新法算书

七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四

一题之系　半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何【六卷二题】曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系　设圏径求周求容　凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周　用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然

二系　圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周

三系　周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径　周线上方与他周上方若径上方与他径上方【十二卷二题】径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系　设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径

又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周

径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

【大周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七

【小周】三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六

约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四

再约得七之一又朒如前

论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内也皆非周也

古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疎也故不合

古设径问积法以径自乗三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数【即母数】为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎

量撱圆法　撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士黙徳本论曰两径之中比例线为径作圏

与撱圆等则两

径为第一第三

率相乗所得方

数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乗者即中率正方之数【此比例法见几何六卷三十三题之第十增】故以两径相乗得数以一一乗之以一四除之得撱圆之积也

量圈之一分

第一图【名两半径形】

设半径及用全与全若分与分之比例　法曰以半径乗得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六十二相乗得七十

二半之三十六为本形积

第二图【名两内形】

设两两丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰

等有丁乙求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图

即第二图之半同理

第四图【名形】

有本圈径设求其积法先求半圈积次求两形之积两数相减余为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁求乙已丁之积置乙巳丁一一又七之六

圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之一一又七之六余七为丁戊乙丙两之数半之为三半丁戊也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙

角得丁乙边为设形之

若形大于半圈者以两之积加于半圈之积

若不知本圈之径则先求径其法丁乙半之作巳辛垂线量其度得数为法之半数自之为实而一得本圏之径【防何三卷五十五】如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形

第五图

设小半形如甲乙丙则以甲丙句甲

乙股各自之并而开方得乙丙成乙

丙小形有乙丙依前法求积次求

甲乙丙句股形之积并之即得【一图】若止设一直线为径之一分【甲丙也】而知

本圏之径法先求丁戊丙象限积次求

丁乙甲戊两形之积相减余为甲乙

丙形之积【二图】

若所设乙甲丙非直角而知本圏之径

法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句

股积盖形有甲辛两角甲乙边可得余

边即得其积末用前法求乙辛丙半

形之积内减甲乙辛句股积余为设形

之积【三图】

若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半形积【四图】

或设本圏之径作戊乙线法以半径乗得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积余为设形积【五图】

或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙余如前【六图】

若半形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法【七图】或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲

角求乙丙边求积次求乙丙形之积如前法【八图】第六图【名两之形】

若知各之径者法与一形等

若设两亦设中长线则分元形为两

形　若不知本圏之径亦不知中长

线属无法之形

第七图

以分之成直线形者一成形

者三四以上各以前法量之

若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中【第六卷】古法设长濶问积见长方又设长阔总数长濶较等问见句股义

量面用法

以木造矩锥平

者为盘直者为

干盘径五六寸

厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题

直线内一防上求作垂线【防何一卷十一】

法曰设防上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角

等

第二题

直线外一防上求作垂线

法曰设防上卓一竿持器循设线上防移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从防至锥下作线则元线之垂线也

