心从次轮最近右旋行倍离之度【即太隂距太阳之倍度】太隂从次均轮最下左旋

亦行倍离之度如均轮心在负圈最髙庚为自行初宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之同在一直线即平行实行合而为一故无均数之加减也如均轮心在负圈最卑辛为自行六宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当

朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之亦同在一直线即平行实行合而为一故亦无均数之加减也

如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心则从均轮最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢时次均轮心常在次轮周之最近丑太隂常

在次均轮周之最下卯从地心甲计之仍见太隂在丑【太隂虽在丑点之下因在一直线故视之如在一处也】其实行不及平行之度为丙甲丑

角四度五十八分二十秒即初均数其切线丑丙八十七万即本轮均轮两半径之共数也两时次均轮心常在次轮周之最逺子太隂常在次均轮周之

最上寅从地心甲计之仍见太隂在子【太隂虽在子点之上因在一直线故视之如在一处也】其实行不及平行之度为丙甲子角七度二十五分四十五秒内减初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒余二度二十七分二十五秒即丑甲子角命为二均数丙甲子角之切线子丙得一百三十万四

千内减丑丙本轮均轮两半径八十七万余丑子线四十三万四千是为次轮之全径也此初均数为减差二均数亦为减差葢朔朢之实行丑点在平行丙点之后【本轮心丙循本天右旋故以左为前右为后凡言前后者皆仿此】而两时之实行子点仍在丑点之后故于平行内减去初均数丙甲丑角

即得朔朢时之实行复减去二均数丑甲子角始得两时之实行也若均轮心从最髙行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心则从均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当两之时则初均数丙甲丑角与二均

数丑甲子角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以

加于平行而得实行也

如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心从均轮之最近癸行一百八十度至最逺壬时当朔与

上之间或朢与下之间次均轮心从次轮最近丑行九十度至巳太隂则从次均轮最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒为初均数丑甲边一千零三万七千七百七十四为次轮最近点距地心之数【求丑甲边法见前求初均数篇】乃用丑甲己三角形求二均数

此形有丑甲边一千零三万七千七百七十四有丑己边三十万六千八百八十四【即次轮九十度之通以半径一千万为一率九十度之通一千四百一十四万二千一百三十六为二率次轮半径二十一万七千为三率求得四率三十万六千八百八十四即次轮九十度之通】有丑角四十九度五十八分二十秒【丙甲丑直角形以丙直角与甲角相加得九十四度五十八分二十秒为壬丑甲角内减去壬丑己角四】

【十五度余四十九度五十八分二十秒为巳丑甲角】求得丑甲巳角一度二十二分零五秒与初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒为实行不及平行之度然太隂不在巳而在午于时测得实行不及平行之度为五度三十九分二十三秒相差四十一分

零二秒即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角命为三均数乃用午甲巳直角三角形求次均轮之半径此形有巳

甲边九百八十四万二千六百二十二【用丑巳甲三角形求之而得】有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午边一十一万七千五百是为次均轮之半径也此初均

数为减差二均数亦为减差而三均数转为加差故于二均数内减去三均数余四十一分零三秒即丑甲午角为二三均数仍为减差【凡二均与三均加减异者相减为二三均数仍从大数如二均大于三均则从二均三均大于二均则从三均】葢次轮之最近丑点在平行丙点之后次均轮心巳点又在最近丑点之后而太隂

午点却在次均轮心巳点之前故以二均与三均相减余丑甲午角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲午角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心从

均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当上与朢之间或下与朔之间则初均数丙甲丑角及二三均数丑甲午角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差

以加于平行而得实行也

如均轮心从最髙庚行一百二十度至未为自行四宫初宫次轮心从均轮最近癸行二百四十度至申此时若太隂距太阳一百一十度为上后一日余则次均轮心从次轮最近丑行二百二

十度至酉太隂亦从次均轮最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒为初均数丑甲边九百八十八万三千七百六十为次轮最近点距地心之数乃用丑甲酉三角形求二均数此形有丑甲边九百八十八万三千七百六十有丑酉边四十万七

千八百二十七【次轮丑酉弧一百四十度之通】有丑角八十四度二十二分一十九秒【丙甲亥三角形以甲丙两角相并与亥外角等丑申子次轮全径原与癸未壬均轮全径平行则申丑亥角与丑亥丙角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒与甲丙亥角六十度相加得六十四度二十二分一十九秒即为申丑亥角又酉丑子为界角对酉子弧四十度则酉丑子角必二十度与申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即为酉丑甲】

