新法算书

分从下

而上如图甲为上口度

末齐子午面乙为小足

初度倚地平余入其下

但天顶与髙弧全依北极出地度安置故更有天顶为丙中开一长方口以入子午圏下留小钉为戊安住髙弧其丁为螺旋宜入丙孔定住子午圏可任游移用也时盘以铜为实圆形其势少拱取其与仪圆体相合中心抱北极之枢能随诸圏转亦能自转其时刻自右而左书之盘周以之安于子午圏内而子午圏正面可当切时之表或时盘在子午圏外定住不移盘之上必须加一铜尺以指时刻其尺与枢抱能随诸圏转必能自转与前盘同苐盘周所分时刻从左而右与前盘

异焉如图甲乙为时盘在

子午圏内即丙丁为子午

圏能自切时刻戊己为时

盘在子午圈外枢端出中心为庚辛为时尺乃随仪周转以指南刻者

以上诸圏如法合成随安置于架中必使子午圏半在地平上半在下而负仪之柱长短务如法必先试之而后乃定住所开之孔亦与地平之孔等以其能凾子午圏及两耳可游行不碍也架之下安指南针必线与子午圏正合或与之为平行临用时一与针对而本仪之南北得即东西可定矣

制天地球十二长圆形法

凡造浑球可任意大小界黄赤道等圏其上又依度数带入诸星此元法也但其功甚难故别为简法先制星图及地图刋于平板以楮印之糊于球面必合因其图形为长圆设长直线以三十平分之从苐一分为心十一分为界作弧渐次以往止于十二弧后复从下对前弧

亦如前作十二弧得十二长圆形如前图其中横线应球上黄赤等道两末至极中诸弧并其中顺直线者皆应经圏令弧自得圆自能应其圏形独中之直线较弧反短倘不伸之使长便不能至二极又或伸之使长必令球畧大中腰必寛即长圆形腰线亦应长矣故楮虽宜坚且耐终末得全合欲免楮阙更有捷法求小圏与大圏之比例以限长圆形之旁线大约线稍曲畧就中线而中线无伸长之患可易合法曰全数与小圏相距之余如三百六十度与小圏全周或如九十度与小圏一象限或如一度与小圏一度之分秒得弧后余数复以六十相乘以全数减得分数再乘再减即得秒数如求黄道一宫三十度应如距四十度小圏之弧乃距度之余为七六六○四与三十相乘总数二二九八一二○与全数相减得二十二度余数与六十相乘总数五八八七二○○复与全数相减得五十八分今将球上三十度带于比例尺百平分线上为长圆形之腰线又使之与长直线以直角平分相交遂于比例尺约取二十三度带腰线形左右于直线四十度之距界而各等圏弧依距度推求取于比例尺得直线两旁曲线应过之界以成其长圆形

或不必算即设直线得大圏与球径之比例【一百五十七与五十或三百一十四与一百皆约为准】为甲乙十二平分之为横线以直角交大线之界乃于中线以丙为心以最近左右横线为

界作

圆圏

宜从

丁戊平分毎边十二分而毎正对防以直线相连使线过毎止于本横线如图葢从甲丁乙甲戊乙依其交防两旁过曲线必为长圆形凖与球面合即得之矣随以楮殻或铜木等板依之裁制一长圆形皆以中横线正对为黄赤道线临防星画地图时分黄赤道三百六十度以定经长圆形任一边分一百八十度以定纬【球制已以于子午圏定纬因以防星尽地图用虚纬度亦足】其十二星图等圆形皆以中横线为黄道以两末为南北各黄极因诸星依黄经纬度防入故横线内外各引赤道及冬夏至等线而赤道独分为度余皆依本纬相距总于球上合为圆圏也地图亦分十二形但中横线指赤道分为度余内外线即冬夏二至南北两极圏各于本纬取定也其毎距十度横过线者乃与赤道平行线而过赤道线毎距十度至二极中防复合者为经度线其中能量各处东西之距且可较赤道上度因得各处实度化之为里又于十二防【赤道上四防赤道内外相距等各又为四防】出弯线各三十二以定方向者乃用以分舟行海上之道耳今总天地各球十二等形如左

