五礼通考

二千八百九十一为二率半外角切线为三率求得四率为半较角切线以半较角减半外角其余即对均轮半径之角乃以此角之正为一率三倍引数所夹本角之正为二率均轮半径为三率求得四率为对角之边】又用三角形以本天半径为大边以求得对角之边为小边以求得对均轮半径之角与均轮心距最卑度相加减【引数不及半周者与半周相减过半周者减去半周即均轮距最卑度加减之法视三倍引数度不过半周则加过半周则减　江氏永曰三倍引数度不过半周者其度在引数度之外故加过半周者其度在引数度之内故减】为所夹之角求得对小边之角为初均数【江氏永曰亦用切线分外角法求之】并求得对角之边为次轮心距地心线【江氏永曰均数角之正为一率所夹本角之边为二率次轮半径为三率求得四率为对角之边】以初均数加减水星平行【引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】得初实行

求伏见实行　置伏见平行加减初均数【引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减　江氏永曰减星行则加伏见行加星行则减伏见行】得伏见实行求黄道实行　用三角法以次轮心距地心线为一边次轮半径为一边伏见实行为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求得对次轮半径之角为次均数【江氏永曰亦用切线分外角法求之】并求得对角之边【江氏永曰以次均角之正为一率亦如求次轮心距地心线之法】为星距地心线【为求视纬之用】以次均数加减初实行【伏见实行初宫至五宫为加六宫至十一宫为减】得黄道实行【江氏永曰金水次轮之心在黄道上故以次均加减初实行即黄道实行】

求距次交实行　置初实行减正交平行为距交实行以伏见实行相加【加满全周去之用其余】得距次交实行【初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南　江氏永曰此原有之次轮心距正交实行也合星平行与伏见平行为轮心本行则合星实行与伏见实行为轮心实行也今虽不用原有之次轮而算距交必加伏见实行谓之距次交实行犹之用原有次轮也】

求视纬　以本天半径为一率次轮面与黄道交角之正【江氏永曰金星交角正○六○七六】为二率【金星交角惟一水星交角则时时不同须求实交角用之法详后】距次交实行之正为三率求得四率为正检表得次纬【江氏永曰此亦初纬也以距次交求得谓之次纬】又以本天半径为一率次纬之正为二率次轮半径为三率求得四率为星距黄道线【江氏永曰上三星求星距黄道线以次轮心距地心线为三率则有时大于初纬此以次轮半径为三率则必小于次纬金星可用别法求之先以次轮半径七二二四八五乘交角正半径千万除之得四三八九八二以此为次轮大距正乘各度距交之正半径千万除之即得星距黄道线可省一求】乃以星距地心线为一率星距黄道线为二率本天半径为三率求得四率为正检表得视纬随定其南北【距次交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南】

求水星实交角　以半径千万为一率交角较化秒为二率【距交实行九宫至二宫用次轮心在正交之交角较三宫至八宫用次轮心在中交之交角较仍视其南北用之　江氏永曰距交实行乃伏见轮心距正交非原有之次轮心距正交也故虽自有其宫不以此宫分南北必查距次交实行初宫至五宫为北六宫至十一宫为南】距交实行之正为三率求得四率为交角差置交角【用交角之法与交角较同】以交角加减之【距交实行九宫至二宫星在黄道北则加南则减三宫至八宫反是　江氏永曰水星正交在最卑九宫至二宫在本轮之下半三宫至八宫在上半故用交角较与交角较以此定而南北加减亦以此分】得实交角【江氏永曰求次纬用为二率】

求晨夕伏见定限度　星实行与太阳实行同宫同度为合伏合伏后距太阳实行渐逺夕见西方【江氏永曰星与太阳同行之外仍有伏见行故过太阳而先夕见】顺行顺行渐迟迟极而退为留退初【江氏永曰星行次轮亦以渐近象限而迟过象限入下半深伏见行与轮心行相减适尽而留留际即为退初】退行渐近太阳【江氏永曰在太阳之下渐近太阳也】则夕不见复与太阳同度为合退伏【江氏永曰轮之底与太阳合也】自是又渐逺太阳【江氏永曰在太阳西】晨见东方退行退行渐迟迟极而顺为留顺初【江氏永曰亦以渐向上而迟退度与轮心行相减适尽而留留际即为顺初】顺行渐疾【江氏永曰亦以轮上半轮行而星亦行之故】复近太阳以至合伏为晨不见其伏见限度金星为五度【江氏永曰星体大故】水星为十度其求定限度之法与土木火三星同【江氏永曰亦先求距日黄道度次求定限度】视星与太阳相距度近定限度如在合伏前某日即为某日晨不见合伏后某日即为某日夕见合退伏前某日即为某日夕不见合退伏后某日即为某夕晨见求合伏时刻　视星实行将及太阳实行为合伏本日已过太阳实行为合伏次日【江氏永曰土木火太阳追星金水星追太阳故相反】求时刻之法与月离求朔望时刻之法同

