测圆海镜

钦定四库全书　　　　　子部六

测圆海镜　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要

【臣】等谨案测圆海镜十二卷元李冶撰冶字镜斋栾城人金末登进士入元官翰林学士事迹具元史本传其书以勾股容圆为题自圆心圆外纵横取之得大小十五形皆无竒零次列识别杂记数百条以穷其理次设问一百七十则以尽其用探赜索隐参伍错综虽习其法者不能骤解而其草多言立天元一按立天元一法见扵宋秦九韶九章大衍术中厥后授时草及四元玉鉴等书皆屡见之而此书言之独详其法关乎数学者甚大然自元以来畴人皆株守立成习而不察至遂无知其法者故唐顺之与頋应祥书称立天元一漫不省为何语頋应祥演是书为分类释术其自序亦云立天元一无下手之术则是书虽存而其传已泯矣明万厯中利玛窦与徐光启李之等译为同文算指诸书扵古九章皆有辨订独于立天元一法阙而不言徐光启扵勾股义序中引此书又谓欲説其义而未遑是此书已为利玛窦所见而犹未得其解也迨我

国朝醲化翔洽梯航鳞萃欧逻巴人始以借根方法进

呈

圣祖仁皇帝授

蒙养斋诸臣习之梅防成乃悟即古立天元一法扵赤水遗珍中详解之且载西名阿尔热巴拉【案原本作阿尔热巴逹谨据西洋借根法改正】即华言东来法知即冶之遗书流入西域又转而还入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特录存之以为算法之秘钥且以见中法西法互发益明无容设畛域之见焉乾隆四十六年二月恭校上

总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅

总　校　官　【臣】　陆　费　墀

原序

数本难穷吾欲以力强穷之彼其数不惟不能得其凡而吾之力且惫矣然则数果不可以穷耶既已名之数矣则又何为而不可穷也故谓数为难穷斯可谓数为不可穷斯不可何则彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之数也非自然之数其自然之理也数一出于自然吾欲以力强穷之使隶首复生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之数则虽逺而干端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算数恒病夫考圆之术例出于牵强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互见内外诸角析剖支条莫不各自名家与世作法及反覆研究卒无以当吾心焉老大以来得洞渊九容之说日夕玩绎而向之病我者使爆然落去而无遗余山中多暇客有从余求其说者于是乎又为衍之遂累一百七十问既成编客复目之测圆海镜盖取夫天临海镜之义也昔半山老人集唐百家诗选自谓废日力于此良可惜明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志夫文史尚矣犹之为不足贵况九九贱技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已类有物慿之者吾亦不知其然而然也故尝私为之解曰由技兼于事者言之夷之礼夔之乐亦不免为一技由技进乎道者言之石之斤扁之轮非圣人之所与乎览吾之编察吾苦心其悯我者当百数其笑我者当千数乃若吾之所自得则自得焉耳宁复为人悯笑计哉李冶序

