测量法义

取之丑庚也则巳辛全与巳庚全亦若巳辛分余之卯辛与巳庚分余之巳丑也【五卷十九】前巳论巳辛与巳庚若辛丁与庚甲即卯辛与巳丑亦若辛丁与庚甲也更

之即两测较卯辛与表目较辛丁若距较等子戊之巳丑与甲庚也若却后而得壬子则反上论之第十一题

以表测地平逺

法曰欲于甲测甲乙地平逺先依地平线立一表为丙甲与地平为直角其表稍小于身之长次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙为一直线次想巳丙作直线与甲乙平行而分丁戊于巳即丙巳丁丙甲乙为等角形【六卷四】何者甲与巳两为直角丙丁巳乙丙甲为平行

线同方内外角等【一卷廿九】即其余角必等故【一卷三十二】则表目较丁巳与表目相距之度巳丙之比例若丙甲表与甲乙也次以丁巳为第一数丙巳为第二数丙甲为第三数依法算之即得甲乙之逺

第十二题

以矩尺测地平逺【今木工为方所用】

法曰欲于甲测甲乙地平逺先立一表为丁甲与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁以丁戊尺向远际乙稍移就之令丁戊乙为一直线次从丁丙尺上依一直线视地

平得巳次量巳甲为第一数丁甲为第二数又为第三数依法算之即得甲乙之逺

论曰巳丁乙既直角若从丁作丁甲为巳乙之垂线即丁甲为甲巳甲乙之中率【六卷八之系】次以丁甲表自乗为实以甲巳之度为法除之即得甲乙之逺【六卷十七】第十三题

移测地平远及水广

法曰欲于乙测乙戊地平逺及江河溪壑之广凡近而不能至者于此际立一表为甲乙与地平为直角次以一小尺或竹木等为丙丁邪加表上稍移就彼际戊作一直线次以表带尺旋转向地平视丙丁尺端所直得

巳次自乙量至巳即得乙戊之数

论曰甲乙戊与甲乙巳两直角形等即相当之乙戊与乙巳两边亦等则量乙巳得乙戊【一卷廿六】

又论曰若以乙为心巳戊为界作圜即乙巳戊为同圜之各半径等

注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁如上测之尤便

第十四题

以四表测远【前题测逺诸法不依极髙不得极逺此法于平地可测极逺】

法曰欲于乙测甲远【或城或山凡可

望见者皆是不论平否】择于平旷处【前云

依地平线者必依直线取平此不必拘】立一表

于乙次任却后若干大尺更立一表为丁令两表与甲【甲者是所测处指定一物或人或木或山及楼台之顶皆是】为一直线次从乙依乙丁之垂线任横行若干丈尺更立一表为丙次从丁与乙丙平行任若干丈尺稍逺于乙丙又立一表为戊【四表俱任意长短】从戊过丙望甲亦作一直线次以丁戊乙丙相减之较为第一数乙丁为第二数乙丙为第三数依法算之即得甲乙之逺

论曰试作丙巳直线即得丙巳戊与甲乙丙为等角形【六卷四】何者甲乙丙丙巳戊两为直角丙戊巳甲丙乙为平行线同方内外角等【一卷廿九】即余角必等故则戊巳与等丙巳之乙丁之比例若丙乙与乙甲注曰如丁戊为三十六乙丙为三十乙丁为四十即以三十与三十六之较六为第一数以四十为第二数以三十为第三数依法算之得二百四十为甲乙之远

第十五题

测髙深广逺不用推算而得其度分

不诸布算难用前法其有畸分者更难今求不用布

算而全数畸分俱可推得与布算同

功其法曰凡测髙深广远必先得三

率而推第四率三率者其一直景或

倒景其二所立处至所测之底若不

能至者则景较或两测较其三表或

距较也设如测一髙景较八距较十

步其景较八与表十二之比例若距较十步与所求之髙【此不论目至足之髙】则于平面作甲乙甲丙两直线任相聨为甲角从甲向乙规取八平分任意长短以当景较为甲丁次用元度从丁向乙规取十二平分以当表度次从甲向丙规取十平分其用度依前度任等不等以当距较为甲戊次从戊至丁作一直线次从乙作一直线与戊丁平行而截甲丙线于丙次规取自甲至戊诸分内之一分为度从戊向丙规得若干

