数学九章

所得二万四千六百八十贯以乗蒺藜差一三六得二万四千六百八十贯以乘蒺藜七万四千四十贯为中率得一十四万八千八十贯为下率然后各以息厘数乘各库三乗【此是变文为库】其甲以一厘乗上率二十四万六千九百贯得二千四百六十九贯为上息以二厘五毫乘中率一十六万四千六百贯得四千一百一十五贯为中息以三厘乘下率八万二千三百贯得二千四百六十九贯为下息并上中下三息得九千五十三贯文为甲库共息其乙库以一厘乗上率二万六千四百五十贯得二百六十四贯五百文为上息以二厘五毫乗中率一十万五千八百贯得二千六百四十五贯为中息以三厘乗下率二十三万八千五十贯得七千一百四十一贯五百为下息并上中下三息得一万五十一贯文为乙库共息其丙库以一厘乗上率二万四千六百八十贯得二百四十六贯八百为上息以二厘五毫乘中率七万四千四十贯得一千八百五十一贯为中息以三厘乗下率一十四万八千八十贯得四千四百四十二贯四百文为下息并上中下三息得六千五百四十贯二百文为丙库共息并三库共息得二万五千六百四十四贯二百文为总息

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>

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易牒知原【按旧本此问无题今増入】

问出度牒差人营运毎三道易盐一十三袋盐二袋易布八十四疋布一十五疋易绢三疋半绢六疋易银七两二钱今趂到银九千一百七十二两八钱欲知原闗度牒道数几何

答曰度牒一百八十道

术曰以粟米互乘易法求之列各数以本色相对如鴈翅以多一事者相乗为实以少一事者相乘为法除之

草曰先以度牒三道乗盐二袋得六以乘布一十五得九十文乗绢六疋得五百四十乃乗银九万一千七百二十八钱得四千九百五十三万三千一百二十钱为实次以盐一十三袋乗布八十四得一千九十二以乗绢三疋五分得三千八百二十二乃乘银七两二钱得二十七万五千一百八十四钱为法除实得一百八十道为原闗度牒

粟米交易【按旧本此问无题今増】

问菽三升易小麦二升小麦一升五合易油麻八合油麻一升二合易粳米一升八合今将菽一十四石四斗欲易油麻又将小麦二十一石六斗欲易粳米问各几何

答曰油麻五石一斗二升　粳米一十七石二斗

八升

术曰以粟米换易求之置原易率本色对列如鴈翅以多一事者相乘为实以少一事者相乗为法除之各得或问数不干其率者不置

草曰置四色六数列六位率如鴈翅皆化为合先将菽一十四石四斗化作一万四千四百合乃对前二句率数四位如鴈翅至欲易油麻止共五事为上图次将小麦二十一石六斗化为二万一千六百合乃对后两句率四位鴈翅至欲粳米止共五事为下图下图其上图以菽一万四千四百合乘麦二十得二十八万八千又乗油麻八合得二百三十万四千合为油麻实次以菽三十合乘麦一十五合得四百五十合为法除之得五千一百二十合展为五石一斗二升为油麻其下图以小麦二万一千六百合乗油麻八合得一十七万二千八百合又乗粳米一十八合得三百一十一万四百合为粳米实以小麦一以五合乗油麻一十二合得一百八十合为法除之得一万七千二百八十展作一十七石二斗八升为粳米

计米易麴【按旧本此问无题今增】

问库率粳谷七石出米三石糯米一斗易小麦一斗七升小麦五升踏麴二斤四两麴一百一十斤酝糯米一石三斗今有糯谷一千七百五十九石三斗八升欲出谷做米易麦踏麴还自酝余谷之米须令适足各合几何

答曰共谷一千七百五十九石三斗八升出谷九百二十四石得米三百九十六石易麦六百七十三石二斗踏麴三万二百九十四斤余谷八百三十五石三斗八升酝米三百五十八石二升

术曰以粟米换易求之置诸率随本色对列如鴈翅有分者通之异类者变之以头位者进乗之以下位退乗之得合数有对者相乗之无对者直命之为诸率并上下无对者为法率【诸率可约者又约之】以今有物徧乘诸率【不乗法率】各为实诸实并如法而一各得其已变者复互易乗除之即得所求

