新法算书

置尺以二十五度为两腰取大底腰上数之得二十日【十一之五】为所求日【此正三率法九章中名异乘同除也】用法八　句股形有二边而求第三法于一尺取三十为内句一尺取四十为内股更取五十为底以为内即腰间角为直角置尺若求则以各相当之句股进退取数各作识于所得防两防相望得外

线以向尺上取数为外数【言内外者以先定之句股成式为内甲乙丙是以所设所得之他句股形为外甲戊己是】　若求句于内股上取外股作识以设为度从识向句尺取外得防作识从次识向心数之得句求股亦如之【下有开方术为勾股本法可用】

用法九　若杂角形有一角及各傍两腰求余边先以线法依设角作尺之腰间角次用前法取之【见下二十一用四法】

用法十　有小图欲更画大几倍之图则尺

上取元图之各线加几倍如前作之

用法十一　此线上宜定两数其比例若径与周为七

与二十二或七十一与

二百二十三即二十八

数上书径八十六上书

周　有圈求周径法以元周为腰设周为底次于元两径取小底得所求径　反之以径求周径为腰如前用法十二　此线上定两数求为理分中末之比例则

七十二与四十二又三之一

不尽为大分其小分为二十

四又三之二弱　有一直线

欲分中末分则以设线为度依前数取之【几何六卷三十题】

第二分面线

今为一百不平分分法有二一以算一以量

以算分　筭法者以枢心为心任定一度为甲乙十平分之自之得积一百　今求加倍则倍元积得二百其方根为十四又十四之九即于甲乙十分线加四分半强而得甲丙为倍面之边求三倍则开三百之根得十七有半为甲丁求五六

七倍以上边法同【用方根表甚简易】

以量分　任取甲乙度为直角方形之一边求倍则于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈从乙作乙己垂线截圏于己即己乙线为二

百容形之一边【六卷二十六増】求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上法同于尺上从心取甲乙又从心取乙己等线成分面线

试法　元线为一正方【直角方形省曰正方】之边倍之得四倍容方之边否即不合三倍之得九倍容方之边四倍得十六五倍二十五又取三倍之边倍之得十二再加倍得二十七倍之边再加倍得四十八倍之边再加倍得七十五倍之边若五倍容形之边倍之得二十倍容形之边再加倍得四十五倍容形之边再加倍得八十倍容形之边【本边之论见几何六卷十三】

用法一　有同类之几形【方圆三边多边等形

容与容之比例若边与边其理具几何诸题】　欲并而成

一同类之形其容与元几形并之容

等如正方大小四形求作一大方其

容与四形并等第一形之容为二二

形之容为三三形之容为四有半四

形之容为六又四之三其法从心至

第二防为两腰以第一小形之边为

底置尺次并四形之容得十六又四

之一以为两腰取其底为大形边其

容与四形之容并等　若无容积之

比例但设边如甲乙丙丁四方形其

法从心至尺之第一防为两腰小形

甲边为底置尺次以乙形边为度进

退取等数得第二防外又四分之三

即书二又四之三次丙形边为度得

三又五之一丁形边得四又六之五并诸数及甲形一得十又二十之十九向元定尺上进退取等数为底即所设四形同类等容之一大形边【此加形之法】

用法二　设一形求作他形大于元形几倍法曰元形

边为底从心至第一防为腰引至所求

倍数防为大腰取大底即大形之边【此乘

形之法】

用法三　若于元形求几分之几以元

形边为底命分数为腰退至所求数为

腰取小底即得　如正方一形求别作

一正方其容为元形四之三以大形边为底第四防为腰【即命分数】次以第三防为腰【即得分数】得小底即小形边【此除形之法若设一形之积大而求其若干倍小而求其若干分则以原积当单数用第一线求之】

用法四　有同类两形求其较或求其多寡或求其比例若干法曰小形边为底为一防为腰置尺以大形之边为度进退就两等数以为腰得两形比例之数次于得数减一所余为同类他形之一边此他形为两元形之较　如前图小形边为一大形边为六其比例为一与六则从一至六为较形边【此减形之法】

用法五　有一形求作同类之他形但云两形之容积若所设之比例法曰设形边为底比例之相当率为腰次他率为腰取其底为他形之边

用法六　有两数求其中比例之数法

曰先以大数变为线变线者于分度线

上取其分与数等为度也以为底以本

线上之本数为腰置尺次于小数上取

其底线变为数变数者于分度线上查

得若干分也此数为两元数中比例之

数　如前图二与八为两元数先变八为线以为底以本线之第八防为腰置尺次于第二防上取其底线变为四数则二与四若四与八也　若设两线不知其分先于分度数线上查几分法如前

用法七　有长方求作正方其积于元形等法曰长方

两边变两数求其中比例之数变作线

即正方之一边与元形等积

用法八　有数求其方根设数或大或

小若大如一千三百二十五先于度数上取十分为度以为底以本线一防为腰即一正方之边其积一百次求一百与设数之比例得十三倍又四之一以本线十三防强为腰取其底于度线上查分得三十五强为设数之根

