御制数理精蕴

丙乙矣依前

推显庚甲乙大于辛乙丙庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣

十七题

凡三角形之毎两角必小于两直角

解曰甲乙丙角形题言毎两角并俱小于两直角

论曰试引丙乙至丁甲乙丙甲乙丁两角并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并小于两直角矣余二角仿此

十八题

凡三角形大邉对大角小邉对小角

解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于甲丙两角

论曰试于甲丙线上截甲丁与甲乙等作乙丁线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不更大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则甲角亦大于丙角依此推显十九题

凡三角形大角对大边小角对小边

二十题

凡三角形之两边并必大于一边

二十一题

凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并必小于相对两腰并而后两线所作角必大于相对角

解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小

于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角二十二题

三直线其毎两线并大于一线求作三角形

法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本巻二十】求作三角形先任作丁戊线长于三线并次截丁己与甲等截己庚与乙等

截庚辛与丙等次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚己为底作癸庚癸己两线即得己癸庚三角形【壬防亦可作　若两圜不相交即是两线或等或小于第三线不成三角形】

用法先作丁戊线与乙等次以丁为心甲为度向上作短界线次以戊为心丙为度亦如

之交处得己末作己丁己戊两线为所求【若设一三角形求别作一形与之等亦用此法】

二十三题

一直线任于一防上求作一角与所设角等

法曰甲乙线于丙防求作一角与丁戊己角等先任作庚辛线成庚戊辛角形

次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛等【本卷二二】二十四题

两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大

解曰甲乙丙与丁戊庚两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁庚两腰各等若

甲角大于戊丁庚角题言乙丙底亦大于戊庚底耕曰设丁戊己与甲乙丙形等则角与底必俱等若丁己线开至辛甲角小于丁角而乙丙底亦必小于戊辛底若丁己线敛至庚甲角大于丁角而乙丙底亦大于戊庚底

二十五题

两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大

二十六题

两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对

解曰甲乙丙形之乙丙两角与丁戊己形之戊己两角各等或两角内之乙丙边与戊己边等或对丙角之甲乙边与对己角之

丁戊邉等题言两形之余两边一角必俱等

二十七题

两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行

解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行

论曰如不平行两线必相遇于壬成庚辛壬三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等则两线必平行

二十八题

两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行

解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛题言若戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等则两线必平行又言若甲庚辛与丙辛庚同方两内角并与两直角等则两线必平行

二十九题

两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】

三十题

两直线与他直线平行则元两线亦平行【此题所指线在同面者不同面线后别有论】

三十一题

一防上求作直线与所设直线平行

法曰甲防求作直线与乙丙平行先从甲向乙丙线任作甲丁线即乙丙线上成甲丁乙角次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为

戊甲丁引长戊甲至己即己戊为所求

论曰戊甲丁甲丁乙相对之两内角等两线必平行【本巻二八】

用法先从甲防作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界少长于戊己次取戊己度截庚辛圜界于辛

末作甲辛线为所求

又用法以甲防为心于乙丙线近乙处任作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙线向丙作短界线为戊次用元度以戊为心向

上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲之平处作短界线两界线交处为己末作己甲线为所求又用法取甲至乙丙线为度于乙丙线近乙处任指一防为心作短界线于甲次用元度近丙处任指一防为心作短界线于丁末作

丁甲线为所求【出几何要法】

増从此题生一用法设一角两线求作四边形有

角与所设角等

法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊与甲等己丁与乙等末依丁戊平行作己庚

依丁己平行作庚戊为所求

三十二题【二支】

凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等

先解曰甲乙丙角形乙丙边引至丁题言甲丙丁

外角与甲乙两内角并等

论曰试作戊丙线与甲乙平行即甲丙为甲

乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等

后解曰甲乙丙三角并与两直角等

论曰甲丙乙甲丙丁两角并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等是三角亦与两直角等

増从此推知第一形当两直角第二形【可分三角形二】当

四直角第三形【可分三角形三】当六

直角第四形【可分三角形四】当八直

角从此可推至无穷

耕曰不论何形凡形四边可当四直角五边可当六直角六边可当八直角七边可当十直角从此可推至无穷

一糸凡诸种角形之三角并俱相等

二糸凡两腰等角形若腰间直角则余两角毎当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间鋭角则余两角俱大于半直角

