御制数理精蕴

百一十三术原数列上减数列下减数首百从原数百下顺列单位五内减二余三抹去原数五本位纪三次十位一遇○无减本位仍纪一次百位七减四余三抹去原数七

本位纪三次千位二遇无减数本位仍纪一合问用借式有四千八百四十减二千五百九十二问余若干曰三千二百四十八术列原数减数单位○不能减二须借左原数一在本位作十减二余八下纪八次十位原数四因右借一存三不能减九借左原数一在本位作十并存三为十三减九余四下纪四次百位原数八因右借一

存七减五余二下纪二次千位四减二余二下纪二合问

用借用还式数如前式术单位○不能减二借左原数一在本位作十减二余八乃于十位减数九加一作十以还借数四不能减十借左原数一在本位作十并四为十四减十余四百位减数五加一作六以还借数八内减六余二千位四减二余二亦合

左减式数如前式术通曰旧法自右起今易自左起千位四内减二余二抹去原数四减数二而变为二次百位八内减五余三八变为二次十位四不能减九于百位变三内退一三又变为二十位四上加十为十四减九余五四变为五次单位○不能减二于十

位变五内退一五又变为四单位○上作十减二余八○变为八此法较便

试减差法

术曰一用如法试之以减数并减余得原数或以减余减其原数应与所减数合又有九减七减二法如试加然但以减数及减余合为一处又如加之散数首行次行耳

用加法式试第一式以减数四百零二并减余二千三百一十三为二十七百一十五合原数无差

用减法式试第一式以减余二千三百一十三于原数二千七百一十五内减之余四百零二合减数无差九减式试第一式先并减数四二及减余二三一三共

为一十五九减余六次并原数

二七一五为一十五九减余六

左右列比无差

通曰九减用实积数亦可盖九数无往

不合故也

七减式试第一式先以减数之左四○作四十七减余五次作五十二七减余三又以减余之左二三作二十三七减余二次作二十一七减无余次三不足减仍余三俱纪右下乃以各数纪余之三二并为六不足减仍

作六再以原数之左二七

作二十七七减余六次作

六十一七减余五次作五十五七

减余六左右列比无差

乘法

术曰乘即因也用九因法上列原数【即实数】下列乘数【即法】数齐于右尾算即始右将下一位遍乘上诸位向左逐位纪所乘数于下尽下数乃止诸所纪为散数用加法得所求总数若定总首何数从乘数左首推至总数左首即知通曰凡以下乘上一数有二位左十右零右即本位也遇十有数而零亦有数者曰平【三四一十二四四一十六之类】本位纪零数左位纪十数遇十有数而零无数者曰足【五四得二十五八得四十之类】本位纪○而其数纪左位也遇十无数而零有数者曰如【一三如三二三如六之类】左位纪○而其数纪本位也旧法纪数每并为一令人难晓凡原尾有○而乘尾无○者虽○亦乘之以存其位乘尾有○而原尾无○者即自乘数之有数位乘起若上下尾与中或俱有○者亦须乘之以存位下数乘上○下○乘上数皆曰某○如○下○乘上○曰○○如○则本位左位俱纪○也

十因

式乘上下数不等少数尚未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘九何以得七十二术九在十内少一纪一于九右八在十内少二纪二于八右是八九为乘上下数一二为少数也上九下八上下数不等也一不及九二不及八少数不及也以少数一二相乘得二纪下二未满十故曰未满十乘数也

又以右一斜减左八右二斜减左九俱余七数同下纪七故得七十二

又式乘上下数等少数未满十乘数而少数不及于乘上下数如以八乘八何以得六十四术上下俱八故曰上下数等八在十内少二右俱纪二相

乘得四下纪四左右上下斜减俱余六下纪六故得六十四

又式乘上下数等少数已满十乘数而少数反过于乘上下数如以三乘三何以得九术上下俱三三在十内少七右俱纪七相乘得四十九已有四十故曰已满十乘数也下纪九寄四于左左上下三各

加所寄四俱变为七然后左右上下斜减俱无余下纪○故得九

又式乘上下数不等少数满十乘数而少数不及于乘上下数如以六乘七何以得四十二术七在十内少三六在十内少四俱纪右相乘得一十二下纪二寄一于左左上七加一变为八下六加一变为七然后左右上下斜减俱余四下纪四故得四十二又

