数学九章

一万三千三百六十寸为逺实实如逺法九百二十寸而一得五十万二千四百五寸二十三分寸之一十九为积寸乃以歩法五十寸乗逺法九百二十得四万六千寸为法亦除逺实得一万四十八歩不尽五千三百六十与法求等得八十俱以约之得五百七十五分歩之六十七又以里法三百六十歩约得二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七为山去后表入立望处等图如后

按术中求山髙法合其求逺以表髙乗高法为逺法则误葢本法应即以高法为逺法以退后表乗表问并法为寔即得后人目距山之逺今以退后表乗髙寔为寔而髙寔乃目高减表高乗表减并法之数则逺法亦当以目髙减表髙乗髙法今即以表髙乗之则法数大故得数小也

乃以头位八千二百四寸乗中一百八十寸得一百四十七万六千七百二十寸为髙寔

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

乃以歩法五十寸乗中位逺法九百二十寸得下位四万六千寸为后图中位歩寸法

乃以中除上得下位里数及零歩其不尽寸与法求得八十俱约之为歩分母子之数

临台测水

问临水城台立髙三丈其上架楼其下址侧脚濶二尺謢岸排沙下桥去址一丈二尺外椿露土髙五尺与址下平遇水涨时浸至址今水退不知多少人从楼上栏杆腰中驾一竿出外斜望水际得四尺一寸五分乃与竿端参合人目髙五尺欲知水退立深涸岸斜长自台址至水际各几何

按算题固不厌其难然必简而不漏繁而不赘始为合作如此题本意谓竿端与台址上下悬直则侧脚阔二尺句已赘又不明言人目距台边逺近皆故为黯黮也

术曰以勾股变法兼少广求之求涸岸斜长置出竿乘台髙为叚以去基乘叚为阔泛以岸髙乘叚为浅泛以目髙乘去基为约泛三泛可约者约之为定率不可约径为率以阔率自乘为阔幂以浅率自乘为浅幂并阔浅二幂共为竣幂复乘阔幂于上以台髙幂乘上为竣实次以阔率乘浅率为寄以台髙数乘阔率又乘约率得数内减寄余自乘为竣隅騐峻实峻隅两者可约求等约之为峻定实峻定隅开同休连枝平方得峻岸斜长【同休格先以隅开平方得数名同隅以同隅乘定实开之得数为寔以同隅为法除之得竣斜　按此条误草中乃即以定实开平方得数以同隅除之为竣斜也】求水退深基岸髙幂乘竣定实为深实以去岸幂并岸为幂乗竣定为深隅【其深实深□可约约之仍以同休格入之】开连枝平方得水退深

临防测水图【按旧图画楼防不画正髙在术前今改正移于此】

草曰以出竿四

十一寸五分乘

防髙三十尺得

一百二十四尺

五寸为段以去

址一十二尺乘叚得一千四百九十四以为阔泛以防岸髙五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸为浅泛以目髙五尺乗去址一十二尺得六十尺为约泛以阔泛浅约泛三者求等等得一尺五寸皆以约其阔泛得九百九十六尺为阔率其浅泛得四百一十五尺为浅率其约泛得四十尺为约率以阔率九百九十六自乗得九十九万二千一十六尺为阔幂以浅率四百一十五自乗得一十七万二千二百二十五尺为浅幂倂阔浅二幂得一百一十六万四千二百四十一为竣幂以阔幂九十九万二千一十六尺乘竣幂得一万一千五百四十九亿四千五百六十九万九千八百五十六尺于上又以台髙三十尺自乘得九百尺为台髙幂乗上得一千三十九万四千五百一十一亿二千九百八十七万四百尺为竣实次以阔率九百九十六乘浅率四百一十五得四十一万三千三百四十为寄以台髙三十乘阔率九百九十六得二万九千八百八十文乘约率四十得一百一十九万五千二百内减寄余七十八万一千八百六十尺自乗得六千一百一十三亿五百五万九千六百尺为隅以隅与竣实求等得二千四百八十万四百俱以约之得四千一百九十一万二千六百七十六尺为竣定实得二万四千六百四十九为竣定隅开同休连枝平方得竣岸至水际斜长验同休格乃以定隅二万四千六百四十九万为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺为实亦以一为隅开平方得六千四百七十四尺为同休实实如同休法一百五十七而一求等得一俱以一各约之其法与余只得此数乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七为涸岸斜长至水际求退水深置岸髙五尺自乗得二十五为岸髙幂乗竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺得一十亿四千七百八十一万六千九百为深泛以去岸一十二尺自乗得一百四十四尺为去岸幂并岸髙幕二十五尺得一百六十九尺以乗竣定隅二万四千六百四十九得四百一十六万五千六百八十一为隅泛置二泛求等得一百六十九俱约二泛得六百二十万一百为定实得二万四千六百四十九为深定隅开连枝平方得水退立深验同休格乃以深定隅二万四千六百四十九为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以深实实六百二十万一百为实亦以一为隅开平方得二千四百九十为同休实实如法一百五十七而一得一十五尺不尽一百三十五与法求等得一俱以一各约法与只得此数乃直命之得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五为水退立深数也

