儒藏 · 乐经

律吕成书

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方法二千一百二十万合商三得六千【呼二三得六也】三百【又呼一三如三也】六十万【又呼二三如六也】廉法三万亦从上商三得九万【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百六十九万犹存实数一千四百五十九万五千七百一十四忽七分忽之二第四重开之倍廉法得六万并入方法二千一百二十万内共得二千一百二十六万一退得二百一十二万六千下法再退得十乃于上商三百位下续商置六十又于下法之上置六百亦名廉法



□

忽

丄　一十　　　　　　　下法一

□　丌百　　　　防法丅

丨　□千　　　丄

囗　万　　　

上商　□十　　　

百　方法

实千

方法二百一十二万六千合商六得一千二百七十五万六千【呼二六一十二又呼一六如六又呼二六一十二又呼六六三十六共得此数】廉法六百亦从上商六得三千六百【呼六六三十六也】乃命上商除实数一千二百七十五万九千六百忽犹存实数一百八十三万六千一百一十四忽七分忽之二第五次开之又倍廉法六百得一千二百并入方法二百一十二万六千中共得二百一十二万七千二百一退得二十一万二千七百二十下法再退得一乃于上商六十位下续商置八又于下法之上置八亦名廉法



□

忽忽　　　　廉法下法丨

丄十十　　　□

□百丨百　　　丌

丄千丄千　　　□

囗　□万

上商一　□十　方法□

实丨百

方法二十一万二千七百二十合商八得一百七十□万一千七百六十【以八呼上方法而得此数也】廉法八亦从上商八得六十四【呼八八六十四也】乃命上商除实数一百七十□万一千八百二十四忽犹存实数一十三万四千二百九十□忽七分忽之二在地又须第六重开之乃以一忽作万万分【毎一忽从计一万分毎一忽平方计一万万方】约之为一亿分则在地不尽实数共积得一十三万四千二百九十□亿二千八百五十七万一千四百二十六分竒【以一忽作一亿分筭故通前七分忽之二以七归之共得此数】前开方已得毎一面从计一十□万六千三百六十八忽乃倍前廉法八得一十六忽并入前方法内共得二十一万二千七百三十六忽以亿法通之【前所余实数既以一忽作一亿分筭故此方法忽数亦以亿法通之】计得二十一万二千七百三十六亿分一退得二万一千二百七十三亿六十万分前下法一升为万再退得千前上商十□万六千三百六十八升为十□亿六千三百六十八万乃于前上商八忽位下续商置六千又于下法之上置六百万亦名廉法

丅分

□十

百

丄　　千　　　　　　下法

　丌万

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川　百　　　　廉法丅

丄　□千　　　丄

□　　亿　　　川

上商　□十　　　□

百　　　

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川万　方法

实十

方法二万一千二百七十三亿六千万分合商六得一十二万七千六百四十一亿六千万分【以六呼上文方法而得此数也】廉法六百万分亦从上商六得三千六百万分【呼六六三十六也】乃命上商除实数一十二万七千六百四十一亿九千六百万分犹存实数六千六百四十八亿三千二百五十七万一千四百二十六分第七重开之倍廉法六百万得一千二百万并入前方法内共得二万一千二百七十三亿七千二百万一退得二千一百二十七亿三千七百二十万下法再退得百乃于上商六千位下续商置三百分又于下法之上置三万亦名廉法

丅分

□十

川　百　　　　　　　下法丨

丄　一　千

　丌万　　　　廉法川

丄　□十　　　

川　百　　　丌

丄　千　　　

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上商　□十　　　□

丅百　　　丨

实丄千　方法□

方法二千一百二十七亿三千七百二十万合商三得六千三百八十二亿一千一百六十万分【以三呼上文方法而得此数也】廉法三万亦从上商三得九万分【呼三三如九也】乃命上商除实数六千三百八十二亿一千一百六十九万分犹存实数二百六十六亿二千　　八十八万一千四百二十六分第八重开之倍廉法三万得六万并入前方法内共得二千一百二十七亿三千七百二十六万一退得二百一十二亿七千三百七十二万六千下法再退得十乃于上商三百分下续商置一十分又于下法之上置一百分亦名廉法

丄分

　□十　　　　　　　下法

川　百　　　　廉法丨

丄　千　　　丄

　万　　　

丄　十　　　□

川　　百　　　川

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上商一　丄十　　　

实百　方法

方法二百一十二亿七千三百七十二万六千分廉法一百分皆以上商一命之共计除实数二百一十二亿七千三百七十二万六千一百分犹存实数五十三亿四千七百一十五万五千三百二十六分第九重开之倍廉法一百得二百并入前方法内共得二百一十二亿七千三百七十二万六千二百一退得二十一亿二千七百三十七万二千六百二十下法再退得一乃于上商一十位下续商置二又于下