分即所求之髙

论曰甲乙丙角形内之戊丁

与乙丙两线平行即甲丁与

丁乙之比例若甲戊与戊丙

【六卷二】则戊丙当为十五分与

三数法合加目至足之髙即

得全髙

又法曰若景较七度有半距较八步三分步之一即物髙度十三步三分步之一如后图加目至足之髙即得全髙

若恒以甲丁为第一数丁乙为第二数甲戊为第三数即恒得戊丙为第四数

三数算法【附】

三数算法即九章中异乗同除法也先定某为第一数某为第二第三数次以第二第三两数相乘为实以第一数为法除之即得所求第四数

如月行三日得三十七度问九日行几何度即以三十七度为第二数九为第三数相乗得三百三十三数为实次以三为第一数为法除之得一百一十一数即所求第四月行九日度数

如有畸分即用通分约分法依上算如一星行八日三时得十二度二分度之一问十四日六时行几何度即以八日三时通作九十九为第一数以十二度二分度之一通作二十五为第二数以十四日六时通作一百七十四为第三数次以二十五与一百七十四相乗得四千三百五十为实以九十九为法除之得四十三分九十三次以二分为一度约得二十一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十四日六时度分之数

测量法义

钦定四库全书

测量异同

明　徐光启　撰

九章算法勾股篇中故有用表用矩尺测量数条与今译测量法义相较其法畧同其义全阙学者不能识其所繇既具新论以攷旧文如视掌矣今悉存诸法对题胪列推求同异以竢讨论其旧篇所有今译所无者仍补论一则共为测量异同六首如左

第一题【与前篇第四题同】

以景测髙

欲测甲乙之髙其全景乙丙长五丈立表于戊为丁戊髙一丈表景戊丙长一丈二尺五寸以表与全景相乗得五万寸为实以表景百二十五寸为法除之得甲乙髙四

丈

此旧法与今译同

第二题【与前篇第十题同】

以表测髙

欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表

于丙为丁丙高一丈却后五尺立于

戊使目在巳戊至巳高四尺视表末

丁与甲为一直线次以丁丙表髙十尺减目至足丁辛四尺得表目之较辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺为实以丙戊五尺为法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺

此旧法以甲壬丁为大三角形以丁辛巳为小三角形今译以甲庚巳为大三角形丁辛巳为小三角形其实同法同论何者甲壬与壬丁若甲庚与庚巳也【六卷四】

第三题【与前篇第八题同】

以表测深

甲乙丙丁井欲测深其径甲乙五尺立一表于井口

为戊甲高五尺从戊视丙截甲乙径

于巳甲至巳得四寸次以井径五尺

减甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸为实以甲巳四寸为法除之得井深五丈七尺五寸

此旧法以戊甲巳为小三角形巳乙丙为大三角形今译当以戊甲巳为小三角形戊丁丙为大三角形其实同法同论何者戊丁与丁丙若丙乙与乙巳也【一卷三十四可推】

第四题【与前篇第十题后法同】

以重表兼测无远之高无髙之逺

欲于戊测甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至则用重表法先于丙立丁丙表髙十尺却后五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺视表末丁与甲为一直线次从前表却后十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺

却后八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四尺从丑视癸甲亦一直线次以表髙十尺减足至目四尺得表目较癸辛或丁寅六尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺为实以两测所得巳寅丑辛相减之较卯辛三尺【此较旧名景差今名两测较】为法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以两测所得之小率丙戊五尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺为实以卯辛三尺为法除之即得乙丙逺二十五尺

此旧法测髙以癸辛或丁寅与辛卯偕甲辰与壬等丙之丁癸为同理之比例今译以癸辛或丁寅与辛卯偕甲庚与等戊子之巳丑为同理之比例【旧用壬丙表间也今用戊子距较也】其实同法同论何者甲辰与辰丁若甲庚与庚巳也辰丁与丁癸若庚巳与己丑也【六卷四】平之

则甲辰与丁癸若甲庚与己丑也

补论曰旧法以重表测逺则卯辛与等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁与等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛丑为等角形【六卷三十二】即丑辛癸辰为相似边【六卷四】甲辰丁丁寅巳为等角形即巳寅丁辰为相似边是丑辛与癸辰若巳寅与丁辰也【六卷四】更之则丑辛与巳寅若癸辰与丁辰也今于丑辛减巳寅之度存卯辛于癸辰减丁辰存癸丁则卯辛与巳寅若癸丁与丁辰也【所减之比例等所存之比例亦等】

