御制数理精蕴

亷得十二万以减纵方余九万三千六百为方法初商自乗得一万为隅法以并方法得十万○三千六百为下法乗初商得一千○三十六万当以此数减实而实止一千○八万不足减遇此则反以一千○三十六万列上为实而以一千○八万减之余二十八万为负积倍纵亷乗数得二十四万三乗隅

法得三万为方法三乗初商得三百为亷法次商二十乗纵亷一千二百得二万四千并入倍亷二十四万得二十六万四千以减纵方而纵方止二十一万三千六百不足减遇此则反以二十六万四千为纵方而以二十一万三千六百减之余五万○四百为负纵又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】以减负纵五万○四百余一万四千为下法乗次商得二十八万减实尽得方一百二十

五亷减纵开立方法

式实一千三百○五万六千纵方一十三万二千八百纵亷三百二十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得三万二千以减纵方余十万○八百初商

自乗得一万为隅法并余纵得十一

万○八百为下法乗初商得一千一

百○八万列下减实余实一百九十

七万六千倍纵亷乗数得六万四千

三乗隅法得三万为方法三乗初商

得三百为亷法次商二十乗纵亷三百二十得六千四百并入倍亷六万四千共七万○四百以减纵方余六万二千四百又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百为隅法乃并得三万【方法】六千【亷乗】四百【隅法】又并余纵六万二千四百共九万八千八百为下法乗次商得一百九十七万六千减实尽得方一百二十

六带纵以亷益积开立方法

式实二千五百八十万○四千八百纵方一十九万三

千九百二十纵亷四百八

十半为隅算问方几何曰

二百四十术列实初商二

百乗纵亷得九万六千以

乗初商得一千九百二十

万为益实加入原实共得实四千五百万○四千八百又以初商自乗得四万以隅算乗之得二万为隅法以并纵方得二十一万三千九百二十为下法乗初商得四千二百七十八万四千列下减实余实二百二十二万○八百倍纵亷乗数得十九万二千三乘隅法得六万为方法三乗初商得六百以隅算半乗之得三百为亷法次商四十乘纵亷四百八十得一万九千二百并入倍亷十九万二千得二十一万一千二百以乘次商得八百四十四万八千为益实加入余实共实一千○六十六万八千八百以次商乗亷法三百得一万二千又以次商自乗得一千六百以隅算半乗之得八百为隅法乃并六万【方法】一万二千【亷乗】八百【隅法】及纵方十九万三千九百二十共得二十六万六千七百二十为下法乘次商得一千○六十六万八千八百减实尽得方二百四十

七负隅减纵以亷益纵开立方法

式实一亿○五百八十四万纵方五十三万六千四百纵亷三千六百隅算六问方几何曰一百二十术列实初商一百乘纵亷得三十六万初商自乘得一万以隅算六乗之得六万为隅法以减纵方余四十七万六千四百并纵亷乗数得八十三万六千四百为下法乗初商得八千三百六十四万减实余实二千二百二十万倍纵亷乗数得

七十二万三乗隅法得十八万为方法三乗初商得三百以隅算六乗之得一千八百为亷法次商二十乗纵亷三千六百得七万二千加入倍亷七十二万得七十九万二千为纵亷以次商乗亷法一千六百得三万六千又以次商自乗得四百以隅算六乗之得二千四百为隅法乃并十八万【方法】三万六千【亷乘】二千四百【隅法】共二十一万八千四百以减纵方余三十一万八千又并纵亷七十九万二千共一百一十一万为下法乗次商得二千二百二十万减实尽得方一百二十

八带纵负隅以亷减纵开立方法

式实七千三百四十四万纵方八十四万二千四百纵亷二千四百隅算四问方几何曰一百二十术通曰列

实初商一百乗纵亷得二十四万减

纵方余六十万○二千四百初商自

乗得一万以隅四乘之得四万为隅

法并余纵共六十四万二千四百为

下法乗初商得六千四百二十四万

减实余实九百二十万倍纵亷乗数得四十八万以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百以隅算四乗之得一千二百为亷法次商二十乗纵亷二千四百得四万八千并入倍亷四十八万得五十二万八千以减纵方余三十一万四千四百又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百以隅算四乗之得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乘】一千六百【隅法】及余纵三十一万四千四百共四十六万为下法乗次商得九百二十万减实尽得方一百二十九带纵负隅以亷减纵翻法开立方法

