数学九章

求敌众合得防何

答曰敌众八百四十九人

按数不合应二百七十三人其故详草后

术曰以勾股乗之置人退表步【按此条误法应置表髙】乗入表为实以人目髙为法除之得径以密周率乗径得数为实以密径率因人立为法约之得外周人数余収为一副置加六以乗副得数为实如一十二而一余亦収为全

望知敌众图【按旧图畵山水在术前今删改移于此】

草曰置人立退表三十步以步

法五尺展为五十寸通之得一

千五百寸乗入表八尺得一十

二万寸为实

以人目髙四十八寸为法除之

以密率周法二十二乗径二千五百得五万五千寸为实

以密率径法七因谍称人立八尺得五百六十为法

以法五百六十寸约实五万五千寸得九十八人为外周人数不尽一百二十寸弃之

副置外周九十八人加六得一百四人乗副为实

按此术应置表髙加人目髙以入表弃之误置退步以入表乗之故人数差多二倍盖思省偶未至耳至求人数先用密率次用束箭法亦未尽合题问今依其数各步于后

求营径置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乗之得六万七千八百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一为营径盖以表髙加人目髙为大股营径为大勾较人目髙为小股入表为小勾较置大股以小勾较乗之以小股除之即得大勾较也

求人数用密率置径为实倍每人占地八尺得一十六尺为法除实得八为外层数加最内一层得九为共层数余一十三尺三寸又三分寸之一为最内径以最内径与最外径【即营陉】相加以九层乗之折半得六百九十六尺为九层共径数以密周率二十二乗之得一万五千三百一十二尺为实以密率七乗每人占地八尺得五十六尺为法除之得二百七十三人余三尺又七分尺之三弃之此法应先求得内外圆周再求九层共周数今先求九层共径数然后变为圆周其理一也

望敌逺近

问敌军处北山下原不知相去逺近乃于平地立一表髙四尺人退表九百步【步法五尺】遥望山原适与表端参合人目髙四尺八欲之敌军相去防何

答曰一十二里半

术曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙减之余为法置退表乗表髙为实实如法而一

草曰置人目髙四尺八寸减表

髙四尺余八寸为法置退表九

百步以步五十寸通之得四万

五千寸乗表髙四十寸得一百

八十万寸为实如法八寸而一

得二十二万五千寸以步法五十寸约之得四千五百步为相去步以里法三百六十步约之得一十二里半为敌去表所合问

表望浮图

问有浮图欹侧欲换塔心木不知其髙去塔六丈有刹竿亦不知其髙竿本去地九尺二寸始钉锔【按锔原本作钩今改正】锔一十四枚枚长五寸每锔下股相去二尺五寸就竿为表人退竿三丈遥望浮图尖适与竿端斜合又望相轮之本影锔第七枚上股人目入去地四尺八寸心木放三尺为防【按防原本作□今改正】卯剪截欲求塔髙轮髙合用塔心木长各防何

答曰塔髙一十一丈七尺　相轮髙三丈　塔身髙八丈七尺　竿髙四丈二尺二寸　塔心木九丈内三尺为剪截穿凿防卯

按塔髙竿髙二数合相轮髙塔身髙塔心木长三数俱误相轮髙四丈五尺塔身髙七丈二尺塔心木长七丈五尺説详草后

术曰以勾股求之重差入之置锔数减一余乗锔相去数并一枚长数加竿本共为表竿髙以退表为法以人目髙减表竿髙余乗竿去塔为实实如法而一得数加表竿髙共为塔髙置相轮入本锔数减一余乗锔相去又乗竿去塔为实实如法而一得相轮髙【按未加入锔人数法误】以减塔髙余为塔身髙以益防卯尺数为塔心木长

