御制数理精蕴

首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四

如右式求长者以五乗直

积得肆千叄百贰十为实

以三为负隅以共贰百贰

十捌为带纵初商三以乗负隅三得九【九十】以减纵余纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四余实一百八十复以初商三乗负隅三得九【九十】以减余纵止余四十捌次商六亦乗负隅三得一十八以减余纵止余三十注余实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六

又式　术又有以积与虚长濶和较共若干求濶及长者如直积八百六十四一长二濶三和四较共叄百壹

十贰数乃约三和自具三长

三濶以并一长二濶共四长

五濶又以四较益濶为四长

共得八长而余一濶求濶者以八长乗直积得陆千玖百壹十贰为实以一濶为负隅以共数为带纵初商二以乗负隅一仍得二【十也】以减纵余纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四余实一○七贰又以初商二乗负隅一得二十以减余纵止余二百七十贰次商四又乗负隅一得四以减余纵止余二百六十八列余实下与次商相呼除实尽得濶二十四　求长者以一濶乗直积为实以八长为负隅也当用翻法详后

又式　术又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶者如直积二千三百五十二只云长取八之五濶取三之二并得六十三以两母互乗三八得二十

四以乗并得之六十三得壹千

伍百壹十贰为带纵而以长母

八乗濶子二得十六为濶率以

濶母三乗长子五得十五为长

率则知此带纵数内具有长十五濶十六也求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实以濶一十六为负隅初商四【十也】乗负隅得六百四十以减纵余纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八余实四百又以初商所乗隅算之六百四十减余纵止余二百三十贰次商二乗负隅得三十二亦减余纵止余二百列余实下与次商相呼二二除四实尽得濶四十二以除直积二千三百五十二得长五十六

通曰以长十五乗积为实有三防而直积之二三五二止两防仍以直积定商位故知初商为十也余纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位

平方积和求长

积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也

带纵负隅减纵翻法开平方法

式直积捌百陆十肆长濶和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乗负隅仍得三十以减纵余三十列实下与初商相呼三三应除九百

【三十其三十也】而实数不足遇此则翻列九

百于原积之上而以原积捌百陆十

肆减之余负积三十六即为余实再

以初商乗负隅之三十减余纵减尽乃约余实得次商六以乗负隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六

实尽得长三十六

通曰己丙丁戊形初商余纵相乗之

九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折

形原积八百六十四余壬丙辛庚形

三十六在原积之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四长三十六

又式　术如直积叄千肆百伍十陆长濶和壹百贰十

求长者列实以和为纵一为负隅

初商七乗负隅仍得七十减纵余

五十与初商相呼五七应除三千

五百而原积不足乃翻以三千五

百列上而以原积减之余四十四为余实又以初商所乗之七十减余纵而余纵亦不足乃翻以余纵五十减初商乗数七十余二十为亷注三位下而纵又为负次商二注尾防为隅亷隅共二十二呼次商除之实尽得长七十二

又式　术有虚立长濶和较求长者如直积捌百陆十肆一长二濶三和四较共叄百壹十贰依前法衍得八

长一濶以一濶乗直积为实

捌长为负隅共数为纵方列

实初商三乗隅捌得二百四

十以减纵余七十贰列实下呼初商三七应除二千一百六十而积不足乃翻以二一六列上【二乃千数故进位】而以积减之余负积一千二百九十六即为余实又以初商所乗之二百四十减余纵而余纵亦不足亦翻以余纵七十贰减之余负纵一百六十八次商六乗负隅捌得四十八又并入负纵一百六十八得二百一十六列实下以呼次商除之实尽得长三十六

通曰凡减法原以小减大故宜用翻法也

平方带纵诸变

纵方之术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷此外有积与二濶较及长濶较求濶者皆以错综为用以取其条理也衍之于左

一带纵减积开平方法

式三广田积贰千肆百陆十伍歩云中广不及南广八

歩亦不及北广三十六歩又不及

正长六十七歩问三广各几何长

几何曰中广十八歩南广二十六

歩北广五十四歩正长八十五歩

术列积为实并不及二广共四十四以四除之得壹十壹为带纵以不及长陆十防为减积初商一【十也】并带纵得二十壹随首防列之为方法以乗减积得一千四百○七依千百位列实下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七余实一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚余实八四八倍初商一作二为亷并带纵壹十壹及减积陆十防共九十八为方法注退位次商八注末防并方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八实尽得中广一十八各加不及合问

通曰初叚以乗减积数依列位并方法为一六一七呼除亦便

二减积带纵负隅并纵开平方法

式大小二方共积七千五百九十二大方面较小方面

多二十八问大小方面各几何

曰大方面七十四小方靣四十

六术较自乗得七百八十四以

减积余陆千捌百○捌为实倍较得伍十六为带纵二为负隅初商四乗负隅二得八十并纵共一百三十六为方法注积下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四余实一三六捌倍初商作八十并初方一三六共二百一十六为亷注退位次商六亦乗负隅二得一十二为隅并入亷内共二百二十八呼次商除之实尽得小方靣四十六加较得大方靣七十四

