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新法算书

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四率】而以第一自乘又以

乘第二其两方之比

例亦若第三与第四

【见几何七卷十七题】则戊己方

【一四四】与戊己【十二】辛子

【四八】矩【五七六】若戊己【十二】

与辛子【四八其比例皆四之一】亦若乙己【十七】与乙辛【六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子】反之则乙己【十七一率】与乙辛【六八二率】若戊己方【一四四三率】与戊己辛子矩【五七六四率】或与己丙丙辛矩【又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也】

又四率法既云一乘四二乘三

两矩积等今依法乘之即得乙

己根【十七一率】乗己丙丙辛矩【五七六第

四率】所得数【九七九二】与乙辛根【六八二率】乗戊己方【一四四第三率】所得数【九七九二】等次再以乙辛乗之即得乙辛

根【第一率六十八二邉总之半】乗乙辛根

【六八】偕戊己【元形中垂线】方【一四四】之

矩实【共九七九二为第二率】所得数【六六

五八五六】与乙辛根【第三率六十八三邉总之

半】乘乙己根【十七】偕己丙辛丙

矩【五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也】之矩

实【共九七九二为第四率】所得数【六六五八五六】等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以

半总乘之得数为实

开平方亦得元形之

积此用后所得数证

法也

何谓中垂线自乘以

乘半总又再乘而得

积以句股法解之如

戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之

积【两形等故】又乙戊己句股形以戊己句

乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形

并之积又以戊壬句乘壬丁股【或戊己乘

丙辛】得倍积即庚戊壬丁两形并之积

故戊己乘乙辛得元形之积如此即

一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者

算术中两方相乘开方得两根相乘之

数如图戊己【一二】自乘为戊子方【一四四】以

乘乙辛【六八即戊寅】为戊丑长方【九七九二】又以

乘乙辛为戊寅大方【六六五八五六】此前证法所得数也若以乙辛【六八】自之得【四六二四】以戊己方【一四四】乘之所谓两方相乘也【得六六五八五六】开方各得八一六即戊己根【一二】乙辛根【六八】相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也

若直角三邉形以句股数相乘得数半

之为形之容葢方形与三角形同底同

在平行线内则方形之容倍于三邉形

之容或用半

若三邉等形则有中长线者法与句股

同为本线分元形为两直角形也无中

长线者以法求之如乙丙丁三邉等形

从丁角作垂线至乙丙邉平分元形为

二【一卷二十六】用句股法以乙丁乙甲两方相减余为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减余四之三甲丁上方也开方得四之三之方根【何谓四之三之方根葢四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文】次以四之三乘甲乙四之一【甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乗故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐】得方方根【即根之方】十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故

系三十为元形乙丙邉上方形十三

为乙丙丁三邉形之容葢两形同底

则其比例为三十与十三求分之母

为全数全数者一也则一邉之方数亦一其根亦一

法曰三角形边上方形与三邉形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也

又如各边为十其半五五自之得二十

五以减全邉方之一百余七十五开方

得八又一百之六十六以五乘之得四

十三又十之三较前少差以开不尽故

公法先求形之中垂线以形之半周乘

之得形之容凡有法之形通用此

解曰设三边等形从心向各边作垂线

又向各角作线必分元形为六直角形

而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为

句股形亦各相等半句【即甲乙之半】乘股【即甲】

【丙中垂线】得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次【为半句者六也】乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法

一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数【十四卷十二】

二系二边等形先求中长线如三邉等形之法如两

腰各五底六半之三自之得九以减腰

五上方二十五得十六开方得四中长

线也余与前等

三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐

角向对边作垂线成句股形有角有

以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙

丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁

作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形

有丁乙边乙角而求丁甲边为全数【内】

与丁乙边十五【外】若乙角之正三七五一五【内】与甲丁邉五六二七二五【外】约得五尺有竒以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有竒元形之容也【凡先设先得者为明所求为隐邉角同下文仿此】

若俱隐角则用本书一卷六题法从大

角至底作垂线求两任分底之各分若

干既分元形为两句股各有又求得

句以求股若干即元形之中长线

法曰丁乙丁丙两小邉相并为总相减

得存存总相乘为实底数为法而一数

与底相减所余半之得相小邉之小半

底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相

减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小邉并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减余一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半防十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有竒不尽若有角求一邉或有二角求二边亦先求邉【本书一卷十五十六题】

若形之邉为断几何如圆果平积

之邉其法以邉数自之又加邉数

半之为形之积假如各邉有三自

之得九加边得十二半之得六形

积也又如设邉五自之得二十五

加邉三十半之得十五积也见算

章逓加法

第三题

量多邉形

一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆为两邉等三角形故不论防何邉俱同法

法曰多邉形从心至各作线悉分为两邉等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容

如八边邉设十歩从心至角作线辏心成八角皆等凡

辏心必四直角分三百六十度八而

一每角得四十五度乙丙丁角形二

邉等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙

两角并得一百三十五度半之得六

十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲【半元邉为五】求甲乙垂线即全数【内】与丁甲【五外】若丁角之切

线【二四一四二一内】与甲乙邉【一二○七一○五外】约

之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得

六二三五五二五约六十歩有竒八

之得四八八四二四○○约得四百

八十八歩有竒为元形之容

若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二邉有法形邉设十歩以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙线即全数【内】与甲乙【五外】若丁角之切线【三七三二○五内】与甲乙【八一八六六○二五外】约得十八歩有竒甲乙中垂线也次如前