总率名号

天之地为通　　天之干为通股

干之地为通勾

天之川为边　　天之西为边股

西之川为边勾

日之地为底　　日之北为底股

北之地为底勾

天之山为黄广　天之金为股

金之山为勾

月之地为黄长　月之泉为股

泉之地为勾

天之日为上髙　天之旦为股

旦之日为勾

日之山为下髙　日之朱为股

朱之山为勾

月之川为上平　月之青为股

青之川为勾

川之地为下平　川之夕为股

夕之地为勾

天之月为大差　天之坤为股

坤之月为勾

山之地为小差　山之艮为股

艮之地为勾

日之川为皇极　日之心为股

心之川为勾

月之山为太虚　月之水为股

水之山为勾

日之月为明　　日之南为股

南之月为勾

山之川为□　　山之东为股

东之川为勾

今问正数

通六百八十　勾三百二十　股六百

勾股和九百二十较二百八十

勾和一千较三百六十

股和一千二百八十较八十

较和九百六十较四百

和和一千六百较二百四十

边五百四十四　勾二百五十六　股四百八十勾股和七百三十六较二百二十四

勾和八百较二百八十八

股和一千零二十四较六十四

较和七百六十八较三百二十

和和一千二百八十较一百九十二

底四百二十五　勾二百　股三百七十五勾股和五百七十五较一百七十五

勾和六百二十五较二百二十五

股和八百较五十

较和六百较二百五十

和和一千较一百五十

黄广五百一十　勾二百四十【即城径也】　股四百五十

勾股和六百九十较二百一十

勾和七百五十较二百七十

股和九百六十较六十

较和七百二十较三百

和和一千二百较一百八十

黄长二百七十二　勾一百二十八　股二百四十【即城径也】

勾股和三百六十八较一百一十二

勾和四百较一百四十四

股和五百一十二较三十二

较和三百八十四较一百六十

和和六百四十较九十六

髙二百五十五【上下同】　勾一百二十【即半径】　股二百二十五

勾股和三百四十五较一百零五

勾和三百七十五较一百三十五

股和四百八十较三十

较和三百六十较一百五十

和和六百较九十

平一百三十六【上下同】　勾六十四　股一百二十【即半径也】

勾股和一百八十四较五十六

勾和二百较七十二

股和二百五十六较十六

较和一百九十二较八十

和和三百二十较四十八

大差四百零八　勾一百九十二　股三百六十勾股和五百五十二较一百六十八

勾和六百较二百一十六

股和七百六十八较四十八

较和五百七十六较二百四十

和和九百六十较一百四十四

小差一百七十　勾八十　股一百五十

勾股和二百三十较七十

勾和二百五十较九十

股和三百二十较二十

较和二百四十较一百

和和四百较六十

皇极二百八十九　勾一百三十六　股二百五十五

勾股和三百九十一较一百一十九

勾和四百二十五较一百五十三

股和五百四十四较三十四

较和四百零八较一百七十

和和六百八十较一百零二

太虚一百零二　勾四十八　股九十

勾股和一百三十八较四十二

勾和一百五十较五十四

股和一百九十二较一十二

较和一百四十四较六十

和和二百四十较三十六

明一百五十三　勾七十二　股一百三十五勾股和二百零七较六十三

勾和二百二十五较八十一

股和二百八十八较一十八

较和二百一十六较九十

和和三百六十较五十四

□三十四　勾十六　股三十

勾股和四十六较一十四

勾和五十较一十八

股和六十四较四

较和四十八较二十

和和八十较十二

识别杂记

天之于日与日之于心同心之于川与川之于地同日之于心与日之于山同故以山之川为小差　川之于心与川之于月同故以月之日为大差

明勾□股相得名为内率求虚积　明股□勾相得名为外率求虚积　虚勾虚股相得名为虚率求虚积

凡勾股和即黄和　凡大差即股黄较　凡小差即勾黄较

髙股平勾差名角差【又】名逺差此数即髙平二差共也又为明和□和较也【又】为通差内去极差【又】为极差虚差共　明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此数【又】为明大差□小差较也　勾圆差之股股圆差之勾相并名混同和此数【又】为一径一虚共也　明□二差较名傍差此数又为髙平二差较【又】为极双差内减虚和【又】为极和内减城径也　虚差不及傍差名蓌差此数又为大差差内去角差【又】为极差内去二之平差【又】为次差内去小差差【又】为明股□勾共内去二之明勾也　虚差傍差共为蓌和【蓌音剉】

凡大差股小差勾相乘为半段径幂　大差勾小差股相乘亦同上　虚勾乗大股得半段径幂　虚股乘大勾亦同上　边股□股相乘得半径幂明勾底勾相乘亦同上　黄广股黄长勾相乗得径幂　髙股平勾相乗得半径幂　明明股并与□□勾并相乘得半径幂　明明勾并与□□股并相乘亦同上　髙平相乘为一段皇极积　明勾□股相乘倍之为一段太虚积明股□勾相乘亦同

右诸杂名目

通上勾股和即一城径一通也其较即勾圆差之勾股圆差之股相较也　勾和即二勾一大差其较则大差也　股和即二股一小差其较则小差也　较和为一径三差共其较则大勾小差共也　三事和即边三事和上带大勾也【又】为底三事和上带大股也其较则城径也

