御制数理精蕴

勾自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为勾相乗之二长方积股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一方之积相等今以股自乗之磬折形之积加于勾和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即其长即勾和故以勾和除折半之积而得也

设如有三十四尺勾股较十四尺求勾股各几何【第五】

法以三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股较自乗得一百九十六尺相减余九百六十尺折半得四百八十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股较十四尺为长阔较用带纵较数开方法算之得阔十六尺为勾得长三十尺为股也如图甲乙丙丁为自乗之正方积戊己庚辛为勾股较自乗之正方积相减余甲戊乙类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔较即勾股较故以带纵较数开方法算之而得阔为勾得长为股也

又法以三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股较十四尺自乗得一百九十六尺相减余二千一百一十六尺开方得四十六尺为勾股和于勾股和四十六尺内减勾股较十四尺余三十二尺折半得十六尺为勾于勾十六尺加勾股较十四尺得三十尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方内容甲戊己类八勾股积与壬癸子丑一勾股较积戊己庚辛为自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形今减所余壬癸子丑一小正方形【即一勾股较积】仍余八勾股积一勾股较积为甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故开方而得勾股和也

设如有三十九尺勾股和五十一尺求勾股各几何【第六】

法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以三十九尺自乗得一千五百二十一尺相减余一千零八十尺折半得五百四十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股和五十一尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十五尺为勾得长三十六尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方积戊己庚辛为自乗之正方积相减余甲戊己类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔和即勾股和故以带纵和数开方法算之而得阔为勾得长为股也又法以三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相减余四百四十一尺开方得二十一尺为勾股较于勾股和五十一尺内减勾股较二十一尺余三十尺折半得十五尺为勾于勾十五尺加勾股较二十一尺得三十六尺为股也如图戊己庚辛为自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁为勾股和自乘之正方内容甲戊巳类八勾股积壬癸子丑一勾股较积今以所倍之一大正方形又余一小正方形内减甲乙丙丁正方形即余壬癸子丑一小正方形为勾股较积故开方而得勾股较也

设如有勾和二十四尺股和二十七尺求勾股各几何【第七】

法以勾和二十四尺与股和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股总和于总和三十六尺内减勾和二十四尺余十二尺为股于总和三十六尺内减股和二十七尺余九尺为勾于股和二十七尺内减股十二尺或勾和二十四尺内减勾九尺余十五尺为也如图甲乙线为勾和甲丁线为股和相乗得甲乙丙丁长方形内戊己庚丁为自乗之正方辛乙壬己为勾股相乗之长方甲辛巳戊为股相乘之长方己壬丙庚为勾相乗之长方倍之即为癸子丑寅一大正方其每一边即勾股之总和其卯辰己寅为自乗之正方即如前图之戊己庚丁然其午未申辰为股自乘之正方其酉子戌未为勾自乗之正方两方相合又与前图戊己庚丁自乗之正方相等其艮酉未午与未戌干申为勾股相乗之二长方每一形即如前图之辛乙壬己然其亥午辰卯与辰申坎巳为股相乗之二长方每一形即如前图之甲辛己戊然其癸艮午亥与申干丑坎为勾相乗之二长方每一形即如前图之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁长方每一形俱多一倍故甲乙勾和甲丁股和相乗所成之甲乙丙丁长方倍之而与癸子丑寅正方等开方得癸子类之每一边皆为勾股之总和也

设如有勾股和二十一尺股和二十七尺求勾股各几何【第八】

法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股和二十七尺自乗得七百二十九尺两数相减余二百八十八尺乃以勾股和二十一尺与勾和二十七尺相减余六尺为勾较【葢股与勾和股与和皆为一股所和故相减即勾较也】自乗得三十六尺与两和自乗相减之余二百八十八尺相加得三百二十四尺开方得十八尺为股与勾较之和内减勾较六尺余十二尺为股于勾股和二十一尺内减股十二尺余九尺为勾加勾较六尺得十五尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为股自乘之一正方辛己壬丁为勾自乘之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为股和自乗之一大正方内卯子巳辰为股自乗之一正方午辰未寅为自乗之一正方癸卯辰午与辰巳丑未为股相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅股和自乗之方相减则于癸子丑寅股和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌干勾自乗之一正方又去申卯辰酉与辰巳亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为勾较与股相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为自乗之一正方内减勾自乗之一正方所余之股自乗之一正方如以此磬折形积作一股自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之勾较与股相乗之二长方则惟缺午艮未震为勾较自乗之一小正方今以勾较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为股与勾较相和之数也