式实二千○八十八万九千六百纵方二十七万○八十纵亷一千二百八十隅算四问方几何曰一百二十术通曰列实初商一百乗纵亷得十二万八千减纵方余十四万二千○八十初商自乗得一万乗隅算四得四万为隅法并余纵得十八万二千○八十为下法乗初商得一千八百二十万○八千减实余实二百六十八万一千六百倍纵亷乗数得

二十五万六千以三乗隅法得十二万为方法三乗初商得三百乗隅算四得一千二百为亷法次商二十乗纵亷得二万五千六百并入倍亷得二十八万一千六百以减纵方不足减反以纵方二十七万○八十减之余一万一千五百二十为负纵又以次商乗亷法一千二百得二万四千又以次商自乗得四百乗隅算四得一千六百为隅法乃并十二万【方法】二万四千【亷乗】一千六百【隅法】共十四万五千六百以减负纵余十三万四千○八十为下法乗次商得二百六十八万一千六百减实尽得方一百二十

十带纵方亷开立方法

式实一千○二十万纵方四万纵亷二百五十五问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得二万五

千五百初商自乗得一万为隅法并

纵亷乗数得三万五千五百又并纵

方得七万五千五百为下法乗初商

得七百五十五万减实余实二百六

十五万倍纵亷乗数得五万一千三

乗隅法得三万相并得八万一千为方法三乗初商得三百并纵亷得五百五十五为亷法次商二十乗亷法得一万一千一百又以次商自乗得四百为隅法乃并八万一千【方法】一万一千一百【亷乗】四百【隅法】及纵方共十三万二千五百为下法乗次商得二百六十五万减实尽得方一百二十

通曰诸式皆三防因末防皆○未开故初商皆为百也开立圆【少广之十】

积求外周法

式积六万二千二百○八问立圆外周几何曰一百四十四术置积以四十八乗之得二百九十八万五千九百八十四用立方开之得方面一百四十四即立圆周也

积求内径法

式积六万二千二百○八问立圆内径几何曰四十八术置积以十六乗之得九十九万五千三百二十八以九除之得十一万○五百九十二用立方开之得方面四十八即立圆径也

数度衍卷十三

钦定四库全书

数度衍卷十四

桐城　方中通撰

开三乗方【少广之十一】

开三乗方法

式积二千○一十五万一千一百二十一问三乗方一面几何曰六十七术列实从末位作防隔三位一防每一防为一商也初商六十自乗得三千六百再乗得二十一万六千为隅法乗初商得一千二百九十六万减实余实七百一十九万一千一百二十一以四乗隅法得八十六万四千为方法另以初商自乗得三千六百以六乗之得二万一千六百为上亷又将初商以四乗之得二百四十为下亷次商七自乗得四十九以七乗之

得三百四十三为隅法另以次商乗上亷得十五万一千二百以七乗下亷得一千六百八十再以七乗之得一万一千七百六十乃并八十六万四千【方法】一十五万一千二百【丄亷乗数】一万一千七百六十【下亷乗数】三百四十三【隅法】共一百○二万七千三百○三为下法乗次商得七百一十九万一千一百二十一减实尽得方六十七又术列实平方开之四位商得一面四千四百八十九又以此数为实平方开之得一面六十七亦合

通曰式内所云以七乗之非次商七也与以四乗以六乗同为应用之率次商七盖偶合耳

通曰三乗方形虽系长立方然亦大平方也今以小平方边甲乙自乗得甲丁小平方形再乗得丙戊长方形此形内容甲丁

形者十也三乗得丙己大平方形此形内容甲丁形者百也丙申邉与甲丁形幂等故甲乙自乗得小平方丙甲自乗得大平方

三乗方带纵诸变

一带纵方亷开三乗法

式积一百○五亿七千六百○六万五千六百纵方四百七十三万○六百四十纵一亷五十一万一千九百○七纵二亷一千四百○六问方几何曰一百二十术列实初商一百以乗纵一亷得五千一百一十九万○