天地各球十二长圆形图

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十>

因前图未尽圆形至二极中尚差十度故复以此圆圏补之各以十二平分而中心当极可合前图成圆球也临糊时先从此圏始次将长图各于相应之界连接之【法详之后篇】球制已完必地平子午圈髙弧及时盘指南针等与浑仪同乃可以全球之用但前图大小有定则而子午地平必依其则以为径今定其式如左与圏内周

之边等即球与圏相问之空俱在算内而天地球圏同一式矣

制球法

球之制全取其准与便准则必贵极圆以能合天载诸圏与度数相对便则以轻为最体虽大尤宜易为迁动设以铜为之欲其薄且圆固不易制即用木体质浑实亦不便于移置莫若以木板数块渐合成球绘天地等图于其上或糊前长圆形亦可葢球未合时内凿之使空

而已合后外得旋圆使之与图符或用楮须预偹一木模涂膏于上并用坚楮依前所偹长圆形裁十二圆外有二小圏心宜通以抱模枢易于进乃自涂以膏余十二圆必先渍以水两末微糊圏上使其周尽围模面次用楮裁圆形渐次合之以满其体之厚为度【厚一分余】乃更造一半圏任用铜或鐡与应制之球面等以为騐圆之圏【以长圆图之径取正一面宜合枢之中心】安枢上而枢又自安于本架二竪柱上乃令球转髙者去之低者补之必渐得圆乃止也取球法先备其枢随用两木较球径长数寸制为方形其中起槽以藏铜丝为球之极两木已合自中左右量球内空之径【以除球体之一倍得之】于各界留结两结间木以旋转为圆任厚若干于球未合之先安本枢即从外入小钉至两结中定住球如图甲乙为枢之结相距与楮球内面等丙丁皆出球外之鋭中凾铜丝乃球合后亦去之与面为平欲取球即于架转依騐圏之中线界球腰线以十二平分从第一至第七分界依騐圏面至两极引线得正中分球次本线之左右各加平行线各距等依之切楮二三

层复界中线又横加数短线必于中线开球依横线得合为法球取矣遂于中安枢复合二半圆用胶封固之缝宜合之坚后转球试枢居其中否乃随窒之绾于内结务令球得均匀若少有偏即详其轻处钻小孔制一

木螺丝转如下图　　　　　以甲为柄乙入球内有数小孔实铅其中得平乃止其出球之柄亦去之与球面等焉

上长圆图于球面法

欲上图先于球面加以白楮安球于架依騐圏之中线复界腰线于上以为赤道又分赤道为四象限使于各界依騐圏面过线至两极中以为二分二至之极圏次下球于铜枢上贯以楮板如尺状从枢心出直线使之顺球至赤道上为防乃自防至枢心分九十度裁其半依长圆形图以赤或黄道为腰线用楮尺先于球面为线令与图上之线相应如设赤道为天中即依楮尺距各极二十三度半为防以界两极圏又距六十六度半为防以界冬夏二至圏更分赤道为十二界各界过线至两极中合即得经圏并为长圆形所依而上界如法黏合矣若设黄道为天中即先依楮尺于二至经圏正对处防二十三度半为黄道极后必用曲腰规器以黄极为心以二分经圏交赤道为界作圏得黄道又合规器任意多寡从各黄极为圏得与黄道为平行乃总应平分以为十二长圆图之界而皆取准于经圏也诸圏已分用楮尺依分界至黄极中引线两线间得长圆形之界故将图于周线中截之先将一半黏上后复合其余半皆以其线合球上线者为准而种种俱得法矣然天球或依前騐圏或依新安子午圏各宜界二十八宿线过本宿距星与前界经圏同但线不必至二极中正于恒见与恒不见之界圏可总之依本北极出地度取则而地球则无线可加也矣

附黄赤全仪说

全仪共有四圏一赤道圏一黄道圏其赤道圏正居天中一面分二十八宿各距宿度分一面分三百六十平度当天上经度而黄道则斜交赤道圏上两相交处即春秋二分两相距最逺界即冬夏二至圏上一面依本道分十二宫一面仍分二十八宿其各宿大小则依本黄极测定故异于赤道宿度矣次子午圏以直角交黄赤两圏乃从赤道内外各分九十平度其距赤道最逺之界则为南北两极而极之两端各出一鐡轴令全仪悬安其上以利旋转焉三圏内又一圏为定经度圈亦名测景圏或安赤极下依赤道旋或安黄极下依黄道旋乃任两道公用者于赤极上另置一盘周分时刻曰时盘随全仪运转亦有时能自转令正午与太阳躔度相对因以定时者复有一小表任游移两道上一面开一长孔深入景圏而以螺旋定住一面所开孔较短而中有一锐尖以指度分