法之上置二名隅法

　丅分　　　　隅法下法丨

　□十　　□

川　川百　　丅

丄　□千　　□

　万　　丌

丄　十　　

□　□百　　□

□　　□千　　　□

□　　□亿　　　丨

上商一　实□十　方法二十

方法二十一亿二千七百三十七万二千六百二十分合商二得四十二亿五千四百七十四万五千二百四十分【以二呼上文方法而得此数也】隅法二亦从上商二得四分【呼二二如四也】乃命上商除实数四十二亿五千四百七十四万五千二百四十四分犹存实数一十　亿九千二百四十一万　　八十二分计一十忽竒开不尽弃之

已上黄钟靣幂九方分该九亿忽开方得一十万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分即圎周数以一万忽为从分法除之得一十分不尽六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一千忽为从厘法除之得六厘不尽三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一百忽为从毫法除之得三毫不尽六十八忽万分忽之六千三百一十二分以一十忽为从丝法除之得六丝余八忽万分忽之六千三百一十二分黄钟律圎周的计一十分六厘三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分

求黄钟径长法第五【以彭氏律法八章定】

【圎内直者黄钟管内径长也互算得三分三厘八毫四丝四忽强】

彭氏曰置前黄钟圎周数一十□万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分在地今具数如左

□分

□十

□百

丄千

□忽

丄十

□百

丄千

□万

一十

据前在地之数依算经密率置周求径法以七乗之【其以七相乗布筭之法防移増减筭位无常今不可以具图晓筭法者当自知之后不具图者仿此】得七十四万四千五百八十忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数如左

□分

十

□百

□千

□忽

十

□百

□千

□万

□十

乃据上文以七乗之所得之数却以二十二而一除之【即筭法二归二除也葢于二十二分中取其一分以为径长之数】得三万三千八百四十四忽不尽一十二忽万分忽之四千一百八十四分今具所得之数及不尽之数如左

分　【此上一层三万三千八百四十四忽者即以二归二】□十　【除所得全忽之数也下一层一十二忽四千一百八】丨百　【十四分者乃不尽之余数不可归除作全忽之数又】□千　【须别归除之作忽外零数详见下文】

忽　　忽

□十　　□十

百

千

□万

通分内子【即以前不尽之数通而计之也】得一十二万四千一百八十四分以二十二而一除之得五千六百四十四分余二十二分分之一十六【余分少六数于筭法二十二分之数不足故不能满一分止当得七厘有竒】今以余分姑作一分通计五千六百四十五分今具图说如左

丅分　【此上一层五千六百四十四者即以二归二除已前】十　【不尽之数而得此忽外全分之数也下一层一十六】

分　　　　　【分者又归除分外不尽之余数不可归除作全分之】

□十　　　　　【数者也若归除之止得七厘强不满一分然此数所】

丅百　　　　　【少者微尘耳筭法不容不然今故举成数言姑作五】

□千　　　　　【千六百四十五分计之】

乃合前后归除所得全忽全分之数通计之共得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分乃黄钟管径长之数也其图如左

分

□十

丅百

□千

忽

□十

百

千

川万

已上以七乗黄钟圎周之数以二十二除之得三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分如上文所具即圎径数也乃以一万忽为从分法除之得三分不尽三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一千忽为从厘法除之得三厘不尽八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一百忽为从毫法除之得八毫不尽四十四忽万分忽之五千六百四十五分以一十忽为从丝法除之得四丝余四忽万分忽之五千六百四十五分黄钟律圎径的计三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五分

复以半周半径求黄钟羃积元数法第六【以彭氏律法八章定】

彭氏曰既得黄钟周径数乃以半周半径求面羃九方分其法置所得圎周数一十□万六千三百六十八忽万分忽之六千三百一十二分半之得五万三千一百八十四忽万分忽之三千一百五十六分通分内子计五亿三千一百八十四万三千一百五十六分各具图如左

圎周数　　半周数　　半周通分内子数分　　　丅分　　丅分

十　　　□十　　□十

□百　　　丨百　　丨百

丄千　　　千　　千

忽　　　忽　　　万

丄十　　　十　　　十

川百　　　丨百　　　丨百

丄千　　　千　　　千

万　　　万　　　□亿

十

另置所得圎径数三万三千八百四十四忽万分忽之五千六百四十五分半之得一万六千九百二十二忽万分忽之二千八百二十二分半通分内子计一亿六千九百二十二万二千八百二十二分半各具图如左