七百初商自乗得一万以乗纵二

亷得一千四百○六万初商自乗

再乗得一百万为隅法乃并纵一

亷乗数纵二亷乗数隅法及纵方

共七千○九十八万一千三百四

十为下法乗初商得七十亿○九

千八百一十三万四千减实余实

三十四亿七千七百九十三万一千六百以二乗纵一亷乗数得一亿○二百三十八万一千四百以三乗纵二亷乗数得四千二百一十八万以四乗隅法得四百万并三数共得一亿四千八百五十六万一千四百为方法以初商自乗得一万以六乗之得六万又以初商三之得三百乗纵二亷得四十二万一千八百并六万及纵一亷得九十九万三千七百○七为上亷初商四之得四百并纵二亷得一千八百○六为下亷次商二十以乗上亷得一千九百八十七万四千一百四十以次商自乗得四百乗下亷得七十二万二千四百又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法及纵方共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法乗次商得三十四亿七千七百九十三万一千六百减实尽得方一百二十

二带纵亷益积开三乗方法

式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十益亷八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百以乗益亷得八十六万四千并纵方得一百五十一万六千三百二十为益积之法乗初商得一亿五千一百六十三万二千为益实加入原积共一

亿五千六百二十九万七千六百

为通实乃以初商自乗再乗得一

百万为隅法乗初商得一亿减实

余五千六百二十九万七千六百

为次商之实以二乗益亷乗数得

一百七十二万八千以四乗隅法

得四百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万为上亷以初商四之得四百为下亷次商二十以乗益亷得十七万二千八百加入倍亷【即二乗益亷数】共一百九十万○八百又并纵方共二百二十五万三千一百二十为益积之法乗次商得五千一百○六万二千四百为益实加入次实共一亿○七百三十六万为通实乃以次商乗上亷得一百二十万又以次商自乗得四百以乗下亷得十六万又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法共五百三十六万八千为下法乗次商得一亿○七百三十六万减实尽得方一百二十

三带纵方亷减隅翻法开三乗方法

式实四百六十六万五千六百纵方六十五万二千三百二十纵亷八千六百四十问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵亷得八十六万四千初商自乗再乗得一百万为隅法并纵亷乗数纵方共一百五十一万六千三百二十以减隅法而

隅法止一百万不足减反减并数一百万余五十一万六千三百二十为负积乗初商得五千一百六十三万二千加入原积共五千六百二十九万七千六百为次商之实倍纵亷乗数得一百七十二万八千以四乗隅法得四百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万为上亷以初商四之得四百为下亷次商二十以乗纵亷得十七万二千八百并入倍亷共一百九十万○八百以次商乗上亷得一百二十万又以次商自乗得四百乗下亷得十六万又以次商自乗再乗得八千为隅法乃并方法上亷乗数下亷乗数隅法共五百三十六万八千为通隅以纵亷共数一百九十万○八百并纵方得二百五十五万三千一百二十以减通隅余二百八十一万四千八百八十为下法乗次商得五千六百二十九万七千六百减实尽得方一百二十通曰减法而后益实益实而后减法其余实一也但开方诸法惟此初商益实次商减实耳

四亷隅减纵开三乗方法

式实八十五亿五千二百五十五万○四百纵方五千三百四十五万三千四百四十纵一亷十八万四千九百六十纵二亷五百七十八隅算二问方几何曰一百三十六术列实初商一百乗纵一亷得一千八百四十