【角】求得丑甲酉角二度二十一分四十秒为二均数又求得酉甲边九百八十五万一千五百九十五复用酉甲戌三角形求三均数此形有酉甲边九百八十五万一千五百九十五有酉戌边一十一万七千五百【次均轮半径】有酉角一百四十度【即次均轮戌卯弧】求得酉甲戌角二十

六分零七秒为三均数也此二均三均并为减差故以二均与三均相加得二度四十七分四十七秒为二三均数仍为减差【凡二均与三均加减同者相加为二三均数余仿此】葢次轮之最近丑点与次均轮心酉点俱在平行丙点之后而太隂戌点又在次均轮心酉点之后故以二均与三均相加

得丑甲戌角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲戌角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百四十度至未为自行八宫初度次轮心从均轮最近癸行一周复行一百二十度至申而太隂距

太阳七十度为上前一日余则次均轮心从次轮最近丑行一百四十度至

酉太隂亦从次均轮最下卯行一百四十度至戌其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲戌角皆与四宫初度之数相

等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也

如均轮心合朔时在本轮之辰距最卑辛十五度余则次轮心在均轮之己距均轮最近癸三十一度余次均轮心则

在次轮最近丑太隂在次均轮最下卯迨朔后一日余本轮心从本天合朔后行十六度至丙则均轮心亦从本轮辰行十五度余至最卑辛为自行六宫初度次轮心亦从均轮己行三十一度余

至最近癸次均轮心从次轮最近丑行三十二度至午太隂亦从次均轮最下卯行三十二度至未则无初均数乃用癸甲午三角形求二均数此形有癸甲边九百四十九万三千【于丙甲半径一千万内减去负圈半径丙辛七十九万七千余辛甲九百二十万三千最加均轮半径癸辛二】

【十九万即得】有癸午边二十一万七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒为二均数又求得午甲边九百六十七万七千五百零七复用午

甲未三角形求三均数此形有午甲边九百六十七万七千五百零七有午未边一十一万七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒

为三均数也此二均三均并为加差以二均与三均相加得一度零三分一十二秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与平行内点在一直线上平行即实行故无初均数而次均轮心午点在平行丙点之前太隂未点又在午点之前故以二均与三均相加得丙甲未角为二三均数以加于平行即得本

时之实行也若均轮心在最卑辛而太隂距太阳三百四十四度为朔前一日余则二三均数丙甲未角与朔后一日余之数相等但实行在平行后故为减差以减于平行而得实行也

如均轮心过最卑辛行五十度至午为自行七宫二十度则次轮心从均轮最近癸行一百度至未而太阴距太阳一

百三十五度为朢前三日余则次均轮心从次轮最近丑行二百七十度至申太隂亦从次均轮最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒为初均数丑甲边九百八十三万六千一百九十五为次轮最近点距地心之数乃用丑甲申三角形求二均数

此形有丑甲边九百八十三万六千一百九十五有丑申边三十万六千八百八十四【次轮丑申弧九十度之通】有丑角八度五十三分零六秒【丙甲戌三角形以丙甲两角相并与戌外角等丑未子次轮全径原与癸午壬均轮全径平行则丙戌丑角与戌丑未角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒与甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒为戌丑未角内减去未丑】

【申角四十五度余八度五十三分零六秒为申丑甲角也】求得丑甲申角一十七分零六秒为二均数又求得申甲边九百五十二万八千九百二十复用申甲酉三角形求三均数此形有申甲边九百五十二万八千九百二十有申酉边一十一万七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二

十三秒为三均数也此初均数为加差二均数亦为加差而三均数转为减差故于三均数内减去二均数余二十五

分一十七秒为二三均数转为减差【三均大于二均故从三均】葢次轮之最近丑点与次均轮心申点俱在平行丙点之前而太隂酉点却在次轮最近丑点之后故以二

均与三均相减余丑甲酉角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲酉角始得本时之实行也若均轮心未至最卑辛五十度在午为自行四宫十度而太隂距太阳二百二十五度为朢后三日余其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲酉角皆与