术三四乘得一十二将一悬于左待左右上下斜减俱余三乃并所悬之一为四亦合

通曰一二之乘得八九之乘是以小乘而得大乘也七七之乘得三三之乘是以大乘而得小乘也九因本乎十因即洛书之无十而藏十也

诸式

一位乘式有一百五十二人每人六两问共若干曰九百一十二两术列定自右乘起先以六乘二曰二六一十二此平也左位纪一本位纪二次以六乘五曰五六三十此足也左位纪三本位纪○次以六乘一曰一六如

六此如也左位纪○本位纪六所纪散数用加法合问乘数六是两推至总数首为百

多位乘而原数中有○式有四千六百零八人每人三百二十五两问共若干曰一百四十九万七千六百两术列数以五乘八曰五八四十以五乘○曰五○如○以五乘六曰五六三十以五乘四曰五四二十如法纪

之此五之徧乘也次以二乘八

曰二八一十六以二乘○曰二

○如○以二乘六曰二六一十

二以二乘四曰二四如八如法

进位纪之此二之徧乘也次以

三乘八曰三八二十四以三乘

○曰三○如○以三乘六曰三

六一十八以三乘四曰三四一十二如法又进位纪之此三之徧乘也用加法合问

原数尾有○式有六百人每人六两问共若干曰三千六百两术以六乘尾○曰六○如○次以六乘次○曰六○如○次以六乘六曰六六三十六此乘○以存位也推至总首为

千

乘数尾有○式有四十五人每人六十两问共若干曰二千七百两术乘数尾有○虽不必乘然一○为十二○为百不可不列位列后从六乘起可耳以六乘五曰五六三十以六乘四曰四六二十四推至总首为千

原数乘数尾俱有○式有六百人每人三百四十两问

共若干曰二十万零四千两术列定

先以四徧乘次以三徧乘得总数尾

三○便于定位

通曰加减乘除皆可易横

为直而乘用直觉便故附

于此至于诸○立法不得

不存熟则不用矣

试乘差法

术曰九减七减如前但左右列数多一互乘得数又减之余列上总数减余列下上下相比也不用散数九减式试第二式除○九外并原数四六八为一十八

九减无余列○于乂左并乘数

三二五为一十九减余一列乂

右以左右一与○乘曰一○如○无数列○于乂上并总数一四七六为一十八九减无余列○于乂下上下相比无

差

七减式试第四式原数如法减之余三列乂左乘数如法减之余四列乂右以左右三四乘得一十二七减余

五列上总数如法减之余五列

下上下相比无差

通曰九减用见数可去○九不用七减用实积数必存○九之位与数以便逐

位减至右末而止也

除法

术曰有实有法有用数实即原数列上法即除数列下用即所求分数也上下齐左从左起算下首少于上首者齐列下首多于上首者退位列之于右界格以法除实视法首于实内有防回即用防除之而纪其防除之数于格外为用数也原实变后即为余实存上次法乘用数除实尽法位而止又将法数退一位列下【一徧用数一徧退位与初列退位不同】再视法首于余实内有防回当用防除而又纪其防除之数于第一次用数之右次法又乘第二次用数除实也以法尾退至实尾齐右而止格外所纪为分数有余实亦当存之再除实尾数即用尾数推而知用数之首也

通曰以下除上凡除亦有二位左除十右除零右即本位本位上左有实者将左右两实作为防十防也左有实而右无实者作防十也左无实而右有实者为零数也若遇实数可以除此一徧而不足以除下徧者则知用数中当有零矣详后式