又式　术如大小三方共积四千七百八十八大方面

多小方靣三十中方面多小

方面十二【大方面多中方面十八也】求各

面者以较三十自乗得九百

以较十二自乗得一百四十四相并得一千○四十四以减共积余叄千防百肆十肆为实并二较得四十二倍得捌十肆为纵以三为负隅初商二乗负隅三得六十并纵共一百四十四为方法列实下呼初商一二除二二四除八又二四除八余实八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十为亷并纵得二百○四注退位为方法次商四乗负隅三得一十二为隅并方法共二百一十六呼次商除实尽得小方靣二十四加较十二得中方面三十六又加较十八得大方面五十四

通曰负隅用二者二方故也用三者三方故也

三隅算开平方法

凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算以求之

式方圆共积二千二百六十八方面圆径相等问靣径

俱几何曰方面圆径俱三十六

术四乗原积得玖千○防十贰

为实列七为隅算初商三乗隅

算七得二百一十为方法呼初商二三除六一三除三余实二七防贰倍初商得六十为亷次商六乗隅算七得四十二为隅又以次商六乗亷六十得三百六十并隅得四百○二又并入亷六十共四百六十二呼次商除实尽得方面圆径俱三十六又术以四乗原积得九千○七十二并方四圆三得七为法除之得一千二百九十六为实平方开之得三十六更防

四带纵隅益积开平方法

式方不知积但以长乗一长二濶三和四较之共数得肆万肆千玖百贰十捌长濶较贰十肆问长几何曰七

十二术列所乗共数

为实置较为益纵约

三和得三长三濶以

并一长二濶得四长

五濶又并四较取四濶为长总得八长一濶共九叚以九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为隅法又以初商七乗益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一余实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乗负隅九得一十八为隅法另以次商二乗益纵二十四得四十八并入余实共加得余实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二

五带纵负隅减纵开平方法

同右法或损长以就之则用此也

式一长二濶三和四较以长乗之得肆万防千贰百壹十贰长濶较二十八问长几何曰七十四术列实较为

纵如右式推得九为负隅初商

七乗负隅九得六百三十为方

法内减带纵二十八余六百○

二退位注呼初商六七除四十

二二七除一十四余实五○七贰倍方法六百三十得一千二百六十内减带纵二十八余一千二百三十二为亷列余实下次商四乗负隅九得三十六为隅法并亷共一二六八呼次商除实尽得长七十四

六减积带纵隅益积开平方法

又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较之共数得若干求长者用此

式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗之得二万

九千九百五十二其较二十

四问长几何曰七十二术以

较自乗得五百七十六以减

原乗积余贰万玖千叄百防

十陆为实较为益纵六为隅算初商七乗隅算六得四百二十为隅法注实下又以初商七十乗益纵二十四得一千六百八十以益原实得三万一千○五十陆乃以隅法呼初商四七除二万八千二七除一千四百余实一千六百五十陆倍隅法四百二十得八百四十为亷次商二乗隅算六得一十二为隅法另以次商二乗益纵得四十八以益余实得一千七百○四乃并亷隅二法共八百五十二注余实下呼次商除实尽得长七十二

七带纵负隅减纵益积开平方法

通曰右式亦可以此法求之

式设有一长二濶三和四较之共数以濶乗得贰万玖

千叄百肆十捌长濶较二十

八问长几何曰七十四术列

实较为纵九为负隅【如前法】初

商七乗负隅得六百三十为

方法内减纵二十八余六百

○二注实下又以乗纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与余方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十余实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵余一千二百三十二为亷次商四乗负隅得三十六为隅法以乗纵得一千○八以益余实得五千○七十二为余实并亷隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四

八带纵亷开平方法

式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千玖百伍十贰长濶较二十四问濶几何曰四十八术列实减较之半得一十二为纵亷而以初商乗之初商四十为方法以乗纵亷得四百八十又并初商得五百二十退位注实下呼初商五四除贰万二四除八百余实玖千一百伍十贰倍所乘纵亷四百八十为九百六十倍方法四十

为八十相并得一千○四十为方法次商八为隅以乗纵亷十二得九十六再并入方隅共一千一百四十四注实下呼次商除实尽得濶四十八

九带纵亷负隅开平方法

通曰右式亦可以此法求之

式一长二濶三和四较以濶乗得贰万玖千叄百肆十

捌长濶较二十八问濶几何曰

四十六术列实推得共八较九

濶用九为负隅以八乗较得二

百二十四为纵亷初商四乗负

隅九得三百六十为方法并纵亷共五百八十四注实下呼初商五四除贰万四八除三千二百四四除一十六余实五千九百八十捌倍方法三百六十为七百二十为亷并纵亷共九百四十四次商六乗负隅九得五十四为隅再并入亷并纵亷之九百四十四得九百九十八注实下呼次商除实尽得濶四十六

