数学九章

二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景

又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪为大暑后四日景

今验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪为入临安府大暑后四日景一尺四寸五分六十杪太强乃以四日减五日景余三分二十四杪太弱为景差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法

乃置阳城夏至景一尺四寸七分七十九抄减临安大暑后四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪余二分一十八杪一十二小分五十小杪为实后以法二十七杪五小分二十小杪除之实如法而一得商数八有余命大暑四日午后数八辰得大暑五日寅时景与阳城夏至之日午景等

求较以大衍厯晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为次暑后九日午中景

置九日景复并大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日景

今验开禧厯所推临安府大暑后五日午中景一尺四寸八分八十五杪半与阳城大暑后五日午中景尺一寸一十四杪太课之

乃以临安府五日景减阳城五日景差六寸一分二十九杪少

按此法不过以临安前后两节气影长比例一影长之日数时刻复以所得节气日数时刻比例一阳城影长与之相较耳题内引大行崇天开禧诸法名目又称其较同异差数皆故为张皇之语且影差逐日不同皆以平派求之法亦未宻也

草曰置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十五抄为景差以为实置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度为寸得一百二寸五千六百七十一分半为法除实得空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸九千三百四十分为节率先以小暑乗率二十五乗之得二十三寸三千五百分于上次以临安夏至景九寸一分自乗得八十二寸八千一百分为夏至景幂以加上得一百六寸一千六百分为小暑景幂开平方以一寸为隅开之得一尺三分为小暑景又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实一寸寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑景又置立秋乗率二百八十九乗节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十为立秋幂以为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一抄为立秋景乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃并大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景又并大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日午中景又并大暑景得数半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景又并五日景一尺四寸八分八十五杪半得数半之得一尺四寸五分六十杪强为大暑后四日景验得阳城夏至景入临安大暑后四日乃以四日景减五日景余三分二十四杪太弱为差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法复除阳城景与本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外为在初五日寅时景等求较以大衍厯晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为大暑后九日午中景复并暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日暑以较今开禧厯当日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合问

接集中皆术在前草次之图在后此条之例不同

天池测雨

问今州郡多有天池盆以测雨水但知以盆中之水为得雨之数不知器形不同则受雨多少亦异未可以所测便为平地得雨之数假今盆口径二尺八寸底径一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨防防何

答曰平地雨防三寸

术曰盆深乗底径为底率二径差乗水深并底率为靣率以盆深为法除靣率得面径以二率相乗又各自乗三位并之乗水深为实盆深乗口径以自之又三因为法除之得平地水深

草曰以盆深及径皆通为寸盆深得一十八寸底径得一十二寸相乗得二百一十六寸为底率置口径二十八寸减底径一十二寸余一十六寸为差以乗水深九寸得一百四十四寸并底率二百一十六寸得三百六十寸为靣率以盆深一十八寸为法除靣率得二十寸展为二尺为水靣径以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸得七万七千七百六十寸于上以底率二百一十六寸自乗得四万六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十二万九千六百并上共得二十五万四千一十六以乗水深九寸得二百二十八万六千一百四十四寸为实以盆深一十八寸乗口径二十八寸得五百四寸自乗得二十五万四千一十六寸又三因得七十六万二千四十八寸为法除实得三寸为平地雨深合问

竹器验雪

问以圆竹箩验雪箩口径一尺六寸深一尺七寸底径一尺二寸雪防其中髙一尺箩体通风受雪多则平地少欲知平地雪髙防何

按箩体通风一语与算术不相涉或箩口所降之雪归于箩底与前天池测雨题相同然依上步算平地雪深只七寸余今其数又不合殆故为是语以误人也

答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百

六十四

术曰口径减底径余乗雪深半之自乗为隅以箩深幂乗雪深幂并隅又乗雪深幂为实隅实可约约之开连枝三乗方得平地雪厚

草曰列问数各通为寸置口径一十六寸减底径一十二寸余四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乗得四百寸为隅以箩深一十七寸自乗得二百八十九寸为箩深幂次置雪深一十寸自乗得一百寸为雪深幂以乗箩深幂数加隅又乗深幂得二百九十三万寸为实隅实求等得四百俱约之得七千三百二十五为实得一为隅开三乗方歩法不可超乃约实置商九寸与隅一相生得九为下亷又与商相生八十一寸为上亷又与商相生得七百二十九为从方乃命上商除实不尽七百六十四已而复以商生隅入二亷至方陆续又生毕以方亷隅共并之得三千四百三十九分寸之七百六十四为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问

