御制数理精蕴

乘面积之一长方体】比一率自乘再乘之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乘用四率再乘之数与二率自乘再乘之积等若于一率自乘再乘之正方体内加入二率自乘再乘之正方体即如于甲乙丙丁戊己正方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体成庚乙丙丁壬癸之长方体而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙为二率之三倍苟合乙丙丁申与辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙为二率若不加积止以三方面除之则所得仍为一率之三分之一比二率数必小故以屡除所得之数屡次自乘再乘益入原积则积渐增而得数亦渐大递及末位则所少之积已足而除得之数即为二率之全数焉

设如圜径二十万求内容十八边形之一边几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乘再乘得一千兆为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二率即圜内十八边形之每一边也如甲圜内容十八边形每边之弧得圜周十八分之一皆二十度其通即圜内十八边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形而乙庚为六十度之通复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙丙戊三角形之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍则乙丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又与甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行则丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又乙庚为六十度之通与甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆与乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率与丁戊四率相加方与乙丙二率之三倍等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十八边形之一边也乙丙弧既为二十度乙丙边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为二十度之通折半得一万七千三百六十四【小余八一七七六六七】即十度之正也

设如圜径二十万求内容九边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十八边形之一边三万四千七百二十九【小余六三五五三三四】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】倍之得六万八千四百零四【小余○二八六六五二】即圜内容九边形之每一边也如甲圜容九边形每边之弧得圜周九分之一皆四十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为四十度之通如以乙丙弧四十度折半于丁作乙丁线即圜内容十八边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即九边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十八边形之一边为小腰求得中垂线倍之为九边形之每一边也乙丙弧既为四十度乙丙边为四十度之通其乙戊中垂线三万四千二百零二【小余○一四三三二六】即乙丁弧二十度之正也

按分作相连比例四率又法

设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何

法以一率十万自乘再乘得一千兆【成一立方体】为实又以一率十万自乘二因之得二百亿【成二平面积】为法以除原实一千兆得五万为尽数因减实大于益实故取畧小之数为四万乃以四万自乘再乘得六十四兆益于原实一千兆内得一千零六十四兆为益实复以所得四万自乘得一十六亿以一率十万再乘得一百六十兆于益实内减之余九百零四兆为正实按除法以所得四万与法二百亿相因得八百兆与正实相减余一百零四兆为第二位实以法之二百亿除之得五千仍取畧小之数为四千乃以首位所得四万合次位所得四千共四万四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十亿益于原实一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十亿为益实复以所得四万四千自乘得一十九亿三千六百万以一率十万再乘得一百九十三兆六千亿于益实内减之余八百九十一兆五千八百四十亿为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆余一十一兆五千八百四十亿为第三位实以法之二百亿除之得五百合前两位所得四万四千共四万四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一亿二千五百万益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一亿二千五百万为益实复以所得四万四千五百自乗得一十九亿八千零二十五万以一率十万再乗得一百九十八兆零二百五十亿于益实内减之余八百九十兆零九百六十一亿二千五百万为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆又减三位所得五百与法二百亿相因之一十兆余九百六十一亿二千五百万为第四位实以法之二百亿除之实不足法乃以第四位为空位而第五位得四故以四为末位合前四位所得四万四千五百空十共四万四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四为益实复以所得四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以十万再乗得一百九十八兆零六百零六亿零一百六十万于益实内减之余八百九十兆零八百四十二亿八千八百五十二万六千零六十四为正实按除法以五次所得之数于法相因之数递减之仍余四十二亿八千八百五十三万六千零六十四不尽是共除得四万四千五百零四为相连比例之二率也以二率之四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以一率之十万除之得一万九千八百零六为三率以二率之四万四千五百零四二因之与三率之一万九千八百零六相加得十万八千八百一十四减去一率之十万余八千八百一十四为四率如以三率之一万九千八百零六自乗以一率之四万四千五百零四除之亦得八千八百一十四为四率也此为益实兼减实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率两倍再加一三率之数等而相连比例四率之理一率自乗用四率再乗与二率自乘再乗之数等又一率自乗用三率再乗与二率自乗用一率再乗之数等今立法以一率自乘再乗为原实较之二率加倍与一率自乗之面积相乗之数却少一一率自乗四率再乗之数又多一一率自乗三率再乗之数故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原实又以屡除所得之数屡次自乗以一率再乗与益实相减然后按法除之始足二率两倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰皆为二率辰乙为三率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率两倍再加一三率之共数甲乙丙丁戊巳为一率自乗再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为两倍二率并一三率与一率自乗面积相乘之长方体比一率自乗再乗之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乗四率再乗之扁方体与二率自乗再乗之积等比两倍二率与一率自乗面积相乗之扁方体多一辰乙丙丁午未扁方体此扁方体即一率自乗三率再乗之扁方体与二率自乗一率再乗之积等若于一率自乗再乗之正方体内加入二率自乗再乗之数再减去二率自乗一率再乗之数即如于甲乙丙丁戊己正方体内加入庚甲酉戊壬癸之扁方体减去辰乙丙丁午未之扁方体成一庚辰己午壬癸之扁方体而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰为二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰为二率若不益少减多而以二方面除之则所得仍为一率之二分之一比二率数必大故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原积复以屡除所得之数自乗用一率再乗逐层与原积相减递及末位则所少之积渐足所多之积渐消而除得之数即为二率之全数焉

