御制数理精蕴

三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六

十三之二百四十二整

九止存八是减余为八

零三百六十三之二百

四十二【可约为八零三之二】

通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也

试减差法

试同母式以减余子三并入左子五为八合右子即以减余子三于右子八内

减之余五亦合左子无差

试异母式以减余二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减余子乘左母得十八乘右母得五十

四再并为七十二得八十一之七十二约之为九之八

奇零乘法

术曰两零相乘当以母乘母子乘子零与整乘则置整数与零并列而整数上立一数为母与零母并列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有带零者法详后

零与零乘式四之三与三之二相乘以两母乘得十二为乘母两子乘得六为乘子是乘为一十二之六

零与整乘式五之四与整八相乘乃以八上立一为母

作一之八与五之四并列依法乘

得五之三十二通曰但以整数乘

零数之子为乘子可也

整带零与整乘式整三零六之五与整八相乘先以右

整三与母六乘得十八并子五

得二十三为子化为六之二十

三以左整八上立一为母并列依法乘得六之一百八十四

整带零与零乘式四零三之二与二之一相乘依法右

位整乘母得十二并子二得十

四为三之十四与左零数并列

乘得六之十四

整带零与整带零乘式四零二之一与三零五之一相

乘依法整三与母五乘得十五

并子一得十六左为五之十六

整四与母二乘得八并子一得九右为二之九并列乘得一十之一百四十四

通曰竒零与常法不同常法皆乘少为多今或乘多为少葢借用虚数实非乘多为少也

试乘差法

通曰乘用除试除用乘试葢奇零试差皆彼此还原也式以前零与零乘式试之以乘得十二之六为原数以

其两相乘之数皆为

除数但湏倒位前曰

三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除数右母二乘原母十二得二十四以除数右子三乘原子六得十八是为二十四之十八约为四之三而合上左其左位依法还原为三十六之二十四约为三之二亦合上右

奇零除法

术曰两零相除右列原数左列除数却将除数倒列子母而与原数并列亦用母乘母子乘子之法乘出数即除出数也

零除零式二之一为实列右六之一为法列左倒为一

之六乃与二之一并列母乘母

子乘子即得除出数为二之六

也

零除整式整六为实三之二为法法倒为二之三实立

一为母作一之六乃并列相乘得

除出数

通曰乘除本互用于此可见

整带零除整式六为实四零三之二为法以母三乘整

四为十二并子二为十四

化为三之十四再用零除

整法得除数

整除零式三之二为实整六为法以六上立一为母又

倒为六之一与三之二并列乘得

除数

整除整带零式六零二之一为实三为法以整六乘母

二得十二并子一得十三化为二

之十三整三立母倒位并列乘之

整带零除零式三之二为实六零二之一为法以整六

乘母二得十二并子一得

十三化为二之十三倒位

乘之

零除整带零式六零二之一为实四之三为法以整六

乘母二并子一得十三化为二之

十三倒法位乘之

整带零除整带零式六零二之一为实三零五之二为

法依法实化为二之十三

法化为五之十七倒法位

乘之

试除差法

式以前零除零式试之以乘得二之六列右除数六之

一列左母乘母子乘子

得十二之六约为二之

一合右原数无差

重零除尽法

术曰归除不尽曰奇零然有原数内本来先带奇零者是大奇数内又有小奇数也若欲除之使尽当先归之使一列小奇于右列大奇于左两母相乘为总母又以小奇母乘大奇子并入小奇子为共子此即是除尽之数

大奇内有小竒式四人分一十五零三之二其不尽者整三零三之二也三之二为小奇四之三为大奇两母乘得十二为共母小奇

母乘大奇子得九并小奇子二为十一作共子是一十二之一十一为除尽数也

大奇内小奇有小奇式若小奇内复有小奇至三至四

者如

七除

不尽

而余

四数为七之四而又以此四中之一剖为五停之二又以二中之一剖为四停之三又以三中之一剖为三停之二此乃大奇内带三小竒也先并大次两母五七乘得三十五为母以次母五乘大竒子四得二十并入次子二得二十二为子是为三十五之二十二再并三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十为母以三奇母四乘大次并子二十二得八十八并三奇子三得九十一为子是为一百四十之九十一再并四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三并四奇子二得二百七十五为子是为四百二十之二百七十五此即通并即除尽数也可约为八十四之五十五

