御制数理精蕴

钝角

有两角一边求余角余边【钝角之一】

假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】

求丁角

以丙丁二角并共【六十度半】以减

半周得余一百一十九度半为丁

钝角

求乙丙边

以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六

三　　乙丁边　　　　五十四丈

四　　乙丙边　　　　七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同

求丁丙边

以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　乙角【二十四度】正　四○六七四

三　　乙丁边　　　　五十四丈

四　　丁丙边　　　　三十六丈九尺二寸

凡钝角以外角之正为正盖即

此钝角之外角也如图丁为钝角乙

丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角

之外角至于正皆以本角之勾为

底以割线【半径同】与弧之相界处直线

垂下与本角之底为正方直角如图

乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角

之割线夘丁如外角之余而夘乙

则外角之正也至如丙角以丙丁

为底其正丑丁近乙丁边乙角以

乙丙为底其正子丁近乙丙边也

补图明之

有一角两边求余角余边【钝角之二】

假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺

【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】

乙角为钝角

甲丙为钝角所对之弧度

乙丁为丙角正

甲戊为钝角用外角之正

求丙角

以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正

一　　甲丙边　　　　　　四千尺

二　　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正度】四　　丙角　　正　八六六○三

检表得丙角六十度

按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类

求甲角

并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角

求乙丙边

以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九二　　甲角【二十度○三分】正　三四二八四

三　　甲丙边　　　　四千尺

四　　乙丙边　　　　一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左

假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】

丙戊为虚股　戊丁为虚勾

乙角乙丁为底丑丁为正　乙丁

即余　丙角丙丁为底子丁为正



先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边

一　　半径　　　　一○○○○○

二　　乙角【二十四度】正　○四○六七四

三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　丙戊边【即虚垂线】　○六百四十三尺

又以半径比乙角余若乙丙边与乙戊

一　　半径　　　　一○○○○○

二　　乙角【二十四度】余　○九一三五五

三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　乙戊边【即乙丁引长线】　一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为】

求丁丙边

依勾股求法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边

求丙角

以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一　　　丁丙边　　　○七百三十九尺二　　　丁乙边　　　一千○八十尺

三　　　乙角【二十四度】正　四○六七四

四　　　丙角　正　五九四四二

检表得丙角三十六度二十九分

求丁角

以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角

此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例【凡正必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣

右两边一角而角不与边对

用切线分外角【梅本新増】

假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度

求丙角

以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】

以边总比边较若半外角切线与半较角切线一　　两边之总　　一千三百三十一尺二　　两边之较　　○二百五十一尺

三　　半外角切线　四七○四六三

四　　半较角切线　○八八七一九

检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角

求丁角

并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角

求丁丙边

以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五二　　乙角【二十四度】正　四○六七四

三　　乙丁边　　　　五百四十尺

四　　丁丙边　　　　三百六十九尺九寸八

分

右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左

【甲庚癸为半周子庚为半径

甲壬为乙角度壬辛癸为外角

壬辛为半外角子夘为半外角割

线壬夘为半外角切

线己丑为半较角切

线己辛为半较角】

新式三边求角【钝角之三】

假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】

右有边无角

术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较

先求勾总

此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也

一　　勾较【即丁丙边】　　　三百尺

二　　较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺

三　　总【即乙丁乙丙二边相并】　九百八十二尺四　　勾总【即丁辛】　　七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙

以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁

求丁角

以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一　　乙丁　　　六百○七尺

二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸

三　　半径　　　　一○○○○○

四　　丁角余　　○八七二六五

检表得丁角二十九度一十四分

求丙角【用乙甲丙小形】

钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线

以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸二　　乙丙　　　三百七十五尺

三　　半径　　　　一○○○○○

四　　丙角割线　　一六三二五六

检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳

求乙角

并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角

右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三

补图　　　　　乙丙丁三角形　乙己为丙角

弧度　乙辛为丙外角　丙戊

即【乙丙】为丙外角割线　乙壬壬

辛为外角之丁角乙角

乙甲即中长线　乙甲丙即小

形勾股　乙甲丁即大形勾股

乙丙即虚勾虚股之　戊辛

为切线

右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也

勾股引防卷四

钦定四库全书

勾股引卷五

海宁　陈訏　撰

象限线度总目

正　正切　正割　正矢【以余减全】

余　余切　余割　余矢【以正减全】

平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】

初

一　　　　　　　　八八

二　　　　　　　　八七

三　　　　　　　　八六

四　　　　　　　　八五

五　　　　　　　　八四

六　　　　　　　　八三

七　　　　　　　　八二

八　　　　　　　　八一

九　　　　　　　　八十

十　　　　　　　　七九

十一　　　　　　　七八

十二　　　　　　　七七

十三　　　　　　　七六

十四　　　　　　　七五

十五　　　　　　　七四

十六　　　　　　　七三

十七　　　　　　　七二

十八　　　　　　　七一

十九　　　　　　　七十

二十　　　　　　　六九

二一　　　　　　　六八

二二　　　　　　　六七

二三　　　　　　　六六

二四　　　　　　　六五

二五　　　　　　　六四

二六　　　　　　　六三

二七　　　　　　　六二

二八　　　　　　　六一

二九　　　　　　　六十

三十　　　　　　　五九

三一　　　　　　　五八

三二　　　　　　　五七

三三　　　　　　　五六

三四　　　　　　　五五

三五　　　　　　　五四

三六　　　　　　　五三

三七　　　　　　　五二

三八　　　　　　　五一

三九　　　　　　　五十

四十　　　　　　　四九

四一　　　　　　　四八

四二　　　　　　　四七

四三　　　　　　　四六

四四　　　　　　　四五

求弧度之分秒

如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>

钦定四库全书　　　　　子部六

勾股矩测解原　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案勾股矩测解原二卷

国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也

本朝

御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校官【臣】陆　费　墀

钦定四库全书

句股矩测解原卷上　　　余姚黄百家撰

矩度图

解矩度

或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目

解表影

凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>

解矩度表影

矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中

解物影

矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也

<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>

解两影消长【即变影】

日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也

句股矩测解原卷上

钦定四库全书

句股矩测解原卷下　　　　余姚黄百家撰以影测高

以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则影与物等【即前句股无较第一图】量其影长即得物髙在直影则影短于物【即前股长句短第二图】以直表乗物影以直影除之在倒影则影长于物【即前股短句长第三图】以倒影乗物影以横表除之

假如权线在直影五度物影二十尺即以直表【十二】度与物影相乗得二百四十为实以直影【五度】为法除之得物髙四十八尺

解曰物与物影为大句股矩度为小句股大股不可知而大句可知大句可知而大句之长短原出于大股则大股亦可知立一法焉以矩度一定之小股【直表】因大以定小句小句定则小句小股之比例犹大大句大股之比例也于是遂以一定之小股入于大句中而与之相乗使不可知之大股遂与小股之十二相当而后以小句之五度除之而大股得焉葢十二人所任设者也于十二而得五度则本乎大股者也以十二乗大句而五度代二十【物影】以除幂【相乗总数】则大股亦遂因五度而化为十二也大股之四十八其有合于十二者何小句五度其为五分者十积五分而至二十四则为十二大句二十尺其为二尺者十积二尺而至二十四则为四十八也

假如权线在倒影七度五分度之一物影六十尺即以倒影通作三十六分【七度五分度之一毎度即通作五分七度五七三十五分又度之一共三十六分】与物影相乗得二千一百六十为实以横表十二通作六十分为法【亦毎度通作五分】除之得物高三十六尺

解曰倒影与直影相反直影为句倒影为股故直影之度自一而至十二引而逺之句渐长也倒影之度自十二而至一引而逺之股渐短也前权线在直影股长句短由股以截句今在倒影句长股短由句以截股其理一也以倒影乗物影者所求在股以小股乗大句以小句除之与前无二也倒影通作三十六分横表通作六十分者以有五分度之一即以毎度通作五分【如三分度之一即毎度可通作三分余仿此】也葢矩度之妙用借权线以测句测股而得其比例其分度则固任人通变也

重矩

单矩须用量自足至物之数方可入算此句与小句股求股也今不用句止以小句股求股故设重矩