数学九章

相乘得一千寸为法除之得一十六片二分草中并无求法但云毎丈用石版十片差少六片二分

一石每片用灰十觔甎每片用灰一觔毎丈石用灰一百六十二觔甎用灰八千零三十一觔二共用灰八千一百九十三觔草中石用灰差少六十二觔甎用灰差多四百六十八觔二共用灰差多四百零六觔

一石十片二工甎七百片一工灰千觔一工每丈应用石工三工二分四厘甎工一十一工七百分工之三百三十一灰工八工千分工之一百九十三并之又并土工一千一百工定柱工二十工爬头木工四十工子木工八十工橛索工三十二工共得一千二百九十四工七千分之六千三百四十一草中分子为一千四百八十九差少四千八百五十二分

一求大头工应以共工分母通工数内子为实以分母通所受六十人为法除实得火头二十一工又一十四万分工之八万一千四百四十七草中误以千分通之故分母子数不合求壕寨应仍用前实以分母七千通所管一百二十人为法除实得壕寨十工又二十八万分之二十二万一千四百四十七草中同前误分母子数不合

一前共工火头壕寨三分数通而并之得二工又二十八万分之七万七千九百八十一然后总并之得一千三百二十七工又二十八万分工之七万七千九百八十一其分子不及分母十之三弃之即以一千三百二十七工为定数草中分子仅进一工余数及十之六又进一工故所得定工数亦同

一共用石版二万四千四百六十二觔答数内差少九千三百六十二觔

一共用甎一千二百一十二万六千八百一十觔答数内差多七万零六百六十八觔

一共用灰一千二百三十七万一千四百三十觔答数内差多六十一万三千六十觔右十余条皆依旧草正其舛讹至立法之疎密未暇论也

楼橹功料

问筑城合葢楼橹六十处每处一十间防险髙四尺长三丈厚随甎长卧牛木一十一条长一丈六尺径一尺一寸搭脑木一十一条长二丈径一尺防壕柱一十一条长一丈六尺径一尺二寸副壕柱一十一条长一丈五尺径一尺二寸挂甲柱一十一条长一丈三尺径一尺一寸虎蹲柱一十一条长七尺五寸径一尺仰艎板木四十五条长一丈径一尺二寸平靣板木三十五条长一丈径一尺二寸串挂枋木七十三条长五尺径一尺仰板四八甎结砌三层计六千片每片用灰半觔共用纸觔一百觔墙甎长一尺二寸阔六寸厚二寸半中板瓦七千五百片一尺钉八个八寸钉二百七十个五寸钉一百个四寸钉五十个丁环二十个用工三百九十六人欲知共用工料各几何【按防险墙每甎一片用灰一觔题内缺】

答曰卧牛木六百六十条　搭脑木六百六十条防壕柱六百六十条　副壕柱六百六十条挂甲柱六百六十条　虎蹲柱六百六十

条　串挂枋四千三百八十条　仰板木二千七百条　平板木二千一百条　城甎四万八千片　四八甎三十六万片　石灰二十万八千觔　纸觔六千觔　中板瓦四十五万片　丁环一千二百个　一尺钉四百八十个　八寸钉一万六千二百个　五寸钉六千个　四寸钉三千个　用工二万三千七百六十人

术曰以啇功求之置墙髙乘长得寸为实以甎阔乘厚为法除之得用甎及用灰以处数并乘诸工料得总用工料

草曰置墙髙四尺通为四十寸置长三丈通为三百寸相乘得一万二千寸为实以甎阔六寸乗厚二寸五分得一十五寸为法除之得八百片为墙甎又为灰并四八甎灰三千觔共灰三千八百觔乃以六十处徧乗总用工料卧牛木搭脑木防壕柱副壕柱挂甲柱虎蹲柱仰板木平板木串挂枋木四八甎城甎石灰纸觔中板瓦一尺钉八寸钉五寸钉四寸钉钉环工数各项总数在前

计造石坝

问创石坝一座长三十丈水深四丈二尺令靣阔三丈石版每片长五尺阔二尺厚五寸用灰一十觔每层髙二尺差阔一尺石匠每工九片搬扛五片用工四人搬灰兼用每工一百一十觔火头每名管六十人部押每名管一百二十人所用石湏依原叚不许凿动欲知坝下阔及用石并灰共工各几何

