御制数理精蕴

五分为七分每

分得五今去五分为二十五故仍余一十】十又将　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】一十为所余羊衰数内去五分之三【将一十分为五分每分得二今去三分为六故仍余四也】余四卽以四为一率所余羊八百只为二率总衰三十五为三率得四率七千卽原羊共数也此法葢因共数为七千内去七分之五是去五千余二千又将二千去五分之三是去一千二百仍余八百故借总衰三十五内去七分之五所余又去五分之三而得余衰四以余衰四与余羊八百之比卽若总衰三十五与总羊七千之比也此法与前法防异者前法虽有三分四分之不同是于总数中计分故其为分则一此法赏人七分之五者是去总数内七分之五而卖五分之三者乃赏人后所余之五分之三也立法少异故中总分余分相减亦别至减余归四率其比例仍同也

设如有田七百四十二亩内有耕者种者耘者种者比耕者得十分之七耘者比种者得五分之三问每项各几何

法以两分母两分子互相连乘共得一千零五十为耕者衰数此数十分之取其七分得七百三十五为种者衰数此数五分之取其三分得四百四十一为耘者衰数并三衰数得二千二百二十六为一率七百四十二亩为二率以耕者衰数一千零五十为三率得四率三百五十亩即所耕之田以种者衰数七百三十五为三率得四率二百四十五亩即所种之田以耘者衰数四百四十一为三率得四率一百四十七亩即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借数有竒零故即以本题分数连乘之得数后仍依各项分之则衰数无竒零而各分各数俱可比例而得矣

设如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一问共髙若干

法先借一数可分为三分五分者乃借三十为总衰此数三分之二得二十又五分之一得六两数相加得二十六与总衰三十相减余四为一率上露三丈二尺为二率总衰三十为三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以减余四衰与上露三丈二尺之比卽总衰三十与塔总髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺则共二十四丈也

又法于借衰三十内减去三分之二【减去二十】又减五分之一【减去六】余四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰为八尺也一衰为八尺则三十衰自得二百四十尺矣

设如有木匠与瓦匠小工三项分工价瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一两二钱问每项工价若干

法以两分母两分子连乘共得四十为木匠衰数此数五分之二得十六为瓦匠衰数四分之一得十为小工衰数又将十六衰与十衰相减余六为一率多一两二钱为二率木匠衰数四十为三率得四率八两卽木匠价取五分之二得三两二钱卽瓦匠价取四分之一得二两卽小工价以二两与三两二钱相减余一两二钱卽瓦匠多于小工之数也此法亦以题中分母分子连乘作衰数但用瓦匠比小工所多衰数银数与木匠衰数银数为比例何也葢各项衰数与各项银数之比皆同今瓦匠衰数与小工衰数之比卽瓦匠银数与小工银数之比也又瓦匠衰数多于小工衰数之六与瓦匠银数多于小工银数一两二钱之比卽同于小工衰数与小工银数之比又即同于木匠衰数与木匠银数之比故直以六衰与多一两二钱为一率二率也

设如有金不足色欲炼成上等好金第一次入炉煅去三分之一第二次入炉煅去四分之一第三次入炉煅去五分之一第四次入炉煅去六分之一方净剩上等好金二十七两问原金几何

法借三分四分五分六分俱分得尽之六十为原金总衰此数三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四数相并得五十七与原借数六十相减余三为一率净剩金二十七两为二率总衰六十为三率得四率五百四十两卽原金数也此法因原金中镕销四次所余二十七两故借衰中亦减去四次之数所余为三衰以三衰与二十七两之比卽六十衰与五百四十两之比也