设如圜径二十万求内容十四边形之一边几何法用连比例四率有一率求第二率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乗再乗得一千兆为实又以半径十万自乗倍之得二百亿为法按益实兼减实归除之法除实得四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为二率即圜内十四边形之每一边也如甲圜内容十四边形每边之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有余其通即圜内十四边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形【乙戊丙三角形之乙角当丙庚弧为乙丙弧之倍则乙戊丙三角形之乙角与乙甲丙三角形之甲角等又与乙甲丙三角形同用丙角而丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行即丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形也】其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又按乙戊度作壬戊线与丁丙平行则截甲乙线于壬乃自壬与乙丙平行作壬子线复自壬与乙戊平行作壬癸线则又成甲壬子与壬戊癸丙三角形与乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形与丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆与乙丙二率等而癸子与丁戊四率等是甲丙一率内有两二率一三率而少一四率也若以甲丙一率与癸子四率相加方与二率之两倍再加一三率之数等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十四边形之每一边也

设如圜径二十万求内容七边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十四边形之一边四万四千五百零四【小余一八六七九一三】为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线四万三千三百八十八【小余三七三九一一八】倍之得八万六千七百七十六【小余七四七八二三六】即圜内容七边形之每一边也如甲圜容七边形每边之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有余试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为五十一度二十五分四十二秒有余之通如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有余折半于丁作乙丁线即圜内容十四边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即七边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十四边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为七边形之每一边也

三要【八余八万零九百零一有本弧之正求本弧之余有本弧之正余求倍弧之正余有本弧之正】

设如本弧三十六度之正五万八千七百七十八【余求半弧之正余】求余弧五十四度之正几何法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九】为勾半径十万为求得股八万零九百零一【二小余五二五二二九】为五十四度之正即三十六度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙余弧五十四度乙丁为三十六度之正试自乙至象限中心戊作乙戊半径线遂成乙丁戊勾股形乙戊为乙丁为勾求得丁戊股与乙己等为乙丙余弧五十四度之正即甲乙正弧三十六度之余也

设　　　　　　　　【二小余六九】如本弧三十六度之正【九四三七五小余五二五二二九二】五万八千七百七十【小余六九九四三七五】求倍弧七十二度之正余各几何

法以半径十万为一率本弧之正五万八千七百七十八【六度之余与戊辛等】为二率本弧之余八万零九百零一【小余五二五二二九二】为三率求得四率四万七千五百五十二【小余六九九四三七五】倍之得九万五千一百零五【小余八二五八一四七】即倍弧七十二度之正也求余则以三十六度之正五万八千七百七十八【小余六五一六二九四】自乘以半径十万除之得三万四千五百四十九【小余五二五二二九二】倍之得六万九千零九十八【小余一五○二八一二】与半径十万相减余三万零九百零一【小余三○○五六二四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度乙己为三十六度之正【小余六九九四三七六】庚乙为三十【葢辛甲与乙己等则戊辛必与戊己等戊己即庚乙也】丁壬为七十二度之正试与乙己平行作辛癸线遂成戊乙己戊辛癸同式两勾股形其戊乙己勾股形之戊乙与乙己勾之比同于戊辛癸勾股形之戊辛与辛癸勾之比为相当比例四率而辛癸与子壬等为丁壬之半【葢辛甲为丁甲之半则辛癸亦为丁壬之半】故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正也又如求余其甲辛戊甲癸辛为同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲癸辛勾股形之甲辛与甲癸勾之比为相连比例三率既得甲癸倍之得甲壬【葢甲丁为甲辛之倍则甲壬亦为甲癸之倍】与甲戊半径相减余壬戊与丁丑等即甲丁七十二度之余也

设如本弧四十五度之正七万零七百一十【小余六七八一一八六】余亦七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之正几何

法以本弧之正七万零七百一十【八十九小余六七八一】为股本弧之余七万零七百一十【一八六小余六七八一】与半径十万相减余二万九千二百八十九【一八六小余三二一八】为勾求得七万六千五百三十六【八一四小余六八六四】折半得三万八千二百六十八【七三○小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余于戊甲半径内减去戊己余己甲为勾乙己为股求得乙甲为四十五度之通折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正也

又捷法以本弧四十五度之余七万零七百一十【三六五小余六七八一】与半【一八六】径十万相减余二万九千二百【小余三二一八几何】折半得一万四千六百四十四【八一四小余六六○九】与半径十万相乘开方得三万八千二百六十八【四○七小余三四三二】即半弧二十二度三十分之正也葢乙己为四十五度之正甲己为四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正如与乙己平行作一辛壬线平分甲己于壬成甲辛戊甲壬辛同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊与甲辛勾之比同于甲壬辛勾股形之甲辛与甲壬勾之比为连比例三率故首率甲戊与末率甲壬相乘【三六五首率甲戊与末率甲壬相乘与中率甲辛自乘之】开方得甲辛为二十二度三十分之正也

