数学九章

试以朔余分八千九百六十七分为第一条置日法分内减朔防余分余七千九百三十三为第二条以此二数数取之先置第一条减第二条余一千零三十四为第三条七因第三条以减第二条余六百九十五为第四条以第四条减第三条余三百三十九为第五条二因第五

条以减第四条余一十七为

第六条是第五条即强母数

第六条即弱母数矣次用第

五条第六条转求第一条以

取两子数置第六条于上二

因第五条加之得第五条者

二第六条者一共六百九十

五为第四条以第四条加第

五条得第五条者三第六条

者一共一千零三十四为第

三条七因第三条以加第四

条得第五条者二十三第六

条者八共七千九百三十三

为第二条以第二条加第三

条得第五条者二十六第六条者九共八千九百六十七为第一条是第五条倍数即强子数第六条倍数即弱子数矣至算式中以日法取强母数者则又以第五条第六条再约而得者如以第五条为实第六条为法为法商之初商得十以法乘初商得一百七十为初商积减实余一百六十九恰与百分日法分之一等故百除日法分为一数又三乘之得五百零七为实以四十九为法初商得十初商积为四百九十减实余十七乃以商十乘十七得一百七十与前初商积等故加与前余积等之百分日法分之一得三百三十九为五条之数名之曰强数也

次以日法乘朔防日得数并朔余为朔率

斗分见偶则弃见竒则收为偶

按此系弃分以下数不用也分为偶数即用其数分为竒数则杪微进一分并为偶数如无杪微即加一分

又按算中用数以日法分一万六千九百分为主斗分定为四千一百零八为偶数气骨分亦定为偶数其各时刻分皆由日分比例而得故变时刻分为日分求之无不合

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

按求入元嵗法用斗分与日法分求等率乘率盖以六十年之嵗实积分与纪法分相约后以六十除纪法分得日法分为定以六十除嵗实积分得斗分为竒求得蔀数乘数皆与六十年之嵗实积分与纪法分所求者同惟等数则为六十之一故以六十乘之为乘分以约气骨分然后以乘数乘之满蔀数去之所得用数为六十年之周数故以六十乘之始为年数此立法之意也然以六十年为周数则六十年之间其气骨数有合者则不可得故所得年数较以嵗实分纪分相求者为逺也

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

按气元一万九千五百乃前蔀数三百二十五以六十乘之之数盖求入元嵗用六十倍者故此仍用六十倍也

又按此皆用六十年嵗实分求得之数与用一嵗实分求得之数同盖因积年数为六十度尽之数若非六十度尽之数则得数必逺也今依其数另设一题以明其法

设宋开禧厯日法一万六千九百分嵗实分六百一十七万二千六百零八法纪率分一百零一万四千分朔率分四十九万九千零六十七分嘉泰甲子嵗天正冬至距甲子日子正后十九万三千四百四十分【古名气骨】十一月朔距甲子日子正后二万九千六百六十九分【古名朔骨】问距歴元甲子子正初刻冬至朔之积年几何

答曰七百八十四万八千一百八十年

法以纪率为纪定纪率除嵗率【即嵗实分】余八万八千六百零八分为纪竒依大衍术求至竒一百零三余分六百二十四余分可以度尽上数则命六百二十四为等数一百零三为乘数又求得竒一千六百二十五无余分则命一千六百二十五为蔀数乃以等数约气骨分得三百一十以乘数乘之得三万一千九百三十满蔀数去之余一千零五十五即专以气骨分求得距厯年之积年数也旧法以斗分【嵗余分四千一百零八】为竒日法为定求得等数一纪法六十乘之以约气骨得数以乘数乘之蔀数除之余数又以六千乘之为积年名入元嵗其术未密【详前】故所得积年为九千一百八十其数亦较逺也

次以蔀数【即嵗实纪法满一会年数】乘嵗率得一百亿三千四十八万八千满朔率去之余二十三万九千四百三十四旧名气元闰为朔竒朔率为朔定依前法求得等数一乗数六千二百五十一蔀率四十九万九千零六十七次以前所得积年乗嵗率满朔率去之余二十七万五千二百二十四为前朔距至前分数旧名入元闰以嘉泰甲子气骨朔骨相减得十六万三千七百七十一为后朔距至前分数旧名闰骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺后近是已退过一朔防则于后闰骨内加一朔防再减去入元闰余三十八万七千六百一十四为后朔前朔相差之分数旧名闰缩乃以等数约闰缩仍得原数以乘数乘之满蔀数去之余四千八百二十九为会数乃以一会年数【即前蔀数】乗之得七百八十四万七千一百二十五为朔积年加入前积年得七百八十四万八千一百八十为嘉泰甲子积年