草曰置糯谷七出米三于右行上副两位次置糯米一斗麦一斗七升于副行副中两位次置小麦五升踏麦二斤四两于次行中次两位次置麦一百一十觔酝米一石三斗于左行次下两位随本色对列如鴈翅讫乃验次行二斤四两是四分斤之一以母四通次行两位以子一内次行次位具中位得二次位得九又验左行下位是糯米是异类于糯米合变为糯谷乃以问中首句率谷七米三变之以七因米一石三斗得九石一斗于左下为谷却以米三因麴一百一十斤为三百三十斤麴于左行得变图数以左行三百三十乗次行二得六百六十次以六百六十乘副行一十得六千六百次以六千六百乗右上七得四万六千二百各于原位却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升又以五斗一升乗次行九得四百五十九又以四百五十九乗左下九十一得四万一千七百六十九列为合图数乃验合图四行其副中次三位有对以对相乗合之其右上左下无对者直命之皆为率列右行上得四万六千二百为出糯谷率副位得一万九千八百为得糯米率中得三万三千六百六十为易得麦率次得一万五千一百四十七为踏到麴率下得四万一千七百六十九为余下糯谷率并上下率共得八万七千九百六十九为法率今六率共求等得一约之只得原率为率图始用今有谷一千七百五十九石三斗八升皆化为升徧乘五率不乗法率得八十一亿二千八百三十三万五千六百升为出谷实得三十四亿八千三百五十七万二千四百升为糯米实得五十九亿二千二百七万三千八十升为易麦实得二十六亿六千四百九十三万二千八百八十六为踏麴实得七十三亿四千八百七十五万四千三百二十二升为余谷实其五实皆如法八万七千九百六十九而一得九百二十四石为出谷得三百九十六石为做到糯米得六百七十三石二斗为易到小麦得三万二百九十四斤为踏到麴得八百三十五石三斗八升为余下谷今将余下谷变为米乃以乗率三因余谷八百三十五石三斗八升得二千五百六石一斗四升为实以糯谷率七为法除之得三百五十八石二升为酝米

按术中互乗进乗退乗对乗皆通分法也张邱建云学者不患乗除之为难而患通分之为难此术曲尽其妙今各释于后

第一图互乗以右上谷七乗左下米一十三得九十一应以右下米三除之方得谷数今不除便如得谷数又以米三乗之矣故以米三乗麴一十一得三十三与谷数九十一相当仍同于麴一十一与米一十三相当也

第二图左进乗自下而上右退乗自上而下左四位连乗至谷应以右上三位连乗之数除之得踏麴三十三所用谷数今不除为寄右上三位连乗之数为分母右四位连乘至谷即如麴三十三所酝谷数同寄右上三位连乗之数为分母也并之即如踏麴用谷麴所酝谷总数同寄右上三位连乗之分也

第三图对乗左下一位麴数以前寄分母右上三位连乗之数乗之即同寄一分母也左下二位相乗应以右上第三位除之得踏麴所用麦数不除为寄右上第三位麴数又以右上二位相乘之数乗之是应用麦数内同寄右上三位连乘之分母也左下三位连乘应以右中二位相乗之数除之得易麦应用米数不除为寄右中二位相乗之数又以右上第一位米数乗之是应用米数内同寄右上三位连乗之分母也右总谷出谷余谷易米易麦踏麴六数皆同寄一分母则用以乗除求得数即与本数无异故以题中总谷数乗寄分母各数以寄分母总数除之即得所求各数也

再此术不独法之巧即图式布置亦皆皆具精义熟玩之可以得其往来变通之故原第三合图仍斜排为上图第四率图即各寄寄母数直列为下图今合图改为正图列于右各得寄母数并列于左

囘运费

问有江西水运米一十二万三千四百石原系镇江交卸计水程二千一百三十里每石水脚钱一贯二百文今截上件米就池州安顿池州至镇江八百八十里欲收囘不该水脚钱几何

答曰收囘钱六万一千一百七十八贯五百九十一文

术曰以粟米互易求之置池州至镇江里数乗水脚钱得数又乗运米为实以原至镇江水程为法除实得收囘钱

草曰置池州至镇江八百八十里乗毎石水脚钱一贯二百得一千五十六贯文又乗运米一十二万三千四百石得一亿三千三十一万四百贯文为实以原至镇江水程二千一百三十里为法除实得六万一千一百七十八贯五百九十一文为收囘钱三合均价【按旧本此问无题今増】