第五题【与前篇第十四题同】

以四表测逺

欲测甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙

二表与甲为一直线次于已

表之右戊上视丙表与甲为

一直线戊巳相去三寸次以

乙丙乙丁相乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一

此旧法与今译同

第六题【与前篇第十题后法同理】

以重矩兼测无广之深无深之广【稍改旧法以从今论】

有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之深则用重矩法先于甲岸上依垂线立戊甲巳句股矩尺甲巳句长六尺从股尺上视句末巳与谷底丙为一直线而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂线取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂线更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦长六尺从股尺上视句末癸与谷底丙为一直线而遇辛壬股于辛辛壬

髙八尺次以前股所得庚甲五尺与两句间壬甲十五尺相乗得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺与两句间十五尺相乗得九十尺为实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺测深论作癸巳丑直线与本篇第四题重表测逺补论同测逺论与前篇第十题重表测髙论同

测量异同

钦定四库全书

句股义

明　徐光启　撰

句股即三边直角形也底线为句底上之垂线为股对直角边为句股上两直角方形并与上直角方形等故句三股四则必五【一卷四七注】从此可以句股求句求股股求句【一卷四七注】可以求句股中容方容圆可以各较求句求股求可以各和求句求股求可以大小两句股互相求可以立表求髙深广逺以通句股之穷可以二表四表求极髙深极广逺以通立表之穷其大小相求及立表诸法测量法义所论著畧备矣句股自相求以至容方容圆各和各较相求者旧九章中亦有之第能言其法不能言其义也所立诸法芜陋不堪读门人孙初阳氏删为正法十五条稍简明矣余因各为论譔其义使夫精于数学者览图诵说庶或为之解頥

第一题

句股求

法曰甲乙股四乙丙句三求以股自之得十六句自之得九并得二十五为实开方得甲丙五

第二题

句求股

法曰如前图乙丙句三自之得九甲丙五自之得二十五相减得较十六开方得甲乙股四

第三题

股求句

法曰如前图甲乙股四自之得十六甲丙五自之得二十五相减得较九开方得乙丙句三

巳上三论俱见一卷四十七题【凡言某卷某题者皆引几何原本为证下同】

第四题

句股求容方

法曰甲乙股三十六乙丙句二十

七求容方以句股相乗为实并句

股得甲戊六十三为法除之得容

方辛乙乙癸各边俱一十五四二八

论曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三为法即成甲戊线除实得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形与甲乙丙丁形等【六卷十六】而巳庚边截乙丙句于癸甲丙于壬即成乙辛壬癸满句股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙【六卷十五】分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也【乙丙乙戊元等】又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙【六卷四】更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满句股之直角方形【六卷十五增题】又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊巳各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊巳亦各与方形边等则辛乙癸壬为直角方形

第五题

余句余股求容方求句求股

法曰甲丁余股七百五十戊丙余句

三十求丁乙戊巳容方边以丙戊甲

丁相乘得二万二千五百为实开方

得容方乙丁丁巳各边俱一百五十

加余股得股九百加余句得句一百八十

论曰甲丁戊丙相乘为实即成巳壬辛庚直角形与丁乙戊巳为甲丙角线形内之两余方形等【一卷四三】而壬巳与巳戊偕丁巳与巳庚为互相视之边【六卷十四】故巳壬辛庚之实即丁乙戊巳之实开方得丁乙戊巳直角方形边

又论曰甲丁与丁巳既若巳戊与戊丙【六卷四之系】即方形边当为甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之数其法以前率比后率为二十五倍大之比例二十五开方得五则中率当为五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十则方形边一百五十为甲丁丙戊之中率【六卷界说五】

第六题

容方与余句求余股与余股求余句

法曰容方乙丁丁巳各边俱一百五

十戊丙余句三十求甲丁余股以容

方边自之为实以余句为法除之得

甲丁余股七百五十以容方与余股求余句法同论曰如上论两余方形等实故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁

又论曰方形边既为甲丁戊丙之中率【六卷三十三之十五增题】即方形边自乘为实以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙【六卷十七】

第七题

句股求容圆

法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圆以句股相乘得一万九千二百倍之得三万八千四百为实

别以句股求

得甲丙

六百八十【本篇

一】并句股

为法除实得

容圆径乙子

二百四十

论曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之为实即丙丁戊己直角形求得甲丙幷句股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与句等庚辛与等得甲辛为和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊巳形等【六卷十六】而壬癸边截乙丙句于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径曷名为容圆径也谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也则何以显此五边之皆为切圜线乎试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等【一卷二十二可推】次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戌酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌为容圆径次于亥戌寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直