设如有勾股和二十一尺勾和二十四尺求勾股各几何【第九】

法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余一百三十五尺乃以勾股和二十一尺与勾和二十四尺相减余三尺为股较【葢勾与股和勾与和皆为一勾所和故相减即股较也】自乗得九尺与两和自乗相减之余一百三十五尺相加得一百四十四尺开方得十二尺为勾与股较之和内减股较三尺余九尺为勾于勾股和二十一尺内减勾九尺余十二尺为股加股较三尺得十五尺为也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为勾自乗之一正方辛已壬丁为股自乗之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乘之二长方又癸子丑寅为勾和自乗之一大正方内卯子巳辰为勾自乗之一正方午辰未寅为自乗之一正方癸卯辰午与辰己丑未为勾相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅勾和自乗之方相减则于癸子丑寅勾和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌干股自乘之一正方又去申卯辰酉与辰己亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为股较与勾相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为自乗之一正方内减股自乗之一正方所余之勾自乗之一正方如以此磬折形积作一勾自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之股较与勾相乗之二长方则惟缺午艮未震为股较自乗之一小正方今以股较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为勾与股较相和之数也

设如有勾较九尺股较二尺求勾股各几何【第十】

法以勾较九尺与股较二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺开方得六尺为比勾股和相差之较加股较二尺得八尺为勾加勾较九尺得十五尺为股于勾数加勾较九尺得十七尺为或于股数加股较二尺亦得十七尺为也如图甲乙丙丁为自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方二方相减所余甲乙己戊庚丁磬折形即与勾自乗之一正方等而乙己与庚丁皆为股较试作甲壬癸辛一正方为勾自乗之方则壬乙与辛丁皆为股较其壬丑与乙己等辛子与丁庚等亦皆为股较以壬乙之勾较与壬丑之股较相乗则成壬乙己丑之一长方形以辛丁之勾较与辛子之股较相乗则成辛子庚丁之一长方形此两长方形必与戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁与勾自乗之一正方相等之磬折形内减甲壬丑戊子辛一小磬折形则余壬乙己丑与辛子庚丁二长方形若于甲壬癸辛勾自乗之一正方内减甲壬丑戊子辛磬折形则余戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既与甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同减去甲壬丑戊子辛磬折形则彼所余之二长方必与此所余之一正方相等可知矣故勾较与股较相乗倍之开方而得比勾股和相差之较加股较得勾加勾较而得股也【葢图以乙丙为己丙为股故乙己为股较若以壬癸勾与己丙股相和则壬癸勾之壬丑一即为股较而勾股和比所多者惟丑癸一故丑癸为比勾股和相差之较也】

设如有勾股较三十四尺勾较三十六尺求勾股各几何【第十一】

法以勾股较三十四尺与勾较三十六尺相减余二尺为股较即如前法以股较二尺与勾较三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺开方得十二尺为比勾股和相差之较加股较二尺得十四尺为勾加勾较三十六尺得四十八尺为股于勾数加勾较三十六尺得五十尺为或于股数加股较二尺亦得五十尺为也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为乙丙为勾股较乙丁为勾较而丙丁为股较今以乙丁勾较减乙丙勾股较所余丙丁即为股较既得股较则如勾较股较求勾股之法算之即得各数矣

设如有勾股较十四尺股较二尺求勾股各几何【第二十】

法以勾股较十四尺与股较二尺相加得十六尺为勾较即如前法以勾较十六尺与股较二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺开方得八尺为比勾股和相差之较加股较二尺得十尺为勾加勾较十六尺得二十四尺为股于勾数加勾较十六尺得二十六尺为或于股数加股较二尺亦得二十六尺为也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为乙丙为勾股较丙丁为股较而乙丁为勾较今以乙丙勾股较与丙丁股较相加则得乙丁之勾较既得勾较则如勾较股较求勾股之法算之即得各数矣

设如有勾和二十四尺勾股较三尺求勾股各几何【第十三】

法以勾和二十四尺加勾股较三尺得二十七尺为股和用勾和股和求勾股之法算之以勾和二十四尺与股和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股总和内减勾和二十四尺余十二尺为股减勾股较三尺余九尺为勾于勾和二十四尺内减勾九尺余十五尺为也如图甲丙为股乙丙为勾丙丁为乙丁为勾和甲乙为勾股较而甲丁为股和故甲乙勾股较与乙丁勾和相加得甲丁为股和也若夫股和勾股较求勾股者则于股和内减勾股较即勾和亦用勾和股和求勾股之法算之如甲丙为股乙丙为勾丙丁为则甲丁为股和甲乙为勾股较而乙丁为勾和故于甲丁股和内减甲乙勾股较余乙丁为勾和也