按此法之意不可见然以数考之非通法也设原题雪深为一寸以口径底径较四寸乗雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸为隅以箩深一十七寸自之得二百八十九寸为箩深幂雪深一寸自之仍得一寸为雪深幂二深幂相乗仍得二百八十九寸并隅得二百九十三寸再以雪深幂乗之仍得二百九十三寸为实隅实相约得七十四寸二十五百分为实一为隅开三乗方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深于箩内矣

列问数各通为十口径得一十六寸深一十七寸底径一十二寸箩中雪髙一十寸

乃以底径减口径余四寸乗雪深一十寸得四十寸以中得数二十寸自乗得四百寸为隅

以箩深一十七寸自乗得二百八十九寸为箩深幂

次置雪深一十寸自乗得一百寸为雪深幂

以雪深幂一百寸乗箩深幂二百八十九寸得二万八千九百寸并隅四百寸得二万九千三百寸为上

置头位数二万九千三百寸又乗雪深幂一百寸得二百九十三万寸为实开三乗方

以隅实求等得四百俱为约之得七千三百二十五为实一为隅开之

歩法不可超乃约实置商九寸与隅相生得九为下亷

下亷九又与商九相生得八十一为上亷

上亷又与商相生得七百二十九为从方

乃以从方七百二十九命上商九除实七千三百二十五讫实余七百六十四既而后以商生隅入下亷

下亷得一十八又与啇九相生入上亷

上亷得二百四十三又与商相生入方得二千九百一十六

又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七

又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十六为求图乃以末圆方亷隅四者并之得三千四百三十九为母以实余七百六十四为子

命为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问

圆罂测雨

问以圆罂接雨口径一尺五寸腹径二尺四寸底径八寸深一尺六寸并里明接得雨水深一尺二寸圆法用宻率问平地雨水深防何

按此题问平地雨深无闗圆法宻率句赘若求罂中雨积数则当加此语

答曰平地雨深一尺八寸七万四千八十八分寸

之六万四千四百八十三

按答数误改正见后

术曰底径与腹径相乗又各自乗并之乗半罂深以一十一乗之为下率以四十二为下法除得下积以半罂深并雨深减元罂深余为上深以口径减腹径余乗上深为次以半罂深乗口径加次为靣率以半深除靣率得水靣径以半深乗腹径为腹率置靣率与腹率相乗又各自乗并之以一十一乗之为上率以半深自乗为幂以乗下法为上法上法除上率得上积半深幂乗下率并上率为总实口径幂乗上法为总法除实得平地雨髙

草曰置底径八寸与腹径二十四寸相乗得一百九十二寸于上又底径八寸自乗得六十四寸加上又腹径二十四寸自乗得五百七十六寸并上共得八百三十二寸以乗半罂深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乗之得七万三千二百一十六寸为下率【按此下法不合皆为题中图法句所误】置宻率法一十四以所并三因之得四十二为下法以半深八寸并雨深一十二寸得二十寸以减元深一十六寸余四寸为上深以口径一十寸五分减腹径二十四寸余一十三寸五分以乗上深四寸得五十四寸为次以半罂深八寸乗口径一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸为靣率以半深八寸乗腹径二十四寸得一百九十二寸为腹率置靣率一百三十八寸与腹率一百九十二寸相乗得二万六千四百九十六寸于上又以靣率一百三十八寸自乗得一万九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三万六千八百六十四并上共得八万二千四百四寸【按此条内落以上髙四寸乗之一层】以一十一乗之得九十万六千四百四十四寸为上率以半深八寸自乗得六十四寸为半深幂以乗下法四十二得二千六百八十八为上法以半深幂六十四寸乗下率七万三千二百一十六寸得四百六十八万五千八百二十四寸并上率九十万六千四百四十四共得五百五十九万二千二百六十八寸为总实以口径一十寸五分自乗得一百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸得二十九万六千三百五十二寸为总法除实得一尺八寸不尽二十五万七千九百三十二与法求等得四俱约之为一尺八寸七万四千八十八分寸之六万四千四百八十三为平地雨深合问