大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一

位者当用加除二法而前式葢防法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一为母倒位并列乘得十二之二【此用整除零法】后用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左两母相乘得四十八为共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六并得四十四是积为四十八之四十四也【此用异母加法】约得一十二之一十一而合除尽数矣

附铺地锦

乘式有物二十三件每件价银五钱六分五厘问共若

干曰一十二两九钱九分五厘术

物数为实列上价数为法列旁相

呼填数于格内呼毕斜格成总也

先呼三五一十五次呼三六一十

八次呼三五一十五填三下之格内后呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取总数一为一十一一为二两五一二一为九钱八一为九分五为五厘也

除式有银九十四两五钱买物七十斤问每斤若干曰

一两三钱五分术先画图置银数于内为实以物数为法自下左旋而上而右止用珠算归除诀先除九十起曰逄七进一十填在左图右格为一两又曰七二下加六次除四两因加六作十曰逄七进一十将此一并九十图内存二作三填在九十图左格为三钱又曰七三四余二次除五分因加二作七曰逄七进一十将此一并四两图内作四又作五填在四两图右格为五分共得一两三钱五分也

洛书算

通曰洛书用九八卦旋中加升减降法异理同九内易位越十移宫过去未来用之无穷

加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也

减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得

通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也

数度衍巻三

钦定四库全书

数度衍卷四

桐城　方中通　撰

筹算

九筹

通曰珠算笔算皆有数而后乘筹算无数而先乘也故乘以筹为防数尽九九除亦因乘故随时施用所遇数更而先乘之数亦变多寡前后相合自成至若零筹无又无用之用也

开方筹

通曰筹有二曰平方自乘之还原也故用自乘之数曰

立方自乘再乘之还原也故用自乘再乘之数

乘法

术曰有实有法先将实数查筹从左向右齐列其两筹每格平行线斜方形合成一位并为一数矣次以筹之格为法数如法数是五即查第五格也若法有二位先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之再用笔算加法得所求数

一位法式有五十九人每人八两问共若干曰四百七

十二两　以五十九人为实八

两为法先依实数查第五筹第

九筹五左九右并列次依法八查第八格内横数曰二曰七○曰四去○不用自左向右横视之得四百七十二两也得数尾与法尾数同故知为两

二位法式有五十四人每人六十四两问共若干曰三千四百五十六两　以五十四人为实六十四两为法

依实查五四两筹齐列先依法

尾四查第四格曰六曰一○曰

二自右向左横列之次依法首六查第六格曰四曰二○曰三进一位横列之用笔算加法得三千四百五十六两也多位法者视此每查格一回进一位列数

通曰九格内凡遇右尾有○者必湏列之以存位其○在数中者説详后式

筹内斜方有○无数式有五十四人每人二十八两问

共若干曰一千五

百一十二两　以

五十四人为实查筹并列二十八两为法先查八格曰二曰三○曰四横列之次查二格

曰八曰○曰一进一位列之加得合问

通曰斜方之中有数有○则去○不用若无数有○则湏存之以定位如八格去○列三二格列○存位是也筹内斜方倂数进十式有八十七人每人六两问共若

干曰五百二十二两

以八十七人为实查筹

并列六两为法查六格曰二曰四八曰四其曰四

八者并为十二本位存二以十进位作一其曰四者并所进之一为五当自右向左列曰二二五矣

用零筹式有六百零八人每人三十四两问共若干曰

二万零六百七十

二两　以六百零

八人为实查六筹

零筹八筹并列三十四两为法先查四格曰二曰三○曰四曰二横列之次查三格曰四

曰二○曰八曰一进一位列之加得合问

通曰实数整几十者列一零筹于右整几百者列二零筹于右以定位也

除法

术曰有实有法有商别列实数以法数依号查筹从左向右齐列于诸筹九格内查横行数之等于实数或畧少于实数者在第几格即是初商数如在第一格即一为初商也次以查得之数减其实数已尽则止一商如未尽则有再商即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几格即是再商数又以查得之数减其存实如前又未尽则更有三商倘初商已除实虽未尽而次位无实则商有○位即作○以当次商再以存实于格内查之若至余实数少于法数是为不尽法当命分之