或用正数法曰各邉为本弧之

即半邉为半弧之正而中垂线为

半弧之余以边数除三百六十得

设边之弧邉数及弧度各半之次用

半弧度求其正及余末用三率法以半弧之正为第一半邉数为第二余数为第三得第四为正垂线即乙甲

如五邉等形邉设十二以五除三百

六十得七十二半之得三十六其正

五八七七九为一率【内】其余八

○九○二为三率【内】半邉六为二率

【外】得九又九之一为四率【外】即一邉上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五邉形之周为六十乘得五四六又九之四为五邉形之并积

多邉有法形之比例　多边有法形之具三曰邉曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例

每形之边为一【一虚数也丈尺寸分唯所设之】

三边形之周三积为三十之十三

四邉形之周四积为一

五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽

六邉形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足

七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈

八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足

九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽

十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足

用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也

旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法

分元形作两句股形各形有有句以

求股而求积得八四又三十之二十八

几为八五非八四

论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不

知丙乙十四乙甲七各自之相减开方

乃十二有竒非十二也且七除又七乘

安用之

旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六邉等形内有

三角等边形六用古法得各形之积为

九十六又七之六六因之得五九一又

七之一非六七五

论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同邉而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之余九六○八角形积也

正法作图每两邉引长之遇于甲成正

方形其内有元八邉形又有甲乙丙四

句股形以丙乙元形邉十四为求丙

甲而句股等法以十四自之得一九

六半之得九八开方为九又十九之十

七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁

元形之邉得三十二又十九之十七为甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积余九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣

论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙邉与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多

新法算书卷九十

<子部,天文算法类,推步之属,新法算书>

钦定四库全书

新法筭书卷九十一　　　　明　徐光启等　撰测量全义卷五

圆靣求积

凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚竒黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题

圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等

论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所余又减其大半末所余以比较形亥必能为小矣【十卷首题】如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末余丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角

形等必小于午申酉三边形何者

未午乙甲也小于圏半径乙庚先

设午申酉三边形及亥较形始与

圏等今午未戌三边形及八两角

杂形适与圏等夫午申酉三角形

大于午未戌三角形亥形又大于

八两角杂形是合两大形【即午申酉及亥

较形】与圏等者复谓合两小形【即午未戌

及八两角杂形】与圏等有是理乎

次论曰若言圏形为小句股形大

者索其较为亥形即于圏外作子

寅丑己正方形又作卯辰八角形

夫寅己方形大于午申酉三角形

者方形之周线大于圎形之周线

也内减其大半【即元圈】又减其大半

【即卯辰子等四三角形也】末余丙卯庚庚辰丁

等三角杂形八必小于较形亥又

作午申亢三角形与丙卯辰八角

形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角襍形八【即丙卯庚等八杂形也】反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎

第二题

凡圏周三倍圏径有竒【二支】

此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三【任设此数以便推算】午子或午戊必三百○六各自之股方得二万三千四百○九方得九万三千六百三十六相减余七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五

三次平分午戊甲角作戊庚

线任分午甲于庚则午戊与

戊甲若午庚与甲庚【六卷三题】合

之戊午偕戊甲而与戊甲若

午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲【即午庚偕甲庚】若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五

九一又八之一不尽为庚戊

线【戊甲甲庚之】则庚戊与甲庚之

比例若五九一又八之一不

尽与一五三次平分庚戊甲

角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一　一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线【甲戊甲辛之】则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线【戊甲甲寅之】则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒

论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二

午戊甲其半则三之一庚戊

甲其半则六之一辛戊甲其

半则十二之一寅戊甲其半

则二十四之一未戊甲其半

则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申为象限二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎

二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等【四卷十五】从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角【三卷三十一题】设甲丙句七百八十○乙丙一千五百六十○两数自

之相减开方得一千三百五十

一不足为乙甲股则乙甲与甲

丙之比例为一三五一与七八

○次平分甲乙丙角作乙丁线

又作丁丙线成乙丁丙丙丁己

两直角形相似盖同用丁直角

在半圏内甲丁丁丙两所乘之

等则丁丙己丁乙丙两之

角必等【三卷二十一】夫两形有两角

等者各腰俱相似则乙丁【大形之股】与丁丙【大形之句】若丁丙【小形之股】与丁己【小形之句】又乙丙【大形之】与丁丙【大形之句】若己丙【小形之】与丁己【小形之句】更之乙丙与己丙【两】若丁丙与丁己【两句】是乙丁与丁丙【两股】丁丙与丁己【两句】乙丙与己丙【两】三比例皆等又乙丙与己丙【两】若乙丙并乙甲【两腰】与甲丙底之两分【见前解】则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又

四之一弱为乙丙【乙丁丁丙之】则乙

丙与丁丙之比例为三○一三

又四之一弱与七八○次平分

丁乙丙角作辛乙线因前比例

论得乙辛与辛丙比例之数盖

丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与

辛丙先定乙丙三○一三又四

之一乙丁二九一一弱并为五

九二四又四之一弱今丙丁为

七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线【乙辛辛丙之】则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得

一○○九弱则六六与一○○

九为壬丙与乙丙两线之比例

末平分壬乙丙角作乙庚庚丙

两线乙庚与庚丙若壬乙并乙

丙二○一六又六之一与丙壬

六六两数自之开方得二○一

七又四之一弱为乙丙【乙庚庚丙之】则庚丙与乙丙两线之比例为

六六与二○一七又四之一弱

论曰丙甲为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乗六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎

第三题

圜容积与径上方形之比例

解曰一为十一与十四而朒一为二