七宫二十度之数相等但初均数为减差二三均数为加差以初均数减于平行复以二三均数加之而得实行也如均轮心从最卑辛行一百二十度至辰为自行十宫初度则次轮心从均轮最近癸行二百四十度至己而太隂距太阳三百二十度为下后四日则次

均轮心从次轮最近丑行一周复行二百八十度至午太隂亦从次均轮最下卯行一周复行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒为初均数丑甲边一千零一十七万二千九百四十一为次轮最近点距地心之数乃用丑甲午三角形求二均数此形有

丑甲边一千零一十七万二千九百四十一有丑午边二十七万八千九百七十【次轮丑午弧八十度之通】有丑角七十四度一十四分五十一秒【丙申甲三角形以丙甲两角相并与申外角等丑巳子次轮全径原与癸辰壬均轮全径平行则己丑甲角与壬申丑角为平行线之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度与丙甲申角四度一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即为己丑甲】

【角内减去己丑午角五十度余七十四度一十四分五十一秒为午丑甲角也】求得丑甲午角一度三十一分二十三秒为二均数又求得午甲边一千零一十万一千六百一十七复用午甲未三角形求三均数此形有午甲边一千零一十万一千六百一十七有午未边一十一万七千五百有午角八十度求得

午甲未角三十九分二十七秒为三均数也此初均数二均数俱为加差而三均数为减差故于二均数内减去三均

数余五十一分五十六秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与次均轮心午点俱在平行丙点之前而太隂未点却在次均轮心午点之后故以二

均与三均相减余丑甲未角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复加二三均数丑甲未角即得本时之实行也若均轮心在最髙庚后六十度为自行二宫初度而太隂距太阳二百二十度为下前四日其初均数丙甲丑角

及二三均数丑甲未角加与十宫初度之数相等但实行在平行之后故俱为减差以减于平行而得实行也

两月食定交周

白道与黄道斜交月行天一周必两次过交而交无定处每一交之中退天一度有余故每日太隂距交行度常多于每日平行经度其较即为每日交行度测法亦择用两月食其两食必须太阳之距最髙等太隂之自行度等食分等食在阳厯或在隂厯亦等【黄道南为阳厯黄道北为隂厯】乃可推月行若干交周而复于故处西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒为朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三】与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒相减余三分一十秒三十八微二十四纤【即百分度之五分二九五五五五五五一授时厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度约之得百分度之五分一六○七】为两交每日左旋之度也今择用两月食以明其法如左

第一食顺治十三年丙申十一月庚申朢子正后一十八时四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在阳厯日躔星纪宫一十度三十九分在最卑后三度四十九分于时月自行为三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正后三时二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在阳厯日躔星纪宫二十一度五十二分在最卑后一十四度二十一分于时月自行为三宫二十五度二十四分【两次月食太阳距最髙差一十度余然地景之大小无异月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿论】以上两次月食相距中积二百二十三月乃用朔策定数五千四百五十八为一率交终定数五千九百二十三为二率【此二数依巴谷所定】二百二十三月为三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二【差千分之一可以不论】为两次月食相距之交终数又以两次月食相距中积六千五百八十五日零八时三十九分一十秒与每日太隂平行经度相乗以交终数二百四十二除之得一百二十九万零八百一十二秒小余八七九五九八为每一交行度与周天一百二十九万六千秒相减余五千一百八十七秒小余一二○四○二为每一交退行度又以交终数除两次月食相距中积日分得二十七日二一二二三三为交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微为两交每日退行度与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微为太隂每日距交行度比旧数止少一微今仍用旧数各以日数乘之得十日百日之行度以时分除之得每时每分之行度以立表

黄白大距度及交均

白道与黄道相距之纬曰大距度而交均者乃两交平行与自行之差是二者常相因也葢相距之度时少时多而自行之度有迟有疾故必测得距度极多极少之数而后交行之迟疾可推测大距之法推得月离黄道鹑首宫初度又在黄道北【月在黄道北则近天顶而地半径差最防可以勿论】而距交适足九十度时俟至子午线上测之得地平髙度乃于髙度内减去赤道髙及黄赤距纬度其余即为黄白大距度也厯家用此法测得朔朢时之大距为四度五十八分三十秒【即四度零十分度之九分七五】上下时之大距为五度一十七分三十秒【即五度零十分度之二分九一六授时厯无分朔朢两皆六度以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒】既得二数乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表