新法算书

十二剖之为宫二十四剖之为节气七十二剖之为盖用以节七曜列宿之行用以审日月交食之限至较着也子午规者从诸曜升降度适中之界而设也太阳一日旋天一周见于东方渐升至髙为正午此地平以上东半昼分过午向西渐底地平是为西半昼分乃谓之降他曜皆然于此升降度之中界立有一规名为子午诸曜际此谓为在子在午是规透过赤道及地平各二极其偕赤道地平而交为直角也恒然不动但人在地面南北迁此规惟一东西迁则随在各异也【与地平同】巳上四规各有本用所系非小厯家测欲求七政行度会望等诸法舍此无从措手以此未言象数先以详明诸规为首务也

一系赤道有恒动恒不动二用恒不动者以定各方时刻恒动者以相交相割于黄道也俗谓赤道有二者盖即指此二用非实有二道也

二系赤道正居天顶则两极适与地平相当至若赤道斜交地平之所则极出地度数即赤道距天顶度数矣其经度即过极圈纬度即距等圈也

三系黄道与赤道斜交故其极自有本极谓之黄极黄极者恒星与太阳本行之枢也论二道最逺之距【即南至北至之距】今古不同今测定为天度二十三度三十一分三十秒上古较多数十分后此则渐减矣

四系周天诸道用立多规以便测验但其为规也非止旋周一线而已盖一满平圆面也面为各曜之所经行故谓之道某曜在某靣上即谓之在某道云

厯元

所谓厯元者乃以诸曜之平行同时而求各所厯数厯家因之用为起算之根也新法则以天聪戊辰前太阳过天正冬至后第一子正为厯元其日干则己夘也斯时太阳躔星纪宫初度五十三分太隂在六宫初度五十分他曜皆以此时行度为准不用冬至时刻与旧厯异縁冬至有正有平最难得其真率也夫厯元为诸算先资稍有舛忒即诸行皆谬矣况诸曜终歳细行莫不以子正起筭又安用冬至时刻为哉

厯算

旧以周天判为三百六十五度又四分度之一所谓日度也盖以太阳之行黄道日一度度析百分分析百秒且又均之分为宫次气法用竒零势难齐一且天度者歳实之日分也中厯所用歳实诸家多寡不等是其分天非一定之术而为游移之法欲以是决定诸曜之行岂不难乎若夫新法之分周天厯度也即于天度以三百六十平剖之度析六十分分析六十秒盖六十者半之则为三十三之一则二十四之一则十五余任剖析皆为自然而然之分往古厯纪未始繁载但于测得之数曰某度几何分之一而巳错综离合其于厯算甚便也请言厯算夫厯之为数祗就天行无假淹贯九章而其所须用者加减乘除开方五法古用觚棱近便珠算西法第资毫頴今复有算筹之创简防尤甚矣所谓加法者以类相比倂多分以成全如度倂度分倂分秒并秒时刻倂时刻是也此湏知定位及进位之法如积六十秒为一分积六十分为一度秒进于分之位分进于度之位而与他度分秒并之若加时刻则以十五分进一刻四刻进一时二十四时进一日二十四西法谓之小时也此加法也减与加反用稽所余其法先湏较数多寡多中减寡理数易明若于少内减多必立借法以通其变如借度化分借分化秒为本类以用之乘法者九九互积之义有实数有法数凡单数乘度分秒不变位若度乘度复生多度分乘分以生秒秒乘秒以生微则皆变位【分秒相生皆指竒零而言】此不可不知也除法者以少剖多分分除减意也为法有二或以单数商除亦不变位苟分度不尽即以余度化分除之分秒亦然开方者以化法求其微数用筹乗除然后再受为度或用三率法亦可是五法者尽厯算矣然而新厯之算诸星经纬及交食等项也盖有二术其一取所图各宿曜本行规之半径幷其所设某日平行【即本圈上之弧】用诸三角形法推演乃可得经纬细行或交食之分数时刻此术最为缜密果能精心于此即诸天周行轨迹隠微防不洞然其二以先所推定诸表握筭设如某日某刻欲求太阳经度则第用加减二法检表二三次以求即可得其宫度较之中厯节气求经朔之法简便数倍余如五星太阴等曜以及交食皆各有表可稽火星兼用乘除他则但资加减立法虽难致用则易然而一趋超径万一操觚小失恐幷迷昧元初之理所以二术不可偏废皆为推步家之所朝夕从事者也