圎径数　　半径数　　半径通分内子数

半　　半

分　　　□分　　□分

□十　　　十　　□十

丅百　　　□百　　□百

□千　　　□千　　□千

□忽　　　□忽　　　□万

□十　　　□十　　　□十

百　　　百　　　百

千　　　丄千　　　丄千

川万　　　丨万　　　丨亿

乃置所得半径内子分数列于上一位另置所得半周内子分数列于下一位乗之得八亿九千九百九十九万九千九百九十九亿八千五百六十二万七千八百一十分各具图如左

半径【置半径内】　半周【置半周内】　乗所得此数【下一位与子分数于　子分数于　上数此上一位　此下一位　相乗】

□分

□十

百

□千

□万

□十

□百

□半　　　　　　　　千

分　　　□分　　　亿

□十　　　□十　　　□十

百　　　丨百　　　百

□千　　　千　　　□千

万　　　万　　　万

□十　　　十　　　□十

百　　　丨百　　　百

丄千　　　千　　　□千

丨亿　　　亿　　　亿

已上半周半径相乗所得数即面羃数乃以亿分当一忽为法除之得八亿九千九百九十九万九千九百九十九忽亿分忽之八千五百六十二万七千八百一十分此介乎有形无形之间虽微尘不足以喻之筭法不容不然故云一忽弱【盖前以面羃九亿忽开方求圎周有不尽之数故此面羃元数九亿忽内有此一弱忽】具图如左

□分

一十

□百

□千

万

丄十

百

千

忽

□十

百

□千

万

□十

百

□千

亿

通前一忽弱姑以成数计之通作一忽筭加入所少之数一千四百三十七万二千一百九十分在前数内凑得面羃元法九亿平方忽乃以百忽当一丝为法除之得九百万平方丝既得九百万丝又以百丝当一毫为法除之得九万平方毫既得九万毫又当以百毫当一厘为法除之得九百平方厘既得九百厘又以百厘为一分除之得九平方分是为黄钟面羃元数既得面羃九平方分乃以九十分管长乗之一分管长面羃容九平方分则十分管长当积九十立方分九十分管长当积八百一十立方分是为黄钟积实元数

复以羃积求黄钟从长元数法第七

彭氏曰既得黄钟元积八百一十立方分知空围内积九立方分则其管当深长一分空围内积九十立方分则其管当深长九分空围内积八百一十立方分则其管当深长九十分是为黄钟从长元数则黄钟筭法至此而成矣合而论之的计从长九十分为九寸积实八百一十分面羃九方分圎周十分六厘三毫六丝八忽万分忽之六千三百一十二分圆径三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五分盖以从长羃积周径五法参较推算而各得其数如此皆出于自然无不符合则算法于此而成而黄钟之所以为黄钟者信矣于是可以造律矣

造黄钟律管法第八【以彭氏律法六章及新书本原第二章参定】

如上章算法既成之后或以竹或以铜别为黄钟之管依前冬至气应管长如前分作九十分乃取其分为凖计三分三厘八毫四丝四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径乃取子糓秬黍【汉书师古注曰子糓犹言糓子秬即黒黍也】或大者或中者或小者各以一黍凖一分累九十黍以审其管之长而实千二百黍于中以审其管之广必其所累之黍与其所实之黍大小一同而所累之数与所实之数各无余欠则与古人造律之法无不合矣如此则围长面羃与夫空围内积实自然无不谐防特径数自八毫以下非可细分而算法不容不然故其制造之际非有上工如离娄之明公输之巧师旷之聪弗能为已制造黄钟既成其从长羃积周径皆如前法则黄钟之体由是立矣度量权衡可于此而受法十一律可于此而相生又所以为黄钟之妙用也今先具度量权衡之法于下又可以交相审验黄钟律管之长阔焉

审度第九【以新书本原第十一章定】

度者分寸尺丈引所以度长短也生于黄钟之长以前黄钟管长所累秬黍九十枚度之一黍为一分【凡黍实于管中则十三黍三分黍之一而满一分积九十分长则容千有二百黍矣其长与广必相符也】十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引数始于一终于十者天地之全数也律未成之前有是数而未见律成而后数始得以形焉度之成在律之后度之数在律之前故律之长短围径以度之寸分之数而定焉