九万六千为益纵初商自乗

得一万乗纵二亷得五百七

十八万为益隅初商自乗再

乗以隅算二乗之得二百万

加益隅共七百七十八万为

减纵以减纵方余四千五百

六十七万三千四百四十加

益纵共六千四百一十六万九千四百四十为下法乗初商得六十四亿一千六百九十四万四千减实余二十一亿三千五百六十万○六千四百为次商之实以二乗益纵得三千六百九十九万二千为益纵方以三乗益隅得一千七百三十四万为益隅之方以三乗初商得三百再乗纵二亷得十七万三千四百为益隅之亷以四乗隅法二百万得八百万为方法以初商自乗得一万再以六乗之得六万又以隅算二乗之得十二万为上亷以初商四之得四百又以隅算二乗之得八百为下亷次商三十以乗纵一亷得五百五十四万八千八百并入益纵方共四千二百五十四万○八百为益纵之亷以次商乗益隅之亷得五百二十万○二千又以次商自乗得九百乗纵二亷得五十二万○二百为益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗数益隅之隅共二千三百○六万二千二百为次商益隅以次商乗上亷得三百六十万以次商自乗得九百乗下亷得七十二万以次商自乗再乗得二万七千再以隅算二乗之得五万四千为正隅乃并方法上亷乗数下亷乗数正隅共一千二百三十七万四千为次商隅法加次商益隅共三千五百四十三万六千二百为减纵以减纵方余一千八百○一万七千二百四十加益纵之亷共六千○五十五万八千○四十为下法乗次商得十八亿一千六百七十四万一千二百减实余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实以二乗五百五十四万八千八百【次商乗纵一亷之数】得一千一百○九万七千六百并入益纵方共四千八百○八万九千六百为再益纵方以二乗益隅之亷乗数得一千○四十万○四千以三乗益隅之隅得一百五十六万○六百并此二乗数得一千一百九十六万四千六百再并前益隅之方共二千九百三十万○四千六百为再益隅之方并初次两商得一百三十以三乗之得三百九十以乗纵二亷得二十二万五千四百二十为再益隅之亷以二乗上亷乗数得七百二十万以三乗下亷乗数得二百一十六万以四乗正隅得二十一万六千并此三乗数得九百五十七万六千再并前方法共一千七百五十七万六千为再方法并初次两商得一百三十自乗得一万六千九百以六乗之得十万○一千四百以隅算二乗之得二十万○二千八百为再上亷以初次两商四之得五百二十以隅算二乗之得一千○四十为再下亷三商六以乗纵一亷得一百一十万○九千七百六十并入再益纵方共四千九百一十九万九千三百六十为再益纵之亷以三商乗再益隅之亷得一百三十五万二千五百二十以三商自乗得三十六以乗纵二亷得二万○八百○八为再益隅之隅乃并再益隅之方再益隅之亷乗数再益隅之隅共三千○六十七万七千九百二十八为三商益隅以三商乗再上亷得一百二十一万六千八百以三商自乗得三十六乗再下亷得三万七千四百四十以三商自乗再乗得二百一十六再以隅算二乗之得四百三十二为再正隅乃并再方法再上亷乗数再下亷乗数再正隅共一千八百八十三万○六百七十二为三商隅法加三商益隅共四千九百五十万○八千六百为减纵以减纵方余三百九十四万四千八百四十加再益纵之亷共五千三百一十四万四千二百为下法乗三商得三亿一千八百八十六万五千二百减实尽得方一百二十