草曰置锔一十

四枚减一余一

十三以乗锔相

去二尺五寸得

三百二十五寸并

最上锔一枚长

五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百二十二尺为表竿髙以人退表三丈通为三百寸为法次以人目髙四尺八寸减表竿髙四百二十二寸余三百七千四寸以乗竿去塔六丈得二十二万四千四百寸为实实如法三百两一得七百四十八寸加表竿髙四百二十二寸得一千一百七十寸以十约之为一十一丈七尺为塔髙置相轮本入第七锔减一余六以乗锔相去二尺五寸得一百五十寸又乗竿去塔六丈得九万寸为实实如前法三百寸而一得三百寸约为三丈得相轮髙【按不加入锔即为相轮髙误】以相轮髙三丈减塔髙一十一丈七尺余八丈七尺为塔身髙【按此数及塔心木数皆因上数而误】益三尺为剪截防卯共得九丈为塔心木长合前问

按此皆大小形同式相求法也人目去塔为总勾人目上塔尖髙塔身皆为总股髙相轮髙为总股较人目去竿为分小勾人目上竿髙及相轮本入竿髙俱为分小股相轮本入竿为小股较竿去塔为分大勾术以竿去塔分大勾与小勾股乗除得大股数加小股为总股故塔尖髙数合以大勾与小勾小股较乗除得大股较数即为总股较故相轮髙数少一小股较一丈五尺也塔身髙塔心木长皆本此数加减而得故误数相等

数学九章卷四下

钦定四库全书

数学九章卷五上　　　　宋　秦九韶　撰赋役

按赋役一章即古九章中差分粟米诸法但从来算书设题之数未有如此卷之多者如首题答数至一百七十五条毎条歩算之数至十余位而得数皆无不合亦可谓能广其用矣且诸问皆足以明贵贱廪税及交质变易之同异使公私各得其平诚治民之要务也但题语多晦术草中间有与所问不相应者亦于各条下指出俾观者无惑焉

复邑修赋

问有海坍县地今有复涨歳乆乡井再成申诸剏邑称土排到六乡以附郭为甲最逺为已各有田九等开具下项

甲乡共计田十四万一百九十三亩三角一十二步

上等上田五千六百七十八亩一角四十八歩中田四千八百九十二亩三十歩　下田六

千六百二十一亩五十四歩

中等上田八千二百二十五亩二十四歩　中田一万三十五亩六歩　下田一万六千五百三十亩

下等上田二万一千九十亩二十四歩　中田三万二千六十亩三歩　下田三万五千六十一亩三角三歩

乙乡田共计八万四千一十亩二角二歩

上等上田六千七百八十九亩一角三十六歩中田五千九百八十七亩二角　下田八千

一十亩三角三歩

中等上田七千五百四十一亩　中田九千一百二十一亩二角一十二歩　下田一万九千六十歩

下等上田一万八千三十七亩一角六歩　中田九千四百五十六亩三角五十九歩　下田无

丙乡田共计一十二万九百三十五亩五十八歩五分

上等上田四千八百六十八亩二角三歩　中田五千九百七十九亩三角六歩　下田六千八百八十八亩二角六歩

中等上田七千九百八十四亩一角　中田一万四千五十六亩一十二歩　下田二万三千三百三十三亩一十二歩

下等上田二万七千七百五十五亩一十六歩五分　中田无　下田三万七十亩三歩

丁郷田共计八万九千六十六亩二歩三分上等上田一万一千一百二亩一歩　中田九千八百七十六亩一角　下田八千七百六十五亩一角三十歩

中等上田七千五百三十九亩三十四歩三分中田无　下田一万二千九百八十七亩四

十二歩

下等上田无　中田五千四百三十二亩一角六歩　下田三万三千三百六十三亩三角九歩

戊乡田共计二十万四千四百七十四亩一角二十四歩四分

上等上田二万四千六百三十二亩三十九歩中田一万三千五百二十一亩二十七歩

下田九千九百八十八亩三角三歩

中等上田八千八百七十七亩五十六歩四分中田一万一千三百三十三亩三角　下田

二万七千六十七亩

下等上田一万九千八百七十六亩三角六歩中等田七万九千一百三十五亩三角四十

三歩　下田一万四十一亩二角三十歩

已乡田共计一十五万八千四百六十亩三角一十八歩二分

上等上田无　中田七千七百八十八亩三角五十一歩　下田无

中等上田九千九百九十九亩二角三歩　中田一万八百三十六亩五十六歩　下田无下等上田三万二千八十九亩一角四十五歩六分　中田四万三千六百七十八亩二角五十七歩　下田五万四千六十七亩三角四十五歩六分