角三边形以

亥为同角交

加于甲乙丙

形之上亦以

乙子丑寅为

容圆径次作

丙兊线遇诸形之交加线于离于兊次作甲震线遇诸形之交加线于巽于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戌离丙子离又等为直角戌离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等【六卷七】则丙兊线必分甲丙未角为两平分矣【一卷九】又子离与戌离两边既等【本论】子离震戌离卯两交角又等【一卷十五】卯戌离震子离又等为直角即卯离戌离震子之各边各角俱等而两形亦等【一卷廿六】又子离与离戌两边既等离卯与离震两边又等【本论】即子卯与戊震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等

为直角即卯

丑辰震酉坎

之各边各角

俱等而两形

亦等【一卷廿六】依

显午巽辰与

坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等巽寅兊与兊艮申之各邉各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二【算见测圆海镜之句股步率】则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙则一百七十也【本篇一】次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戌卯既等为直角丑卯辰戌卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等【一卷廿六】依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌

皆四十八也

则酉坎坎乙

亦皆四十八也

亥酉亥乙皆八

十也子乙与

戌酉等子丙

与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等【一卷廿六】甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲巽午甲巽寅两形之甲寅甲午既等甲巽同线甲午巽甲寅巽又等为直角即两形必等而各边各角俱等【六卷七】是甲震线必分丙甲亥角为两平分也【一卷九】甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邉而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径【四卷四】展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各句股形内之容圆径

又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二十与甲丙六百八十相减亦得乙子二百四十论曰如前论诸大句股形之分余句俱八十诸句股和与诸相减之较亦俱八十则初分句二百四十为诸形之容圆径

第八题

句股较求股求句

法曰甲丙四十五甲乙股甲丙句之较为甲丁九求股求句以自之得二千○二十五倍之得四千

○五十较自之得八十一以减两

羃存三千九百六十九为实开

方得句股和六十三加较九得七

十二半之得三十六为甲乙股减

较得二十七为乙丙句

论曰幂为甲戊直角方形倍之为己丙直角形较幂为甲庚直角方形与甲辛等相减即得减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得句股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等【一卷四七】即甲戊一幂内有一甲乙股幂一乙丙句幂也己丙两幂内有两甲乙幂两乙丙幂也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形

其丑寅与卯辰两形两股幂也丙

壬与癸子两形两句幂也而丑寅

卯辰之间则重一等甲辛之卯寅

形减之即丑辰直角方形与己辛

丙磬折形等矣乙丙为句丙丑与甲乙等故乙丑边即句股和也若于乙丙句加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙句

第九题

句较求句求

法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙之较为甲丁十八求句求以股自之得一千二百九十六较自之

得三百二十四相减存九百七十二

为实倍较为法除之得二十七为乙

丙句加较得四十五为甲丙

论曰股幂为甲戊直角方形较幂为

丁庚直角方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折形为实次倍甲丁较线为乙寅线以为法除实即得乙子直角形与甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等较幂之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股幂之甲戊直角方形等也又何者甲丙幂之甲辰直角方形内当函一句幂一股幂【一卷四七】试于甲辰形

内截取丁庚较幂之外分作庚未未

午午丁三直角形其甲庚申未酉戌

三线各与甲丁较线等庚申未戌未

辰午酉四线各与等乙丙句之丁丙

线等夫未酉酉戌并与句等即申未未酉并亦与句等而庚申未辰各与句等即庚未未午两形并为句幂而丁庚午丁两形并为股幂矣丁戌戌酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙元等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股幂之甲戌形等此两率者各减一等较幂之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等

又法曰股自之得一千二百九十六为实以句较十八为法除之得句和七十二加较得九十半之得四十五减较得句二十七

论曰股幂为甲己直角方形以较而

一为甲辛直角形即得甲壬边与乙

丙丙甲句和等何者甲丙幂之

甲丑直角方形内当函一股幂一句

幂【一卷四七】试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁较线等即卯丑辰丙俱与等乙丙句之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与

句等句幂也即甲卯卯辰两形当与

股幂等亦当与甲辛形等而甲庚卯

寅皆较也甲子也卯丑句也则甲

辛形之甲壬边与句和等

第十题

股较求股求

法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九求股求以句自之得七百二十九较自之得八十