按此法有二误法实皆当用圆幂或皆用方幂今以圆幂率乗实方幂率乗法法实不同类一误也罂内雨自腹径截之为雨圆防体下髙八寸上髙四寸于下体并三幂以髙乗之于上体只并三幂未以髙乗之二误也有此二误故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正于后

法以腹径底径相乗又各自乗并三积以半罂深八寸乗之得六千六百五十六寸为三倍方罂内腹下雨积又以口径腹径相减余一十三寸五分以雨深减罂深余四寸相乗以半罂深除之得六寸七分五厘与口径相加得一十七寸二分五厘为雨靣径与腹径相乗又各自乗并三积以雨上深四寸乗之得五千一百五十寸二五为方罂内三倍腹上雨积并二雨积得一万一千八百零六寸二五为方罂内三倍共雨积为实口径自乗三因得三百三十寸七五为法除实得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十为平地雨深若不先用除则以口径腹径较与罂深雨深较相乗之五十四寸为雨靣径口径较加一半罂乗之数【应以半罂除之得雨径较今不除即如雨径较以半罂乗之】即为雨靣径口径较此数既加一半罂乗则诸数皆以半罂乗之得口径八十四寸腹径一百九十二寸以口径与雨靣径口径较相加得雨靣径一百三十八寸与腹径相乗又各自乗并三幂以腹上雨深四寸乗之得三十二万九千六百一十六寸为三倍上雨积又以半罂深幂乗前三倍下雨积得四十二万五千九百八十四寸为三倍下雨积并二积得七十五万五千六百寸为三倍共雨积为实以半罂深幂乗三因口径幂得二万一千一百六十八寸为法除之得数亦同

峻积验雪

问验雪占年墙髙一丈二尺倚木去址五尺梢与墙齐木身积雪厚四寸峻积薄平积厚欲知平地雪厚防何

答曰平地雪厚一尺四分

术曰以少广求之连枝入之以去址自乗为隅以墙髙自乗并隅于上以雪厚自之乗上为实【可约者约而开之】开连枝平方得地雪厚

草曰以问数皆通为寸置去址五十寸自乗得二千五百为隅以墙髙一百二十寸自乗得一万四千四百寸并隅得一万六千九百寸于上以雪厚四寸自之得一十六乗上得二十七万四百寸为实开连枝平方今隅实可求等得一百俱约之得二千七百四为实得二十五为隅开平方得一十寸四分展为一尺四分为平地雪厚合问

按此术理法皆确然实用勾股不曰勾股而曰少广曰连枝者犹有所闭匿而不肯尽发也试以圗明之甲乙为墙上雪厚即平地雪厚乙丙为木上雪厚甲乙丙勾股形与木倚墙所成勾股形同式墙髙为大股木为大弦木去址为大

勾甲乙为小弦甲丙为小

股乙丙为小勾以墙髙大

股自乗木去址大勾自乗

并之为大弦幂为实以木

上雪厚乙丙小勾幂乗之以木去址大勾幂除之得甲乙小弦幂开平方即为平地雪厚也

数学九章卷二下

钦定四库全书

数学九章卷三上　　　　宋　张九韶　撰田域

按此卷以方圆斜直幂积相求即方田少广勾股诸法而术中累乘累除错综变换与常法回然其本则出于立天元一法今择其难解者

以立天元一法明之皆不攻自破矣

古池推元

问有方中古圆池堙圮北余一角从外方隔斜至内圆边七尺六寸欲就古迹修之欲求圆方方斜各几何荅曰池圆径三丈六尺六寸四百二十九分寸之

四百一十二

方面三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二　方斜五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二