五带纵负隅以二亷隅益积开三乗方法

式实三百亿○六千七百五十六万纵方一亿○二十二万五千二百纵一亷三十四万六千八百纵二亷五

百七十八隅算二问方几

何曰二百五十五术列实

初商二百乗纵一亷得六

千九百三十六万为益纵

初商自乗得四万以乗纵

二亷得二千三百一十二

万为益隅初商自乗再乗

得八百万以隅算二乗之得一千六百万为正隅并入益隅共三千九百一十二万又以初商乗之得七十八亿二千四百万为益实加入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以益纵加入纵方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法乗初商得三百三十九亿一千七百○四万减实余三十九亿七千四百五十二万为次商之实以二乗益纵得一亿三千八百七十二万为益纵方以三乗益隅得六千九百三十六万为益隅之方以三乗初商得六百乗纵二亷得三十四万六千八百为益隅之亷以四乗正隅得六千四百万为方法以初商自乗得四万又以六乗之得二十四万又以隅算二乗之得四十八万为上亷以初商四之得八百以隅算二乗之得一千六百为下亷次商五十以乗纵一亷得一千七百三十四万为益纵亷并入益纵方共一亿五千六百○六万为益纵以次商乗益隅之亷得一千七百三十四万以次商自乗得二千五百乗纵二亷得一百四十四万五千为益隅之隅乃并益隅之方益隅之亷乗数益隅之隅共八千八百一十四万五千为益隅以次商乗上亷得二千四百万以次商自乗得二千五百乗下亷得四百万以次商自乗再乗得十二万五千以隅算二乗之得二十五万为隅法乃并方法上下亷各乗数隅法共九千二百二十五万为正隅加益隅共一亿八千○三十九万五千以次商乗之得九十亿○一千九百七十五万为益实加入余实共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以益纵方一亿五千六百○六万并纵方得二亿五千六百二十八万五千二百为下法乗次商得一百二十八亿一千四百二十六万减实余一亿八千○一万为三商之实以二乗益纵亷得三千四百六十八万并入益纵方得一亿七千三百四十万为再益纵方以二乗益隅之亷乗数得三千四百六十八万以三乗益隅之隅得四百三十三万五千以前益隅之方合此二数共一亿○八百三十七万五千为再益隅方并初次两商得二百五十而三之得七百五十乗纵二亷得四十三万三千五百为再益隅之亷以二乗上亷乗数得四千八百万以三乗下亷乗数得一千二百万以四乗隅法得一百万并此三数及前方法共一亿二千五百万为方法并初次两商自乗得六万二千五百而六之得三十七万五千又以隅算二乗之得七十五万为上亷并初次两商而四之得一千以隅算二乗之得二千为下亷三商五以乗纵一亷得一百七十三万四千为再益纵亷并再益纵方得一亿七千五百一十三万四千为益纵方以三商乗再益隅之亷得二百一十六万七千五百以三商自乗得二十五乗纵二亷得一万四千四百五十为再益隅之隅乃并再益隅方再益隅亷乗数再益隅之隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅以三商乗上亷得三百七十五万以三商自乗得二十五乗下亷得五万以三商自乗再乗得一百二十五以隅算二乗之得二百五十为隅法乃并本叚方法上下亷乗数隅法共一亿二千八百八十万○二百五十为正隅加本叚益隅共二亿三千九百三十五万七千二百以三商乗之得十一亿九千六百七十八万六千为益实加入余实得十三亿七千六百七十九万六千为通实以本叚益纵方并纵方得二亿七千五百三十五万九千二百为下法乗三商得十三亿七千六百七十九万六千减实尽得方二百五十五

通曰此以纵一亷益纵纵二亷益隅也

六带纵负隅以二亷减纵开三乗方法

式实五十亿○一千三百五十万○四千纵方四千七百万○一千六百纵一亷四千四百八十纵二亷六百四十隅算二问方几何曰一百二十术列实初商一百乗纵一亷得四十四万八千为益纵之法初商自乗得一万乗纵二亷得六百四十万为减纵之法初商自乗再乗得一百万乗隅算得二百万为隅法以减纵之法减纵方余四千○六十万○一千六百加益纵之法得四千一百○四万九千六百并隅法共四千三百○四万九千六百为下法乗初商得四十三亿○四百九十六万减实余七亿○八百五十四万四千为次商之实以二乗益纵之法得八十九万六千为益纵之亷以三乗减纵之法得一千九百二十万为减纵之方

以三乗初商得三百乗纵二亷得十九万二千为减纵之亷以四乗隅法得八百万为方法以初商自乗得一万而六之得六万又乗隅算得十二万为上亷以初商四之得四百乗隅算得八百为下亷次商二十以乗纵一亷得八万九千六百并益纵之亷得九十八万五千六百为益纵之法以次商乗减纵之亷得三百八十四万以次商自乗得四百乗纵二亷得二十五万六千以并减纵之方减纵之亷乗数共二千三百二十九万六千为减纵之法以次商乗上亷得二百四十万以次商自乗得四百乘下亷得三十二万以次商自乗再乗得八千乗隅算得一万六千并方法上下亷乗数共一千○七十三万六千为隅法以本叚减纵之法减纵方余二千三百七十万○五千六百加本叚益纵之法得二千四百六十九万一千二百并本叚隅法共三千五百四十二万七千二百为下法乗次商得七亿○八百五十四万四千减实尽得方一百二十

通曰如以减纵之法减纵方而纵方数少不足减则以益纵之法并纵方然后减之以其余数并隅法不更加益纵之法矣

七带纵方亷以二亷减纵开三乗方法

式实一十九亿五千五百一十一万九千六百八十纵方二千二百四十七万二千六百四十纵一亷一十万○六千九百二十九纵二亷六百五十四问方几何曰七十二术列实初商七十乗纵一亷得七百四十八万五千○三十为益纵之实初商自乗得四千九百乗纵二亷得三百二十万○四千六百为减纵初商

自乗再乗得三十四万三千为隅法