答曰坝下阔五丈　石版一十万八千片　石灰一百万八千觔　用夫一十万三千五百二十八工十一分工之八

术曰以啇功求之招法入之置层髙尺数乗靣阔及长为初率次以差阔尺数乗髙又乗长为次率却以石版长阔厚相乗为法以除二率各得石版为上积及次积置深以层髙尺数约之得层数对二积列之一行各添一拨天地数各以累乗对约之得乗率以对上次积并之为石版以每觔用灰乗石为灰数以匠工片数约版得石匠以搬夫数乗石版为实以扛片数为法除之得人数以搬用灰数除灰得人数并诸工以火头管数约之为火头半之为部

草曰置层髙二尺靣阔三丈相乘得六十尺又乘长三十又得一万八千尺为初率次以差阔一尺乘髙二尺又乘长三十丈得六百尺为次率却以石版长五尺阔二尺厚五寸相乘得五尺为法以除二率得三千六百片为初积一百二十片为次积列右行置深四丈二尺以每层二尺约之得二十一层乘初积三千六百片得七万五千六百片于上次置二十一层减一余二十以乘二十一层得四百二十半之得二百一十乗次积一百二十觔得二万五千二百片加入上共得一十万八百片为石版数次置二十一层减去一余二十以差阔一尺乗之得二丈并上阔三丈共得五丈为下阔之数又置石一十万八百片以每工九约得一万一千二百置石版数以搬扛四人乗之得四十万三千二百为实以五片为法除之得八万六百四十工又置石版数以每片用灰一十觔乗之得一百万八千觔为灰实以毎人担用一百一十觔约之得九千一百六十三工一十一分工之七为灰工于上又并石版工一万一千二百及并搬扛工八万六百四十工加上共得一十万一千三工一十一分工之七通分内子得一百一十一万一千四十为实置火头每名管六十工以乗分母一十一得六百六十为法除实得一千六百八十三工不尽二百六十与法约之为三十三分工之一十三为火头工数半之得八百四十一工三十三分工之二十三为部押壕寨数今众工下十一分工之七以母十一除火头分母三十三得三以三因众工下母子为一十万一千三工三十分工之二十一并三项母子得一十万三千五百二十九工分子五十七满母三十三收一工余二十四与母各三约为十一分工之八为共用一十万三千五百二十八工十一分工之八

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷七下>

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筑埂均功

问曰县共兴筑圩埂长三十六里半甲县出二千七百八十人乙县出一千九百九十人丙县出一千六百三十人丁县出一千三百二十人其甲县先差到一千五百四十四丙县先差到九百六十五夫欲知各合赋役埂长几何【里法三百六十歩】

筑曰甲先到人筑二千六百二十八歩【计七里一百八歩】丙先到人筑一千六百四十二歩半【计四里二百二歩半】

术曰以啇功求之置里通歩作尺为积率并诸县人数为均法法与率可约者约之以科率各乗先到人为实皆法而一各得先筑里歩为先赋埂长续到人合赋功凖此求之

草曰置三十六里五分以里法三百六十歩通之得一万三千一百四十歩又以歩五尺乗之得六万五千七百尺为长率并甲乙丙丁县四县合科人得七千七百二十为均法合法与率可求等得二十以约之率得三千二百八十五法得三百八十六以长率三千二百八十五尺乗甲县先到人一千五百四十四夫得五百七万二千四十人为甲实实如法三百八十六而一得一万三千一百四十尺以歩五尺约之得二千六百二十八歩为甲县先到人所筑积歩又以长率三千二百八十五乗丙县先到人九百六十五夫得三百一十七万二十五尺为丙实实如法三百八十六而一得八千二百一十二尺五寸以歩法五尺约之得一千六百四十二歩半为丙县先到人所筑歩

计浚河渠

问通运河就土筑堤令面广六丈底广四丈上流深八尺下流深一丈六尺长四十八里其堤下广二丈四尺上广一丈八尺与河等未知髙以墟四坚三为率秋程入功每名自运筑墟坚共积常六十尺筑堤至半为棚道取土上下工减五分之一限一月毕欲知河积及堤积尺共用工并日役工数及堤髙各几何

答曰河积六千二百二十万八千尺　堤积四千六百六十五万六千尺　堤髙二丈一尺七分尺之三　共用工二十四万四千九百四十四　日役工八千一百六十四五分工之四

按共用工日用工二数俱误若以共工分工积则每工各得四百四十四尺余其不合明矣辨详草后

术曰以啇功求之并河上下广于上并河上下流深乗之又以长乗为实以四为法除得河积以坚率乗河积为实以墟率为法除得堤积并堤上下广乗堤长半之为法除堤积得堤髙并河堤二积以棚道母半之副置以棚道减工子乗之以棚道减工母除之得数以并其副共为寄以子减母余乗常尺为増子以母乗常尺为増分并増分増子乗寄倍为用工实以増分乗増子又乗限月日为法除实得用人工数