设如有勾股和二十三尺勾较九尺求勾股各几何【第十四】

法以勾股和二十三尺加勾较九尺得三十二尺为股和用勾股和股和求勾股之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股和三十二尺自乗得一千零二十四尺两数相减余四百五十九尺乃以勾较九尺自乗得八十一尺与两和自乗相减之余四百九十五尺相加得五百七十六尺开方得二十四尺为股与勾较之和内减勾较九尺余十五尺为股于勾股和二十三尺内减股十五尺余八尺为勾加勾较九尺得十七尺为也如图甲丙为乙丙为勾丙丁为股乙丁为勾股和甲乙为勾较而甲丁为股和故甲乙勾较与乙丁勾股和相加得甲丁为股和也若夫股和勾较求勾股者则于股和内减勾较即勾股和亦用勾股和股和求勾股之法算之如甲丙为乙丙为勾丙丁为股则甲丁为股和甲乙为勾较而乙丁为勾股和故于甲丁股和内减甲乙勾较余乙丁为勾股和也

设如有勾股和十七尺股较一尺求勾股各几何【第十五】

法以勾股和十七尺加股较一尺得十八尺为勾和用勾股和勾和求勾股之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾和十八尺自乗得三百二十四尺两数相减余三十五尺乃以股较一尺自乗仍得一尺与两和自乗相减之余三十五尺相加得三十六尺开方得六尺为勾与股较之和内减股较一尺余五尺为勾于勾股和十七尺内减勾五尺余十二尺为股加股较一尺得十三尺为也如图甲乙为勾乙丙为股乙丁为甲丙为勾股和丙丁为股较而甲丁为勾和故甲丙勾股和与丙丁股较相加得甲丁为勾和也若夫勾和股较求勾股者则于勾和内减股较即勾股和亦用勾股和勾和求勾股之法算之如甲乙为勾乙丙为股乙丁为则甲丁为勾和丙丁为股较而甲丙为勾股和故于甲丁勾和内减丙丁股较余甲丙为勾股和也

设如有勾八尺与勾股和之较六尺求股各几何【第十六】

法以勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为勾乙丙为股甲丙为勾股和丁丙为甲丁为与勾股和之较丁乙为股较故甲乙勾内减甲丁与勾股和之较余丁乙为股较也若有股较与与勾股和之较求勾股者则以股较与与勾股和之较相加即勾亦用有勾有股较求股法算之

设如有勾八尺与勾股较之较十尺求股各几何【第十七】

法以勾八尺与与勾股较之较十尺相减余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为股丙乙为勾甲丁为甲丙为勾股较乙丁为股较丙丁为与勾股较之较故丙丁与勾股较之较内减丙丁勾余乙丁为股较也若有股较与与勾股较之较求勾股者则以股较与与勾股较之较相减余即勾亦用有勾有股较求股法算之

设如有勾八尺勾股总和四十尺求股各几何【第十八】

法以勾八尺与勾股总和四十尺相减余三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为勾乙丙为股丙丁为甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙勾余乙丁为股和也若有股和与勾股总和求勾股者则以股和与勾股总和相减余即勾亦用有勾有股和求股法算之

设如有勾八尺与勾股较之和二十四尺求股各几何【第十九】

法以勾八尺与与勾股较之和二十四尺相加得三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为勾甲丙为股乙丙为勾股较丙丁为甲丁为股和乙丁为与勾股较之和故以甲乙勾与乙丁与勾股较之和相加得甲丁为股和也若有股和与与勾股较之和求勾股者则于股和内减与勾股较之和余即勾亦用有勾有股和求股法算之

设如有股十五尺与勾股和之较六尺求勾各几何【第二十】

法以股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙为股乙丙为勾甲丙为勾股和丁丙为甲丁为与勾股和之较丁乙为勾较故甲乙股内减甲丁与勾股和之较余丁乙即勾较也若有勾较与与勾股和之较求勾股者则以勾较与与勾股和之较相加即股亦用有股有勾较求勾法算之

设如有股十五尺与勾股较之较十尺求勾各几何【第二十一】

法以股十五尺与与勾股较之较十尺相加得二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为股甲丙为勾丙丁为甲丁为勾和丙乙为勾股较乙丁为与勾股较之较故以甲乙股与乙丁与勾股较之较相加得甲丁为勾和也若有勾和与与勾股较之较求勾股者则于勾和内减与勾股较之较余即股亦用有股有勾和求勾法算之

设如有股十五尺勾股总和四十尺求勾各几何【第二十二】

法以股十五尺与勾股总和四十尺相减余二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为股乙丙为勾丙丁为甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙股余乙丁为勾和也若有勾和与勾股总和求勾股者则以勾股和与勾股总和相减余即股亦用有股有勾和求勾法算之