按此条术虽甚繁理数皆极精宻非兼通于勾股通分之法者不能立也但累乗累除错综变换皆未尝明言其不能无金鍼不度之疑今绘图以之并条拆其乘除各数于后

如图甲乙为防正髙乙丙为桩去

防址丙丁为岸髙乙戊为台址至

水际即为峻斜己庚为人目髙甲

庚为出竿戊癸为水面正深题有

甲乙防髙乙丙桩去址丙丁去桩

甲庚出竿己入庚

目髙求乙辛竣斜自丁防与丙丁平行相等作丁辛线自乙防与丙丁并行作丁作乙辛线自丁防与戊甲平行作丁壬防得壬丁辛勾股形内有乙丁辛勾股形一与乙丙丁辛等有乙丁壬三角形一与甲乙戊形同式法当以己庚小股乗庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股次以乙丁三小角形下斜邉乗甲乙戊形直邉以乙辛减壬辛余壬乙为乙丁壬形直邉为法除之得乙戊为甲乙戊形下斜邉即所求防址至水际之峻斜其法只用丨除两次甚属易简即遇数不尽者以通分御之加一二次乗除可以乃必增至十余次多者始欲穷数之变就一题以为诸法之例非徒为繁难也试依术内逓次乗除之数逐条细论之

出竿【甲庚】乗髙防【甲乙】为段去址【乙丙】乗段为阔率【原名阔泛约之为阔率今即为阔率】为去址乗防髙出竿长幂之数阔率自乗为阔幂即如去址幂乗防髙出竿长幂自乗之数又即如去址幂乗防髙幂又乗出竿幂之数

岸髙【丙丁】乗段为浅率【原名浅泛约之为浅令即浅浅率】为岸髙乗防髙出竿长幂之数浅率自乗为浅幂即如岸髙幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如岸髙幂乗防髙幂又乗出竿幂之数

并阔幂浅幂为浅幂为竣幂　【乙丁】幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如小斜幂乗防幂又乗出竿竿幂之数

阔幂峻幂相乗为上数即如小斜幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数

阔率浅率相乗为寄数即土去址岸髙相乗又乗防髙幂又乗出竿幂之数

去址目髙【己庚】相乗为约率即如出竿乗壬辛

台髙乗阔率即如去址乗台髙幂又乗出竿之数又以约率乗之即如去址壬辛相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之数内减寄数余去址壬乙相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之再自乗之隅数即如壬乙幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数

上数隅数内去址幂台髙幂自乗出竿幂自乗各数皆同则用上数乗隅数除即如用小斜幂乗壬乙幂除矣以防髙幂乗上数若以隅数除之即得竣斜【乙戊】幂但数不能尽故约之带隅数开平方所谓连枝同休法也至阔泛浅用于乗数约泛用于除数故可两邉同约又为省算也求水立深同此

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

陟岸测水

问行师遇水须计篾防搭造浮桥今垂绳量陟岸髙山丈人立其上欲测水面六阔以六尺为矩平持去目下五今矩本抵颐遥望水彼岸与矩端岸相合又望水此岸沙际入矩端三尺四寸人目髙五尺其水面阔几何