问库有三色金共五千两内八分金一千二百五十两两价四百贯文七分五厘金一千六百两两价三百七十五贯文八分五厘金二千一百五十两两价四百二十五贯文并欲炼为足色每两工食药炭钱三贯文耗金九百七十二两五钱欲知色分及两价各几何答曰色十分

两价五百三贯七百二十四文五百三十七分文之二百一十二

术曰以方田及粟米求之置共数以耗减之余为法以三色分数各乗两数并之为色分实以三色价数各乗两数为寄以工药价乗共金并寄共为价实二实皆如法而一即各得

草曰置共金五千两减耗九百七十二两五钱外余四千二十七两五钱为法次置一千二百五十两乘八分得一万分于上置一千六百两以七分五厘乗之得一万二千分加上置二千一百五十两乗八分五厘得一万八千二百七十五分又加上共得四万二百七十五分为分实次置一千二百五十两乗四百贯得五十万贯为寄次置一千六百两乘价三百七十五贯得六十万贯加寄次置二千一百五十两乗价四百二十五贯得九十一万三千七百五十贯又加寄次置共金五千两乗工药钱三贯得一万五千贯又加寄共得二百二万八千七百五十贯为贯实二实并如法四千二十七两五钱而一得其色一十分其价每两得五百三贯七百二十四文不尽一贯五百九十与法求等得七十五俱约之为五百三十七文之二百一十二

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷六下>

其色实余尽得一十分为金色其价除得五百三贯七百二十四文为十分金毎两价不尽一贯五百九十文与法求等得七半俱以约之为五百三十七分文之二百一十二

数学九章卷六下

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷七上　　　宋　秦九韶　撰营建

计作清台

问剏筑清台一所正高一十二丈上广五丈袤七丈下广一十五丈袤一十七丈其袤当东西广当南北秋程人日行六十里里法三百六十步镢土锹土每工各二百尺筑土每工九十尺每担土壤一尺三寸徃来一百六十步内四十步上下棚道筑高至少半其棚道三当平道五至中半三当七至太半二当五踟蹰之间十加一载输之间二十步定一返今甲乙丙三县差夫甲县附郭税力一十三万三千八百六十六乙县去台所一百二十里税力二十三万七千九百八十四丙县去台所一百八十里税力三十一万二千三百五十四俱以道里逺近税力多少均科之台下铺石脚七层先用甎砌台身次用甎叠砌转道周围五带并濶六尺须令南北二平道东西三峻道相间始自台之艮隅于东外道向南顺升由巽隅以西左转周回厯北复东再升东里道至巽隅乃登台顶其东里道艮隅与北平道两隅及西道干隅之高皆以强半其西道坤隅与南道两隅东外道异隅之高皆以五分之二峻道毎级履高六寸其东里道级数取弱半东外道级数取五分之二西道级数取强半石长五尺濶二尺厚五寸甎长一尺二寸濶六寸厚二寸五分欲知土积定一返步毎工人到土及总用功各县起夫甎石峻平道髙长级数踏踪各几何

答曰土积一百五十四万尺　定一返二百步一十八分步之五【按此条起共十一条数皆误】毎工人到土一百四十尺七百二十一分尺之一百四十八　总用工四万五千六百八十六工　甲县差一万七千一百三十二工乙县差一万五千二百二十九工　丙县差一万三千三百二十五工　石四千三百一十七片　甎一百一十四万二千二十四片　东里道峻艮隅高九丈巽隅高一十一丈九尺四寸级五十踏踏踪二尺