设如有铜不知斤数但云取七分之三作上等仪器又取所余之五分之二作中等仪器又取所余之四分之一作三等仪器仍余五十四斤问原铜共数几何

法以三分母连乘得一百四十为总铜衰数取其七分之三余八十为二次余铜衰数【一百四十分为七分每分二十今去三分为六十仍余八十也】又将所余八十取其五分之二余四十八为三次余铜衰数【八十分为五分每分十六今去二分为三十二仍余四十八也】又将所余四十八取其四分之一余三十六为所余衰数【四十八分为四分每分十二今去一分十二仍余三十六也】即以三十六为一率余铜五十四斤为二率总衰一百四十为三率得四率二百一十斤卽原铜共数也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤余一百二十斤又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤余七十二斤又将七十二斤内去四分之一是去十八斤余五十四斤而与原剩数合也此法亦是按节次另定分数与均分者不同故立衰数亦按节次减去取其余衰三十六与余铜五十四斤之比卽若总衰一百四十与总铜二百一十斤之比也

设如问一老人嵗数但云加三分之二减四分之一得一百三十六歳求其嵗数几何

法借十二为总衰数此数三分之二为八四分之一为三于总衰十二内加八减三得十七为一率一百三十六嵗为二率总衰十二为三率得四率九十六嵗即老人嵗数也此法借十二衰即三分与四分相乘之数三分四分俱可以分尽也于总衰十二内加八即加三分之二也又减三即减四分之一也所得十七即加减衰数也以加减衰数与加减年数之比即若所借总衰与所得歳数之比也

设如有一数但云其数二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并为五百二十二问原数几何

法先借一数可分为二分三分四分五分六分者乃借六十为总衰数此数依法剖之其二分之一为三十其三分之一为二十其四分之一为十五其五分之一为十二其六分之一为十并之得八十七为一率共并数五百二十二为二率总衰六十为三率得四率三百六十即原数也此法借数六十与原数为比者因原数隐而未露故虚借一数作比例以互征之葢并数八十七者原数为六十并数五百二十二者原数为三百六十其比例同也

设如有马一羣但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一并原数共一百一十二匹问原数几何

法先借一数可分为二分三分四分者乃借十二为衰数此数加一倍得二十四又加二分之一为六又加三分之一为四又加四分之一为三共得三十七为一率共数一百一十二减一余一百一十一为二率衰数十二为三率得四率三十六即原数也此法与前法同但题中又加一匹是真数也故于总数内减去一匹为比例盖加分所得衰数三十七与加分所得共数一百一十一之比即若所借原衰十二与原数三十六之比也

设如一人为商三次第一次得利比本为三分之二将利加入本银第二次得利比本为四分之三又将此利加入本银第三次得利比本为五分之三三次本利共银一千四百两问原本银若干法借六十为本银衰数取其三分之二得四十与六十相加得一百又将一百取其四分之三得七十五与一百相加得一百七十五又将一百七十五取其五分之三得一百零五与一百七十五相加得二百八十为一率本利共银一千四百两为二率原借衰数六十为三率得四率三百两即原本银数也葢三百两三分之二得二百与本银相加得五百于五百内取四分之三得三百七十五仍与五百相加得八百七十五于八百七十五内取五分之三得五百二十五仍与八百七十五相加得一千四百以合原数其借六十为本银衰数加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰与本利共银之比即如本银借衰与原有本银之比也

叠借互征

叠借互征者因原问内设数隐伏一次借衰尚不能得其真数故不得不借两数以比较之先借一数与原数相较复借一数与原数相较然后据两较以立算而真数可得故曰叠借葢以叠借之数比原问之数或多或少乃作盈朒法算之以求两借数之较也故其较之一多一少者用加或两较俱多两较俱少者用减一如盈朒之例以两差数之较与两借数之较为比而得借数与真数之较或以两借数互乘两差数以两差数之较与互乘所得两差数之较为比而得所求之真数其法虽繁实有条理亦借数之巧也