勾股

勾股之术从来尚矣古九章周髀载之究不过一三边直角形而巳垂线为股横线为勾斜线为测量家立表代股平圭代勾而景为其善斯术者髙深广逺无不可求而测天之为用尤大然而旧法虽有三元五和五较等用不过设二求三且泥于直角一形若遇斜角角无以措用矣新法变而通之既名其公曰三角形又审其平靣球面曲线杂线鋭角钝角之别即知天为圜体宜测以弧宿曜逺近诸道互交宜测以多类之弧遂生多类之三弧形于是各形咸备有三弧三角互设三以求余三是谓以圆齐圆于法为善故虽天道隠微象数零杂未有能遁焉者也

割圆

割圜古法亦即以圜求圜之意但古法设弧以求矢欵目四十余项颇为艰繁新法易之以表开卷即得盖因圜形之弧与角总代以直线数种稽其数名为八线表云夫圜形半径为本规六平分之通若二半径各自乘之并而开方可得本规四平分之通用几何诸法又可得各度分之通其各弧及其通折半乃得正正弧有弧即有其矢矣故矢不另立表也通之外有切线割线通全在规内切线全在规外线从规心出于规周之外则为割线然而弧有正有余矢切割四者因亦各有正余如一象限为本表之限或于限内取几何度谓为正弧其或逾九十度者即谓之余矣正余各有矢割切四线都为八线也

恒星

恒星亦名列星亦名经星云恒者谓其象终古不易也云经者以别于五纬南北行之义其数甚伙莫能穷尽就中有光体微非目可及非仪可测者畧而不录其在等第之内已经新法测定者南北二极共一千七百二十有五星稽其大小分为六等第一等大星如五帝座织女类者一十有七二等如帝星开阳类者五十有七三等如太子少衞类者八十有五四等如上将柱使类者三百八十有九五等如上相虎贲类者三百二十有三六等如天皇大帝后宫类者二百九十有五此皆有名之星计共一千一百六十有六余皆无名者矣至于天汉斜络天体古昔多谬解迩来窥以逺镜知是无算小星接攅一带即如积尸气等亦小星攅聚以成第非人目所能辨遂作如是观耳小者不足论论其大者古厯以周天诸星分为三垣二十八宿各定有名位座次每座每宿星数多寡不齐顾其所谓宿者盖取七曜经行止宿之义且用以便测算经度又为其各能主施徳也西古厯亦列二十八舍所定二十八距星皆与中古脗合第觜距西用天闗为小异耳此二十八宿者各以一字命名分注每日之下内以房虚星四宿为属太阳之日心危毕张为属太阴之日此外五纬各属四宿每以七日为期每日各属一宿西厯亦然西经传上古有一大师名诺厄者广宣厯理以遍万国则亦有所本也

一系星之命名多系借义非可过泥虚名便谓实有其验比如贯索一星中以其象囹圄名以贯索西以其象冠冕名以冠冕一吉一防全由人意岂天星实然乎至谓诸星情性不同旉施互异是又理所必然不得槩置弗论也故总图于某星属某纬者咸附注之

二系图星之法有二一浑球有南北二极有地平子午诸规界判黄赤二道运之能肖天体旋转以审各星经纬度分以辨星中出没以测夜时甚便也一面平图虽乏以上诸用然诸星位置宫度了若视掌为用亦大因有多种之分曰见界图以北极为心其最南隠于地中星极非此方人目可见者则截出之一曰赤道图黄道图二者各以其极为心其道为界盖皆以天之南北平剖为二图者也曰分星图依黄道分天为二十图均赋经纬署以维辰按图指陈天象莫晰于此外有浑盖所用天盘以极为心截冬至规为界亦图星于仪上肖天运动以觇诸星出没升降又有平仪从二极剖天为南六宫北六宫二靣亦绘辰宿可代浑仪旋转至若古传星经图步天歌等虽亦分有宿座便于观览而经纬度分悉皆茫然挂漏于测候无用也