一位商式有三百二十五两六十五人分之问各若干曰五两术别列三百二十五两为实以六十五人为法

查六五两筹左右齐列

查九格内何格数与实

相等一格至四格皆少五格内自左向右曰三二

五适等即五为商数矣

二位商式有三千三百二十五两九十五人分之问各

若干曰三十五两术

列三千三百二十五

两为实九十五人为法列筹二筹横数止三位湏截实左三位曰三三二作三

百三十二于格内查之至三格自左向右曰二八五【中位一七并八】作二百八十五畧少于实数四格则多矣用三爲初商相减余四十七再以余实四七及截外之五作四百七十五查至五格四七【二五并七】五适等用五爲次商

商当有○式有三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两术列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二三八作三千一一百三十八查一至六格自左向右曰三二二八作

三千二百二十八畧

少于实数七格则多

矣用六爲初商相减

余一十以余实一○及截七六作

一千零七十六此乃次位无实也

次商当作○竟不除实余实仍是一千零

七十六查至二格一○七六等用二爲三商

通曰次位三位俱无实者卽一连两商皆当作○也实不尽式有三千三百三十六两九十五人分之问各

若干曰三十五两

余实一十一两

列实查筹二筹横数止三位截实左

三位曰三三三查至三格自左向右

曰二八五畧少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五畧少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也

开平方法

术曰有积数【即实数】有商数商有方法有亷法隅法置积数从末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乘之数与实相等或畧少者取以除实但自左一防为始防前无位则自乘止于零数防前有位则自乘应有十数而此乘数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此数在几格即用为次商也实不尽者以法命之或实右加○再开之详少广章

通曰开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乘数也次商亷积之数处初商与隅积之问也

第一求初商之根为方法乙为

方积也不尽求二防之商倍初商

根为廉法甲丙两长邉也隅法丁

方一角也此甲乙丙丁为平方二

商之形如三商则加戊巳亷及庚

隅也

式有积三万二千○四十一平方开之问邉得若干曰

一百七十九

别列积为实从

末位一下作防

向左隔一位○

下作三下作

防共得三防知商有三位

也防左无实三作零数视

方筹内自乘无三近少为

一平行取一为方法为初

商乃于实三内减去一格

自乘之一存二以共次防

实曰二二○为余实次倍初商根得二为亷法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于两筹横行内求二二○无则用近少者一八九在第七格即七为次商为隅法乃以一

八九减余实二二○余三

一以共三防之实曰三一

四一为次余实再倍初次

两商之一七得三四【初商一作】

【一十次商七共为十七倍为三十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方邉一百七十九也

开立方法

术曰有积数有商数商有方法有平廉法长亷法隅法置积为实从末位作防向左隔二位作防每一防有一商视立方筹内再乘之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一防为始防前无位则再乘止于零数防前有一位则再乘应有十数防前有二位则再乘应有百数而此乘数在第几格即用作初商也有二防者以初商自乘而三倍之为平亷法以初商三倍之为长亷法却以平亷法数查筹列立方筹左以长亷法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乘之数与长亷法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方邉也不尽者依法命之详少广章

其一作六面方体诸面线角皆相等

此名方法体成甲乙丙丁形

通曰此初商形也凡边皆初商之

数

其二作六面扁方体其上下面各与

方法等旁四面之髙少于方法之髙

而四棱线皆等此名平亷法体成戊

己庚辛形

其三作六面长方体其上下左右四

面与平廉之旁面等两端之四界线

皆与平廉之髙等此名长廉法体成

壬癸形

其四作六面小立方体六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体成子丑形

通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之通曰初商方根次商上加一平廉左加一平廉后加一平廉故三倍初商之自乘为平廉法也上与后之边齐右加一长廉上与左之边齐前加一长廉左与后之边

齐下加一长廉故三倍初商为长廉法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣

式有积九百一十二万九千三百二十九立方开之问边得若干曰二百零九术别列积数为实从末位九下

作防向左隔二位

作凡三防知商

有三位也防前无

实则实首九为零

数视立方筹内再

乘之数无九三格

二七过实用二格

八实之近少数也

即取二为方法为

初商九内减八存一以

共次之实曰一一二

九为余实将初商二自

乘得四又三倍得十二

为平廉法取一号二号

两筹列方筹左又将初

商二三倍得六为长廉

法取六号筹列方筹右

乃于立方与平廉共三筹

内之横行数取其少于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三防之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乘之得四○○【此作四百】又三倍之得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○号○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹

乃于立方与次平廉共

五筹内之横行数取其

少于余实者为约数至

第九格曰一○八○七

二九另列之向立方筹

右平行取九格之自乗

数八十一以乗次长廉

六○【此作六十】得四八六○

【此八十一回六十也】进一位列约

余实之一　一二九三二九恰尽乃以约数之格数九爲二商也三次所商曰二曰○曰九是爲立方根二百零九也

通曰长亷筹止用其号数格内诸数皆无用卽不列筹而止列数亦可开方宜入少广章因有此二筹故立式于此

数度衍巻四

钦定四库全书

数度衍卷五

桐城　方中通　撰

尺算

法尺

通曰法尺之式上连下分下则可开可合上则相对不

移如此乃可为法

实尺

两尺分寸湏等不可稍

异作一法尺二实尺

通曰两端变为三角因参知两勾股矩度直景倒景盖同一源加实尺于法尺之上谓之三角可也谓之勾股可也

乘法

术曰先定实数法数与他算不同既定乃以法数作法尺何数实数作实尺何数或寸或分又湏预定然后将实尺比照实数横安于法尺之一分或一寸上令法尺开而就之随量法尺之法数空处得何数即为所求数也

通曰变通升降其用始广如实尺数大不便安放者湏降实数寸降为分分降为厘或将实数折半法实俱大必湏俱折先降后升先半后倍得数原无异也或用升法以代降实

式有五人每人四两问共若干曰二十两术以四两为

四分作实数以五

人为五寸作法数

将实尺比定四分

横安于法尺一寸

空处乃量法尺五寸空处得何数今得二寸因以分为两则寸即为十故知所得二寸为二十两也

降数式有五十九人每人八两问共若干曰四百七十二两术以八两为八分作实数以五十九人作五寸九分为法数用实尺比定八分安于法尺一分上八大一

小不可安放乃降

十倍安于法尺一

寸空处量法尺五

寸九分空处得四

寸七分二厘先降后升应升为四尺七寸二分原以分为两故知所得为四百七十二两也【此系升法以代降实】

实数折半式有八人每人一十二两问共若干曰九十六两术以八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量

法尺八寸空处得

四寸八分原以分

为两是为四十八

两先半后倍倍得

九十六两也

法实俱折半式有一十六人每人一十二两问共若干曰一百九十二两术以一十六人折半得八人作八寸为法以一十二两折半得六两作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸

八分以分为两是

为四十八两倍之

得九十六两再倍

之得一百九十二

两合问

通曰因法实俱折半故加倍以还实再加一倍以还法也

实数再折式有八人每人二十四两问共若干曰一百九十二两术以八人作八寸为法以二十四两折半得

一十二两又折半

为六两作六分为

实用实尺比定六

分安于法尺一寸

空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两合问

通曰再折故再倍或将实三分之得数三乘之亦合法实俱再折式有三十二人每人二十四两问共若干曰七百六十八两术以三十二人折半得一十六人又

折半得八人作八

寸为法以二十四

两折半得一十二

两又折半得六两

作六分为实用实尺比定六分安于法尺一寸空处量法尺八寸空处得四寸八分以分为两是为四十八两倍之得九十六两再倍之得一百九十二两再倍之得三百八十四两再倍之得七百六十八两合问

通曰四其折半故四其加倍如以四自乘得十六又乗四十八亦合

整零截量式有二十四人每人五钱三分问共若干曰一十二两七钱二分术以二十四人作法尺二寸四分以五钱三分作实尺五分三厘先截整数二十人求之

将实尺比定五分

三厘安于法尺一

分空处实大不便

安顿降之安于法

尺一寸空处将五分三厘升作五寸三分此为十人所得数倍之得十寸六分便是二十人所得数也后截零数四人求之量法尺四分空处得二分一厘二毫亦升作二寸一分二厘便是四人所得数并两得数得十二寸七分二厘为二十四人所得总数也因以尺之厘为

银之分故知爲十