设如有银一百两命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍问毎人应得几何

法先借十二两为甲银衰数则丙应得六两【比甲少一倍】丁应得二两【比丙少二倍】并三数得二十两与原银一百两相较少八十两再借二十四两为甲银衰数则丙应得十二两【比甲少一倍】丁应得四两【比丙少二倍】并三数得四十两与原银一百两相较仍少六十两乃以前借数十二两少八十两书于右后借数二十四两少六十两书于左作两不足法算之于是两少数相减余二十两为一率两借数相减余十二两为二率前借数与原数相较之少八十两为三率得四率四十八两加入前借数十二两共得六十两即甲银数或以后借数与原数相较之少六十两为三率得四率三十六两加入后借数二十四两亦得六十两为甲银数既得甲银数减一倍得三十两即丙银数再取丙银三分之一得十两即丁银数也【因丙银比丁银多二倍故于丙银中取三分之一即丁银】此法先借一人银数加减出三人银数与原总银相较得其差数又借一人银数加减出三人银数又与原总银相较复得一差数爰将两借数相减是得甲一人两借数之较也又将两差数相减【因两差俱少故相减如一多一少则相加】是得三人两差数之较也乃以比例求之以三人两差数之较比一人两借数之较即同于三人共数与原总银之差比一人借数与本银之差也故以二十两与十二两之比同于八十两与四十八两之比为借数十二两少于甲本银之差数或以二十两与十二两之比同于六十两与三十六两之比为借数二十四两少于甲本银之差数各与借数相加皆得甲本银数也【因其为少故与借数相加若差数为多则与借数相减】此即盈朒先求适足之法葢两少数相差二十两由于两借数之相差十二两如欲补足所少之八十两则应加四十八两或欲补足所少之六十两则应加三十六两也

又如欲借两数所得差数一多一少用相加立算则先借四十八两为甲银衰数丙应得二十四两丁应得八两并三数得八十两与原银一百两相较少二十两再借六十六两为甲银衰数丙应得三十三两丁应得十一两并三数得一百一十两与原银一百两相较则多十两乃以前借数四十八两少二十两书于右后借数六十六两多十两书于左作一盈一朒法算之于是一多数一少数相加得三十两为一率两借数相减余十八两为二率前借数与原数相较之少二十两为三率得四率十二两加入前借数四十八两共得六十两即甲银数如以后借数与原数相较之多十两为三率得四率六两与后借数六十六两相减亦得六十两为甲银数既得甲银数其丙丁银数按分递减之即得矣

又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十八两互乘后多十两为加四十八倍得多四百八十两以后借数六十六两互乘前少二十两为加六十六倍得少一千三百二十两乃以互乘所得一多一少两数相加得一千八百两为二率原一多一少两数相加得三十两为一率一人为三率得四率六十两即甲银数也葢所加四十八倍与六十六倍相差为十八倍则互乘所得一多一少两数相差之一千八百两即十八倍总银数也【八百见盈】然甲银为总银之三十分之十八【朒法盖两差数之较为三十则两借数之较为十八少数为二十则借数加一十二多数为一十则借数减六皆三

十与十八之比】必为十八倍总　　　　　　　　　　　　　　　　　【例】银之三十分【也葢三十分之十八者将总银分为三十分而得其十八分也若十八倍总银则其一分即十八也】之一故以三十分与一千两之比即同于一分与六十两之比即甲银数也

设如有香炉二座不言重数但知炉葢一个重一百五十斤如以葢加甲炉则重于乙炉二倍以葢加乙炉乃与甲炉相等求甲乙二炉各重几何法先借三十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤为乙炉衰数【因甲炉加葢比乙炉重二倍故以乙炉衰数定为甲炉衰数加葢之三分之一】以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲炉衰数三十斤多一百八十斤则是所借甲炉衰数三十斤少一百八十斤再借九十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤为乙炉衰数以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲炉衰数九十斤多一百四十斤则是所借甲炉衰数九十斤少一百四十斤乃以前借甲炉衰数三十斤少一百八十斤书于右后借甲炉衰数九十斤少一百四十斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余四十斤为一率两借数相减余六十斤为二率前借数与原数相较之少一百八十斤为三率得四率二百七十斤加入前借数三十斤共三百斤即甲炉之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙炉之重加葢一百五十斤共三百斤与甲炉相等也