十带纵方亷开平方法

式一长二濶三和四较以长乗得肆万肆千玖百贰十

捌长濶较二十四问濶几何

曰四十八术列实以较为纵

方推得八长一濶共九倍

九为一十八作纵亷初商四

十为方法乗纵亷十八得七百二十并入方法四十共七百六十又并入纵方二十四共七百八十四注实下呼初商四七除二万八千四八除三千二百四四除一百六十余实一万三千五百六十捌倍纵亷乗并之七百六十为一千五百二十并入纵方二十四共一千五百四十四为亷次商八乗纵亷十八得一百四十四为隅乃将次商八亷一千五百四十四隅一百四十四共并得一千六百九十六注实下呼次商除实尽得濶四十八

十一带纵亷负隅乗纵减实开平方法

式一长二濶三和四较以长乗得肆万防千贰百壹十

贰长濶较二十八问濶几

何曰四十六术列实推得

八长九用八乗较得二

百二十四为纵亷用九为

负隅又以较二十八为减纵方初商四十乗负隅九得三百六十为方法并入纵亷共五百八十四为下法以乗减纵二十八得一万六千三百五十二以减实余三万○八百六十为实乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二万四八除三千二百四四除一百六十余实七千五百倍方法三百六十得七百二十并纵亷二百二十四共九百四十四为亷次商六乗负隅九得五十四为隅又以乗减纵二十八得一千五百一十二以减余实余五千九百八十八为余实乃将亷九百四十四隅五十四共并得九百九十八列下呼次商除实尽得阔四十六

通曰正积可以防定位乗积亦可以防定位故列乗积三防而商止二位耳盖乗积虚増而非实有也

开平圆【少广之八】

积求外周法

式圆积二千三百五十二问外周几何曰一百六十八术置积以十二乗之得二万八千二百二十四为实平方开之得一百六十八为外周也

积求内径法

式圆积二千三百五十二问内径几何曰五十六术置积以四乗之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六为实平方开之得五十六为内径也

数度衍巻十二

<子部,天文算法类,算书之属,数度衍>

钦定四库全书

数度衍卷十三

桐城　方中通　撰

开立方【少广之九】

珠算开立方法

式积一百九十五万三千一百二十五问立方一面几何曰一百二十五术置积盘中约初商一百别立下法亦置一百以初商自乗再乗得一百万以减实余九十五万三千一百二十五以三乗下法一百得三百为方

法列右次商二十

置下法一百之次

共一百二十又以

次商乗之得二千

四百为亷法再以

方法三百乗亷法

得七十二万以减

余实尚余二十三

万三千一百二十五又以次商自乗再乗得八千为隅法以减余实尚余二十二万五千一百二十五以三乗下法一百二十得三百六十为方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乗之得六百二十五为亷法又以方法三百六十乗亷法得二十二万五千以减余实尚余一百二十五又以三商自乗再乗得一百二十五为隅法以减余实实尽得面一百二十五

归除开立方式积一亿○二百五十万○三千二百三十二问立方一面几何曰四百六十八术置积为实初商四百于左亦置四百于右自乗得一十六万乃与左四百相呼一四除实四千万四六除实二千四百万余实三千八百五十万○三千二百三十二以三乗右下一十六万得四十八万为方法归除之曰四三七余二实不足除曰起一还四则次商不可用七止可用六也乃呼六八除实四百八十万余实九百七十万○三千二百三十二另以次商六十乗初商四百得二万四千以三乗之得七万二千为亷法次商自乗得三千六百为隅法亷隅并得七万五千六百却以次商呼除之六七除实四百二十万五六除实三十万六六除实三万六千余实五百一十六万七千二百三十二以方法四十八万并入两回亷法十四万四千三囬隅法一万○八百共得六十三万四千八百为方法归除之曰六五八余二则三商为八也乃呼三八除实二十四万四八除实三万三千八八除实六千四百余实八万八千八百三十二再置初次两商共四百六十以三商八乗之得三千六百八十以三乗之得一万一千○四十并入三商自乗得六十四共一万一千一百○四却以三商呼除之一八除实八万一八除实八千一八除实八百四八除实三十二实尽得靣四百六十八

笔算开立方法

式捌十叄亿陆千伍百肆十贰万防千问立方一面几何曰二千○三十术自末位○下作防隔二位一防共四防分为四叚知商有四位也寻原初商得二乃以二自乗再乗得八减首位实捌完首叚次叚实叄陆伍除防上之伍未用且作叄十陆开之乃三倍初商二为六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十当以此数商除二叚之实而叄十陆反小一百二十反大遇此则商有○矣竟于格右纪○当作次商完二叚三叚实叄陆伍肆贰防除防上之防未用且作叄万陆千伍百肆十贰开之亦三倍初次两商之二十为六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一万二千用此数于实内商之三商当