又法仍按本法求之先以嵗率纪率朔率求总等朔率不尽无总等各率朔即为各元数次连环求等朔元不尽嵗元等数等数为六百二十四留嵗元不约约纪元得一千六百二十五分为纪泛定嵗元朔元即为嵗泛定朔泛定次求续等纪泛定嵗泛定等数为十三约嵗泛定乗纪泛定得四十七万四千八百一十六为嵗定二万一千一百二十五为纪定朔泛定即朔定三定数连乗得五○○五八八五五五四六九六○○○为衍母纪定朔定相乗得八一○九八三八七五为嵗衍嵗定

朔定相乗得二三六九六四

九九六六七二为纪衍嵗定

纪定相乗得一○○三○四

八八○○○为朔衍置各衍

数满各定数去之余嵗竒四

七二九六三纪竒二○○四

七朔竒二三九四三四次以

各定各竒求各乗数得嵗乗

数【此题不用嵗乗数求之以备其数】二四九

六七纪乗数二○○○八

朔乗数六二五一以各乘数

乗各衍数得各泛用数嵗泛

用二○一九八九三二○七

九四六二五纪泛用四七四

一一九五六五四四一三三

七六朔泛用六二七○○五

八　四八八○○○并三泛用与衍母数等则泛用即为定用乃以气骨乗纪定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置气骨减去朔骨余十六万三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○并数得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○满衍母去之余四八四四三七三八六五三四四○为实以嵗实分为法除之得七百八十四万八千一百八十即嘉泰甲子积年之数也此法较前法数繁然其理可互相发明后复设一法兼二法用之

三法先以嵗率纪率求等数得六百二十四专约纪率得一六二五分为纪元嵗率即为嵗元又求续等数得十三以约嵗元得四七四八一六为嵗定以乘纪元得二一一二五为纪定纪定嵗定相乘得一○○三○四八八○○○为衍母以纪定二一

一二五为嵗衍以嵗定四七

四八一六为纪衍嵗衍小于

嵗定即为嵗竒纪衍满纪定

去之余一○○六六为纪竒

次以各定各竒求各乘数得

嵗乗数二五四八六一纪乗

数九七八六以各乗数乗各

衍数得各用数嵗用数五三

八三九三八六二五纪用数

四六四六五四九三七六乃

以气骨乗纪用数得八九八

八二八五一一二九三四四

○满衍母去之余六五一二

一○一四四○为通积分为

实以嵗实分为法除之得一

千零五十五即专以气骨求

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二上>

次以前衍母分【即嵗率纪率一会一千六百二十五年之积分】一○○三○四八八○○○与朔率分求等数得一即以前衍衍母分为嵗纪元亦即为嵗纪定以朔率分四九九○六七为朔元亦即为朔定二定数相乗得五○○

五八八五五五四六九六○○

○为衍母以朔定为嵗纪衍以

嵗纪定为朔衍嵗纪衍小于嵗

纪定即以嵗纪衍为嵗纪竒明

衍满朔定去之余二三九四

三四为朔竒各以定竒求乗

数得嵗纪乗数九九○四八

五二四○三朔乗数六二五

一以各乗数乗各衍数得嵗

纪泛用数四九四三一八四

九七四二○八○○一朔泛

用数六二七○○五八○四

八八○○○并二泛数与衍

母等则泛用数即为定用数

乃置前通积分六五一二一

○一四四○满朔率去之余

二七五二二四为入元第一

千零五十五年之闰分又置

嘉泰甲子气骨减去朔骨余

一六三七七一为嘉泰甲子

之闰分闰分每嵗渐加今后数小于前数是知已加过一朔率乃于后闰分内加一朔率分减去前闰分得三八七六一四为前后闰分差以乗朔定用数得二四三○三六二二八○五二七五六三二○○○满衍母去之余四八四三七二二六五五二○○○为实以嵗率为法收之得七百八十四万七千一百二十五为后积年数并前积年数共得七百八十四万八千一百八十年为嘉泰甲子积年与前数合

按右竒定相求其上层竒一数即大衍术中所谓立天元一也其逐层数即术中所谓递互乗余也其下层竒得数即术中所谓乗数也【有等数者求蔀数】古无笔算旧式所载不详兼多重舛伪之处集中惟此问甚繁故既设题以明其法复备録加减乗除之数以详其算式俾观者易见焉

缀术推星

问嵗星合伏经一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃见后顺行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各几何