三糸平边角形毎当直角三分之二

四糸甲乙丙平边角形以甲丁垂线分之其丁甲丙丁甲乙两角毎当直角三分之一乙丙两角毎

当直角三分之二

増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线

三十三题

两平行相等线有两线聨之其两线亦平行亦相等

三十四题

凡平行线方形毎相对两边线各等毎相对两角各等对角线分本形两平分

解曰甲乙丙丁平行方形题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角丁与甲两角各等又言若作甲丁对角线

即分本形为两平分

三十五题

两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形同丙丁底题言两形等【等者谓所函之地等后言形等者多仿此】

先论己防在甲戊之内曰甲戊己乙两线等试于两线各减己戊余甲己戊乙亦等因显甲丙己戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角

形毎加一丙丁戊己四边形即丙丁戊甲丙丁乙己两方形安得不等

次论己戊同防曰甲丙戊戊丁乙两角形等次于两角形毎加一丙戊丁角形即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形故等

后论己防在甲戊之外曰甲戊己乙两线等

而毎加一戊己线即甲己与戊乙两线亦等因显己甲丙乙戊丁两角形亦等次毎减一己戊庚角形加一庚丁丙角形即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形故等

三十六题

两平行线内有两平行方形若底等则形亦等

解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底

等题言两形亦等

论曰试作丙庚戊乙两线成庚丙戊乙方形此形与庚辛丁乙方形同庚乙底必等与甲丙戊己方形同丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等

三十七题

两平行线内有两三角形若同底则两形必等

三十八题

两平行线内有两三角形若底等则两形必等

耕曰三角形当等髙等底方形之半两方形等则两角形必亦等论同前二题平行方形

増甲乙丙角形任于乙丙边平分于丁作丁甲线

即分本形为两平分

论曰试于甲角上作直线与乙丙平行则甲

乙丁甲丁丙两角形在平行线内两底等则两形亦等

二増甲乙丙角形从丁防求两平分法先作丁甲线次平分乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作

己丁线即分本形为两平分

论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在平行线内同己戊底必等而毎加一己

戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等夫甲戊丙为甲乙丙之半则己丁丙亦甲乙丙之半

三十九题

两三角形其底同其形等必在两平行线内

四十题

两三角形其底等其形等必在两平行线内

四十一题

两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形

四十二题

有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等

法曰求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先平分乙丙边于戊次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行末作

丙庚线与戊己平行即得己戊丙庚方形为所求四十三题

凡方形对角线旁两余方形自相等

解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之壬戊与丁庚两余方形自相等

论曰甲乙丙甲丙丁两角形等又甲戊庚甲庚辛两角形庚壬丙庚丙己两角形各等于甲乙丙形内减甲庚戊庚壬丙两形

于甲丙丁形内减甲庚辛庚丙己两形则所存壬戊丁庚两余方形安得不等

四十四题

一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等

法曰求于甲线上作平行方形与乙等而有丙角先作己丁方形与乙等而戊己庚角与丙等次引

长丁戊庚己两线为戊壬己辛令各与甲等次作壬己对角线引出之次引长戊己丁庚两线而丁庚遇对角

线于癸末作癸子与庚辛平行作壬子与戊丑平行即己丑子辛平行方形为所求【论同本巻四二四三】

四十五题

有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等

法曰求作平行方形与甲乙丙五边形等而有丁

角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛方形与甲等而有丁角次引长戊辛己庚作庚辛壬癸方

形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑方形与丙等而有丁角即此三形并成一平行方形为所求【自五以上仿此法论同本巻四二四四】

増题甲乙两形甲大乙小以乙减甲求较几何法先任作丁丙己戊方形与甲等次于丙丁线上作丁丙辛庚方形与乙等即得辛庚戊己为甲乙相减之较

四十六题

一直线上求立直角方形

法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丙甲丁乙皆与甲乙线等末

作丙丁聨之即直角方形

四十七题

凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作直角方形并等

解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并

等

曰试从甲作甲癸直线

与乙戊平行分乙丙邉于

子次自甲至丁至戊各作

直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己既皆直角而毎加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两邉与丙乙己角形之己乙乙丙两

边等甲乙戊与丙乙己两

角既等则对等角之甲戊

与丙己两边亦等而此两

角形亦等矣夫乙庚方形

倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则乙庚方形不与戊子直角形等乎依显丙壬与癸丙两形亦等是戊丙一形与乙庚丙壬两形并等矣