嘉量第十【以新书本原第十二章定】

量者龠合升斗斛所以量多少也生于黄钟之容以其管内所容秬黍一千二百实其龠以井水凖其槩【孟康曰井水清清则平也】以度数审其容【一龠积八百一十分】合龠为合【两龠也积一千六百二十分】十合为升【二十龠也积一万六千二百分】十升为斗【百合二百龠也积十六万二千分】十斗为斛【二千龠千合百升也积一百六十二万分】

谨权衡第十一【以新书本原第十三章定】

权衡者铢两斤钧石所以权轻重也生于黄钟之重以其管内所容秬黍一千二百实其龠百黍一铢一龠十二铢二十四铢为一两【两龠也】十六两为斤【三十二龠三百八十四铢也】三十斤为钧【九百六十龠一万一千五百二十铢四百八十两也】四钧为石【三千八百四十龠四万六千八十铢一万九千二百两也】

胡安定曰黄钟管长九十黍之广积九寸度之所由起也容千二百黍积八百一十分量之所由起也重十有二铢权衡之所由起也既度量权衡皆出于黄钟之龠则黄钟之龠围径容受可取四者之法交相酧验使不失其实也【欧阳永叔曰声无形而乐有器古之作乐者知器之必有弊而声不可以言传惧夫器失而声遂亾也乃多为法以识之故求声者以律而识律者以黍自一黍之广积而为分寸一黍之多积而为龠合一黍之重积而为铢两使皆起于黄钟然后律度量权衡相用为表里使得律者可以制度量衡而度量衡亦可以制律用其长短多少轻重以相参考四者既同而声必至声至而乐可作　蔡九峯曰黄钟之长九寸以之审度而度长短则九十分黄钟之长一为一分以之审量而量多少则其管容子谷秬黍中者一千二百以为龠而两龠为合以之平衡而权轻重则所容千二百黍其重十二铢两龠则二十四铢为两此黄钟所以为万事根本也】

黄钟律寸九分十分法第十二【以新书本原第二章及彭氏律法第八章参定】

律寸九分十分图

如上章度量权衡之法皆生扵黄钟之管则黄钟之管围径容受可以参校审验而无差矣乃取所造黄钟之管分为九寸寸作九分分作九厘厘作九毫毫作九丝作九忽以为十一律相生之法【凢律吕相生寸分厘毫丝忽之法并以九为度】其分数以下虽别以九纪数然只是此律也故蔡氏曰径围之分以十为法者天地之全数也相生之分厘毫丝以九为法者因三分损益而立也全数者即十而取九相生者约十而为九即十而取九者体之所以立约十而为九者用之所以行【盖地之数极于十十者隂数也造化之体所以立也天之数极扵九九者阳数也造化之用所以行也】体者所以定中声用者所以生十一律也

彭氏曰诸家言黄钟周径数各有差互而黄钟管又有九分寸有十分寸九分寸则通一管为八十一分十分寸则通一管为九十分管与寸虽无异而分则有阔狭不同不知先儒论黄钟周径分数者指言何分故今先以十分之分算出黄钟周径的数既如前章所载矣因复用八十一分之分度之得圆周九分五厘一毫五丝四忽强径长三分□□五毫一丝四忽强亦不止如先儒所言径三分围九分也

黄钟律本三歴十二辰法第十三【以新书本原第二章证辨第三章参定】

子　一　黄钟之律

辰起于子数起于一子之一为黄钟之律者乃声气之元而具十二辰之全体者也故置一而以三歴十二辰则各得黄钟之一体以为分寸厘毫丝之法与数也至亥而得十七万七千一百四十七是为黄钟之实凡分寸厘毫丝之法与数皆以此数乗除而得之详具下文

丑　三【三其子之一也】　黄钟丝法

其法以三为一丝以此丝法三归黄钟十七万七千一百四十七之数则得五万九千□□四十九为丝数【其丝法与丝数自然相符余仿此】

寅　九【三其丑之三也】　黄钟寸数

其寸数共九以黄钟十七万七千一百四十七之数九归之则得一万九千六百八十三为寸法【其寸数又与寸法自相符余仿此】

卯　二十七【三其寅之九也】　黄钟毫法

其法以二十七为一毫以此毫法归除黄钟十七万七千一百四十七之数则得六千五百六十一为毫数

辰　八十一【三其卯之二十七也】　黄钟分数

其分数共八十一以黄钟十七万七千一百四十七之数归除之则得二千一百八十七为分法

已　二百四十三【三其辰之八十一也】　黄钟厘法