第三更面线

分法　如有正方形欲作圆形与元形之积等置公类之容积四三二九六四以开方得六五八正方边也以开三边形之根得一千为三边等形之一边开五边之根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三

四五八边形之根为

二九九九边形之根

为二六○十边形之

根为二三七十一边

形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径为七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号【言平形者冇法之形各边各角俱等】

用法一　有异类之形欲相并先以本线各形之边为度以为底以本类之号为腰置尺取正方号之底线别书之末以各正方之边于分面线上取数合之而得总

边　假如甲乙丙三异类形欲相

并先以三边号为腰甲一边为底

置尺取正方号四防内之底向分

面线上用十数为腰正方底为底

于甲形内作方底线书十次五边

号为腰乙一边为底如前取正方

底向分面线得二十一半即于乙

形内作方底线书之次圆号为腰

径为底如前得十六弱并得四十七半弱　若欲相减则先通类如前法次于分面线上相减【用上图】

用法二　有一类之形求变为他类之形同积以元形边为度以为底从心至本号防为腰置尺次以所求变形之号为腰得底即变形边

用法三　凡设数求开各类之根先于分面线求正方之根次以方根度为底本线正方号为腰置尺则所求形之号之底线即元数某类之根【有法之平形其边可名为根与方根相似】用法四　若异类形欲得其比例与其较则先变成正方依分面线求之

第四分体线

线不平分分法有二一以算一以量

以筭分　从尺心任定一度为甲乙十平分自之又自

之得积一千即

定其线为一千

即体之根今求

加一倍积体之

根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千数之立方根以上同

又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得甲丙即倍体边又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍体之边取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍体之边再分再加如图

试置元体之边二十八四之一得七以加之得三十五法曰两根之实数即用再自之数为一与二不逺葢二十八之立实为二一九五二倍之为四三九○四比于三十五倍体边之实四二八七五其差才○一○二九约之为一千四百五十二分之一不足为差若用三十六之四六六五六其差为逺　又加倍体七之一得再倍体之边三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其实为六四○○○元积再倍之数为六五八五六较差才○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之实六八九二一其差为逺

又试倍边上之体为体之八倍即依图计零数至第八位为五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八约之为一○七五○之五四三四与二之一不逺则法亦不逺　右两则皆用开立方之法不尽数难为定法

以量分　先如图求四率连比例线之第二葢元体之边与倍体之边为三加之比例也今求第二几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例线之第四与第一假如丙乙元体之边求倍体之边则倍丙

乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩

形于壬角之两腰引长之以形心为心

如戊作圏分截引长线于子于午渐试

之必令子午直线切矩形之辛角乃止

即乙丙【即辛庚】午庚子己甲丁【即壬庚】为四率连比例线用第二率午庚为次体之一边其体倍大于元体【详双中率论】若甲丁为乙丙之三倍四倍即午庚边上之体大于元体亦三四倍以上仿此　用前法则元体之边倍之得八倍体之边若三之得二十七倍体之边四之得六十四倍体之边五之得一百二十五倍体之边

又取二倍体边倍之得十六再倍得一二八倍体之边本线上量体任用其边其根其面其对角线其轴皆可用法一　设一体求作同类体大于元体几倍法以元体边为底从心至第一防为腰置尺次以所求倍数为腰得大底即所求大体边　若设零数如元体设三求作七以三防为初腰七防为次腰如上法【此乘体之法】用法二　有体求作小体得元体之几分如四分之一四分之三等法以元体之边为底命分数之防为腰置尺退至得分数为小腰得小底是所求分体边【此分体之法】用法三　有两体求其比例以小体边为底第一防为腰置尺次以大体边为底就等数得比例之数也不尽则引小体边于二防以下以大边就等数两得数乃上可得比例之全数而省零数

用法四　有几同类之

体求并作一总体　若

有各体之比例则以比

例之数合为总数以小体边为底一

防以上为腰置尺于总数防内得大

底即总体边　若不知其比例先求

之次用前法【此加体之法】

如图甲乙丙三立方体求并作一大

立方体其甲根一乙三又四之三丙

六并得十又四之三以甲边为底本线一防以上为腰置尺向外求十又四之三为腰取底为度即所求总体之根

用法五　大内咸小所存求成一同类之体　先求其比例次以小体边为底比例之小率防以上为腰置尺次以比例两率较数防上为腰得较底即较体之边【此减体之法】

用法六　有同质同类之两体得一体之重知他体之重葢重与重若容与容先求两体之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干【同质者金铅银铜等同体者方圆长立等】