照得昨来本县原科苗米一十万三千五百六十七石八斗四升四合三勺和买一万三千四百九十八匹一丈七尺三寸七分六厘夏税九千八百七十六匹三丈二尺六寸五分八厘其六乡田系三色甲为上乙丙为次丁戊己又为次先令官物为三差使上比中中比下皆十分外差一次令各乡九等皆于十分内差一抛科用合租额其乙乡田最肥次丁次甲次丙次己次戊欲知三色九等毎亩等则及共科数各乡几何

按题内言田有三色甲为上云云又言乙乡田最肥云云语若相左葢前言三色者六乡共科之等后言田肥者每亩所出之异也若易田系三色为科有三差则语意明矣

答曰甲乡上等上田苗三斗二升三合二勺　和

一尺六寸九分　税一尺二寸三分中田苗二斗九升九勺　和一尺五寸二分　税一尺一寸一分

下田苗二斗五升八合六勺　和一尺三寸五分　税九寸九分

中等上田苗二斗二升六合二勺　和一尺一寸八分　税八寸六分

中田苗一斗九升三合九勺　和一尺一分　税七寸四分

下田苗一斗六升一合六勺　和八寸四分　税六寸二分

下等上田苗一斗二升九合三勺　和六寸七分　税四寸九分

中田苗九升六合九勺　和五寸一分税三寸七分

下田苗六升四合六勺　和三寸四分税二寸五分

乙乡上等田苗三斗六升三合三勺　和一尺八寸九分　税一尺三寸九分

中田苗三斗二升六合九勺　和一尺七寸　税一尺二寸五分

下田苗二斗九升六勺　和一尺五寸二分　税一尺一寸一分

中等上田苗二斗五升四合三勺　和一尺三寸三分　税九寸七分

中田苗二斗一升八合　和一尺一寸四分　税八寸三分

下田苗一斗八升一合六勺　和九寸五分　税六寸九分

下等上田苗一斗四升五合三勺　和七寸六分　税五寸五分

中田苗一斗九合　和五寸七分　税四寸二分

下田苗七升二合七勺　和三寸八分税二寸八分

丙乡上等上田苗三斗三合五勺　和一尺五寸八分　税一尺一寸六分

中田苗二斗七升三合一勺　和一尺四寸二分　税一尺四分

下田苗二斗四升二合八勺　和一尺二寸七分　税九寸三分

中等上田苗二斗一升二合四勺　和一尺一寸一分　税八寸一分

中田苗一斗八升二合一勺　和九寸五分　税六寸九分

下田苗一斗五升一合七勺　和七寸九分　税五寸八分

下等上田苗一斗二升一合四勺　和六寸三分　税四寸六分

中田苗九升一合　和四寸七分　税三寸五分

下田苗六升七勺　和三寸二分　税二寸三分

丁乡上等上田苗三斗四升三合二勺　和一尺七寸九分　税一尺三寸一分中田苗三斗八合九勺　和一尺六寸一分　税一尺一寸八分

下田苗二斗七升四合六勺　和一尺四寸三分　税一尺五分

中等上田苗二斗四升二勺　和一尺二寸五分　税九寸二分

中田苗二斗五合九勺　和一尺七分税七寸九分

下田苗一斗七升一合六勺　和八寸九分　税六寸五分

下等上田苗一斗三升七合三勺　和七寸二分　税五寸二分

中田苗一斗三合　和五寸四分　税三寸九分

下田苗六升八合六勺　和三寸六分税二寸六分

戊乡上等上田苗一斗五升三合八勺　和八寸　税五寸九分

中田苗一斗三升八合四勺　和七寸二分　税五寸三分

下田苗一斗二升三合一勺　和六寸四分　税四寸七分

中等上田苗一斗七合七勺　和五寸六分　税四寸一分

中田苗九升二合三勺　和四寸八分税三寸五分

下田苗七升六合九勺　和四寸　税二寸九分

下等上田苗六升一合五勺　和三寸二分　税二寸三分

中田苗四升六合一勺　和二寸四分税一寸八分

下田苗三升八勺　和一寸六分　税一寸二分

已乡上等上田苗二斗八升二合二勺　和一尺四寸七分　税一尺八分

中田苗二斗五升三合九勺　和一尺三寸二分　税九寸七分

下田苗二斗二升五合七勺　和一尺一寸八分　税八寸六分

中等上田苗一斗九升七合五勺　和一尺三分　税七寸五分