凡设田形量其歩畆前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也

三边田法从大边用器防移迁就向对

角立垂线分元形为两句股形【一图】

四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不

直依图

分句股

形令分

余者各

两对边为平行线用正方长方法量之【二三四图】

多边形田从大边如甲上作

甲乙垂线从大边两界如丙

如丁作丙戊丁己两垂线丁

己线上立乙辛垂线又立庚

寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数之并之得元形之积【五图】

若田形以曲线为边宜先

求直线形法取一线为径

径上宻宻卓锥作诸平行

线末各直角上加器成诸

长方形亦成诸三边形曲

线为边者大圏之也即依直线法量之所差甚微【六七图】

或田中为房舍林木等物所隔难作

中长线法于田外依一边作大方形

形边上向田之各角作线是元形之

外方形之内有若干句股形并诸句

股积以减方形积余为元形之积【八图】

增题　多无法形量法从田心如癸加象限邉向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向

辛各定其癸角之度次以公量法量癸

乙癸丙等线元形内有三边形七每形

有一角两邉因法求余邉求毎形之积

并而得元形之积

中空田法先求大形之积次求空形

之积如方田一叚各边十丈中为圆

池径七丈则方形之积一百丈池之

积三十八丈半减余六十一丈半为

设形之积

求环田积用两圏之径或周以次求

大小圆积相减余为环田之积如设

环之外周为四十四内周为二十二

则大圆积一百五十四小圆积三十

八半减余一百一十五半环田之积也

变形法

其一设三角形求变为等底等积方形

凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成

丁丙戊方形与元形等底等积

如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求

如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交

角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊【形并戊庚如所求】

如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与夘等即甲与乙夘癸与夘各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚夘次并夘乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线【丙非角故不名对角】引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取

己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法

若所设线甚小几倍之得为元形边则平分

元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所

求

如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三

角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求

其三设矩内形变为正方形

如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界防作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线

其四设多边形变为正方形

先以直线分元形为若干三边形

次依第一法变各三边形为矩内形

三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形

四并各等边形成一大矩形

五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形

以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之

矩内形是也

其五两正方形变为一正方【防何原本一卷四十七题备论其理此则用法】置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁

矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形

等次截取癸实形移补丙丁虚形次取

丙子实形移补甲虚形次取壬实形移

补庚虚形次取庚丑实形移补戊【己庚】虚

形次取戊实形移补辛虚形

成夘辰午未正方形

其六设矩形求变为他矩形

其边各有比例如设一形欲

作他形等积而两边之比例

若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形

第四题

截形法

借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形

之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲

角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形

为四三角形求其比例法曰从各角向

各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向

壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂

线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙

两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两

垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙

两形同用甲丙线为底即丁子乙丑

两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙

又命分四之一而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行法四平分甲乙腰四乗三【命分数内减得分以其余乗命分】得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至

丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三

二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本

形为若干三边形又如前次第求各形

之比例线【因形求线】合之成一直线如图为

乙丙丁戊己若命分为四之一即四平

分之若第一分在乙丙线内则分甲乙

丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分

所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为

元形四之一若命分之界不在元形之

角如甲乙边内取庚防为界法从庚向

各角作线求各形之比例线如前

上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图

甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之

三设方形命截几分之几法任分一边

如命分数取得数作平行线或正方或

斜方或矩形皆同理若以角为截界则

与上文多边形同法

四设梯田命截几分之几如四分

之一法上下两【边各四平分而取其一作直线聨之】

或用角为截界则与前多边形同法

若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之防分得全形之几分随用前第

一设截三角形之法得所求

假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒【减一得子】为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求【或取三十二而取二十九】

若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内但底等即其积等

不论角大小

若两梯田截法先求各形之积次算此

形所截之分为彼形之防分其用法如

前

【有本法本论于法算诸书中详之此不及备着】

【新法算书】

【卷九十一】

此外别形尚多各

钦定四库全书

新法算书卷九十二　　　明　徐光启等　撰测量全义卷六

论体

厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例【别有本书】不用此比例何繇知交食之歳月日时地影【即闇虚】比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食旣之有无金环乎何繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也

体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法

其界为面面居体之周【面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界】一面之体如球如卵

二面之体如半球半卵圆角圆堆

三面之体如剖球卵之一分

四面之体如三面角体而四面等

即三面角体第因各面俱等故属四面

五面之体如四面角体【因角体之面无定数故左方不列其名】六面之体如立方正立方斜立方

八面之体八面俱等

十二面之体十二面俱等

二十面之体二十面俱等【自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也】公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也

几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉

第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体【因其上下为平行面亦属等面】公法以高乘底之积得其容【高深两名互用】其高之度则垂线也

几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直

又本卷三十二题曰同类之体与体【凡比体者皆以其容积相比】为

其边与边三加之比例　解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也【五卷十界】此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二　四　八　十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也

系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七【其超法为一身有半】则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同