仪架前后竪两木柱而以全仪悬置其上其前柱之端出一铜弧分度数者乃约畧中华南北之广依各北极出地数以上下其南极者如　京师北极出地四十度则南极度入地四十度广东极南之地北极出地二十度则南极应入地二十度是以上至二十下至四十度也后柱端一铜表如手形者乃用以指时刻葢随全仪之逺近以为进退者架之下有三螺旋则因前后或左右以起全架令与地平相准而复设一垂线以考之又设以罗针以定子午大槩为测时计也

安仪法

凡测天之仪必以诸圏正对天上所设之圏令其似直者应直似横者应横乃可葢日月经纬诸星本圏上所得度分乃天上实行度分也今本仪或测诸曜实行度分或测昼夜相当时刻必先以其圏与天上所设之圏取正而后徐议测法焉

依本北极出地数起仪而以地平取凖复以罗针取定子午向次用垂线于后柱之左右相较务令线与柱上下为平行则全仪之东西正矣否则以后螺旋进退之盖垂线逺于东者则架宜东起或西下逺于西者反是末以前螺旋于地平取正南北葢悬垂线于子午圏本极出地度上令线下过正相对之度亦与上同如上在四十度下亦过四十度则地平之南北正矣否则又以前螺旋或出或入便可如法

定子午线法用黄道正面上查本日太阳躔度移测景圏正居其下以表如法定住令全仪渐转若得黄道圏与测景圏内并无日光则子午正矣如两圏内不能并得景必稍那其架之前或后至两圏内无光乃止用仪法

测五纬宿度法从北极中出三线一线直过仪心以穿南极谓之内线余二线俱从赤道上复合于南极谓之外线而逺近可任意游移者临测时将外一线界定某宿初度令与内线并天上本宿距星相叅直复移一线与所欲测之本纬星正对亦令其与内线共在一线上测两星同见其间度即相距之实度而纬星所在之宫度即本星赤道上宿度若欲依黄道测之则移景圏与线于黄极下法与赤道同所得度即黄道宿度

测恒星相距度法用二十八宿距星以外一线安本宿初度以一线正对当测之星俱取与内线相叅直或另测仪所未载之恒星须先查恒星经纬表依本经度识之本圏上测时移线于所识处即因以同测他星必两线中得两星依本道相距之经度【黄赤同一法】

测星黄经度依常法以恒星求经纬诸星经度即可得其恒星所居今恒星有本行较黄道终古如一而较赤道不能为一欲求其实处必从太阳躔度可定法安景圏于黄极下对定太阳本日躔度于日未出之先任取一恒星【测五星不异】测其与太隂或太白相距若千度太阳出地平上转仪正对令黄道圏与景圏内无日光乃止而复测太白得其距太阳度与前所测两星之距度相加即本星距太阳黄经度或日未入之先依此法先与太白同测太阳后以太白并测恒星终亦得恒星距太阳度则其本黄道经度也

测星赤经度法移景圏安本赤极下或晨测夕测俱与前同第景圏既正交赤道即于黄道为斜络不能实指两道相当之度须先查升度表以黄道度取赤道上相应度依之安表于本赤道上如前法测之即得本赤道经度如测星赤纬度从春分防中出二线一线直过仪心以穿秋分防可当内线一线从子午圏上过复合于内线之元防可当外线逺近任意游移临测时亦如测赤经度法将外一线那对所欲测之星亦令其与内线相叅直从子午圏上视其距赤道南北度即得星纬南北若干度

测太阳定时法先查太阳本日赤道度【用升度表求之】约为景圏对黄道本度所指转时盘午正与景圏相对后转全仪至黄景二圏内无光则后指所指即本时刻如未安景圏先以外线在赤道太阳本度对时盘午正即午正线后以目窥之必得线过赤道南者或在北者及午正者皆合一线则准而时刻亦依前法求之乃得

测恒星定时法先对时盘于太阳相应赤道本度皆与前同后任用二十八宿距星即以外线定本宿初度或别用大星须先查本星赤经度识之本圏以定线临测转全仪令内外两线与本星及人目相叅直则后指所指时刻即本时刻