二寸九分　东外道峻艮隅高六寸巽隅高四丈八尺级八十踏踏踪二尺一寸五分　西峻道坤隅高四丈八尺干隅高九丈级七十踏踏踪二尺一寸四分寸之九南平道高四丈八尺　北平道九丈

按右答数中惟第一条土积未二条南北平道高三数无误余数俱有误处其所以不合之故具详草后

术曰以啇功求之均输入之倍台上袤加下袤乗上广为寄倍下袤加上袤乗下广并寄乗高为土率如六而一得坚积以筑工尺为法除坚积得筑工以穿率乗坚积为实以坚率乗镢锹工尺半之为锹法除实得镢锹共工以壤率因坚积如坚率而一为壤积求负土者先列全分及等至高诸母子以母互乗诸子为寄左行以诸母相乗为寄母次列棚道全分及所当鲜母衍子以鲜母互乗衍子为左行以鲜母相乗以乗寄得数又以列位乗之为总母以左右两行诸子对乗之并之为总子其总母求等约之为定母子以定子乘棚道为次以定母乗平道加次义以踟蹰之数身下加之又以载输步乗定母并次为统数以定母除统得定一返步亦为列土法【有分复通为法】置程里通步乗担土尺有歩母则又以步母乗之为到实实如法而一得每工人到土亦为壤法以除壤积得负土工并前锹筑二工为总用工以各县日程数约税力各得力率副并为科法以共用工乗未并者各为科实实如法而一各得县夫求甎者倍转道濶遍加台上下广袤变名上下濶长以甎厚加台高为台直次列甎石长濶厚各相乗为甎石积法通广袤如法乃倍上长加下长乗上濶为寄次倍下长加上长乗濶并寄共乗直得数减土率除如六而一为泛置南北道高子各乗台高为实如各母而一得五道诸隅高以北道高减台余为上停高以南道高减北道高余为中停高命南道高为下停高以履寸除诸高得级数以上长减下长余半之为勾以勾乗南道高为实如台高而一得底率以底率减下长余为底股以外道级数约底股得外道踏踪又以底率减底股余为中股以勾乗中停高为实如台高而一得中率以中率减中股余为上股以西道级除上股得西道踏踪以勾乗上停高为实如台高而一得中率以中率减中股余为上股以西道级除上股得西道踏级以勾乗上停高为实如台高而一得上率以上率并中率共减上股余为实如里道级而一得里道踏踪次以道濶并下长为补以南北道高并台高乗补为需次上广减下广余为址以址乗南道高为实以台高除之得数减下广余为南道长以南长并下广乗南道高加需又以址乗北道高为实以台高除之得数减下广余为北道长以北道长并下广乗北道高又加需共乗半道濶得数并泛为共率以基脚层数乗石版厚为基高次倍道濶并下濶乗下长为基率次以下广乗下袤减基率余乗基高为石率以石率减共率余为甎率以甎积法除甎率得甎数以石级积法除石率得石版数

草曰倍上袤七丈得一十四加下袤一十七丈得三十四丈加上袤七丈得四十一乗下广一十五丈得六百一十五并寄得七百七十乗高一十二丈得九千二百四十丈为土率以六除率一千五百四十丈以千尺通之【按旧本误为十八通之今改正】为一百五十四万尺坚积以筑工九十尺除之得一万七千一百一十一工九分工之一为筑工次以穿率四因坚积得六百一十六万尺为实以坚率三因镢锹工二百尺得六百尺为法除实得一万二百六十六工三分工之二为穿工次以壤率五因坚积得七百七十万尺为壤积以三为母具图如后

乃以右行母互乗左行子左上得一十二副位得九次得六下得一十八乃变右行名为寄子以诸母相乗得一十八为寄母具图如后

次以棚道全分及所当鲜母衍子三当五及三当七并二当五

乃以右行鲜母互乗左行衍子上得四十五副得四十二次得三十下得一十八为右行以鲜母相乗得一十八乃对寄左图列之

乃以左右两行母子对乗之上得五百四十副得三百七十八次得一百八十下得三百二十四母得三百二十四

今以平分术入之并四子得一千四百二十二为总子以列位四乗乗母三百二十四得一千二百九十六为总母

乃以总母子求等得一十八俱约之总子得七十九为定子总母得七十二为定母以定子七十九乗棚道四十步得三千一百六十于次以棚道一四十步减徃来一百六十步余一百二十为平道以乗定七十二得八千六百四十加次共得一万一千八百又以踟蹰十加一放身下加一得一万二千九百八十仍于次又以载二十歩乗定母七十二得一千四百四十并次得一万四千四百二十为统数以定母七十二除统数得二百步不尽约为一十八分步之五为定一返步乃复通分内子得三千六百五为到法乃置程里六十以三百六十通之得二万一千六百步乗担上一尺三寸得二万八千八十尺以到母一十八乗之得五十万五千四百四十尺为到实实如法除得一百四十尺不尽七百四十与法求等得五约之为七百二十一分尺之一百四十八为到土复通分内子得一十万一千八十八又以壤母三因得三十万二千二百六十四尺为壤法次以到土母七百二十一乗壤积七百七十万尺得五十五亿五千一百七十万尺为壤实实如法而一得一万八千三百六工不尽一十四万九千二百一十六与法求等得三十二俱约之为一万八千三百六工九千四百七十七分工之四千六百六十三为担土工