是三【实内有三回一万二千也】以亷六十乗三得一百八十并一万二千共一万二千一百八十又以三乗之得三万六千五百四十为亷另以三商三自乗再乗得二十七为隅将亷隅减实实尽隅必注防下故七在防下二在贰下也完三叚尚余四叚未开于右加○作四商得靣二千○三十

用命分式　术通曰实未尽者欲再开之须尾加三圏则开一商加六圏増二商他命分术无用矣

筹算开立方法【见筹算】

立方不等开法

通曰立方有三面三面俱等者用前法开之三面内有一靣不等及三靣俱不等者用纵方亷开之三靣者髙濶长也

一长濶相等髙不等法

式积一千二百九十六长濶数等惟髙不及三问髙与长濶各几何曰髙九长濶皆十二术列实以髙不及三自乗得九为纵方又以不及三倍作六为纵亷有二防应约初

商一十因有纵方只商九自乗得八十一并纵方九得九十又以所商九乗纵亷六得五十四九十者方法也五十四者亷法也相并得一百四十四列实下呼所商九除实一九除九百四九除三百六十四九除三十六实尽得髙九加不及三得十二为长濶数

减积式积一千七百八十七万五千髙濶相等惟长多三十六问长髙濶各几何曰长二百八十六髙濶皆二百五十术列实初商二百自乗再乗得八百万次商五十两商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二万五千以减积余二百二十五万为实另以所商二百五十乘长多三十六得九千又乗二百五十得二百二十五万以减积实尽所商之二百五十乃髙濶数也加长多三十六得二百八十六乃长也

二长濶髙三不等法

式积一百二十濶多于髙二长又多于濶三问长濶髙各几何曰髙三濶五长八术通曰濶多于髙二髙濶较也长多于濶三长濶较也列实两较各自乘二自之得四三自之得九相并得

十三为纵方两较相乘得六为纵亷约商当是四因此有纵方只商三以三自乘得九并纵方十三得二十二为方法又以商三乗纵亷六得一十八为亷法二法相并得四十列实下呼商三四除一百二十实尽得髙三加二得濶五又加三得长八

立方带纵诸变

一带纵负隅开立方法

式实一千三百八十二万四千纵方八万六千四百二为隅法问方几何曰一百二十术列实初商一百自之得一万以隅二乗之得二万并纵得十万○六千四百为下法与初商一百相乗得一千○六十四万列实下

减实余实三百一十八万四千以三

乗隅法二万得六万为方法以三乗

初商得三百又以隅二乗之得六百

为亷次商二十乗亷得一万二千为

亷法以次商自之得四百以隅二乗

得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷法】八百【隅法】八万六千四百【纵方】共得一十五万九千二百为下法与次商二十相乗得三百一十八万四千列实下减实尽得方一百二十末防未开故知初商为百也

通曰下法乗商即呼商也竟列下法则呼商除实若列下法乗商之数则减实也

二带纵亷开立方法

式实二千一百六十万纵亷一百三十五问方几何曰二百四十术列实初商二百乗纵亷得二万七千初商自之得四万为隅法相并得六万七千为下法乗初商二百得一千三百四十万列下减实余实八百二十万倍纵亷乗数得五万四千三乗隅法得十二

万相并得一十七万四千为方法三乗初商得六百又并纵亷得七百三十五为亷次商四十乗亷得二万九千四百为亷法又以次商自之得一千六百为隅法乃并十七万四千【方法】二万九千四百【亷法】一千六百【隅法】共得二十万○五千为下法乗次商四十得八百二十万列下减实尽末防未开得方二百四十

三带纵减益亷开立方法

式实五百三十七万六千纵方一万七千六百益亷六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗益

亷得六万四千初商自乗得一万为

隅法以隅法并纵方得二万七千六

百以减益亷乗数余三万六千四百

为下法乗初商得三百六十四万列

下减实余实一百七十三万六千倍

益亷乗数得十二万八千三乗隅法得三万并纵方得四万七千六百为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗益亷得一万二千八百加入倍亷十二万八千得十四万○八百又以次商乗亷法三百得六千又以初商自乗得四百为隅法乃并四万七千六百【方法】六千【亷乗】四百【隅法】共得五万四千以减十四万○八百余八万六千八百为下法乗次商得一百七十三万六千列下减实尽得方一百二十

四纵亷减纵方翻法开立方法

式实一千○八万纵方二十一万三千六百纵亷一千二百问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得十二万以减纵方余九万三千六百为方法初商自乗得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乗初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之余二十八万为负积倍纵亷乗数得二十四万三乗隅