一増凡直角方形之对角线上所作直角方形倍大于元形

二増设不等两方形一以甲为邉一以乙为邉求别作两方形自相等而并之又与元设两形并等法先作丙丁戊形令丙丁与甲等

丙戊与乙等而直角末于丁戊两端各作半直角两腰遇于己而等则己必直角【本卷三二】即己戊己丁上两方形自相等并之又与甲乙上两方形并等论曰丁戊上方形与丁丙丙戊上两方形并等又与丁己己戊上两方形并等是丁己己戊上两方形并与丁丙丙戊上两方形并亦等

三増多直角方形求并作一方形设不等五方形其边为甲乙丙丁戊先作己庚辛直角令己庚与甲等辛庚与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角令辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角令壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角令癸子与戊等末作己子线即己子线上所作方形为所求

论曰辛己上方形与甲乙上两方形并等己壬上方形与甲乙丙上三方形并等余仿此

四増甲乙丙三边直角形以两边求第三边长短之度如先得甲乙数六甲丙数八求乙丙之数其甲乙甲丙上两方形并既与乙丙上方形等甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四并之得百而乙丙之羃亦百开方

得十即乙丙之数也又设先得甲乙六乙丙十而求甲丙之数乙丙之羃百减甲乙之羃三十六余六十四开方得八即甲丙之数也求甲乙仿此四十八题

凡三角形之一边上所作直角方形与余边上所作两直角方形并等则对一边之角必直角

几何论约卷一

钦定四库全书

几何论约卷二之首

柘城杜知耕撰

界説二则

一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度若别作两线与甲乙

乙丙各等亦知丁乙直角形大小之度则两线为直角形之矩线

二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形如乙丁方形不论斜直作甲丙对角线从庚防作戊己辛壬两线与方边平行而分本形为四方形其辛己戊壬为余方形辛戊己壬为角线方形两余方形任

与壬己一角线方形并形曲如磬谓之癸子庚磬折形用戊辛角线方形仿此

钦定四库全书

几何论约卷二

柘城杜知耕撰

一题

两直线任于一直线分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等

解曰甲与乙丙两线任于乙丙三分之为乙丁戊丙题言甲偕乙丙矩内形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩内形并等

论曰乙己全形即甲偕乙丙矩内形乙辛丁壬戊己三分形即甲偕乙丁丁戊戊丙三矩内形故三分形并与全形等

二题

一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内形并等

三题

一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙任偕一分线甲丙矩内形【不论甲丙为大分为小分】与分余丙乙偕甲丙

矩内形及甲丙上方形并等

论曰甲己为元线甲乙偕分线甲

丙矩内形甲丁为分线甲丙上方

形丙己为甲丙偕分余线丙乙矩内形是甲丁及丙己两分形并与甲己全形等

四题

一直线任两分之其元线上直角方形与各分线上两直角方形及两分线矩内形二并等

解曰甲乙线任分于丙题言甲乙线上方形与甲丙丙乙线上两方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙

两矩内形并等

论曰甲丁为甲乙元线上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲庚

庚丁俱甲丙偕丙乙矩内形也故四形并与甲乙元线上甲丁方形等

糸凡直角方形之角线形皆直角方形

五题

一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内形及分内线上方形并与平分半线上方形等

解曰甲乙线平分于丙又任分于丁其丙丁为分内线【丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所以大于甲丙之较故曰分内线】题言甲丁丁乙矩内形及分内线丙丁上方形并与丙乙线上方形等论曰癸庚为丙丁上方形丁壬为丁乙

上方形丙辛辛己为两余方自相等辛己加一丁壬则与丙壬等即与甲癸等甲癸加一丙辛即甲丁偕丁乙矩内形岂不与卯寅丑磬折形等乎故加一丙丁上癸庚方形与丙乙线上方形等

六题

一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内形及半元线上方形并与半元线偕引増线上方形等

解曰甲乙线平分于丙又从乙引増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩内形及半元线丙乙上方形并与丙丁上方形等论曰甲癸与丙辛等又丙辛与辛戊等【一卷】