草曰置河上广六丈并底广四丈通之折半得五十尺于上又置河上流深八尺并下流深一丈六尺并之折半得一十二尺以乗上数得六百尺为次置长四十八里以尺里法二千一百六十通之得一十万三千六百八十尺得堤河长以乗次得六千二百二十万八千尺为河积以坚率三因河积得一亿八千六百六十二万四千尺为实以穿率四为法除之得四千六百六十五万六千尺为堤积置上广一丈八尺下广二丈四尺并之为四十二尺以乗堤长一十万三千六百八十尺得四百三十五万四千五百六十尺以半之得二百一十七万七千二百八十尺为法除堤积得二十一尺为堤髙不尽九十三万三千一百二十与法求等得三十一万一千四十俱约之为七分尺之三次置河积六千二百二十万八十尺并堤积四千六百六十五万六千尺得一亿八百八十六万四千尺以棚道筑至半是二除之得五千四百四十三万二千尺副之先以减工之子一【按此以下法皆误】乗之只得此数为实乃后以减工母五为法除之得一千八十八万六千四百尺并副五千四百四十三万二千尺共得六千五百三十一万八千四百尺为寄以折减工五分之一以子一减母五余四以乗常尺六十得二百四十尺为増子以母五乗常尺六十得三百尺为増分以二増并之得五百四十乗寄得三百五十二亿七千一百九十三万六千尺以半之得一百七十亿三千五百九十六万八千尺为用工实【按此下又有脱误】得八千一百六十四为每日人工数不尽一百七十二万八千与法求等四十三万二千俱约之为五分工之四得每日用工八千一百六十四工五分工之四复通分内子得四万七百二十四以三十日乗之得一百二十二万一千七百二十为寔仍以母五约之得二十四万四千三百四十四工为共用工合问

按草中求堤积至宻至防诚数家之要法也至减工子母乗除而下则法与数皆有误焉葢题言棚道减工五分之一是棚道为平道四分之五也四为分母五为分子应以分子五乗上下积五千四百四十三万二千尺得二亿七千二百一十六万尺以分母四乗副半积得二亿一千七百七十二万八千尺并之得四亿八千九百八十八万八千尺为实以分母四乗常尺六十得二百四十尺为法除实得二百零四万一千二百工为共工数以一月三十日除之得六万八千零四十工为每日工数或置分子五乗上半积之得数于上又并分子母得九乗常尺六十得五百四十尺乗上数得一千四百六十九亿六千六百四十万尺为实以分母四乗六十尺得二百四十尺为增母以分子五乗六十尺得三百尺为増子増母子相乗得七万二千尺为法除实得共工数亦与前同此特不用副半积数然不若前法之省草中以五为分母以一为分子母子既以颠倒而又以余分为分子后虽易一为四而母子之名未正故其中累乗累除之数漫无可据而所差甚逺也

围田先计

问有草荡一所广三里纵一百一十八里夏日水深二尺五寸与溪靣等平溪阔一十三丈流长一百三十五里入湖冬日水深一尺欲趁此时围成田于荡中顺纵大港一条磬折通溪顺广小港二十四条其深同其小港阔比大港六分之一大港深比大港靣三分之一大小港底各不及靣一尺取土为埂髙一丈上广六尺下广一丈二尺荡纵当溪其岸髙广倍其埂数上下流各立斗门一所湏令田内止容水八寸遏余水复溪入湖里法三百六十歩歩法五尺欲知田积埂土积大小港底靣深阔冬夏积水田港容水过水溪靣泛髙几何

按题意掘土为港即以其土四邉为埂当溪者髙阔倍之余三邉等语皆未详

答曰田积一千八百六十六顷八畆二十四歩埂土积九百六十五亿五千二百万立方寸大港靣阔六丈一尺七寸　底阔六丈七

寸　深六尺八寸　小港靣阔一丈二寸六分寸之五　底阔九尺二寸六分寸之五深六尺八寸　夏积水二万八千六百七十四亿立方寸　冬积水一万一千四百六十九亿六千万立方寸　田容水九千七十二亿六千九百一十二万立方寸　港容水九百六十五亿五千二百万立方寸【港上者在田内】遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万立方寸溪靣泛髙一尺三寸一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一