术曰以少广求之投胎术【按即益积之名】入之斜自乘倍之为实倍斜为益方以半寸为从隅开投胎平方得径又为方面以隅并之共为方斜

草曰以斜七十六寸自乘得五千七百七十六倍之得一万一千五百五十二寸为实倍斜七十六寸得一百五十二为益方【按有长方积先求长其长濶较名益方】以半寸为从隅开平方置实一万一千五百五十二于上益方一百五十二于中从隅五分于下于下起歩约得百

古池图　　　　　　　乃于实上商置三百寸方

再进为一万五千二百【按再

进者以百乘之也】隅五进为五千

【按隅五分以百再乗得五千】以商隅相

生得一万五千为正方以

消益方一万五千二百其

益方余二百以与商相生

得六百投入实得一万二

千一百五十二又商隅相

生又得正方一万五千内消负方二百讫余一万四千八百为从方【按倍正方减益方之数】一退为一千四百八十以隅再退为五十乃于上商之次续商置六十寸与隅相生増入正方得一千七百八十乃命续商除实讫实余一千四百七十四次以商生隅増又正方为二千八十方一退为二百八隅再退为五分乃于续商之次又商置六寸与隅相生増入正方为二百一十一乃命商除实讫实不尽二百六寸不开为分子乃以商生隅増入正方又并隅共得二百一十四寸五分为分母以分母分子求等得五分为等数皆以五分约其分母分子之数为四百二十九分寸之四百一千二通命之得池圆径及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二又倍隅斜七尺六十得一丈五尺二寸并径三丈六尺六寸共得五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二为方斜

按此术以立天元一法明之法立天元一为池径即方边自之得一平方为方幂倍之得二平方为斜幂寄左次倍斜至歩加天元一得一百五十二寸多一元为方斜自之得二万三千一百零四寸多三百零四元多一平方亦为斜幂与左相消雨边各减一平方得二万三千一百零四寸多三百零四元与一平方等寸数为实元数为较或两边各半之得一万一千五百五十二寸多一百五十二元多半平方与一平方等寸数为实元数半方数共为较术中所用葢次数也然不如前数之便至开方法即有长方积有长濶軗带纵先求长之法也

尖田求积

问有两尖田一叚其尖长不等两大斜三十九歩两小斜二十五歩中广三十歩欲知其积几何

荅曰曰积八百四十歩

术曰以少广求之翻法入之置半广自乘为半幂与小斜幂相减相乘为小率以半幂与大斜幂相减相乘为大率以二率相减余自乘为实并二率倍之为从上亷以一为益隅开翻法三乘方得积【一位开尽者不用翻法】