又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十斤互乗后少一百四十斤为加三十倍得少四千二百斤以后借数九十斤互乘前少一百八十斤为加九十倍得少一万六千二百斤乃以互乗所得两少数相减余一万二千斤为二率原两少数相减余四十斤为一率甲炉一为三率得四率三百斤即甲炉之重数也葢所加三十倍与九十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之一万二千斤即六十倍总差数也然甲炉重数为总差数之四十分之六十【之得五十斤盖两差数之较为四十则两借数之较为六十少数为一百八十则借数加二百七十皆四十与六】必为六十倍总差数之四十分之一【十之比例也葢四十分之六十者将总差数分为四十分而得其六十分也若六十倍总差数则其一分】故以四十分与一万二千斤之比即同于一分与三百斤之比也

设如有铜铸甲乙二钟未称斤数但云取乙钟铜八十斤入甲钟则所余得甲钟四分之一若取甲钟铜八十斤入乙钟则所余得乙钟三分之二问二钟各得铜数若干

法先借一百二十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则【即六十分也】甲钟得二百斤此数四分【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百三十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百三十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百一十斤而甲钟止余四十斤【甲钟一百二十斤中去八十斤故余四十斤】加一半二十斤得六十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故四十斤为三分之二而加一分为二十斤共六十斤为乙钟数】而与乙钟二百一十斤相较则少一百五十斤再借三百六十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得四百四十斤此数四分之得一百一十斤【因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分】加八十斤得一百九十斤为乙钟衰数【此乙钟未取八十斤入甲钟时得一百九十斤也】若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百七十斤而甲钟止余二百八十斤【甲钟三百六十斤中去八十斤故余二百八十斤】加一半一百四十斤得四百二十斤为乙钟数【因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故二百八十斤为三分之二而加一分为一百四十斤共四百二十斤为乙钟数】而与乙钟二百七十斤相较则多一百五十斤乃将前借数一百二十斤少一百五十斤书于右后借数三百六十斤多一百五十斤书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得三百为一率两借数相减余二百四十为二率前借数与乙衰相较之少一百五十斤为三率得四率一百二十斤加前借数一百二十斤共二百四十斤为甲钟斤数加入乙钟铜八十斤为三百二十斤四分之得八十斤【既取乙钟铜八十斤入甲钟故余此数】再加入甲钟铜八十斤得一百六十斤为乙钟斤数也

又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数一百二十斤互乘后多一百五十斤为加一百二十倍得多一万八千斤以后借数三百六十斤互乗前少一百五十斤为加三百六十倍得少五万四千斤乃以互乘所得一多一少两数相加得七万二千斤为二率原一多一少两数相加得三百斤为一率甲钟一为三率得四率二百四十斤即甲钟重数也葢所加一百二十倍与三百六十倍相差为二百四十倍则互乘所得一多一少两数相加之七万二千斤即二百四十倍总差数也然甲钟重数为总差数之三百分之二百四十必为二百四十倍总差数之三百分之一故以三百分与七万二千斤之比即同于一分与二百四十斤之比也

设如甲丙二人入山采矿皆不知所得之数但云甲与丙二十四两则所余得丙之四分之一若丙与甲三十两则所余得甲之六分之一问两人各得之数若干

法先借四十两为丙之衰数加甲与二十四两得六十四两此数四分之得十六两【一因甲得丙四分之一故将丙数四分】加二十四两得四十两为甲之衰数【也因甲与丙二十四两所余得丙四分之一故仍以二十四两加入为甲衰数】若丙与甲三十两则甲得七十两而丙止余十两六因

之得　　　　　　　　　　【也】六十两为甲【因丙与甲三十两所余得甲六分之一故将丙之十两六因之为甲数】数而与甲七十两相较则少十两再借六十两为丙之衰数加甲与二十四两得八十四两此数四分之得二十一两加二十四两得四十五两为甲之衰【其所加所分之故同前】数若丙与甲三十两则甲得七十五两而丙止余三十两六因之得一百八十两而与甲七十五两相较又多一百零五两乃将前借数四十两少十两书于右后借数六十两多一百零五两书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得百一十五为一率两借数相减余二十为二率前借数与甲相较之少十两为三率得四率一两七钱三分九厘一毫有余加前借数四十两共四十一两七钱三分九厘一毫有余为丙所得之数此数加二十四两得六十五两七钱三分九厘一毫有余再四分之得一十六两四钱三分四厘七毫有余【余之六分之一也因甲得丙银四】加入二十四两得四十两四钱三分四厘七毫有余为甲所得之数【分之一故四分之甲既与丙二十四两故止剰一十六两有余若未与丙二十四两其全数】若将甲数加三十两得七十两四钱三分四厘七毫有余将丙数减三十两得十一两七钱三分九厘一毫有余此丙十一两七钱三分九厘一毫有余即为甲七十两四钱三分四厘七毫有