边上勾股和为通股平共其较则大差股内去平也　勾和即通股底勾共其较则明股明共也　股和即通股通和内少个边勾也其较则平勾也　较和为大差上股和其较则大勾也　三事和即通上股和【又】为黄广三事和上带勾圆差也其较则大差勾也【又】为平上较和【又】为太虚上股和也

底上勾股和为通勾髙共其较则髙内去小差勾也　勾和为通上较较与髙股共其较则髙股也　股和为半个通上三事和其较则□上勾和也　较和为大差上勾和也其较则小差上勾和也　三事和即通上勾和【又】为黄长三事和上带股圆差其较则小差股也【又】为髙上较较【又】为太虚上勾和

黄广上勾股和为大股虚股共【又】为通勾通股共内少个小差上勾股和其较则两个髙差也　勾和为二髙一圆径共其较则二明股也　股和为通上较和其较则二□股也　较和即两个大差股也其较即两个小差股也　三事和两大股也其较则两虚股也

黄长上勾股和为大勾虚勾共【又】为通和内少个大差上勾股和也其较则两个平差也　勾和为通上较较其较则两个明勾也　股和为二圆径二□勾其较则二□勾也　较和为两个大差勾也其较则两个小差勾也　三事和为两大勾其较则两虚勾也

髙上勾股和为髙虚股共【又】为一径及髙勾髙股差也其较则底内减大勾也【又】为边股内减底股也　勾共则底股其较则明股也　股共即边股其差则□股也　较共则大差股其较则小差股也　三事和即大股其较则虚股也【又】为小差上勾较【又】为明上较较

平上勾股共即平虚勾共也其较则大股内减边也　勾共即底勾其差则明勾也　股共即边勾其较则□勾也　较共即大差勾其较则小差勾也　三事和即大勾其较则虚勾也【又】为大差上股较【又】为□上较和

大差上勾股和即大股内去虚勾其差则大差内去圆径也　勾共即大股其差则大差股内去二之明勾也　股和为大股上加个大中差也【按大中差乃明股和与半径之较】其较则虚勾也　较和为两个边上勾较其较即城径也　三事和即大股与股圆差共【又】为大大较共【又】为二边股其较则太虚上较和也

小差上勾股和即大勾内去虚股也其较则圆径内去小差也　勾和为大勾上减个小中差也【按小中差乃□勾和与半径之较】其较则虚股也　股共即大勾其较则小差勾内去两个□股也　较和为圆径其较则为两个底上股较【又】为两个□上勾和也　三事和即大勾与勾圆差共也又为大大较较【按即通又上较较】为二底勾其较则太虚上较较也

皇极勾股和即髙平共其较则明股内去□勾也　勾共即底其较则明也　股共则边其较则□也　较和为髙明共【又】为大股内减大差勾【又】为大差其较则小差也　三事和即通其较则太虚也【又】为明勾□股共【又】为髙内减明【又】为平内减□【又】为大差勾上减虚股【又】为小差股上减虚勾也

太虚勾股和即圆径内减虚【又】为虚虚黄方共【又】为皇极内去明股□勾共其差则大差勾内减个小差股也　勾共即小差股也其较则虚股内减个小黄方也　股共即大差勾其较则虚勾内减个小黄方也　较和为大差上和较【又】黄长上勾较【又】为两个明勾其较小差上黄方面也　三事和即大黄方其较则为两个明上股较【又】为□上两个勾较【又】为明上小差与□上大差共也

明勾股和即大差股内减明其较则明内减虚股也　勾并即髙股其较则髙股内少二之明勾也　股和即边股内减大差勾【又】为边勾边差其较则半个虚黄方也　较和即大差上勾较其较则虚股也　三事和即股圆差其较则太虚上勾较【又】为虚股内减虚黄方也