设如有股十五尺与勾股较之和二十四尺求勾各几何【第二十三】

法以股十五尺与与勾股较之和二十四尺相减余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙为股丙乙为勾丙丁为甲丙为勾股较乙丁为勾较甲丁为与勾股较之和故甲丁与勾股较之和内减甲乙股余乙丁为勾较也若有勾较与与勾股较之和求勾股者则以勾较与与勾股较之和相减余即股亦用有股有勾较求勾法算之

设如有十七尺与勾股和之较六尺求勾股各几何【第二十四】

法以十七尺与与勾股和之较六尺相加得二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之如甲乙为甲丙为勾丙丁为股甲丁为勾股和乙丁为与勾股和之较故甲乙与乙丁与勾股和之较相加得甲丁为勾股和也若有勾股和与与勾股和之较求勾股者则于勾股和内减与勾股和之较余即亦用有有勾股和求勾股法算之

设如有十七尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第二十五】

法以十七尺内减与勾股较之较十尺余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙为丙丁为股乙丁为勾丙乙为勾股较甲丙为与勾股较之较故甲乙内减甲丙与勾股较之较余丙乙为勾股较也若有勾股较与与勾股较之较求勾股者则以勾股较与与勾股较之较相加即亦用有有勾股较求勾股法算之

设如有十七尺勾股总和四十尺求勾股各几何【第二十六】

法以十七尺与勾股总和四十尺相减余二十三尺为勾股和用有有勾股和求勾股法算之如甲乙为乙丙为勾丙丁为股甲丁为勾股总和故甲丁勾股总和内减甲乙余乙丁为勾股和也若有勾股和与勾股总和求勾股者则以勾股和与勾股总和相减余即亦用有有勾股和求勾股法算之

设如有十七尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第二十七】

法以十七尺与与勾股较之和二十四尺相减余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙为乙丙为股丁丙为勾乙丁为勾股较甲丁为与勾股较之和故甲丁与勾股较之和内减甲乙余乙丁为勾股较也若有勾股较与与勾股较之和求勾股者则于与勾股较之和内减勾股较余即亦用有有勾股较求勾股法算之

设如有与勾股和之较六尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第二十八】

法以与勾股和之较六尺与与勾股较之较十尺相加得十六尺折半得八尺为勾于勾八尺内减与勾股和之较六尺余二尺为股较用有勾有股较求股法算之如甲乙为股戊乙乙丙皆为勾甲丙为勾股和甲戊为勾股较甲丁为丁丙即与勾股和之较戊丁即与勾股较之较故丁丙与勾股和之较与戊丁与勾股较之较相加得戊丙为二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾内减与勾股和之较即股较矣

设如有与勾股和之较六尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第二十九】

法以与勾股和之较六尺与与勾股较之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺为股于股十五尺内减与勾股和之较六尺余九尺为勾较用有股有勾较求勾法算之如甲乙乙丙皆为股丁乙为勾丁丙为勾股和甲丁为勾股较丁戊为戊丙即与勾股和之较甲戊即与勾股较之和故戊丙与勾股和之较与甲戊与勾股较之和相加得甲丙为二股之共数是以折半得股也既得股则于股内减与勾股和之较即勾较矣

设如有勾股总和四十尺与勾股较之和二十四尺求勾股各几何【第三十】

法以勾股总和四十尺内减与勾股较之和二十四尺余十六尺折半得八尺为勾于勾股总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股和用有勾有股和求股法算之如甲乙为乙丙为股丙丁为勾乙戊为勾股较甲丁为勾股总和甲戊为与勾股较之和故甲丁勾股总和内减甲戊与勾股较之和余戊丁即二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾股总和内减勾即股和矣

设如有勾股总和四十尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十一】

法以勾股总和四十尺内减与勾股较之较十尺余三十尺折半得十五尺为股于勾股总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾和用有股有勾和求勾法算之如甲乙为乙丙为勾丙丁为股戊乙为勾股较甲丁为勾股总和甲戊为与勾股较之较故甲丁勾股总和内减甲戊与勾股较之较余戊丁即二股之共数是以折半得股也既得股则于勾股总和内减股即勾和矣

设如有与勾股较之和二十四尺与勾股较之较十尺求勾股各几何【第三十二】

法以与勾股较之和二十四尺与与勾股较之较十尺相加得三十四尺折半得十七尺为于与勾股较之和二十四尺内减十七尺余七尺为勾股较用有有勾股较求勾股法算之如甲乙乙丙皆为乙丁为勾股较甲丁为与勾股较之和丁丙为与勾股较之较故甲丁与勾股较之和与丁丙与勾股较之较相加得甲丙为二之共数是以折半得也既得则于与勾股较之和内减即勾股较矣