用法七　有积数欲开立方之根　置积与一千数求其比例次于平分线上取十分为底本线一防以上为腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千之比例为四十与一如法于四十防内得大底线变为分得三十四强　若所设积小不及千则以一分为底一防或半防或四之一等数为腰置尺设数内求底而定其分若用半防用所设数之一半用四之一亦用设数四之一葢筭法通变或倍或分不变比例之理用法八　有两线求其双中率【线数同理】如三为第一率二十四为第四率求其比例之中两率　法求两率之约数得一与八以小线为底一防以上为腰置尺次八防以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求第三

第五变体线

变体者如有一球体求别作立方其容与之等分法　置公积百万依筭法开各类之根则立方之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为

七六　圆球之径为

一二六　因诸体中

独四等面体之变最

大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至本数加字【开根法见测量全义六卷】

用法一　有异类之体求相加以各体之边为度以为底本线本类之防以上为腰置尺次从立方防内取底别书之各书讫依分体线法合之

用法二　有异类之几体求其容之比例先以各体变而求同容之立方边次于分体线求其比例乃所设体之比例若知一体之容数因三率法求他体之容数

第六分线

亦曰分圏线　分法有二

一法　别作象限圏分令半径与本线等长分弧为九

十度名作识

从一角向各

识取度移入

尺线从尺心

起度各依所取度作识加字　若尺身大加半度之防可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法　用正数表取度分数半之求其正倍之本线上从心数之识之【如求三十度即其半十五度之正为二五九倍之得千分之五一九为三十度之从心识之】

用法一　有圏径设若干之弧求其以半径为底六十度为腰置尺次以设度为腰取底即其移试元圏上合其弧　反之有定度之求元圏径以设弧之为底设度为腰置尺次取六十度为腰取底即圏之半径用法二　有全圏求作若干分法以半径为底六十度【其即半径也】为腰置尺命分数为法全圏为实而一得数为腰取底试元圏上合所求分【此分圏之法】　约法本线上先定各分之防如百二十为三之一九十为四之一七十二为五之一六十为六之一五十一又七之三为七之一四十五为八之一四十为九之一三十六为十之一三十二又十一之八为十一之一三十为十二之一各加字

用法三　凡作有法之平形先作圏以半径为底六十度为腰置尺次本形之号为腰取底移圏上得分用法四　有直线角求其度以角为心任作圏两腰间之弧度即其对角之度【有半径有弧求度如左】

用法五　有半径设弧不知其度法以半径为底六十度为腰置尺次以弧为度就等数作底其等数即弧度反之设角度不知其径及弧求作图其法先作直线一

界为心任作圏分以截

线为底六十度之线

为腰置尺次于本线取

设度之线为腰得底以为度从截圏防取圏分即设度之弧再作线到心即半径成直线角如所求因此有两法可解三角形省布数详测量全义首卷

第七节气线

一名正线

分法　全数为一百平分尺大可作一千用正表从

心数各度之数毎十度加

字　如三十度之正五

十则五十数傍书三十二

度之正五则五数傍书三

简法　第一平分线可当此线为各有百平分则一线两旁一书分数字一书度数字

用法一　半径内有设弧求其正以半径为底百为腰置尺次以设度为腰取底即其正

用法二　凡造简平仪平浑日晷等器用此线甚简易如简平仪之干盘周天圈其赤道线左右求作各节气线先定赤道线为春秋分次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧两弧相向作以其半为底本线百数为腰置尺次数各节气离春秋分两节之数寻本线之相等数为腰取底为度移赤道线左右两旁作直线与相对之节气相连为各节气线【或于赤道线上及二至线上定时刻线之相距若干亦可】　如欲定立春立冬立夏立秋【因四节离赤道之度等故为公度】法曰立春至春分四十五度则取本线四十五度内之防线移于仪上春分线左右　若欲定小暑小寒之线离秋分春分各七十五度则取七十五度内之底线为度移二分线左右得小暑小寒之线

第八时刻线

一名切线线

分法　切线之数无限为九十度之切割两线皆平行无界故今止用八十度于本线立成表上查八十度得

五六七即本线作五六七

平分次因各度数加字【一度

至十五切线正微差尺上不显可即用正】

第九表心线

一名割线线

分法　此线亦止八十度依表查得五七五平分之其初防与四十五度之切线等【初防即全数故等】次依本表加之用法一　有正弧或角欲求其切线或割线法以元圏之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之切线割线　反之有直线又有本弧之径欲求设线之弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺又设线为底求本线上等数即设线之弧