次列前土工图筑一万七千一百一十一工九分工之一及穿工一万二百六十六工三分工之二各通分内子筑率得一十五万四千穿率得三万八百担率一亿七千三百四十九万六百二十五按术当以通率图诸母互乗诸率令騐担母九千四百七十七可用筑母九约亦可用穿母三约故从省以筑母九约担母九千四百七十七得一千五十三为筑率乗数又以穿母三约担母九千四百七十七得三千一百五十九为穿率乗数各以乗数乗本率名曰就母图乃以九千四百七十七变名曰就母先以筑率一十五万四千乗乗数一千五十三得一亿六千二百一十六万二千为筑分次以穿率三万八百乗乗率三千一百五十九得九千七百二十九万七千二百为穿分就以担率一亿七千三百四十九万六百二十五为担分并三分共得四亿三千二百九十四万九千八百二十五为总工分实以就母九千四百七十七除之得四万九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十为总用功具图如后

置各县日程约税力得力率副并为科法工置甲县力一十三万三千八百六十六以一日程为之只得此为甲率又置乙县力二十三万七千九百八十四以二日约得一十一万八千九百九十二为乙率又置丙县力三十一万二千三百五十四以三日约得一十万四千一百一十八为内率

列三求等得一万四千八百七十四俱约之甲得九乙得八丙得七各为定率副并得二十四具图如后

乃以总分四亿三千二百九十四万九千八百二十五遍乗三县定率为各实以就母九千四百七十七乗并率二十四为科法甲得三十八亿九千六百五十四万八千四百二十五乙得三十四亿六千三百五十九万八千六百丙得三十亿三千六十四万八千七百七十五各为实法得二十二万七千四百四十八为科法除各实具图如后

乃以科法除各实甲得一万七千一百三十一工不尽一十三万六千七百三十七为甲县工乙得一万五千二百二十八不尽二万四百五十六为乙县工丙得一万三千三百二十四不尽一十三万一千六百二十三为丙县工诸县不尽皆辈为一工甲合科一万七千一百三十二工乙合科一万五千二百二十九工丙合科一万三千三百二十五工

按此以上所求担土定一返数误其到土工数及总用工数三县合科工数皆误盖题言筑台至少半至中半至太半当自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至台顶共四段其分数自下而上逐层数应取两分数之较草中所列诸分子下设一数上即列三分数其段数既不确又即用各分子全数故求得棚道七十二仅当平道七十九与题中所言二当五三当七当五之数显然不合矣今推歩改正于后

法先求分子较以三之一为第一段分数以三之一与二之一分母对乗得六分母互乗分子三之一得六之二二之一得六之三相减余六之一得第二段分数以二之一与三之二分母对乗得六分母互乗分子二之一得三三之二得四相减余六之一为第三段分数以三分之二与全台三分之三相减余三之一为第四段分数然后列四段母数于右子数于左以各分母连乗又互乗分子得

三百二十四为总分母第一段一

百零八第二段五十四第三段五

十四第四段一百零八为各分子求等数得五十四徧约之总母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二为各段分母子

次列棚道一当平道一为下第一段三当五为第二段三当七为第三段二当五为第四段以棚道数为分母以平道数为分子分母连乗又互乗分子得一十八为总分母第一段得一十八第

二段得三十第三段得四十二第四段得四十五为各分子求等数得三徧约之总母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前后两分母分子【已约之数】各对乗得总母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十并诸子得六十六为总子又求等得六各约之得定母六为棚道数定子一十一为平道数此即合全台数总计凡棚道六当平道一十一也乃以定子一十一乗棚道四十步得四百四十步为次以棚道四十步减一百六十步余一百二十步为平道以定母六乗之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一于身得一千二百七十六步又以载输二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩为统数以定母六除之得二百三十二步又三分步之二为定一返步乃复通分内子得六百九十八为到法乃置程里六十以三百六十步通之得二万一千六百步乗上一尺三寸得二万八千零八十尺以到法分母三乗之得八万四千二百四十尺为到实以到法除之得一百二十尺不尽四百八十约之为三百四十九分尺之二百四十旧名到土复到土复者一工每日所担之坚土数也通分内子得四万二千一百二十以壤母三因之得一十二万六千　百六十尺为壤法次以到土复母乗壤积七百七十万尺得二十六亿八千七百三十万尺为壤实实如法而一得二万一千二百六十七工不尽一千八百八十约之得三千一百五十九分工之四十七为担土工次列筑工穿工担工三数及分母分子互乗以齐之