测交食凡交食有三端可测一为食之时其法与昼夜测时无异苐月食时或夜有微云星体不显乃以测月为法必先安景圏于太阳实度并对时盘午正临测时以太阳所正冲景圏用以窥月体令内线与外线叅直则后指所指时刻即食甚时刻可合天若初亏复圆因太隂先未正对太阳或后已过彼此约差半度【东行之度】化为时得二三分则先减后加于见测之时亦可合天一为食之分别有本仪此不论一为方位因人目不能正对太阳故止于测月食以黄道圏及景圏取法葢太隂当食时恒在黄道或黄道内外相近处今仪器既与天合则诸圏亦合天上之圏惟顺黄道及景圏窥太隂缺光之边则以二圏所向与月亏之边相较即可得其方位矣

测北极出地髙法用罗经或别求定子午线以正本仪之南北次安景圏与太阳依赤道所算度分正对而前渐起仪令黄道圏与景圏皆无日光随以螺旋定住则即前极髙弧上得本地北极髙度或以垂线于子午圏上下所得相应之度即本方极髙度

若以本仪制日晷先如法安仪令子午圏竪立合天【以垂线考正是】时盘上之午正与本圏对准后将白纸一幅依当制之晷或立或倒或在仪左右安之使从赤道上毎三度四十五分出线至本纸上所得防引长之为时刻线假如欲制地平晷必安纸在仪下与地平面平行即顺赤道侧以目下视引线至纸上作识或用二三防连之得直线乃赤道线依本线从子午圏交赤道角上下正视之得防为午正处次转仪任时盘所行一刻二刻以至于尽亦如前作识【依时盘刻数与依赤道度同觉此更简便】得午前或午后一边之时刻线则他边之刻数等其相距亦与之等次求晷之心以引其时刻线立表法当于时之距午逺者任指一刻作识随于赤道往南较逺者顺切子午圏视下纸作识从本刻引线过此又从午正引与赤道以直角交之线至此其两线交处即晷之心也若制立晷宜竪纸在仪后法与前同独出线立表心当向北极后求之若制东西晷宜竪纸于正东或西法亦同但时刻线皆为平行线而表则正居赤道卯酉线上其长短以四十五度之切线取规故恒自心至上或下十二刻量之为止若诸偏晷即依偏度多寡安纸与前同一法其求心立表惟以目随内线至极为安表之地必斜出于晷面以当天枢是也总之偏地平晷仿正地平晷表作式偏立晷仿正立晷表作式各依或以北极或以赤道髙取之若欲以直角立表即用仪心为表位其长短俱依切线即本仪半径矣黄赤全仪之用约不外此

新法算书卷二十

钦定四库全书

新法算书卷二十一　　　明　徐光启等　撰比例规解

论度数者其纲领有二一曰量法一曰算法所量所算其节目有四曰防曰线曰面曰体总命之曰几何之学而其法不出于比例比例法又不出于句股第句股为正方角而别有等角斜角句股不足尽其理故总名之曰三角形此防名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若线若面若体若弧矢方圆诸法凡度数所须该括欲尽斯亦竒矣所分诸线篇中称引之说特其指要各有本法本论未及详焉若所从出与其致用则三角形之比例而已按几何原本六卷四题云凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边六题云两三角形之一角等而对等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等作者因此二

题创为此器今依上图解之如甲乙丙与丁

乙戊大小两三角形同用乙角即为等角则

甲乙与乙丙之比例若丁乙与乙戊而对

等角之边如甲丙与丁戊为相似之边也又显两形为等角形而对各相似边之角各等也今此规之枢心即乙角两股即乙甲乙丙两腰甲丙为底即与乙丁戊为等角形而各相当之各角各边其比例悉等矣任张翕之但取大小两腰其两底必相似也或取两底其两腰必相似也或取此腰此底其与彼腰彼底必相似也以数明之如甲乙大腰一百乙丁小腰六十而设甲丙大底八十以求小底丁戊即定尺用规器量取丁戊为度向平分线取数必四十八不烦乘除矣又如平方积一万其根一百求作别方为大方四之三即以一百为腰分面线之四防为大底次以三防为小腰取小底为度向平分线得八十六半强为小方根自之约得七千五百为小方积不烦开平方矣又如立方积八千其根二十求作大方倍元方即以二十为小底分体线之一防为小腰次以二防为大腰取大底为度于平分线得二十五半自之再自之约得一万六千为大方积不烦开立方矣篇中言某为腰某为底设某数得某数皆此类也防凡二靣靣五线共十线其目如左目