【则四十两】　　　【有余也因丙与甲三十两则丙数居甲数之六分之一故将四十两有余再加八丙三十两得七十两有余则丙数内减去三十两止得十一两有余故为甲数之六分之一也】

又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十两互乘后多一百零五两为加四十倍得多四千二百两以后借数六十两互乗前少十两为加六十倍得少六百两乃以互乗所得一多一少两数相加得四千八百两为二率原一多一少两数相加得一百一十五两为一率一人为三率得四率四十一两七钱三分九厘一毫有余即丙所得之数也葢所加四十倍与六十倍相差为二十倍则互乗所得一多一少两数相加之四千八百两即二十倍总差数也然丙数为总差数之一百一十五分之二十必为二十倍总差数之一百一十五分之一故以一百一十五分与四千八百两之比即同于一分与四十一两七钱三分九厘一毫有余之比也

设如有铜缸磁缸二面若于铜缸内添水五十斤则比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤则与铜缸内水数相等问二缸各得水数若干法先借十斤为铜缸水之衰数加五十斤得六十斤此数三分之得二十斤为磁缸水之衰数【因铜缸加五十斤则比磁缸水多二倍故三分之为磁缸水衰数也】以磁缸水衰数加五十斤得七十斤【因磁缸加五十斤与铜缸水相等故亦加五十斤】比所借铜缸水之衰数十斤多六十斤则是所借铜缸水之衰数十斤少六十斤再借二十二斤为铜缸水之衰数加五十斤得七十二斤此数三分之得二十四斤为磁缸水之衰数以磁缸水衰数加五十斤得七十四斤比所借铜缸水之衰数二十二斤多五十二斤则是所借铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤乃以前借数十斤少六十斤书于右后借数二十二斤少五十二斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余八斤为一率两借数相减余十二斤为二率前借数与铜缸相较之少六十斤为三率得四率九十斤加入前借数十斤共一百斤即铜缸之水数加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水数以磁缸水数加五十斤亦得一百斤与铜缸水数相等也

又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十斤互乗后少五十二斤为加十倍得少五百二十斤以后借数二十二斤互乗前少六十斤为加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得两少数相减余八百斤为二率原两少数相减余八斤为一率铜缸一为三率得四率一百斤即铜缸之水数也葢所加十倍与二十二倍相差为十二倍则互乗所得两少数相差之八百斤即十二倍总差数也然铜缸水数为总差数之八分之十二必为十二倍总差数之八分之一故以八分与八百斤之比即同于一分与一百斤之比也

设如有羊三羣甲羣四百只丙羣为甲丁两羣二分之一丁羣为甲丙两羣三分之一问丙丁两羣羊数各若干

法先借三百只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有六百只内减甲羣四百只余二百只为丁羣衰数又并甲丙二羣得七百只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣二百只三因之得六百只与甲丙两羣七百只相较则少一百只再借二百四十只为丙羣衰数丙羣既为甲丁两羣二分之一则甲丁两羣当有四百八十只内减甲羣四百只余八十只为丁羣衰数又并甲丙二羣得六百四十只丁羣既为甲丙两羣三分之一则将丁羣八十只三因之得二百四十只与甲丙两羣六百四十只相较则少四百只乃将前借数三百只少一百只书于右后借数二百四十只少四百只书于左用两不足法算之于是以两少数相减余三百只为一率两借数相减余六十只为二率前借数与甲丙两羣相较之少一百只为三率得四率二十只加前借数三百只共三百二十只即丙羣之羊数加入甲羣四百只得七百二十只三分之得二百四十只即丁羣之羊数也若并甲丁两羣得六百四十只折半得三百二十只即丙羣为甲丁两羣二分之一也