按此以两积曰之递差积度求各行率也盖合伏初日其行最疾以次渐迟迟极则留总其积度略如递减差分故古法皆以其术歩之

答曰合伏一十六日九十分　常度三度九十度初行率二十三分九十七杪　平行率二十三分二杪　末行率二十二分七杪

晨疾初三十日　常度六度一十三分　初行率二十一分九十六杪　平行率二十分三十三杪　末行率一十八分七十杪

术曰以方程法求之置见日减一余半之为见率以伏日并见日为初行法以法半之如见率共为伏率以伏日乘伏率为伏差以见日乘见率为见差以伏日乘见差于上以见日乘伏差减上余为法以见日乘伏度为泛以伏日乘见度减泛余为实实满法而一为度不满退除为分杪即得日差

按此求逐日之递差为日差也术曰方程非也其所谓见数者乃徒设一数宛转附会使合于方程之行列也如　见日减一折半为见率并伏见日折半为半总日既以半总日加见率先以伏日乘之后以见日乗之复置见率先以见日乘之后以复日乘之相减然后为法岂非半总日不用加见率但以伏日见日连乘之即可为法乎特多立名目故为曲折颠倒使人不易办耳今去其见率另为歩算于后以明其立法之本意焉

法以合伏日除伏行度得二十三分　【七六九二三】为合伏日折中第八日四十五分一日之行度【即第七日九十五分至第八日九十五分之行度】以顺行日除顺行度得十五分【七七八七六一】为顺行日折中第五十六日五十分一日之行度两一日之行度相减行七分【一九八一六二】为合伏第八日四十五分与顺行第五十六日五十分两一日之行度较为实并合伏顺行两日数而半之得六十四日【九五】为合伏第八日四十五分至顺行五十六日五十分之积日为法除之得十一杪【二三六五八五】为一日递差之数即日差若不先用除则以两日数与两行度互乘相减为实两日数相乘又并两日数而半之再乘为法得数亦同

求初行率置初法减一余乘日差为寄以半初行法乘寄得数又加伏见度共为初行实以法退除之得合伏日初行率

按此求合伏第一日最疾之行也其法即递减差分有总数有次数有毎次差数求初次最大之数也初行法减一乘日差为寄者合伏初日与顺行末日两行率之差也半法乗寄与积差等故加共度为实以共日为法除之为合伏初日行率二十三分九十七杪也

求未行率以段日乘日差减初行率余为末行率按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求合伏初末日两行率之较也既得初末日两行率之较以减初行率即末行率也

求平行率以初行率并未行率而半之为平行率按此即均分合伏度为毎日之平行率也与递加递减有首尾数求中数者同应与伏日除伏度数同不同者本非递差之数也

求交段差以各段常日下分数减全日一百分余乗末日行率为交段差

按此即各段日下分数不及一日所差之行分也求之以备后数加减

累减前段积度以益后段积度各为常度

按常度即各段积度也求晨疾初段常度见常中专解于后

草曰以伏日随伏度为右行以见日随见度为左行以度对度日对日其度于上日于中空其下列之

置见日一百一十三减一余一百一十二以半之得五十六为见率以伏日一十六日九十分并见日一百一十三得一百二十九日九十分为初行法

以初行法半之得六十四日九十五分并见率五十六日得一百二十日九十五分为伏率以初行法寄之以伏率归右下以对见率仍分左右两行为首图

以首图伏日一十六日九十分乗伏率一百二十日九十五分得二千四十四日五分五十杪为伏差于右下以首图见日一百一十三乘见率五十六得六十三百二十八日为见差于左下乃成次图　凡方程之术先欲得者存之以未欲得者互偏乘两行诸数今验此图先欲得日差故存其左右之上下以左右之中伏见日数互偏乘两行乃以次图右中伏日一十六日九十分先偏乘左行毕左上得三百一度三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左下得一十万六千九百四十三日二十分又以次图左中见日一百一十三偏乗右行毕右上得四百四十日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得二十三万九百七十八日二十一分五十杪

以两行　得变名泛积法而成才图乃验才图左上下皆少用减右行毕行上余一百三十九度三十七分三十杪为日差实右中空右下得一十二万四千三十五日一分五十杪为日差法今维图法多实少除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不尽十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十微杪收为一小杪为日定差一十一杪二十三小分六十六小秒

既得日差乃行初行率置法图内初行法一百二十九日九十分内减去一日余一百二十八日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十微分为寄次置【按此下脱三十一字应作次置寄以半法乗之得九度四十分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微杪】

以得数加伏度三度九十分见度一十七度八十三分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微分为初行实如初行法一百二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七杪为伏合初日行率余三杪一十三分分三十二小杪一十三微分弃之