【四三】即辛戊与甲癸亦等甲癸加一丙壬即甲丁偕丁乙矩内形与卯寅丑磬折形等矣故加一乙丙上癸庚方形与丁丙上丙戊方形等

七题

一直线任两分之其元线上及任用一分线上两方形并与元线偕一分线矩内形二及分余线上方形并等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用

一分线甲丙上两方形并【不论甲丙

为大分为小分】与甲乙偕甲丙矩内形

二及分余线丙乙上方形并等

论曰甲丁为甲乙上方形辛己为甲丙上方形丙壬为丙乙上方形甲己与辛丁皆甲乙偕甲丙矩内形也两矩内形及丙壬方形并与甲丁方形较多一辛己方形故与甲乙及甲丙上两方形并等八题

一直线任两分之其元线偕初分线矩内形四及分余线上方形并与元线偕初分线上方形等

解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内形四【不论丙乙为大分为小分】及分余线甲丙上方形并与甲乙偕丙乙【通作一线】上方形等

论曰丙己庚壬壬丁丁乙皆甲乙偕丙乙矩内形甲子为甲丙上方形此五形并与甲乙偕丙乙上方形

等甲乙偕丙乙上方形即癸己

全形也

九题

一直线两平分之又任两分之任分线上两方形并倍大于平分半线上及分内线上两方形并

解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两方形并倍大于平分半线甲丙上分余线

丙丁上两方形并

论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行成戊庚己甲丙戊己丁乙角形三皆两腰等而直角末作甲己线成己戊甲甲丁己角形二

皆直角戊庚己形之戊己上方必倍大于己庚上方即倍大于等己庚之丙丁上方甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方又甲戊己形之甲己上方与戊己甲戊上两方形并等即甲己上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲己上方与甲丁丁己上两方形并等即与甲丁及等丁己之丁乙上两方形并等夫甲丁丁乙上两方形并既等于甲己上方形必亦倍大于甲丙丙丁上两方形并十题

一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引增线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并

解曰甲乙线平分于丙又任引増乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两方形并

论曰自丙作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又引长戊乙相遇于庚次作戊己线

与丙丁平行成甲丙戊戊己庚庚丁乙角形三各两腰等而直角末作甲庚线成甲戊庚甲丁庚角形二皆直角甲丙戊形之甲戊上方必倍大于甲丙上方戊己庚形之戊庚上方必倍大于等戊己之丙丁上方又甲庚上方与甲戊戊庚上两方形并等即甲庚上方亦倍大于甲丙丙丁上两方形并又甲丁及等丁庚之丁乙上两方形并与甲庚上方形等是甲丁丁乙上两方形并亦倍大于甲丙丙丁上两方形并矣

十一题

一直线求两分之而元线偕初分线矩内形与分余线上方形等

法曰甲乙线求两分之令元线偕初分小线矩内形与分余大线上方形等先

于甲乙线上作甲丙方形次平分甲丁于戊作戊乙线次引戊甲线至己令戊己与戊乙等末截甲乙于庚令甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩内形与甲庚上方形等为所求

论曰从庚作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行庚丙为甲乙乙庚矩内形己庚为甲庚上方形己壬为丁己偕甲己矩内形于己壬増一甲戊上方形必与等戊己之戊乙上方形等【本巻六】戊乙上方形又与戊甲甲乙

上两方形并等是戊甲甲乙上两方形并与己壬及戊甲上方形并亦等矣次各减同用之戊甲上方形所存甲丙己壬两形不亦等乎再各减同用之甲壬形所存甲乙乙庚矩内形【即庚丙形】与甲庚上方形【即己庚形】必相等【此题所求即理分中末线详六巻三十】

十二题

三边钝角形其对钝角边上方形大于余邉上两方形并其较为钝角旁任用一邉偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内形二

解曰甲乙丙钝角形乙为钝角从余角下一垂线

与钝角旁一邉丙乙引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙邉上方

形大于甲乙乙丙两邉上方形并其较为丙乙偕乙丁矩内形二

论曰丙丁线任分于乙即丙丁上方形与丙乙乙丁上两方形及丙乙偕乙丁矩内形二并等【本卷四】

甲丙上方形与甲丁丙丁上两方形并等即与甲丁乙丁丙乙上三方形

及丙乙偕乙丁矩内形二并等也又甲乙上方形与甲丁乙丁上两方形并等于甲乙上方形再増一丙乙上方形而与甲丙上方形较仍朒丙乙偕乙丁矩内形二也