草曰置广三十歩以半之得一十五自乘得二百二十五为半幂以小斜二十五歩自乘得六百二十五为小斜幂与半幂相减余四百与半幂二百二十五相乘得九万歩为小率置大斜三十九歩自乘得一千五百二十一为大斜幂与半幂二百二十五相减余一千二百九十六与半幂二百二十五相乘得二十九万一千六百为大率以小率九万减大率余二十万一千六百自乘得四百六亿四千二百五十六万为实以小率九万并大率二十九万一千六百得三十八万一千六百倍之得七十六万三千二百为从上亷【按从上亷平方和数也】以一为益隅开玲珑翻法三乘方歩法乃以从亷超一位益隅超三位约商得十今再超进乃商置百其从上亷为七十六亿三千二百万其益隅为一亿约实置商八百为定商以商生益隅得八亿为益下亷又以商生下亷得六十四亿为益上亷与从上亷七十六亿三千二百万相消从上亷余十二亿三千二百万又与商相生得九十八亿五千六百万为从方又与商相生得七百八十八亿四千八百万为正积与元实四百六亿四千二百五十六万相消正积余三百八十二亿五百四十四万为正实又以益隅一亿与商相生得八亿増入益下亷为一十六亿又以益下亷与商相生得一百二十八亿为益上亷乃以益上亷与从上亷一十二亿三千二百万相消余一百一十五亿六千八百万为益上亷又与商相生得九百二十五亿四千四百万为益方与从方九十八亿五千六百万相消益余八百二十六亿八千八百万为益方又以商生益隅一亿得八亿増入益下亷得二十四亿又以商相生得一百九十二亿入益上亷得三百七亿六千八百万为益上亷又以商生益隅一亿得八亿入益下亷得三十二亿毕其益方一退为八十二亿六千八百八十万益上亷再退得三亿七百六十八万益十亷三退得三百二十万益隅四退为一万毕乃约正实续置置四十歩与益隅一万相生得四万入益下亷为三百二十四万又与商相生得一千二百九十六万入益上亷内为三亿二千六十四万又与商相生得一十二亿八千二百五十六万入从方内为九十五亿五千一百三十六万乃命上续啇四十除实适尽所得八百四十歩为田积今列求率开方图于后按此术以立天元一法明之法立天元一为尖积即大小两三角积和自之得一平方为和自乘以半广幂减大斜幂与余积相乘得二十九万一千六百歩为大三角积自乘以坐广幂减小斜幂与余数相乘得九万歩为小三角积自乘二自乘数并而倍之内减去和自乘得七十六万三千二百歩少一平方为较自乘与和自乘再相乘得七十六万三千二百平方少一三乘方寄左次以大小两三角积相减余二十万零一千六百歩为和较相乘数自之得四百零六亿四千二百五十六万歩与左相等则后歩数为实前平方数为从上亷三乘方数即益隅与草中所取之数悉合又按此苦以小率九万歩开平方得三百歩即小三角积以大率二十九万一千六百歩开平方得五百四十歩即大三角积并之得八百四十歩即尖积其法甚易然必如此费算者殆欲用立天元一法不求分积即得所问之总积也

正负开三乘方图

术曰商常为正　实常为负　从常为正　益常

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷三上>

已上系开三乘方翻法图后篇效此

三斜求积

问沙田一叚有三斜其小斜一十三里中斜一十四里大斜一十五里里法三百歩欲知为田几何

荅曰田积三百一十五顷

术曰以少广求之以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上余四约之为实一为从隅开平方得积

草曰以斜一十三里自乘得一百六十九里为小斜幂以大斜一十五里自乘得二百二十五里为大斜幂并小斜幂得三百九十四里于上以中斜一十四里自乘得一百九十六里为中斜幂减上余一百九十八里以半之得九十九里自乘得九千八百一里于上以小斜幂一百六十九乘大斜幂二百二十五得三万八千二十五减上余二万八千二百二十四以四约之得七千五十六里为实以为一隅开平方以隅超歩为一百乃于实上商置八十以商生隅得八百为从方乃命上商除实余六百五十六又以商生隅入方得数退一位为一百六十隅退二位为一乃于实上续商四里生隅入从方内得一百六十四乃命续商除实适尽所得八十四里为田积其形长八十四广一里以里法三百歩自乘得九万歩乘八十四里得七百五十六万歩以亩法二百四十除之得三万一千五百畆又以顷法一百畆约之得三百一十五顷

按此术以立天元一法明之法立天元一为三角积倍之得二元自之得四平方为中长幂乘底幂以大斜为底寄之又以小斜幂与大斜幂相加内减中斜幂得一百九十八里半之得九十九里为小分底与底相乘长幂自之得九千八百零一里为小分底幂乘底幂之数又以小斜幂大斜幂相乘得三万八千零二十五里为小分底幂乘底幂中长幂乘底幂各一内减小分底幂乘底幂之数余二万八千二百二十四里为中长幂乘底幂之数与寄数等两边各以四约之得七千零五十六里与一平方等里数为实方数即从隅也从二题同此