中田苗一斗六升九合三勺　和八寸八分　税六寸五分

下田苗一斗四升一合一勺　和七寸四分　税五寸四分

下等上田苗一斗一升二合九勺　和五寸九分　税四寸三分

中田苗八升四合六勺　和四寸四分税三寸二分

下田苗五升六合四勺　和二寸九分税二寸二分

甲乡苗米一万九千五百五十石二斗四升八合三勺

和买一万一百九十二丈二尺六寸五分六厘

夏税七千四百五十七丈六尺八寸九分八厘

乙乡苗米一万七千七百七十二石九斗五升三合

和买九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分

丙乡苗米一万七千七百七十二石九斗五升三合

和买九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分

丁乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升

和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸

戊乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升

和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸

己乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升

和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸

术以衰分求之先列本县色位自下锥行列之又以乡数对列而乗之副并为法以除官物数得一分之率以率数乗未并者各得诸乡之数次列各乡等位自上等置十分每以内分锥行九折之至九等止又各以亩歩乗之副并为乡法以除诸各乡所得官物数所得为一分之率以乗未并者各得毎亩税色草曰列本县色位三自下色例十分中十一分上比中身外加一上得一百二十一中得一百一十下得一百为上中下三率列之右行乃列甲一对上率乙丙共二对中率丁戊己共三对下率列左行

乃以左行列数各相对乗右行率数其上得一百二十一其十得二百二十其下得三百乃副置而并之得六百四十一为法置元科苗米一万三千五百六十七石八斗四升四合三勺为寔以法除之得一百六十一石五斗七升二合三勺为一分之率以未并下率一百乗率得一万六千一百五十七石二斗三升为丁戊己三乡各科数以于身下加一得一万七千七百七十二石九斗五升三合为乙丙二乡各科数又于身下加一得一万九千五百五十石二斗四升八合三勺为甲合科数求和买亦用六百四十一为法置元科和买一万三千四百九十八匹以匹法四丈通之得五万三千九百九十二丈内零一丈七尺三寸七分六厘得五万三千九百九十三丈七尺三寸七分六厘为寔以法除之得八十四丈二尺三寸三分六厘为一分之率亦以未并下率一百乗之得八千四百二十三丈三尺六寸为丁戊己三乡各科数次于身下加一得九千二百六十五丈六尺九寸六分为乙丙二乡各科数又于身下加一得一万一百九十二丈二尺六寸五分六厘为甲乡合科数求夏税亦置六百四十一为法置元科九千八百七十六匹以匹法四丈通之得三万九千五百四丈内零三丈二尺六寸五分八厘得三万九千五百七丈二尺六寸五分八厘为寔以法除之得六十一丈六尺三寸三分八厘为一分率亦以未并下率一百乗之得六千一百六十三丈三尺八寸为丁戊己三乡各科数次于身下加一得六千七百七十九丈七尺一寸八分为乙丙二乡各科数又于身下加一得七千四百五十七丈六尺八寸九分八厘为甲乡数次列九等上以十次九八七六五四三二各对乗六乡九等田亩其田亩下角歩以亩法除之得分厘毫丝忽于亩上对乗之各得率