用法二　表度说以表景长短求日轨髙度分今作简法用切线线凡地平上立物皆可当表以表长为底本线四十五度上数为腰置尺次取景长为底求两腰之等数即日轨髙度分　若用横表法如前但所得度分乃日离天顶之度分也安表法见本说

用法三　地平面上作日晷法先作

子午直线卯酉横线令直角相交从

交至横线端为底就切线线上之八

十二度半为腰置尺次于本线七度

半防内取底为度向卯酉线交处左

左各作识为第一时分次逓加七度半取底为度如前逓作识为各时分【毎七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半】若求刻线则逓隔三度四十五分而取底为度也次于元切线上取四十五度线【四十五度之切线即全数】为底割线初防为腰置尺次以本地北极髙度数为腰于本线上取底为表长于子午卯酉两线之交正立之又取北极髙之余度线为度于子午线上从交防起向南得日晷心从心向卯酉线上各时分防作线为时线在子午线西者加午前字如己辰卯在

子午线东者加午后字如未申酉

日晷图说　子午夘酉两线相交于

甲甲酉为度以为底以切线之八十

二度半为腰置尺逓取七度半之底

向甲左右作识如甲乙甲丙次取十

五度线之底作第二识如甲丁甲戊毎识逓加七度半毎识得二刻则丁防为午初戊为未初余防如图　次取甲己线上四十五度之切线为底割线之初防为腰置尺取北极髙余度【顺天府约五十】之割线为度从甲向南取辛辛为心从心过乙丁等防为线为时刻线又割线上取北极髙度之线【顺天府约四十】为表长即甲庚也表与面为垂线【立表法以表位甲为心任作一圏次立表表末为心又作圏若两圏相合或平行则表直矣】用法四　先有表度求作日晷则以表长为底割线上之北极髙度为腰置尺次以极髙余度为腰取底为度定日晷之心次用元尺于切线上取毎七半度之线如前【凡言表长以垂表为主或垂线】

用法五　有立面向正南作日晷法如前但以北极髙度求晷心以北极髙之余度为表长【又平晷之子午线为此之垂线书时创以平晷之夘为此之酉各反之】

用法六　若立面向正东正西先用权线作垂线定表处即晷心从心作横线与垂线为直角　若面正东于横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧弧上从下数北极髙之余度为界从心过界作线为赤

道线又以表长为底切线线上之四

十五度为腰置尺逓取七度半之线

从心向外于赤道上各作识从各识

作线与赤道为直角则时刻线也其

过心之线向东晷为夘正线向西晷为酉正线　若欲加入节气线法以表长为度从表位甲上取乙防为表心从心取赤道上各时刻防为度以为底以切线线之四十五度为腰置尺又以二十三度半为小腰取小底

为度于各时刻线上从赤道

向左向右各作识为冬夏至

日景所至之界　如上图甲

乙为夘酉正线以表长为度

从甲取乙为表心以切线上

之四十五度为腰甲乙为底置尺又以二十三度半为小腰取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识即夘酉正时冬夏至之景界　次从表心向卯酉初刻线取赤道之交丙防为底切线之四十五度为腰置尺以二十三度半为小腰取小底于丙左右各作识为本时冬夏至之景界次于各时线如上法各作二至景界讫聨之为本晷上冬夏二至之景线　次作二至前后各节气线以节气线之两至防为腰【即鹑首之次西歴为巨蟹宫】以各时线上赤道至两至界为底置尺次以各节气为小腰取小底为度从各线之赤道左右作识如前法

第十五金线

分法用下文各分率及分体线

置金一度【下方所列者先造诸色体大小同度权之得其轻重之差以为比例】

水银一度又七十五分度之三十八

铅一度又二十三分度之一十五

银一度又三十一分度之二十六

铜二度又九分度之一

鐡二度又八分度之三

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>

锡二度又三十七分度之一

先定金之立方体其重一觔为一度本线上从心向外任取一防为一度即是金度次以分体线第十防为腰此度为底置尺依各色之本率于分体线上取若干度分之线为底从心取两等腰合于次底作防即某色之度防

又法　取各率之分子用通分法乘之

得金四五九五九二五

水银六九二四五二七

铅八六二七四○○

银八四三一二一二一七

铜九○○一四○○

鐡一○九一四○七五

钖一一七九九○○○

次以各率开【立方】求各色之根

得金一六六弱

水银一九一弱

铅二○二

银二○四

铜二一三

鐡二二二

锡二二八

若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根率为边成立方即与金为同类【皆为立方】同重【皆为一斤】之体今本线用此以二二八为末防如各率分各色之根数加号【石体轻重不等故不记其比例】

用法一　有某色某体之重欲以他色作同类之体而等重求其大小法以所设某色某体之一边为度以为底以本线本色防为腰置尺次以他色号防为腰取底即所求他体之边