按题言大港深比大港靣三分之一答数中大港靣六丈一尺七寸深六尺八寸是九之一不足而非三之一矣此数与题不合以下俱误

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草曰先通歩法为五十寸通三百六十歩得一万八千寸为里法以里法通荡广三里得五万四千为广率又通荡纵一百一十八里得二百一十二万四千为纵率以纵并广率得二百一十七万八千为和以纵率乗广率得一千一百四十六亿九千六百万为寄三因纵率二百一十二万四千得六百三十七万二千于上倍和二百一十七万八千得四百三十五万六千加上得一千七十二万八千为叚次以埂上广六尺并下广一丈二尺得一十八尺乗半埂髙五十寸得九千寸又乗叚一千七十二万八千得九百六十五亿五千二百万为土积亦为港容水以港阔母六因土积得五千七百九十三亿一千二百万为实以阔子一乗小港二十四条又乗广率五万四千得一百二十九万六千为泛以阔母六因纵率二百一十二万四千得一千二百七十四万四千并泛得一千四百四万为隅平方【按大港阔六分差一尺小港阔一分差一尺故此法不免有差】得二百三寸不尽七百三十七万六千四百收为所得一寸乃得二百四寸为堢以深子一乗之以深母三除得六尺八寸为大小港等深次以深母三因堢二百四寸得六百一十二寸为实如深子一而一得六丈一尺二寸为中以不及一尺半之得五寸加中得六丈一尺七寸【按如此则不成分数矣】为大港靣阔如母六而一得一丈二寸六分寸之五为小港靣以不及一尺各减大小港靣得六丈七寸为大港底得九尺二寸六分寸之五为小港底次以埂下广一丈二尺乗叚一千七十二万八千寸得一十二亿八千七百三十六万为址以大港靣六丈一尺七寸乗隅一千四百四万得八十六亿六千二百六十八万为实以阔母六除之得一十四亿四千三百七十八万为港平以并址一千二亿八千七百三十六万得二十七亿三千一百一十四万减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百一十九亿六千四百八十六万为田积寸以歩法五十寸自乗得二千五百除积寸得四千四百七十八万五千九百四十四歩为田积歩以畆法二百四十歩约之得一千八百六十六顷八畆不尽二十四歩为田积以址一十二亿八千七百三十六万减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百三十四亿八百六十四万乗令容水八寸得九千七十二亿六千九百一十二万为田容水次以夏水深二尺五寸乗寄一千一百四十六亿九千六百万得二万八千六百七十四亿寸为夏积水次以冬水深一尺乗寄得一万一千四百六十九亿六千万寸为冬积水乃以田容水九千七十二亿六千九百一十二万并港容水九百六十五亿五千二百万得一万三十八亿二千一百一十二万减夏积水二万八千六百七十四亿寸余一万八千六百三十五亿七千八百八十八万为遏出水当以八节乗之嵗日三百六十除之为实今从省先以八节约嵗日三百六十得四十五为率次以里法一万八千寸通流长一百三十五里得二百四十三万又乗溪阔一十三丈得三十一亿五千九百万以乗除率四十五得一千四百二十一亿五千五百万为法除遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万得一尺三寸为溪靣泛髙不尽一百五十五亿六千三百八十八万与法一千四百二十一亿五千五百万求等得一百八万俱以约之为一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一为泛髙寸下分母之数合问

按草中自求大小港阔深以后既与题问不合且法多疎漏今以立天元一术推明求大小港阔深之法于后至田积水积等不过幂积体积相较初无深义可无论也

法立天元一为一分六因之得六元为大港阔减十寸得六元少十寸为大港底阔并之得十二元少十寸以半深一元乗之得十二平方少十元以纵率因之得二千五百四十八万八千平方少二千一百二十四万元又以天元一为小港阔减十寸得一元少十分为小港底阔并之得二元少十寸以半深一元因之得二平方少十元以二十四广率因之得二百五十九万二千平方少一千二百九十六万元并二数得二千八百零八万平方少三千四百二十万元与土埂共积等而邉各以一万除之得二十八百零八平方少三千四百二十元与九百六十五万五千二百寸等三数又求等得三十六徧约之得七十八平方少九十五元与二十六万八千二百寸等乃以寸数为实以元数为纵以方数为隅带纵平方得方邉为一分数五尺九寸【二五○五三二九】即小港阔减一尺得四尺九寸【二五○五三二九】为小港底阔六因一分数得三丈五尺五寸【五三○一九七三】为大港阔减一尺得三丈四尺五寸【五○三一九七三】为大港底阔二因一分数得一丈一尺八寸【五○一○六五八】为同深以此转求共港容水数乃与共土埂原积数相合