星中出没

太阳右旋一日一度终歳行天一周必复与某恒星合又必有某星与之冲厯家无从测其合者测得其冲者谓为歳差所从来矣然由本方极出地度恒星有出没者亦有不出不没者如京师北极出地四十度则星距极四十度以外皆为恒见而距南极四十度以内者在京皆不能见矣至论恒星见伏亦由太阳右旋至某宿度附近之星光为日夺故不能见迨太阳去离渐逺则此星光渐升东方见而不伏矣缘是而升至午防即曰中星此其星中出没在立象学为用甚钜而厯家但于中夜资之以定时刻而已

日轨

太阳之行黄道也论其积歳平分之数新法以天度计为五十九分八秒有竒所谓平行度分是也然平行齐而实行则固非齐矣冬盈而夏缩矣所以然者盖縁黄道圈与日轮天不同心而黄道之心即地球心是日轮天与地球不同心也心既不同则日行距地近逺不等距近即行疾疾则所行之度过于平行而为盈每冬月一日计行一度一分有竒以较平行盈二分矣距逺即行迟迟则所行之度不及平行而为缩每夏月一日计行五十七分有竒以较平行则缩二分矣盈缩相差若此岂可谓之齐乎终歳之间但逢最髙限最卑限二日平实二行度数惟一此外两行之较日日不等新法因其或过或不及也故有加分减分谓之加减差盖以有恒率之平行为根而以加减差定之然后差而不差非齐而齐矣至论太阳之入某宫次以分节气也亦有平实二算盖算平行十五日二十一刻有竒为一节气乃一歳二十四平分之一耳若用躔度之日以算则冬夏不齐冬一节气为十四日八十四刻有竒夏一节气为十五日七十二刻有竒总由夏迟冬疾故其差如此皆非旧厯之所解也

系太阳天距地极逺之防谓之最髙极近之防谓之最髙冲【亦名最卑】此二防者乃盈缩二行之界古法于冬夏二至谓其恒在一防其实非也按古今诸测皆各不齐古测最髙在夏至前数度今则在后六度矣以此推知一年之内太阳自行四十五秒也

年月

纪年者何太阳随列宿东行旋天一周之期也太阳之行界二其一从某宫次度分行天一周而复于元度其数为三百六十五日二十四刻二十一分有竒其一为太阳防于列宿天之某星行天一周而复与元星会但其星每嵗有本行故湏加本行以定歳而其所湏加者新法定为五十一秒所谓歳差也然而日厯纪年惟以全日推算不用小余如以太阳十二次会合太阴为歳也为三百五十四日每二年三年而闰一月中厯是已如以太阳周十二宫次为歳也为三百六十五日每四年而闰一日西厯是已此纪年之槩也纪月有二或因太阴会朔一次以定谓太阴之月或因太阳行一宫次以定谓太阳之月顾其十二分年之一分则一也一月之终分有大尽小尽者比如初朔子正苟二朔者过二十九日外而不及第三十日之子正则谓之小过子正则谓之大大则二朔同一天干小则不同矣故有三十日弱时刻不及者厯家不得名大或二十九日强而时刻巳逾者厯家仍不得名小也且宇内地度不同而月之大小因以互异比如京师第二朔在子初二刻未到子正其月为小而西安此朔则己在子正初刻又当为大尽矣地度愈逺时刻愈差非可强而同之也月有闰者太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也其月因无中气故谓之闰但古法置闰用平节气而新法用太阳所躔天度节气故闰有合有否或先后一月不等也