答曰水阔二十三丈四尺六寸【按应二十三丈八尺】

术曰以勾股重差求之置短去目下寸为法以人目并岸髙减去法【按减法误】余乗人矩端为实如法而一得水阔陡岸测水圗【按旧圗画岸水视緑不能在术前令改正移于此】

草曰置矩本去目下五寸

为法以入目髙五尺并岸

髙三丈得三丈五尺通为

寸得三百五十寸减去五

寸余三百四十五寸乗沙

际入矩端三十四寸得

一万一千七百三十寸为实实如法五寸而一得二千三百四十六寸展为二十三丈四尺六寸为水阔合问

按测望诸线皆合于人目之一防其髙正当自人目计之今减去人目距矩自矩下计之不得其理矣

表望方城

问敌城不知广逺傍城南山原林间房之林际有木二株南北相去一百六十步遥与城东方面参相直乃于二水之东相对立两表表间与木四方平人目以绳维之人自东后表向西行一十步望城东北隅入东前表一十五步又望城东南隅入东前表四十八歩强半歩里法三百六十欲知其方广及相去几何答曰城东广各一十二里三百二十步城去木

九里三百二十歩

按答数皆误今推得城方广各一十一里二百二十歩又三十一分步之二十城东南隅至北木一里九十九歩又三十一分歩之一十二

术曰以勾股重差求之置城东南隅景入表减表间余乗表间为城去木寔以西方歩减城东北隅景入表余为法【按此句法误】得城去木数以城东北隅景入表减表间余乗表间为广实实如前法而一得城广【按此所得乃城东北隅至前木之逺以为城广数误也】

表望方城图【按旧图画城南二木与城东面不城一直线在术前今改正移于此】

草曰以西行一十步减东

北隅入表一十五步余五

歩为法以城东南隅景入

表四十八步七分半减表

间一百六十步余一百一

十一歩二分半乗表间一

表六十歩得一万七千八百为城去木寔以法五歩除之【按误同上】得三千五百六十歩以里

法三百六十约之得九里三百二十步为城去木里及步数　次置城东北隅京十表一十五步减表间一百六十余一百四十五歩乗表间一百六十得二万三千二百为减实以以前法五步除之得四千六百四十歩以里法三百六十约之为一十二里三百二十歩即城方广里及歩数【按误亦同上】合问

按此题之要在二本与城东面成一直面方城与表木方形各邉俱平西行减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表间表间之表与城东南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故术草中第二求以城东北隅入表减表间之余乗表间为实以西行步减城东北隅入表之余为法除实是也但所得为城东北隅至前木之逺以为城广则误矣又西行步减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表减表间之较与城东南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城东南隅入表减表间之余乗表间为实应以西行步减城东南隅入表之为法除之即得城东南隅之前木之逺术草中以西行步减城东北隅入表之余为法故得数大七倍余既得城东面南北二隅距前木之逺则相减为城广可知矣

遥度城

问有圆城不知周径四门中开北外三里有乔木出南门便折东门九里乃见木欲知城周径各几何【圆用故法】答曰径九里　周二十七里

术曰以勾股夕桀求之一为从隅五因北外里为从七亷置北里幂八因为从五亷以北里幂为正率以东行幂为负率二率差四乗北里为益从从三亷倍负率成五亷为益上亷以北里乗上亷为实开玲珑九乗方得数自乗为径以三因径得周

遥度圆城【图旧图画城挂在术前今删改移于此】

草曰以一为从隅以五因

北三里得一十五里为从

七亷以北三里自乗得九

里为正率以八因率得七

十二为从五亷以西行见

里自乗得八十一为负率以正率九减负率余七十二位负差以四因之得二百八十八以乗北三里得八百六十四系负差所乗者为益三亷倍负率八十一得一百六十二乗五防七十二得一万一千六百六十四为益上亷以北三里乗上亷得三万四千九百九十二为实置实亷隅玲珑空隅位方亷以约实众法不可超进乃于实上定商三里其隅与商相生得三为从下亷又与商相生入从七亷共得二十四为星亷又与商相生得七十二为从六亷又与商相生入五　内共得二百八十八又与商相生得八百六十四为从四亷又与商相生得二千五百九十二为正三亷内消益三亷八百六十四讫余一千七百二十八为从三亷又与商相生得五千一百八十四为从二亷又与商相生得一万五千五百八十二为从上亷内消益上亷一万一千六百六十四讫余三千八百八十八为正上亷又与商相生得一万一千六百六十四为从方乃命上商三里除实适尽得三里以自乗之得九里为城圆径之里数又以故法圆率三因之得二十七为城周