按题内云各乡九等皆于十分内差一则是逓次九折也术内亦云列各乡等位自上等置十分每以内分锥行九折之至九等止则其法当为逓次九折益明矣乃草中则云上以十次九八七六五四三二则是逓次减一而非逓次九折矣以此得答数既与题问未合而术与草亦不相应也

甲上等上田率五万六千七百八十四分五厘中田率四万四千二十九分一厘二毫五丝下田率五万二千九百六十九分八厘　中等上田率五万七千五百七十五分七厘中田率六万二百一十分一厘五毫下田率八万二千六百五十分下等上田率八万四千三百六十分四厘中田率九万六千一百八十分三毫七丝五忽下田率七万一百二十三分五厘二毫五丝

乙上等上田率六万七千八百九十四分中田率五万三千八百八十七分五厘下田率六万四千八十六分一厘　中等上田率五万二千七百八十七分中田率五万四千七百二十九分三厘下田率九万五千三百三十分一厘二毫五丝　下等上田率七万二千一百四十九分一厘中田率二万八千三百七十分九厘八毫八丝下田无丙上等上田率四万八千六百八十五分一厘二毫五丝中田率五万三千八百一十七分九厘七毫五丝下田率五万五千一百八分二厘　中等上田率五万五千八百八十九分七厘五毫中田率八万四千三百三十六分三厘下田率一十一万六千六百六十五分二厘五毫　下等上田率一十一万一千二十分二厘七毫五丝中田无下田率六万一百四十分二毫五丝

丁上等上田率一十一万一千二十分五毫【按五毫数误应四厘一毫又三分毫之二】中田率八万八千八百八十六分二厘五毫下田率七万一百二十三分　中等上田率五万二千七百七十四分【按尚有四忽余】中田无下田率六万四千九百三十五分八厘七毫五丝下等上田无中田率一万六千二百九十六分八厘二毫五丝下田率六万六千七百二十七分五厘七毫五丝

戊上等上田率二十四万六千三百二十一分六厘二毫五丝中田率一十二万一千六百九十分一毫二丝五忽下田率七万九千九百一十分一厘　中等上田率六万二千一百四十分六厘四毫五丝中田率六万八千二分五厘下田率一十三万五千三百三十五分　下等上田率七万九千五百七分一厘中田率二十三万七千四百七分七厘八毫七丝五忽下田率二万八十三分二厘五毫

已上等上田无中田率七万一百分六厘六毫二丝五忽下田无　中等上田率六万九千九百九十六分五厘八毫七丝五忽中田率六万五千一十七分四厘一毫【按四厘整】下田无　下等上田率一十二万八千三百五十七分七厘六毫中田率一十三万一千三十六分二厘一毫二丝五忽下田率一十万八千一百三十五分八厘八毫

并六乡之九率为九乡之法　甲法六十万四千八百八十三分二厘三毫七丝五忽　乙法四十八万九千二百三十四分一厘一毫三丝　丙法五十八万五千六百六十二分九厘　丁法四十七万七百六十三分五厘七毫五丝【按丁法差三厘余一等尾数差故也】　戊法一百五万三百九十八分二毫　己法五十七万二千六百四十四分五厘一毫二丝五忽【按多一毫五等分多一毫故也】　以六乡法各除诸乡官物得一分之率【米至圭帛至忽止半巳上巳下弃】