昼夜晨昏

太阳随宗动天西行一周而复于元界谓之一日东升西降循环无端其在厯家起算判定一界以为依据则恒以太阳在子在午为凖也论从子午起算之日每歳实行度分日日不等差较一刻有余盖縁黄道夏迟冬疾差余四分而黄赤二道又广狭异距则率度必不同分此其所当审者也今论昼夜太阳在地平上人目可得而覩谓之昼太阳渐隐地平之下人目无见则谓之夜是昼夜者全由人居以分随方【极出地若干】随时【太阳躔某宫】其昼夜刻分皆可依法推算焉然而法算与目见恒异盖太阳体大算法皆以体心出地为昼始而人目以一见日轮即为昼始又日出没升降度有斜正不同又地平各曜出没之界受清气有变凡此皆非人目能辨故厯家立有视差法也一昼一夜平分为十二时时各八刻一日十二时共刻九十有六此恒率也其昼夜永短逓迁之故则不但日行南陆北陆不同而已亦由北极出地髙卑互异而永短因焉比如赤道正过天顶之地两极合于地平其昼夜均停絶无永短又极在天顶赤道与地平平行其下昼夜亦无长短之较但太阳百八十日恒见百八十日恒隠耳此外诸方各有永短顾其一歳之中昼夜均停者四日握算者引而伸之据四日之一日逐渐加减因得九十日之昼夜长短随可以推终歳之数也再论晨昏是分昼分夜之二界也太阳将出未出数刻之前其光东发星光渐为所夺是名为晨太阳已入回光返照亦经数刻始逌然灭尽是名为昏其久暂分数亦因冬夏而分短长新法以日在地平下十八度内为晨昏之限但太阳行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若论极髙七十二度以上之处则夏月晨昏相切虽至丙夜无甚黯黑也

太阴

太阴之行参错不一推歩筹算为力倍艰苟或分秒乖违交食岂能密合故必细审其行度所以然而后可立法致用也盖月较诸曜本旋之外行复多种第一曰平行一日十三度有竒但此行之界凡四一界是从某宫次度分起算此界定而不动二界为本天之最髙此非定界每日自顺天右行七分有竒是月距本天最髙一日为十三度三分有竒也故其平行二十七日三十刻有竒为一周已复于宫次元度又必再行二十三刻有竒为二十七日五十三刻始能及于本天之最髙此行新法谓之月自行中厯于此周谓之转周满一周谓之转终其最髙则行八年有竒而周天谓之月孛三界为黄白二道相交之所所谓正交中交此界亦自有行乃逆行也【自东而西】每日三分有竒则月平行距正交一日为十三度十三分有竒至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃回于元界厯谓之交终四界是与太阳去离太阳一日约行一度则太阴距太阳为十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒逐及太阳复与之会厯谓朔防是也凡上四行总归第一平行其第二行曰小轮每一朔内行满轮周二次每日为二十四度有竒【若以不同心圈论此即太阴中距圈也】因有此行复生第二损益加减分云第二者盖于朔朢所用加减分外再加再减故也此行中厯所无以上太阴诸行新法定其轨辙不外三者均圈一不同心圈一小轮一然不同心圈与小轮名异而理实同厯家资以推算两用互推所得之数正等也

一系月道惟一古谓月行九道者乃白道正交行及四正阴阳二厯各异命之因有八名加以公名共有九耳非真有九道也白道两交黄道论最逺之距谓为五度此系二厯未甚大差之数新法测得凡朔望外相距皆过五度上下二则为五度一十七分三十秒推知二道相交之角非定而不动者要其广狭之行恒以十五日为限也

二系合朔后月夕西见迟疾不一甚有差至三日者其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见迟叚则迟见一因黄道升降或斜或正正必疾见斜必迟见一因白道在纬南纬北凡在阴厯疾见阳厯迟见也此外又有极出地之不同朦胧分与炁差诸异所以迟疾难齐也