定列位

通曰其法有五不退者二退位者三与珠算无除説同盖不退者有可除之数也退者无可除之数也

诸式

退位式有三百四十二两九人分之问各若干曰三十

八两术法首九多于实首三当退位列法实首三四作三十四【退位故作防十防也】视三十四内有三回九当以三为用数纪格右以九乘三得二十七于三十四内除之抹去三变四为七次以法九退列余实七二作七十二内有八回九当以八为次用数纪首用数三右于余实内除八九七十二实尽俱抹去格右所纪三八即所求分数法

尾齐实尾两数则知用数尾八为两也

不退位及减用数式有八百五十五两四十五人分之问各若干曰一十九两术法首四少于实首八不退位实八即作八视八内有二回四当以二为用数但二四除实首八而次法二五除一十则无实可除遇此则减用数一止以一为用数一四除四一五除五次以法退列余实四○作四十视有九回四当以九为

次用数四九除三十六五九除四十五实尽合问用数中当有○式有七万六千零四十八两八人分之问各若干曰九千五百零六两术退位列法首用数该九八九除七十二又退位列法次用数该五五八除四十又退位列法八适至实之四下左无余实四不足除遇此则纪○以当一徧用数又退位列法次用数该六六八除四十八实尽合问

通曰前式格外用数用横列今易为直盖横

直俱可用也

实尾有○式有三百两六人分之问各若干曰五十两退位列法首用数五五六除三十纪五于格

右实数尽矣尚有余○乃退位列法次用数无数而纪○故知所得为五十两也

通曰视实尽后法尾去实尾尚空防位毎空一位加一○于用数之右亦合

实不尽式有六百五十三两五十八人分之问各若干曰一十一两【余实一十五两未分】又各二钱五分【余实五钱未分】术不退位列首用数该一　一五除五一八除八退位列法次用数该一一五除五一八除八法尾已齐实尾当暂止以察用尾为何数既知为两数余

实再除

术右式余实一十五两法当退位列用数该二二五除一十二八除一十六退位列法次用数该五五五除二十五五八除四十此用数首根前式用数尾下当是钱数也尚余实俟再除

通曰初列实时先于实右加○每加一○作降实尾一数【两降钱钱降分】即以○末为实尾较便

试除差法

术曰亦用九减七减其除毕无余实者将除数减余列左用数减余列右左右相乘减余列上原数减余列下相比其未尽实者于左右乘后并入余实减余列上原数减余列下比之若除实至半者亦以除数减余列左用数减余列右相乘又取本位【法尾止处】以前余实减余以并左右乘数再减余列上以抺过原数减余列下相比也

除无余九减式试第一式除数九九减无余左列○并

用数三八为一十一九减余二

右列二乘无数列○于乂上并

原数三四二为九九减无余列○于乂

上并原数三四二为九九减无余列○于乂下上下相比无差

除有余九减式试第五式并除数五八为一十三九减

余四左列四并用数一一

为二不足九减右即列二

乘得八又并余实一五为一十四

九减余五列上并原数六五三为一十四九减余五列下上下相比无差

除无余七减式试第一式除数九作九七减余二列左用数三八作三十八七减余三列右乘得六不足七减

即列六于上原数三四作三十

四七减余六次作六十二七减

余六列下上下相比无差

除有余七减式试第五式除数五八作五十八七减余二列左用数一一作一十一七减余四列右乘得八又

以余实一五作一十五七

减余一以此用一并左右

所乘八为九七减余二列上原数

六五作六十五七减余二次作二十三七减余二列下上下相比无差

半除试差式除数六五用数一三原数八六六三余实二一三　用九减并除数六五为一十一九减余二列左又并用数一三为四不足九减右即列四乘得八乃并法尾止处以前之余实二一为三不足九减即以此

