御制数理精蕴

五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积

合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九【此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也】

右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长

以上纵方开法初商方根积必至首防位止次商平廉长廉共约数必至次防位止不得除至防位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积

句股引卷二

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>

钦定四库全书

句股引卷三

海寜　陈訏　撰

句股法

句股名义

直者为股

横者为句

斜者为

句股并减名义

句股和【句与股相并】　　句和【句与相并】

股和【股与相并】

句股较【句与股相较】　　句较【句与相较】

股较【股与相较】

和和【与句股和相并】　　较和【与句股较相并】和较【与句股和相减】　　较较【与句股较相减】右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然

句股准数

句三股四五

句股无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四五而变化由此起焉后俱依此立法

句股求

句自乗股自乗两积实相并开方得

句股各自乗之实必合自乗之实故并积开方得

【按句股开方俱平方后同】

如句【三】自乗得九股【四】自乗得一十六并之共二十五平方开之得五即【五】

句求股

句自乗自乗两积实相减开方得股

股求句

股自乗自乗两积实相减开方得句

自乗之积实必合一句一股自乗之积实故于积内减句积开方得股于积内减股积开方得句

如【五】自乗得二十五为积内减句积九余一十六为股【四】之积若积减股积一十六余九为句【三】之积俱用开方得所求

较求股

句自乗股较自乗两积实相减倍较为法除之得股股又加较得

句积中除股较之积则所余必倍于股之长故以倍较为法除余积得股之长

如句【三】自乗得九减长于股之较一【积亦一】则余积八必倍于股长故倍较【一】为二除之得四即得股四

若不倍较为法但以较除相减之余积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减余之积去较折半亦得股长

如句余积八以较一除之仍是八必倍于股【四】故去较又折半亦得股【四】

以上二法于股之长加较即得于股之长减较即得句故不再立求句法

股和求股

句自乗以股和为法除之得数以减股和折半得股股和内减股即得

股和除句则所得数必长于股之较数故于股中去长于股之较则股等长而折半得股

如股【四】五共九除句积【九】得一即股【四】【五】之较【一】去较【一】存【八】则与股齐故折半得股【四】

句和求句

股自乗句和自乗两积实相减折半以句和为法除之得句【句和内减句即得】

句和自乗之积必倍于句与句和相乗之积而尚多一股积故于和积内减股积则所余者为句乗句和之倍积故折半使止存一句乗句和之积而以句股和为法除之得句如股【四】自乗得一十六句和自乗得六十四内减十六余四十八折半余二十四以句【三】【五】为法除之得三为句句既得即于句和除句得五

句和求

股自乗以句和为法除股积得数加句和折半得于之长减句较亦即得句

句和除股积则所得之数即长于句之较数句较既得则加句之长使句长与长等故折半得

如股四自乗得十六以句和八为法除之得二加句和之八为一十折半即五

句股和求句股

自乗句股和自乗两积实相减再以余积减积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于积止少一句股之较积故以句股和积与积相减再以减余之积减积则所存者为长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句【三】股【四】得和七自乗得四十九以自乗得二十五减之存二十四再以二十四减积之二十五存一为长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股【四】股得亦可依法得句【按此所得之较乃句股较作股较者误】

句股较求句股

句较乗股较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得

如句较【二】乗股较【一】仍得二倍之得四开方得二加股较【一】得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得五

句股和求句股

句和乗股和得积实倍之开方减股和得句减句和得股减句股和得

如句【三】【五】为句和八乗股【四】【五】之股和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股之长于一边矣故于十二减句和八得股【四】于十二减股【四】【五】之股和九得句【三】于十二减句【三】股【四】之句股和七得【五】

句股求容方

句股相乗以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径【按若勾股较二句有误】

容方外余句余股相乗平方开之亦得容方径

以容方径自乗得实以余句为法除之得余股以余股为法除之得余句

句股相乗之实为容方者四斜内为容方者两故容方之实必等于余句余股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也

句股求容圆

句股相乗倍积实并句股为法除之得容圆径句股相乗并句股减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股之长恒两倍于容圆之周故于句股相乗之稍或倍之而并句股为法或不倍之而以句股折半为法俱得容圆径而容圆径即和较也【按勾股之长两倍于容圆周语误】

句股论【李之藻】

句股三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股之差曰股较句之差曰句较并句股与较其差曰和较句股之差与相减其差曰较较股相并曰股和句相倂曰句和句股之差并曰较和句股并曰和和句股各自乗并之为实故开之得句自乗减余为股实故开之得股股各自乗减余为句实故开之得句句股和自乗倍实相减开其余即句股较也句股较自乗以减倍实开其余即句股和也并句以除股实得句较若以句较除股实即得句和矣并股以除句实得股较若以股较除句实即得股和矣句股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎句股较自乗减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎句乗股为实并句股为法除得容方径句乗股倍之并句股除之得容圆径而容圆之径即和较也又错综论之句为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加句较即较和以减句较即和较若加较较又即句和也句股较为主以加股较即句较若减股和亦即句和也句股和为主以加股较复得句和若减股和亦得句较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取句较者以加句和半之得以减句和半之得句取和较者以加和和半之得和以减和和半之得勾股取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乗除圆变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已