交食

凡日月之行二十九日有竒而东西同度谓之会朔至若日行在黄道近交人视为与日同经同纬是人目与月日相参直而月魄正隔日光于人目则为日食日食者非日失其光光为月掩耳凡太阴距太阳百八十度而正与之冲谓之朢若当冲时月行近于两交必入地景而为闇虚此乃月日同在一线而地居其中间日光为地所阻不能射照月体则月失其光而为月食此日月二食者躔度有恒持筹推步分秒确然而厯家各法之踈密于此更难掩也试言其畧黄白二道相交之二所名正交中交凡日月行及二交为同度同度则有食矣然而论交又湏论限及交而在限内则食限外则不食此不可不审也顾限度诸方不一盖太阳于诸方之地平髙度不同而阴阳二厯之各限亦异论暖带下之地二厯互相受变如白道向南极半周有时在天顶及黄道之中势必反谓为阴厯白道向北半周是时在黄道外势必反谓为阳厯故其下日食之限莫得而定之也他域更近于北必阴厯限多阳厯限少更近于南必阳厯限多阴厯限少比如京师近北约算阳厯八度阴厯二十一度则知日月相会凡在阳厯近二交八度在阴厯近二交二十一度其下必见日食而过此限以往则否即北可以推南莫不以逺近分多寡矣然而二厯食限之度有异者其故盖在月轮月轮比日最近于地而月又小于地人目见月之所又在地靣不在地心故以月天论地平虽天与地球皆为平分直过其心而人在地靣髙所以视天地之两界则似地球与月天非平分也少半在上多半在下而差约一度故以本法推算月己出正地平其于人目所视之地平尚少一度此其较谓之视差盖惟月在天顶正地平与视地平之极皆以一直线合于天顶无有视差过此左右不免有差愈逺天顶愈近地平差必愈甚夫视差无他恒降下月体数十分耳设令日月同度同在近交之南又因同度并在正地平上髙二十度则太阳于视地平为十九度五十八分祗降二分太阴于视地平为十九度直降一度矣而日月二差之较为五十八分故以算论虽二曜同髙同度而人目视之太阴恒下于太阳一度弱不掩日光则不食若二曜在地平上髙七十度则太阳无视差太阴视差止二十分其降于太阳亦止二十分势必相切或至掩数分而成食若二曜在交北又当以太阴算在太阳之上庶因视差所降而掩阳光以为食也顾此二地平之差又分二类一加减交食分数谓之气差一加减时刻谓之时差厯算之艰且剧莫过于此所最当究心者也

系日食之全与不全其故有二一由天上之行一由食时地平上髙弧之度故均一食也有见全食者有见食多寡不等者有全不见食者就南北论见食地界设如北京见全食其南北各距四十五度之地为万一千有余里皆见有食然而多寡不等就东西论各距六十度为万五千有余里各见食而分数多寡亦不等焉即月食时刻南北亦有不同而东西为甚也

三余

三余旧加紫气名为四余亦谓之四隠曜然详求天行实无紫气且絶无当于推步之术故西法弃而不录第取三余一罗防一计都一月孛罗防即白道之正交计都即中交也月道自南遡北以交于黄道之一防此防有本行每日左旋三分有竒而罗防正对之防即为计都盖两规斜络其两交之二防必正相对也月孛是月所行圈极髙极逺之防谓月离于是其行极迟其体见极小盖孛云者指其交转两行相悖之义故其平行右旋每日七分有竒是三防者土木火诸星本圈亦有之名义皆同苐其各行不同耳古厯悉所未谙悉置不推不录新法用算五星之纬故于本厯各详其名数云独惜日者之流以罗计月孛等名皆指为星谓其所躔宿度各有吉凶用以推人禄命不知周天诸道诸防皆人所设以便揆算其行度耳并非实物何与吉凶至紫气一曜或谓生于闰余或谓土木相会或谓古人以是纪直年宿故二十八年而一周天都无义理可考故月离厯指详论其必无是曜也