□上勾股和即小差内减□其较则虚勾内减□也　勾和即底勾内减小差股【又】为底股底差其较则半个虚黄方也　股和即平勾其较则平勾内少二个□股也　较和即虚勾其较则小差上股较也　三事和即勾圆差其较则太虚上股较【又】为虚勾内减虚黄方也

前黄广勾股下　其勾股较【又】为大差股上少个小差股【又】为中差【按中差系通勾股较】内少个小差较【又】为黄广股内少一径　勾共【又】为两个底股【又】为大股与小差股共　股和【又】为大中差共【又】为两个边股　股差【又】为小差上黄方面

前黄长勾股下　其勾股较【又】为大差勾上少个小差勾也【又】为圆径内少个黄长勾　勾共【又】为两个底勾【又】为大勾与小差勾共　勾较【又】为大差上黄方靣　股共【又】为两个边勾

右五和五较

大为大勾与股圆差共【又】为大股与勾圆差共边乃边股平勾共【又】为大股内减平上勾股较　底乃底勾髙股共【又】为大勾内加一个髙差　黄广为大股内减虚股【又】为边股□股共黄长乃大勾内减虚勾【又】为底勾明勾共

髙乃大差内减明【又】为明虚共　平乃小差内减□【又】为□虚共　大差乃大股内减大差勾【又】为髙明共【又】大内去黄长　小差为大勾内减小差股【又】为平□共【又】为大内去黄广　极乃髙股平勾共【又】为平明共【又】为髙□共【又】为大差内减髙平二较【又】为小差内加髙平二较　虚乃皇极黄方靣【又】为明勾□股共【又】为髙内减明【又】为平内减□　明乃髙内减虚　□乃平内减虚

黄广黄长相并为大虚共也以此数减于大和余即虚和　若以二相减余即虚平共也【按虚平共此题数偶合当云二极差】　黄广【又】为大差虚共　黄长【又】为小差虚共　以黄长减于大勾余即虚勾　以黄广减于大股余即虚股

边底相并为大皇极共也于此并数内减大和余为皇极内减圆径也　若以二相减余即皇极差也此数同者最多故【又】为皇极内少个小差【又】为髙平较【又】为明股内少□勾【又】为大差内少皇极【又】为次差虚差共也边【又】为皇极股共【又】为黄广□共

底【又】为皇极勾共【又】为黄长明共也以边减大股余为半径内减平勾【又】为平内减小差勾也　底内减大勾余为髙股内减半径【又】为大差股内减髙也

黄广内减边股即□股　黄长内减底勾即明勾也

髙髙股共即边股　平平勾共即底勾　髙髙勾共即底股　平平股共即边勾

上髙减于通股余即边股内减□股也　下平减于通勾余即边勾内减明勾也　髙平相并即大内少个皇极也若以相并数减于大和余为皇极圆径共也　髙平相减余即皇极差也【又】为皇极上减小差也若以相减数却加于相并数即黄广也

髙内减明股得半径　平内减□勾亦同上皇极勾上加明为皇极　皇极股上加□亦同上

皇极　得极勾即底　得极股即边　内去极勾即明　去极股即□　减于通即极和　得虚亦同上　内去虚即明□共去虚黄即明和□和共也　去城径即傍差

内加极差即大差　去极差即小差　加角差即两个髙股　减角差即二平勾

太虚　加入极为极和　极内去之即明□二共　再去之则明大差□小差并也　加于大差即黄广　加于小差即黄长　内去明勾则□勾　加明勾为圆径内少虚黄□股共　加入明股为明和□股共　减于明股即明较内去□股　加入明为极股　减于明为明大差□小差内少个□　加于明和即两个虚一个髙差共也　减于明和即髙差也　内去□勾即明勾□较共【又】为□股平差共　加于□勾即□和明勾共　加于□股为二虚内少明勾【又】为圆径内少虚黄明勾共　内减□股即明勾　内加□即极勾　减于□为明勾内少个□小差　加入□和即两个虚内少个平差也　内减□和即平差也　加入明□二和共即极和内少个虚黄也　若减于明□二和共即明股□勾共也　减于髙即明减于平即□加于角差即二明勾一极差也　减于角差即一极差二□股较也　得傍差即明股□勾共内减傍差即太虚三事和内去了极双差也【按双】

