新法算书

甲己丙为子午圏甲乙丙

为地平乙丁为黄道天顶在己太隂

在子则己癸为高弧子癸为高差又

辛当北极北极圏为戊庚负黄道极

戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太

隂实经度而丑子为实距度又出一

大圏弧戊癸至太隂视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差【丑壬寅癸两弧小故壬癸可当丑寅】欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有

北极出地之余弧己辛有极至交圏

交于子午圏之己辛戊角可推黄极

距天顶之线己戊次己戊子三角形

有黄极距天顶之弧己戊有太隂出

地高之余弧己子又有戊子在第一

图为象限戊丑加太隂实距度丑子之总弧在第二图为太隂实距度丑子之余弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太隂南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差

假如第谷测太隂在枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度余为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为鋭角法全数与第一弧之正若第二弧之正与他数【名先得之数】又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数【名后得之数】而后得之数恒加于两弧较

差之正矢得第三弧之正矢如前图

依第谷测己辛戊三角形求己戊弧

则两道大距弧辛戊【第一弧】之正三

九九一五其夲方极高余己辛弧【第二

弧】之正五六○五二求先得之数

为二二三七三又己辛戊角【两弧所包角】四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧【第三弧】之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之余割线若夲角旁次线之余割线与他数【名先得之数】又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减余为他数【名后得之数】而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子【角旁次线】为太隂距天顶弧八十○度四十○分余割线一○一三四二戊子【第一旁线】为太隂距南加象限共九十四度三十八分余割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之余【壬子癸与己子戊两交角等】与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之余九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太隂南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之余九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太隂东西视差壬癸或寅丑

又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同

前此图加戊辛为太隂实经度出地

平高之余弧而戊辛己三角形内又

有太隂实高度之余弧戊己有太隂

实距度己辛以此三边径推戊己辛

角为高弧交太隂纬弧之角其余角

【前图】或交角【后图】为壬己庚角

假如依前算戊己八十○度四十○分得余割线一○

一三四二太隂距南辛己四度三十八

分余割线一二三七九四七算得一二

五四五六○为先得之数以本两弧之

较差七十六度○二分得正矢七五八

六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何

太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何逺自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉

全食不见光之地面

依第谷测定气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以气高与太隂视径及太阳光气内曲之角定之葢交防时太隂当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照【见本厯指第一卷】必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以絶日光必月景近地占千余里必太隂视径大于太阳视径四分有余乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中气高

为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气

之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二

千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙

角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太隂在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂视径大于太阳视径止一分必满景径得千余里视径加大里数亦多然防气差表未译故止以地半径差别求之

法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太隂高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太隂行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶【广东广西等处夏至时是】下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太隂视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈逺也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太隂在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太隂皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太隂不甚大于太阳即无满景因气曲光内射故也

试食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数余一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太隂视差一十九分四十○秒较于太隂高七十度之视差差二分○六秒至两半径差余一十四秒加太阳变视差七秒【上下加求太隂从太阳视差故】总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈逺得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里【景之前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前】在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少【或太阳在最庳或太隂距最庳畧逺】即高度进退亦少里数亦减矣

见金环之地面

太阳在最高其视径较太隂在最高之视径畧小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显余光而周无金环明矣其在中距与太隂在最高之视径等虽因气可显金环然以大小之故不能毕露且气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太隂在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心逺四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈逺得金环愈大假如距四十度【高弧五十度】依前一十五秒应得二十分全径则四十余分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面

求满景及金环俱以日月视径为主如太隂大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景防何或从见满景地面【食既是】至渐不见景地面【复圎是】即以两曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多【因正在高庳故倘相距渐逺其食景大小亦渐变易】一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也【总数不正合髙度用中比例法求之】假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间【自顶往下故】以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太隂在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太隂在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七

若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实逺目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然葢高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后【以髙弧及同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是】多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上【此论以体相对虽心不正在一直线防合亦无妨】今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐逺至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所余食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景【日巳没故】非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太隂之视差顺表相减余数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太隂视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太隂视差在此为一十○分二十九秒两分数相减余一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径畧长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十余秒而前后地面见景为九十余度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十余秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有余愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也

若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前畧广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆葢所少为一分二十秒耳大概依余日月半径及余高度求同见食之地面皆仿此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也

见食进退一分应地面几何

太阳任在本轮高庳距天顶逺近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径葢径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分【食退是】求所应之度即十径分与三十○分【太阳全径度数之分】若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太隂视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十余里若求五径分应几何即于六十度太隂视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也

日食掩地面总图

甲为太阳乙为太隂丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太隂视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太隂视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也

新法算书卷六十八

钦定四库全书

新法算书卷六十九　　　明　徐光启等　撰交食厯指卷六

外三差

前论交食法有东西南北髙庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清髙差是近于地平为地面所出清之气变易髙下也二曰清径差亦因地上清之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万厯年间殚精推测钩深索隐厯家推重以为冠絶古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十余年事耳盖厯学之难言如此

清髙差

厯家测騐日月及经纬诸星积累所得其光入人目徃徃不依直线而至夫太隂太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶絶不同其各体之大小亦不同又太阳太隂固有地径差其视体偏下视髙度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为髙也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视髙之去实髙也愈多盖近地则湿气愈厚故受为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上【厯言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也】谓之清也因此凡测两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昬测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清之高差也

问清之气能变易太阳太隂之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清诸差太阳与太隂大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之差皆其高弧至于无之处得其实度而以较于有之处得其视差几何如第谷所居北极髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之差必于夏月太阳出气之上乃可得之测恒星之差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上气为在髙之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正【与地平为直角】或斜【与地平为斜角】其在髙之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有竒测定太阳太隂之气差大约相等自地平以上至四十余度髙差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分气差之视髙三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太隂以最大之地径视差六十三分气差之视高三十三分相减余三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清之差也第谷用器甚多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多葢此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万厯十八年庚寅夏六月西厯记月食太阳以半体出地其太隂正相对尚高二度入景中已多分及太隂半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太隂之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其气为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治厯者当先定本地之诸曜蒙差叅以时令乃能立表推歩其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差旣定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此髙差惟月食累遇之若日食则二曜之气差大畧相等髙弧旣同鲜有变易径可勿论也

清径差

太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太隂全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有余光厯家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太隂在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳卽定朔果在此时日月以两心正防何因四周能见太阳之边乎【或有时可见详下文】此説是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁夘三月朔日太阳近于最高得全径三十分太隂在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚余二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正防见有金环又万厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测髙五十度前测正髙四十二度论临食时此测有云前测无云也【云气虽不掩日月亦能变易光曜损益分秒】而第谷专精騐多在北海之滨北极高五十六度累年宻测终不见太隂尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万厯二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十余度测得食甚时见金环四周皆广一分有半【太阳径十二分】万厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人宻测乃不见食此两