五纬异行

土木火金水五曜名为纬星者谓其日有近南近北之行与恒星异也夫五纬之行各有二种其一为本行如填星约三十年行天一周日二分歳星约十二年一周天日五分荧惑将满二年一周天日三十五分太白辰星皆随太阳每年旋天一周各有盈缩各有加减分各有本天之最髙与最冲即其最髙又各有本行论其行界亦分四种非若囘囘厯总一最髙也其二在于本行之外西法称为歳行盖各星会太阳一次成一周也因此歳行之规【亦名小轮】推知各星顺逆留疾诸情故依新法图五纬各有一不同心圈一均圈一小轮凡星在小轮极逺之所必合太阳其行顺而疾其体见小凡在小轮极近之所其行逆而疾其体见大土木火行逆则冲太阳金水行逆夕伏而合行顺晨伏而合其各顺行转逆逆行转顺之两中界为留留非不行乃际于极迟行之所也留叚前后或顺或逆皆有迟行其土木火行逆即冲太阳而金水则否者縁土木火之本天大皆以太阳为心而包地得与太阳冲而金水之本天虽亦以太阳为心而不包地不能冲太阳也金水不能冲太阳而能与之离金离太阳四十八度水离二十四度

五纬纬行

太阳之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之纬南纬北也各二十三度有半以成二至是黄道者太阳之轨迹也太阴本道又斜交于黄道最逺之距为五度以生阴阳二厯五星之道虽相距纬度各异而其斜络黄道则与月道同理故皆借月道诸名名之其两交之所亦谓正交中交其在南在北两半周亦谓阴阳二厯审是而五星纬行庶可详求矣盖各本道外之歳行小轮恒与黄道为平行而又斜交于本道其上半恒在黄本二道中凡星躔于此则减本道之纬其下半恒在本道外星躔于此则加其纬然此小轮之纬向则恒不变如土星三十年行天一周其在正中二交之下必无纬度分十五年恒北十五年恒南耳凡冲太阳因在小轮下半即加本道纬度凡会太阳因在小轮上半即减纬度他星亦犹是也其或行近于地小轮加纬益多太白至夕伏合之际因其近地其纬几及八度矣中厯不谙纬行之原一见金星在纬南北七八九度即詑谓本星失行岂非诬乎又中厯亦有五星南北纬行图亦界以黄道本道似矣但其逆行之迹恒作一斜方形此甚非也五纬不行直线安得方形以此新法图分二种一设人在地仰观天上进退诸行故于上三星冲太阳下二星夕伏时第作一仅似之圆形凡冲太阳如在本道交上则不作圆形即彷佛一之字形而已一各星近逺于地之图要皆旧厯所未谙也

五星伏见

五星之光与日相较譬犹萤火之于庭燎光本非灭第为大光所夺人莫能睹耳旧厯亦晓此理故用黄道距度以定诸星伏见如谓太阳在降娄初度歳星在十五度即以为见限似矣然而诸星各有纬南纬北之分黄道有正斜升降之势各宫不同何得泥距度以定限乎新法定限惟以地平为主縁地平障蔽日光能使星或伏或见耳夫日之下于地平其光渐杀所谓晨昏此晨昏光之久暂四时不等即防漠等矣而星见时刻又自不等所以然者太阳由黄道而下地平或十度或十五度或至三十度有竒原自不等而星在黄道南相距必多数度在北相距必少数度其限岂可泥乎大畧土木火三星较太阳行迟行后太阳夕伏晨见金水二星顺天东旋较太阳行疾行先太阳晨伏夕见逆行反是其与太阳遇也亦夕伏晨见太阴行较太阳更疾晨伏夕见至于金星之纬不及八度则凡逆行合太阳于寿星大火二宫而其纬又在北七度以上虽与日合其光不伏一日晨夕皆可见之水星之纬惟四度余若其纬向南合太阳于寿星此后去离夕必不见合太阳于降娄此后去离晨必不见金合而不伏水离而不见此二故者浑仪解之他如恒星亦有夕伏晨见者一因黄道之经纬度一因其小大等第即为见伏之限故亦可推也