第一平分线

第二分面线

第三更面线

第四分体线

第五更体线

第六分线

第七节气线

第八时刻线

第九表心线

第十五金线

右比例十类之外依几何原本其法甚多因一器难容多线故止设十线其不为恒用者姑置之稍广焉更具四法如左

一平面形之边与其积

二有形五体之边与其积与其面

三有法五体与球或内或外两相容

四随地造日晷求其节气

比例防造法【一名度数尺其式有二】

一以薄铜板或厚纸作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股之面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半防余地以固枢也用时张翕游移

一以铜或坚木作两股如图厚一分以上长任意股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令密无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也用则张翕游移之张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两半直角相就成一直角可作矩尺

比例防之类别有二种一为四锐定心规一为四锐百游规不解之其造法颇难为用未广姑置之

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书,卷二十一>

第一平分线

分法　此线平分为一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之为二又平分为四又各五分之为二十自此以上不容分矣则用更分法以元分四复五分之或以元分六复五分之如上图甲乙线分丙丁戊为元分之四今更五分之得己庚辛壬元分与次分之较为壬丙为戊己皆甲乙二十分之一为元分五之一【毎数至十至百各书字识之】

论曰甲乙【四】与甲丙【一】若甲己【四】与甲壬【一】更之甲乙

【四】与甲己【四】若甲丙【一】与甲壬【一】甲己为甲乙五之四即甲壬为甲丙五之四壬丙为甲丙五之一又甲丁为十甲辛为八辛丁为甲丁十之二或丙丁五之二戊庚为丁戊五之三又壬丙为甲丙五之一必为甲壬四之一【几何五卷】

用法一　凡设一直线任欲作几分假如四分即以设线为度数两尺之各一百以为腰张尺以就度令设线度为两腰之底置尺数两尺之各二十五以为腰敛规取二十五两防间之度以为底向线上简得若干数即所求分数　凡言线者皆直线依几何原本大小两三角形之比例则二十五与得线若一百与设线也更之二十五与一百得线与设线皆若一与四也　若求极微分如一百之一如上以一百为腰设线为底置尺次以九十九为腰取底比设线其较为百之一　若欲设线内取零数如七之三即以七十为腰设线为底置尺次以三十为腰敛规取底即设线七之三【置尺者置不复动下仿此】用法二　凡有线求几倍之以十为腰设线为底置尺如求七倍以七十为腰取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之

用法三　有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】

用法四　乘法与倍法相通【乘者求设数之几倍也】如以七乘十三于腰线取十三为度七倍之即所求数也

用法五　设两线或两数【凡言数者腰上取其分或以数变为线或以线变为数】

欲求一直

线而与元

设两线为

连比例　若设大求小则以

大设为两腰中设为底次以

中设为两腰得小底即所求

如甲乙甲丙尺之两腰所设

两数为三十为十八欲求其

小比例从心向两腰取三十

如甲辛甲己识之敛规取十八为度以为底如辛己次从心取十八如甲丁甲戊即丁戊为连比例之小率得十一有竒　若设小求大则反之以中设为两腰小设为底置尺以中设为度进求其等数以为底从底向心得数即所求如甲丁甲戊为两腰丁戊为底次以甲丁为度引之至辛至己而等从辛从己向心得三十即大率论见几何六卷十一题【凡言等数者皆两腰上纵心取两数等下同】用法六　凡有四率连比例既有三率而求第四或以前求后则丁戊为第一率辛己甲丁甲戊为第二又为第三而得辛甲为第四　若以后求前则甲辛甲己为第一辛己甲戊甲丁为第二又为第三而得丁戊为第四【甲辛与辛己若甲丁与丁戊故也】

用法七　有断比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日几何即用三率法以元得一十一度为两腰元行九日为底置尺以二十五度为两腰取大底腰上数之得二十日【十一之五】为所求日【此正三率法九章中名异乘同除也】用法八　句股形有二边而求第三法于一尺取三十为内句一尺取四十为内股更取五十为底以为内即腰间角为直角置尺若求则以各相当之句股进退取数各作识于所得防两防相望得外