三并左右所乘八为一十一

九减余二列上并原数抺去

三位之八六六为二十九减

余二列下上下相比无差

用七减除数六五作六十五七减余二列左用数一三作一十三七减余六列

右乘得一十二乃以法尾止处以前之余实二一作二十一七减无余与左右所乘数相并仍是一十二七减余五列上原数抺去之八六作八十六七减余二次作二十六七减余五列下上下相比无差

通曰试差之法独用九七何也盖十者数之穷也数穷则变十复为一故数始于一终于九九阳数也下九之阳数为七故七与九同用自七九而外或有合者于率不通不可立法所以加减试差用实积则无不可用见数则七与五不可也乘除试差用实积则亦无不可用见数则自九而外皆不可也若夫论除之余六与三之余同九是用九而六三可无用矣四与二之余同八是用八而四二之余可无用矣且八或可以试加减而或不可以试乘除亦不可用然则试差之法舍七与九又何所取用哉

命分法

术曰命分者一大防何已分防何命余者为防何分之防何也又曰所余之小防何再分防何命此得者为防何分之防何也

通曰第一术即防何原本之命比例法也第二术恰尽则可否则终不能尽也

式法数为母余数为子如实数八万七千二百四十八法数三百七十四法尾已齐实尾用数已得二三三尚有余实一○六当命为三百七十四分之一百零六也又式得数为子得数前位为母得数一位为十二位为百三位为千也如右式余实一○六先于六右加一○依法再除之得二又加一○再除之得八又加一○再除之得三凡三位乃千也当命为千分之二百八十三也

数度衍巻二

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>

钦定四库全书

数度术卷三

桐城　方中通　撰

笔算下

奇零列位法

术曰奇零者不尽数也加减乗除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下

式有实四十六法七用数六除四十二尚余实四命之

曰七之四七列上四列下

通曰以母分子故以法为母子随母分故以实

为子

奇零别多寡法

术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也

母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳

子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少

者为多

子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乗得数各注其下较之其较有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也

竒零约法

术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法

折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四

约为八之四再折半又约为四之

二

通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乗而得其数即通数也今以六为通数

以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六

纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二余十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为

纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二

通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合

奇零并母子法

术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乗并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乗各所除数得各子数也

两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母

三得九为乙并子

四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二

乗之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四为丁并子

倂母子用纽数式若母数相乗过有纽数可用即用纽数如甲母乗乙母得六嗣当与丙母四相乗有二为纽数可用【二与三乗得六二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二

乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乗所得并子俱减前式之半

奇零累析约法

术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也

二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乗得三十五两子乗得十二是总得三十五之一十二

也

四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四为总母以丁

子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也

化法

术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乗得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合

化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乗整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也

零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子

数用八除尽知是八为整数也

零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚余二知是整五又零九之二也

奇零加法

术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乗为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积

同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为

共母两子并得十一为共子积为

七之一十一归得一零七之四

异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八

为甲并子乙子乘甲母得九为

乙并子再以两并子并得十七

积为一十二之一十七

异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙

母十一得一千零一为共母依

法各母除各子乘得各并子又

并得共子积为一千零一之二

千六百九十二

一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也

二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也

整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也

整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也

试加差法

通曰加用减试用加试皆有同母异母之分

试同母式以右子五减积子十一余六合左子数以左子六减积子十一余五合右子数合则无差

试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母

数以左母四除共母十二得三

合右母数无差次试子以右并

子八减积子十七余九合左并子数以左并子九减积子十七余八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差

竒零减法

术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也

同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之

八内减十七之五也同母止于右子

八内减左子五余三得十七之三

异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十

七为共母乃母除子乘得各

子审多寡然后相减余二十

七之六

整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六余十

一之五是减余为九零十一之

五

整内减整及零式两整先减十内减四余六乃于六中

抽一依零母化五为子是化为

五之五也于化内减五之三余

五之二其余整六既抽一止存五是减余为五零五之二

整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相

减十内减六余四此乃

异母以两母乘得八为

共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之余整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六余八之六整数止存三是减余为三零八之六

整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六