求末行率置合伏段日数一十六日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九杪八十九小分八十五小杪四十微分为得数乃以得数减初行率二十三分九十七杪余二十二分七杪一十小分一十四小杪六十微分为合伏末日行

求平行率置初行率二十三分九十七杪并末行率二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三分二杪为平行率

求交段差置合伏日下减全日一百分余一十分乘末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分为交段差

求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收九十分作一日通为一十七日并旧厯所注晨疾初段常日三十得四十七为共日乗合伏初行率二十三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪为寄上

按此有第一日行度有逐日递减之差有前后各段日数有前段积度求后段积也先以共日乗初行率者以最疾为率之共积也下求递差以减之故为寄

乃副置共日四十七减一余四十六以半之得二十三乗副四十七得一千八十一以乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六杪七十六小分四十六小杪以减上寄一十一度一十六分五十九杪余一十度五分一十二杪二十三小分五十四小杪为合伏晨疾初两段共积度按此乃求积差以减上数得共日之积庆也法应于共日内减一日以乘日差得数为共日数初末日行率之较再以共日数乘之得数折半为积差此先折半次连乘得积差其理亦同

置共积内减合伏三度九十分余六度一十五分一十二杪二十三小分五十四小杪为泛次以交段差二分二十杪七十小分减泛余六度一十二分九十一杪五十三小分五十四小杪为晨疾初段常度注厯乃收八杪五【按应作四】十六小分四十六小杪为全分常定度

按此于共积内减去合伏段积尚有合伏九十分不及一日所差之行分即交段差未减故为泛数再减交段差为晨疾初段常泛度再收为六度十三分始为定常度也

求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分六十六小杪减合伏末行率二十二分七杪余二十一分九十六杪为晨疾初段初行率行泛收之为定者也

按此以合伏末日之次日为晨疾初段之初日也故置合伏之末行率减一日之差即为晨疾初段之初行率五杪余收为六杪凡寄零未收名泛数已收名定数下仿此

求晨疾初末行率置晨疾初常日三十减一余二十九日乗日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得三分二十五杪八十六小分一十四小杪以减晨疾初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪余一十八分六十九杪九十小分二十小杪为晨疾初末行率

按此求晨疾初段末日之行率也常日减一日乗日差得数为晨疾初段初末二日行率之较也故减初行率得末行率

求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪并晨疾初末泛一十八分六十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪八十三小分二十七小杪为晨疾初平行泛乃以三泛收弃为之定

按此与求合伏平行率同其言泛弃为定者盖截去杪下竒零过半则收为一杪也然语意欠明

又按五星行度迟疾差廻非递加递减之数术中仅以合伏与顺见二段各取中数至推遂日行度仍用递加递减之法故古法之疎五星尤甚原文语多隠晦令悉为解之可以见古今疎宻之所在焉

数学九章卷二上

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷二下　　　　宋　秦九韶　撰天时

揆日究微

问厯代测景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯阳城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九系与大衍厯同今开禧厯临安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求临安府夏至后差防日而景与阳城夏至日等较以大衍厯晷景所差尺寸各防何

答曰大暑后五日午中景长一尺四寸八分八十

五杪

按旧本答数后有二图舛错潦草传冩者失其真也细考图内所载之数皆与今法颇合知此悉当时实测所定非同臆説也因取其数改正于后

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷二下>

置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十五杪为景差以为实

置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度为寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪为法以除前差实得空寸九十六百六十四分四十杪不尽弃之自乗得节泛数九千三百四十分不尽弃之

先以小暑节乗率二十五乗节率九千三百四十分得二十三寸三千五百分于上

次以临安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一百分为夏至幂

乃以夏至幂加上得一百六寸一千六百分为小暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三分为临安小暑节景不尽七百分即寸下七毫弃之

按各节气影长皆当时实测所定本不待求今所设求法乃故为溟涬使人不可觧也细查其数首以象限加十一度余为法以除影差得数自乗为节率四每节下又有乗率以乗率节率相乗与夏至影幂相加即为本节影幂是知节率乃强取之数盖以此数先除各节影幂与夏至影幂之较名为乗率故以此与节率相乗加夏至影幂即各节影幂也数家设术误人往往如此

又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于头位

仍以夏至幂八十二寸八千一百分加头位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑不尽弃之

又置立秋乗率二百八十九乗节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上

仍置夏至幂八十一寸八千一百分加于上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八为立秋幂

置立秋幂为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一杪为立秋景不尽弃之

乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪并立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景　又以九日景并大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日景

乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景