数学九章巻七下

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章巻八上　　　　宋　秦九韶　撰军旅

计立方营

问一军三将将三十三队队一百二十五人遇暮立营人占立地方八尺须令队间容队师居中央欲知营方几何

答曰方营一百七十一丈　队方九丈

术曰以少广求之置人占方幂乗每队人为队实以一为隅开平方所得为队方图【或开不尽就为全尽】次置队数乗将数又四因之増三为寔以二为从隅开平方得率以乗队方面为营方面【开不尽为全数】

按旧图各队四眼内每人作一小圆为识今去之总图内各队仍画四眼今只以一小方为一队旧总图太大难于捡阅今收入半页内又按总图内系百队筭内只有九十九队图中应虚一队旧本未详

草曰置人占八尺自乗得六十四尺为人占方幂以乗每队一百二十五人得八千尺为寔以一为隅开平方歩法常超一位今隅超一度至寔之百下约寔置啇八十尺以啇八十生隅一得八十为方乃命上啇除寔讫实余一千六百次以啇生隅入方得一百六十毕方一退隅再退之复于上啇之次续啇九尺乃以续啇九生隅一入方得一百六十九乃命续啇除寔讫得八十九尺不尽七十九尺就为九十尺得队方面次置三十三队乗三将得九十九又四因得三百九十六増三得三百九十九为寔以二为从方一为从隅开平方歩法以从方进一位至寔之十下隅隅超一位至寔之百下乃约寔置啇一十生隅一入方得一十二乃命上啇除寔讫余二百七十九又以啇一十生隅入方得二十二毕方一退隅再退之续于寔上啇九队以续啇九生隅入方得三十一乃命续啇除寔适尽得一十九乗队方面九十得一千七百十尺展为营方一百七十一丈合问

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷八上>

方变鋭阵

问歩兵五军军一万二千五百人作方阵人立地方八尺欲变为前后鋭阵阵后阔令多原方面半倍阵间仍容骑路五丈以上顺鋭形出入求方阵面鋭阵长及前后鋭阵各布兵几何

答曰方面二百丈　方面布兵二百五十人　鋭后广二百丈　鋭广列共三百六十二人鋭通正长三百丈　骑路二条各阔五丈三尺　内鋭阵广一百四十五丈六尺列一百八十二人长一百四十五丈六尺计布兵一万六千六百五十三人　外鋭两广各七十二丈列九十人计布兵四万五千八百四十七人

按鋭阵数惟内鋭数合外鋭通广丈数及布兵数皆不合详见草后

术曰以少广求之置兵开平方得方面人数【开不尽方为补队】以人立尺数乗之为原方面置原方面以欲多数加之为鋭后阔亦为通长倍马路减之余为实以人立尺约为阔布兵不尽半归马路以四约阔布兵得外鋭一邉人倍一邉人并不归为内鋭长阔人数副置减一余乗其副得数半之为内鋭布兵以减总兵余为外鋭布兵

计立六万二千五百人鋭后广通长各三百丈内鋭立一万六千六百五十三人外鋭立四万五千八百四十七人【按旧图式不细且在题后今改正移于此】

草曰置一军一万二千五百以五军因之得总兵六万二千五百人为寔开平方得二百五十人以人立八尺乗之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈得三百丈为鋭阵后阔亦为鋭阵道长先倍骑路五丈得一十丈以减后阔二百丈余二百九十丈为实以人立八尺约之得三百六十二为鋭后阔布兵不尽四尺以半之得二尺軰归骑路作五丈二尺以四约鋭后阔布兵三百六十二人得九十人为外鋭一邉人倍一邉九十得一百八十并不尽二人共得一百八十二人为内鋭广布兵数亦为长布兵副置加一得一百八十三乗副一百八十二得三万三千三百六以半之得一万六千六百五十三人为内鋭阵布兵以减总兵六万二千五百余四万五千八百四十七人为外鋭兵

按草中以内鋭阵兵数减前方阵兵数余为外鋭阵兵数非是盖无以知两总数为相等也试以数明之依束箭法以总阔求得总三角数七万零五百以鋭阔求得内三角数一万六千六百五十三又以每人八尺除两骑路濶十丈零四尺得一十三人与内鋭阔相加得阔二百求得内外间三角数二万零一百置总三角数减内外间三角数加内三角数得六万七千零五十三与前方阵兵数相较多四千五百五十三安得谓之等乎今另设歩法于后