甲乡苗米三升二合三勺二抄一撮和买一寸六分八厘五毫四忽【按数多四忽】夏税一寸二分三厘二毫八丝【按系九丝】

乙乡苗米三升六合三勺二抄八撮和买一寸八分九厘三毫九丝二忽夏税一寸三分八厘五毫八丝【按应七丝八忽】

丙乡苗米三升三勺四抄八撮【按应六撮七圭余】和买一寸五分八厘二毫一丝夏税一寸一分五厘七毫五丝【按应六丝】

丁乡苗米三升四合三勺二抄一撮四圭【按多四圭分数少三厘余故也】和买一寸七分八厘九毫三丝夏税一寸三分九毫二丝三忽

戊乡苗米一升五合三勺八抄二撮和买八分一毫九丝二忽夏税五分八厘六毫七丝七忽己乡苗米二升八合二勺一抄五撮一圭和买一寸四分七厘九丝六忽夏税一寸七厘六毫三丝

各用乡锥行数九八七六五四三二一各乗一分之率为各乡毎亩等则泛数或自上等上田之则以一分之率累减之亦得

甲乡上等上田苗米三斗二升三合二勺一抄和买一尺六寸八分五厘四丝【按多四丝因一分之率多四忽故也下同此】夏税一尺二寸三分二厘八毫【按少一毫同上】　中田苗米二斗九升八勺八抄九撮【按少一撮】和买一尺五寸一分六厘五毫三丝六忽【按多三丝六忽】夏税一尺一寸九厘五毫二丝【按少九丝】　下田苗米二斗五升八合五勺六抄八撮和买一尺三寸四分八厘三丝二忽【按多三丝二忽】夏税九寸八分六厘二毫四丝【按少八丝】中等上田苗米二斗二升六合二勺四抄七撮

和买一尺一寸七分九厘五毫二丝八忽【按多二丝八忽】夏税八寸六分二厘九毫六丝【按少七丝】中田苗米一斗九升三合九勺二抄六撮和买一尺一寸一厘二丝四忽【按多二丝四忽】夏税七寸三分九厘六毫八丝【按少六丝】下田苗米一斗六升一合六勺五撮和买八寸四分一厘五毫二丝【按多二丝】夏税六寸一分六厘四毫【按多五丝】　下等上田苗米一斗二升九合二勺八抄四撮和买六寸七分四厘一丝六忽【按多一丝六忽】夏税四寸九分三厘一毫二丝【按少四丝】中田苗米九升六合九勺六抄三撮和买五寸五厘五毫一丝二忽【按多一丝二忽】夏税三寸六分九厘八毫四丝【按少三丝】下田苗米六升四合六勺四抄二撮和买三寸三分七厘八忽【按多八忽】夏税二寸四分六厘五毫六丝【按少二丝】

乙乡上等上田苗米三斗六升三合二勺八抄和买一尺八寸九分三厘九毫二丝夏税一尺三寸八分五厘八毫【按多二丝】中田苗米三斗二升六合九勺五抄二撮和买一尺七寸四厘五毫二丝八忽夏税一尺二寸四分七厘二毫二丝【按多一丝七忽】下田苗米二九升六勺二抄四撮和买一尺五寸一分五厘一毫三丝六忽夏税一尺一寸八厘六毫四丝【按多一丝四忽】　中等上田苗米二斗五升四合二勺九抄六撮和买一尺三寸二分五厘七毫四丝四忽夏税九寸七分六丝【按多一丝三忽】中田苗米二斗一升七合九勺六抄八撮和买一尺一寸三分六厘三毫五丝二忽夏税八寸三分一厘四毫八丝【按多一丝一忽】下田苗米一斗八升一合六勺四抄和买九寸四分六厘九毫六丝夏税六寸九分二厘九毫【按多一丝】　下等上田苗米一斗四升五合三【勺】一抄二撮和买七寸五分七厘五毫六丝八忽夏税五寸五分四厘三毫二丝【按多七忽】中田苗米一斗八合九勺八抄四撮和买五寸六分八厘一毫七丝六忽夏税四寸一分五厘七毫四丝【按多五忽】下田苗米七升二合六勺五抄六撮和买三寸七分八厘七毫八丝四忽夏税二寸七分七厘一毫六丝【按多四忽】