新增有本弧之余求倍弧之余及半弧之余

设　　　　　　【积相等】如本弧三十六度之余八万零九【小余六九九四三七五】百零一求倍弧七十二度之余

法以本弧三十六度之余八万零九百零一【小余六九九四三七五】自乘以半径十万除之得六万五千四百五十【小余八四九七一八七】与半径十万相减余三万四千五百四十九【小余一五○二八一三】倍之得六万九千零九十八【小余三○○五六二六】仍与半径十万相减余三万零九百零一【小余六九九四三七四】即倍弧七十二度之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度丁己为三十六度之正戊己为三十六度之余丁庚为七十二度之正辛丁为七十二度之余与戊庚等试自己至壬作己壬垂线遂成甲己戊己壬戊同式两勾股形其甲己戊勾股形之戊甲与戊己股之比同于己壬戊勾股形之戊己与戊壬股之比为连比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬与戊甲半径相减余壬甲倍之得庚甲仍与戊甲半径相减余戊庚与辛丁等即甲丁弧七十二度之余也

设如本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】求半弧二十二度三十分之余几何法以本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】与半径十万相减余二万九千二百八十九【小余三二一八八一四】折半得一万四千六百四十四【小余六六○九四○七】与本弧四十五度之余七万零七百一十【小余六七八一一八六】相加得八万五千三百五十五【小余三三九○五九三】与半径十万相乘开方得九万二千三百八十七【小余九五三二五一一】即半弧二十二度三十分之余也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正戊己与庚乙等为四十五度之余乙辛为二十二度三十分之正戊辛为二十二度三十分之余戊己四十五度之余与戊甲半径相减余己甲折半得己壬再与戊己相加得戊壬试自辛至壬作辛壬垂线遂成甲辛戊辛壬戊同式两勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲与戊辛股之比同于辛壬戊勾股形之戊辛与戊壬股之比为连比例三率故首率戊甲与末率戊壬相乘开方得戊辛为二十二度三十分之余也

新增有本弧之正求其三分之一弧之正

设如三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】求其三分之一十二度之正几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以三十六度之正五万八千七百七十八【小余五二五二二九二】倍之得一十一万七千五百五十七【小余○五○四五八四】为七十二度之通乃以半径十万自乘得一百亿用七十二度之通再乘得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得四万一千五百八十二【小余三三八一六三四】为二十四度之通折半得二万零七百九十一【小余一六九○八一七】即十二度之正也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁为其正倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧其通甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形又庚戊半径截甲己通于辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲边作庚壬线成一庚辛壬三角形此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形其相当各边俱成相连比例故戊甲为一率甲庚为二率庚辛为三率辛壬为四率也今甲己七十二度之通内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率【葢己癸癸壬辛甲三段皆与甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通内有己癸癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也】若以甲己通为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体则比三倍二率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体此扁方体与二率自乘再乘之正方体等故以一率半径自乘之三方面为法除实每次所得二率之数自乘再乘益入原积则积渐增与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合而除得之数即为二率既得甲庚二率为二十四度之通半之得甲子即甲丑弧十二度之正也

二简法【以两四率相有两弧之正余求两弧相加相减之正有距六十度前后相等弧之正求】

设如四十五度之正七万零七百一十【距弧之正小余六七】余亦七万零七百一十【八一一八六小余六七】又有二十四度之正四万零六百七十三【八一一八六小余六六】余九万一千三百五十四【四三○七五小余五四】求两弧相加六十九度之正及两弧相减二十一度之正各几何

法以半径十万为一率四十五度之正七万零七百一十【五七六四二小余六七】为二率二十四度之余九万一千三百五十四【八一一八六小余五四】为三率求得四率六万四千五百九十七【五七六四二小余四一】又以半径十万为一率四十五度之余七万零七百一十【八八○二○小余六七】为二率二十四度之正四万零六百七十三【八一

一八六小余六六】　　　　　　　　　　　　　　　　【四三○七五】为三率求得四率二万八【小余六二三八四七六】千七百六十乃加得九万三千三百五十八【小余○四二六四九六】即两弧相加所得六十九度之正如以两四率相减余三万五千八百三十六【小余七九四九五四五】即两弧相减所余二十一度之正也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己为四十五度之正己戊为四十五度之余于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度余子甲弧二十一度试自丙至子作丙子线则丙乙弧乙子弧皆为二十四度丙庚与庚子皆为二十四度之正庚戊则为二十四度之余今以乙戊半径为一率乙己四十五度之正为二率庚戊二十四度之余为三率求得四率庚辛与壬癸等又以乙戊半径为一率己戊四十五度之余为二率丙庚二十四度之正为三率求得四率丙壬故以丙壬加于庚辛【庚辛原与壬癸等】共得丙癸即丙甲弧六十九度之正如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘余夘辛与子丑等即子甲弧二十一度之正也葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也