新法算书

即目所见遂得其实行能分别其去地逺近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外逺近乎又目所见者太隂太阳二体相若何从知其内外之相距絶远二体之小大絶不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚逺内者之两相距不甚逺乎是三者皆目力难慿之效也或曰是则然矣测量之法皆慿目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之防以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异【地居恒星天中止当一防】若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚逺故测日月五星于彼界上得防即与实度相近【曰聊可得之曰距不甚逺曰近其实度皆因有地半径视差故】但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣

人目差

两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心【目睛最中之一防为心】受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大逺于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一防为底视差无所繇生矣

如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线

可比于甲丙线【可比者不甚逺则有比例】则两戊己径线渐相就如己

而相遇于丙若物更相近为

丁则两径速相就为辛庚【甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角】而两目之光线皆从己敛向于庚自觉所视之物变逺为近矣若物与目相去甚逺则无比例者因两径絶难相就絶难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不逺于壬不逺于癸葢视之目分两线为交角即能分本物之逺近也若不能分两线即不能分逺近

地半径差

目视星欲辨六曜【月五星也】在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太隂两人同测之一在甲一在乙因此大底之逺近比于各距太隂之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两

直线必觉彼此相就以趋于丁

矣再使壬癸为列宿天之两恒

星【或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周】测

者一从甲见太隂丁若在壬以夲体合于一星之体【或太隂之南周齐太阳之南周】一从乙测太隂反在癸转就北以合于他星【或太阳之北周】若甲乙两测之距愈相逺即所见丁月两指之极高亦愈相逺【一偏南一偏北东西亦同】而人在甲能见太隂掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太隂其势甚难故立别法代之【详见本书第六卷下文畧言之】假令人正居地心推其所得太隂距天顶应若干度分又同时居地面者实测太隂距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太隂在

此线左右为己从甲地心测月见之

当在庚自地面乙测之乃在辛则先

推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后

推丁乙辛角或所当之丁辛弧【乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故】以两角或两弧相减得视差之弧庚辛

问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距逺若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一逺一近如图太隂在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙逺近之差则目所能识也所能分也

【因地之半径与月本天之半径有比例故】则目之在甲与

在乙所受己戊弧之象实不能无大

小为己戊弧等而两角之大小不等

【目受物象皆以角形见交食第一卷】相近者必大逺者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不逺矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例【小大絶逺故】而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则

用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若

论角则丁乙辛角与丁辛弧相当【因甲乙与

乙丁无大小之比例】又丁乙己角与乙甲己及甲

己乙两角并等【见几何第一卷十六题】则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则余弧庚辛必与余角甲己乙或辛己庚相当也

视差以天顶为限第二　六章

人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异

三视差

视防与实防无异者惟有正当天顶之一防过此以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之逺为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂防有先后迟速之变二曜之防在黄平象限度东即未得实防而先得视防若在黄平象限西则先得实防而后得视防所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差即以加于太隂实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主葢正当九十度限絶无东西差而反得最大南北差距九十度渐逺南北差渐小东西差渐大至最逺乃全与高庳差为一也【三差恒合为句股形高庳其南北其股东西其句至极南则与股合至极东极西则与句合也】

论日月视高差

太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过

太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有逺近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太隂如图甲为地

心乙为地面丙为天顶丁己为太隂

本天丙戊为恒星天若人在地心甲

视太隂正在地平己直至戊在参宿

第三星下人在地面乙视太隂己直

至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太隂之极大视高差若太隂高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太隂距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个【后言一个者皆一地半径省文也】若太阳甚逺于地自地

面至日轮得一千余个其差更小日

出地平之最大差止三分渐高渐小

矣凡推日食恒以太阳之视差减太

隂之视差得两曜之视差假如甲乙

为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天【或指宗动或指恒星其理同也】得戊庚为太隂视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差

求太阳高庳差

凡地半径与星距地心之逺此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚逺其距逺之线极大地半径极小两线絶不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地逺近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地逺近亦不等如测恒星无视差可证其距地最逺测填星防有之仅得数秒而测太隂所得过一度因知七政之最逺者为填星最近者为太隂而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角

甲角直线为甲乙者一千一百四十

二个【此中数也】推得甲丙乙角三分为太

阳之最大高庳差若太阳在丁其丙

丁高弧三十度则以余弧之乙甲丁

角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差

求太隂高庳差

太隂之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最逺最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最逺【一限】则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近【二限】距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近【三限】其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最逺【四限】距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太隂在小轮高庳逺近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太隂本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙

是为次轮心一在最高

一在最庳而己丁及庚

戊两弧皆设六十度引

乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高逺近之间各度生何视差借太隂厯指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分【地半径为个个六十分】甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有竒是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正【六十与一十八若二分三十七秒与四十六秒】为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分【六十与一十八若三分○七秒与五十五秒】是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太隂在戊正高庳差也其余次轮之逺近度求视差皆凖此

太隂在朔高庳视差

本书二卷论太隂交防时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太隂食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太隂恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最逺庚为庳最近乙距地心甲为地半径

六十个一十八分【设歌白泥之数以为

法】己丙弧六十度乙丙得五

个一十一分与甲乙六十个

十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分【六十与一十四若己庚十个二十二分与剰径二个二十八分】为剰分以推太隂在丙之视差加于在己之视差得太隂之真视差

假如太隂距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒余三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒

以四十二秒加于第三

限之四十二分一十九

秒为四十三分○一秒

是三四限间六十度之高庳视差今太隂行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减余七分五十七秒于时太隂自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶余度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地逺近简之

测日月求高庳视差

借月食推太阳太隂距地心逺近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之逺立数法试之其一其至子午圏同恒星在极高度测其相距逺俟行半周在极庳度复测之得逺近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚逺又有出有入非如北极恒星常见不隠二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测之理且以需他用耳

假如万厯十一年秋八月太隂黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度余实高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以减本地赤道高度得太隂赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太隂一十三度一十五分之高庳视差也又万厯十五年六月太隂黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有竒推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太隂心高一十五度○三分内减蒙气六分余与赤道高相减得一十九度○八分为太隂赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度畧同所推视差大相逺矣又万厯十四年九月测太隂高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太隂高四十五度之高庳视差也

以四方分视差第三　五章

视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差

三视差总图

前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧

独黄道正南北或正东西则合为

一弧外此必成三角形以法推每

边之度分也如图甲乙为地半径

丙为太隂丙丁为月本天戊己庚

为黄道壬己癸为过天顶象限从

地心出直线过太隂为甲丙至宗

动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太隂高庳视差午申弧与黄道平行过太隂视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太隂实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太隂南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太隂东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太隂以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太隂过东至丙乙丙己参相直则见食是为视防是实防在先视防在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁

为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为

其极太阳或太隂在己为实度但人不

在地心在地面如庚视太隂在壬则己

壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬

两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛

己为东西差辛壬为南北差

高弧正交黄道南北东西差

以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其防何葢两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即絶无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太隂在交处无距度则高差径为东西差而絶无南北差若太隂有距度则黄道不同于高弧太隂不免有东

西差亦并有南北差如图甲戊为黄

道即为高弧与地平为直角甲为天

顶太隂在丁则其高差丁戊即为东

西差若太隂距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太隂愈近天顶乙丙两角愈鋭南北差愈多太隂愈逺于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少

高弧斜交黄道南北东西差

太隂有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太隂无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相

当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也

有乙戊视高差法以曲线三角形之理

推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形

小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太隂不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太隂距南在戊距北在己其黄

经度在乙从天顶得丁戊为太隂距

南高弧丁己为太隂距北髙弧因实

度在戊在己视度在庚在壬得戊庚

及己壬为太隂视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差

假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太隂距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己为高弧交黄道角之余角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太隂距北则乙

癸己三角形内有距度乙己有乙己

癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧

及乙癸己角去减己壬视高差得壬

癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度余为南北差乙癸减辛癸余乙辛为东西差

如上説细论视差于理为尽若恒时推步别有防法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天顶太隂之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太隂居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太隂无距度以视高差求南北东西差

依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太隂在辛则辛己为视高差自黄

极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚

为东西差庚己为南北差此三角形

有己庚辛为直角辛己为高差更得

高弧交黄道之角庚辛己则视高差

辛己之正与南北差庚己之正

若全数与庚辛己角之正

假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分

一十五秒其正九○三二四视高

差辛己得五十八分三十六秒正

一七○四算得正一五三九查

其弧得五十二分五十四秒为太隂

南北差庚己此用正法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角余六十三度三十六分三十九秒得余四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其余四一三六八两余相减余三○七八半之得一五三九为南北差之正也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之余与庚辛东西差之余或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正与东西差之正若全数与高弧交黄道角之余假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其余九九九八五四七推得九九九九七三一为余得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之余四二九一三高差之正一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之余二十五度二十四分四十五秒减高差余二十四度二十六分○九秒其余九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其余八九五八○两余相减余二四六二半之得正七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太隂有距度以高差求南北东西差

前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太隂时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