【差系勾差股差】　内加虚差即二明勾　内减虚差即二□股　内加虚黄方即虚和　内减虚黄方即太虚大小差并也

右诸

大差小差共即两个极也以两个极差为之较　大差差小差差共即两个极差也以两个傍差为之较　大差上大差小差上大差共即两个明也以两个明差为之较　大差上小差小差上小差共即两个□也以两个□差为之较大差黄【按即二明勾】小差黄【按即二□股】数共即两个极黄【按即二虚】也以两个虚差为之较　大差勾小差勾共即两个极勾也以两个平差为之较　大差股小差股共即两个极股也以两个髙差为之较二和共为二极和以二角差为之较

大差上较较即圆径　小差上较和亦同上大差上小差即虚勾　小差上大差即虚股也大差与明勾共即边股　小差与□股共即底勾也　大差内减中差即黄长勾【按勾应作股】小差内加中差即黄广股也【按股应作勾】大股内减小差股即黄广股　大勾内减大差勾即黄长勾也虚得虚股即大差勾　虚得虚勾即小差

股也　明段较和即大差上勾较　明段较较即小差上勾较也　□段较和即大差上股较　□段较较即小差上股较也大差勾内减虚余即虚股　小差股内减虚余即虚勾也　以大差和减大股即虚勾　以小差和减大勾即虚股也　以大差差减圆径即明勾此差若多于圆径则内减圆径余即虚勾也【按此条因题数偶合而误若勾股差甚大甚小者皆不能合】　以小差差减圆径即小差也　大差上加一径即大股上加虚勾也　小差上加一径即大勾上加虚股也大差股内减髙余即髙股内减半径　平内减小差勾余即半径内减平勾也　大差内减虚差即二明差　小差内减虚差即二□差也

大内减大差股小差勾共即圆径　三事和内减二之大差股小差勾共即三个圆径也

大差勾小差股相并名混同即一圆径一虚也若以相减即虚差也

大差和小差和二数相并即大虚共也　二数相减即中差虚差共也【又】半之并数即为极虚共也【又】为髙平共【又】为皇极勾股共也

大差差小差差二数相并即两个皇极差【又】为大差内减小差也　二数相减而半之即是皇极上减圆径也【即傍差】

右大小差

大差差小差差虚差共为一个通差　髙平极三差共亦同上　明□虚三差共为一个极差也　诸黄方面亦仿此

边黄内减底黄即虚差　黄广黄内减黄长黄即二虚差　髙黄内减平黄即虚差盖髙黄即虚股平黄即虚勾也　大差黄内减小差黄即二虚差盖大差黄即二明勾小差黄即二□股也　明黄内减□黄余即虚差　□上三差合成一个虚黄方

髙差内减平差为傍差　边差内减底差亦同上明差内减□差亦同上　大差差内减小差差为二旁差　黄广差内减黄长差亦同上

极双差即明□二共　内加虚双差即明□二和共　内减虚双差即明双差□双差共也　内加旁差即极内少个虚旁差差　内减旁差即虚和也　内加虚差即极内少二□股　内减虚差则极内少二明勾也

极差内加旁差为大差差　内减旁差为小差差也内加虚差即角差　内减虚差即次差也　倍

极差为大差差小差差共则倍旁差为之较　倍极为大差小差共倍极差为之较　以极差为明差平差共则以蓌差为之较　以极差为髙差□差共则以蓌和为之较　副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也　减蓌差而半之则虚差也　极差内减二之平差得蓌差

角差内加旁差为二髙差　内减旁差即二平差也内加明□二差并而半之得极差　内减明□

二差而半之则虚差也　内加极差则通差　内减极差则虚差也

以虚差减于明和为明□二股共　以虚差加于□和为明□二勾共也　又副置二和共上加次差而半之即明□二股共　减次差而半之即明□二勾共也　明□二股共以髙差为之较　明□二勾共以平差为之较