觧注【以句三股四五为准】

句股和自乗倍实相减开其余即句股较

如句【三】股【四】和七自乗四十九如【五】实二十五倍之五十以四十九减五十余一即句三股四之较一

句股较自乗以减倍实开其余即句股和

如句股较一以减倍实之五十余四十九开方得七即句三股四之和七

并句以除股实得句较

如句【三】【五】并之得八以除股【四】之实一六得二为句【三】【五】之较二

句较除股实即得句和

如句【三】【五】之较二以股【四】之实一六除之得八为句【三】【五】之和八

并股以除句实得股较

如股【四】【五】并得九以句三之实九除之得一为股【四】【五】之较一

以股较除句实即得股和

如股【四】【五】之较一以句三之实九除之为股【四】【五】之和九

句股和自乗减实除以较较得较和

如句【三】股【四】之和七自乗得四十九减【五】之实二十五余二十四以句股差【一】与【五】相减之较较四除之得六为句股之差【一】与【五】并之较和六

除以较和即得较较

如二十四以较和之六除之得四为句股之差一减五之较较四

句股较自乗减实除以和和则得和较

如句【三】股【四】之较一自乗仍得一减【五】之实二十五为二十四以句三股四五之和和除之得二为并句【三】股【四】与【五】较之和较

除以和较即和和

如二十四除以和较之二得一十二为句三股四五相并之和和

句股测望论【唐荆川先生】

句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之髙深广逺凡目力所及无不可知葢不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为句股求句股自乗相并为实平方开之得句求股句自乗相减为实平方开之得股股求句同法葢一实藏一句一股之实一句一股之实并得一实也数非两不行因句股而得因股而得句因句而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑则塔影髙则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔髙低之数不可知则是有句而无股三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小也人目至所望之髙大也又法表为小股其髙几何与至塔下之数相乗以小句除之则得塔髙葢横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股三者有一可知则立表之法可得而用若其高与逺之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法葢两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也

句股容方圆论

凡竒零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有竒此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两亷则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一亷得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乗之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乗之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为亷而除去半和较亦得或约得圆径之后与半和较相乗添积而以句股并为亷不除亦得或用句股倍积用两句股相并为亷而以全和较与约得圆径相乗添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乗之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈逺则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为髙句为横为逺以或句或股为法除之即得所求之或髙或逺故望髙测逺即变化于句股求容方之一法也

测量法

句股之术可御髙深广逺法本周髀中法用表测西法用矩测

立表测高

设甲防为髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙几何

法依地平线立一丈之表为丁丙【逺乙二丈】与地平为直角【凡立表以线下试之三靣附表即与地平为直角】依地平线退行【八尺】为辛巳【巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可】视己丁甲三防

令成斜以丁丙表【一丈】减己戊人目以下之六尺余丁辛【四尺】与等戊乙之巳庚【二丈八尺】乗之得【一十一丈八尺】为实以等戊丙之巳辛【八尺】为法除之得甲庚【一丈四尺】加等己戊人目以下之庚乙【六尺】得甲乙髙二丈按此以丁辛与已庚相乗得实以巳辛为法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之髙即丁以上之髙

附西法三率算术【西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略】

三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乗得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测髙以己辛【小句】比丁辛【小股】若己庚【大句】与庚【甲大股】

一率　　己辛八尺　　为法

二率　　丁辛四尺　　与三率相乗得实三率　　己庚二丈八尺

四率　　庚甲一丈四尺【加庚乙人目以下得甲乙髙】

按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】与大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法【后省文依西法以比若与不更列三率】

立表测深测逺

设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深防何

法依甲丙线于地立【六尺】之表为戊丁距丙【五尺】人目从表端【戊】窥【乙】使戊丙乙三

防成斜直线以丁戊【六尺】与甲丙【二丈七尺】相乗【得一十六丈二尺】为实以丁丙【五尺】为法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是为以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】与甲乙【大股】

设井一口其径甲乙五尺欲测深防何

法立表于井口为戊甲髙【五尺】从戊视

丙截甲乙径于己【得四寸】减井径【五尺】余

己乙【四尺六寸】以乗戊甲【五尺】得【二千三百寸】为实以甲己【四寸】为法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙　又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊

设地平有甲防不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何

法依地平立丁表于戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙【六尺】减丁戊表【四尺五寸】余乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乗等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】为实以乙巳【一尺五寸】为法除之得丙甲逺【三丈六尺】是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲

重表测髙测逺测深

设不知髙之逺不知逺之髙各得几何

欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高【十尺】退

后【五尺】立竿于戊高四尺人目在

巳视表末令己丁甲成斜直

线次从丁丙前表退后【十五尺】立

癸壬表亦髙【十尺】退后【八尺】立竿于

子亦高【四尺】人目在丑视表末令

丑癸甲成斜直线以癸壬表

减人目丑子【四尺】余癸辛【四尺】与两表相距【旧名表间】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑【八尺】余卯丑较【三尺】为法【旧名影差】除高实得甲辰髙【三十尺】是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙总髙【四十尺】

次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯【五尺】与表间相距之丁癸【十五尺】乗之得【七十五尺】为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑【三尺】为法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰

右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系説已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏着九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左

毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表【皆十尺】又有等髙之二人目竿【皆四尺】则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳【皆句】及甲辰与丁寅【皆股】俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁与辛癸等】又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅与卯辛等】辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺

设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙防退行【四尺】至戊地立人目表为巳戊髙【二尺七寸】依乙岸窥谷底丙防令巳乙丙成斜直

线次于谷旁立表为壬乙髙【五尺】复

依巳戊线立人目表为辛戊髙【八尺

二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙

成斜直线以辛戊【八尺二寸】减壬乙

表【五尺】余辛庚【三尺二寸】再与巳戊【二尺七寸】

相减余辛癸较【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】与壬表【五尺】乗之得【一百三十五寸】为深实以辛癸较【五寸】为法除之得乙甲深【二丈七尺】是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬【四尺】与壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】为广实亦以辛癸较【五寸】为法除之得甲丙广【四丈】是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙

设甲乙不知逺以矩尺【即木工曲尺】测之

欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲

巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙

西法矩度测量

矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之

造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等