以上求率图以后开方图实与益皆负画黑商与从皆正画朱

按商实负字旁书已明今皆用黒

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四上>

按凡勾股难题用立天元一法取之多至三乗方而至元李冶测圆海镜一百七十问仅一题取至五乗方犹自以为烦此题非甚难者乃取至九乗方盖未得其要也细校术草中亷隅积实之数与立天元一法自然相生者廻殊且凡立天元一法开方后未有不得所求之数者今得数自乗始为所之数尤于古人立法之意不合爰另立取法并歩算之式于后

法立天元一为圆城径加三里得三里多一元为大股自之得九里多六元多一平方为大股幂九里为大勾自得之八十一里为大勾幂相并得九十里多六元多一年方为大幂又以大股为小勾和三里为小勾较和较相乗得九里多三元为小股幂二分天元之一为小勾加小勾三里得三里多二分元之一为小自得之九里多三元多四分平方之一为小幂乃以小幂与大股幂相乗得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又以大幂与小股幂相乗得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方与寄数等両邉各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乗方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元与七百二十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方九平方九百七十二元与二千九百一十六里等乃以里数为实以元数为益方平方数为从上亷立方数为从下亷三乗方数为隅开帯纵三乘方得九里为城径开方式附后

法列寔及方亷隅数约商九

里乃以隅生商得九入下亷

得一十五又以下亷生商得

一百三十五入上亷得一百

四十四又以商生上亷得一

千二百九十六以消益方得二百二十四为从方以商生从方得二千九百一十六减实恰尽为开得三乘方为九里即城径也

数学九章卷四上

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章>

钦定四库全书

数学九章卷四下　　　宋　秦九韶　撰

测望

望敌圆营

问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆邉参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各防何答曰营周六里一百二步七分步之六　径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九

术曰以勾股夕桀求之置表间自乗为勾幂以退表自乗为股幂并二幂为幂置里通步自之乗勾幂为率自乗为泛实【按此数当即为实开从方今不开平方乃以　此数自乗并以此数升他数开从三乗方不合】半幂乗率为泛从上亷【按半幂即半自乗又倍之之数】以勾幂减股幂余四约之【按此即半勾半股各自乗相减之数】自乗为泛益隅【三泛可约之为定】开连枝三乗玲珑方得营径以密率二千二乗七除为周

草曰置表间二步自乗得四为

勾幂以退表一十二步自乗得

一百四十四为股幂以勾股二

幂并之得一百四十八为幂

置七里以里法三百六十步

通之得二千五百二十步自乗

得六百三十五万四百乗勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乗得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半幂得七十四乗率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷以勾幂四减股幂一百四十四余一百四十以四约之得三十五以自乗得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五【按即泛益隅】俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上亷一为定益隅开玲珑三乗方乃以亷隅超二度约啇置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下亷又以上啇生益亷减从亷余一百四亿四千四百六十四万为从上亷又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实余一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷又以上啇生益亷得益上亷减从亷余六亿四千四百六十四万为上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下亷得二十一亿又以上啇生下亷为益上亷减从亷余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上亷减从方余七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乗七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

<子部,天文算法类,算书之属,数学九章,卷四下>

按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乗开三乗方徒为繁冗耳且乗从亷用半自乗之倍数乗隅数应用半股自乗之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乗数小一半勾自乗数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾较和相乗得较三十五为大股幂大勾里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乗之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疎可知矣设用平方法如左

法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾和相减得二千五百二十步少一元为大勾较和较相乗得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小幂以小幂乗大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乗大幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步【即术中率数】与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乗之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六　分为大勾和分数二数相减余三　七九七二八分为大勾较分数和较分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六　五九一六自之得三六七一三四一九九　五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二　分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步余营径当多四步不足也

望知敌众

问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒占地方八尺我军在水南山原于下立表髙八丈与原山腰等平自表端引防虚量平至人足三十步人立其处望彼营北陵与表端参合又望营南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圆密率入重差求敌众合得防何