求合退伏时刻　星退行视太阳实行将及星实行为合退伏本日已过星实行为合退伏次日求时刻之法与土木火三星求退冲时刻之法同

求交宫时刻【与月离同】

求同度时刻【详土木火三星】

求黄道宿度【与日躔同】

蕙田案以上推金水二星法

推陵犯法

求陵犯入限　太隂陵犯恒星以本日太隂经度与次日太隂经度查本年陵犯恒星经纬度表【江氏永曰星近黄道内外太隂可相及者也】某星在此限内为陵犯入限复查太隂在入限各星之上下【视两纬同在黄道北者纬多为在上纬少为在下同在黄道南者纬少为在上纬多为在下一南一北者纬北为在上纬南为在下　江氏永曰皆以在星北为上在星南为下】太隂在上者两纬相距二度以内取用太隂在下者一度以内取用【江氏永曰太隂恒有视差降下故在北取二度在南取一度犹日食隂厯限寛阳厯限窄之理也】相距十七分以内为陵【江氏永曰太隂半径大者可十七分陵者相及而未掩也】十八分以外为犯【江氏永曰过一度则不为犯】纬同为掩　太隂陵犯五星以本日太隂经度在星前次日在星后为入限余与前同　五星陵犯恒星以两纬相距一度以内取用相距三分以内为陵【江氏永曰五星大者约三分】四分以外为犯余与前同　五星日相陵犯以行速者为陵犯之星行迟者为受陵犯之星如迟速相同而有顺逆者以顺行者为陵犯之星逆行者为受陵犯之星皆以此星经度本日在彼星前次日在彼星后为入限余同前

求日行度　太隂陵犯恒星即以太隂一日之行度为日行度【以本日经度与次日经度相减即得星仿此】太隂陵犯五星以太隂一日之行度相加减【星顺行则减逆行则加】得日行度　五星陵犯恒星以本星一日之行为日行度　五星自相陵犯以两星一日之行相加减【两星同行则减一顺一逆则加】得日行度求陵犯时刻　以日行度【有度者化分】为一率日法为二率相距度为三率求得四率为分如法收之为时刻【江氏永曰画陵犯当不论】

求视差　以日法为一率太阳一日之行为二率陵犯时刻化分为三率求得四率与本日太阳实行相加为本时太阳黄道度依日食求视差法求得东西差及南北差【江氏永曰以太阳黄道经度依月离篇求得赤道经度乃以陵犯时为用时如日食篇求用时春秋分距午赤道度以下十七条求得东西差乃以本天半径为一率用时白道髙弧交角之正为二率用时髙下差之正为三率求得四率为正得用时南北差推陵犯不以如日食之宻不求近时定时可也】求视纬　置太隂实纬以南北差加减之【加减之法与日食同】得视纬

求太隂距星　以太隂视纬与星纬相加减【南北相同则减一南一北则加】得太隂距星取相距一度以内者用

求陵犯视时　以太隂实行化秒为一率【以太隂日行度二十四除之即得　江氏永曰一日分为二十四时故日行度亦以二十四除】一时化秒为二率东西差化秒为三率求得四率为秒收为分以加减陵犯时刻【太隂距限西则加东则减】得陵犯视时【江氏永曰太隂视差皆由地心地面不同与日食同理五星亦有防差可不论】

蕙田案以上推陵犯法

京师及各省北极髙度

京师北极髙三十九度五十五分【江氏永曰观象台之极髙也】畅春园北极髙三十九度五十九分三十秒

盛京四十一度五十一分

山西三十七度五十三分三十秒

朝鲜三十七度三十九分十五秒

山东三十六度四十五分二十四秒

河南三十四度五十二分二十六秒

陜西三十四度十六分

江南三十二度四分

四川三十度四十一分

湖广三十度三十四分四十八秒

浙江三十度十八分二十秒

江西二十八度三十七分十二秒

贵州二十六度三十分二十秒

福建二十六度二分二十四秒

广西二十五度十三分七秒

云南二十五度六分

广东二十三度十分

【江氏永曰极髙度皆以测影测星定各以本方极髙度之正切　京师八二六六二　盛京八九五六七山西七七八二四朝鲜七七一六一山东七四六九二河南六九六九三陜西六八一三江南六二六四九四川五九三三六湖广五九○九三浙江五八四四八江西五四五六七贵州四九八七福建四八八五九广西四七○九六云南四六八四三广东四三七九一与黄赤大距度正切四三四六四相乘半径千万除之为赤道度之正得二至日出入卯酉前后赤道度以一度变时之四分加减卯酉正初刻得日出入时刻分】

各省东西偏度【凡偏东一度节气迟时之四分偏西一度节气早时之四分】

盛京偏东七度十五分【江氏永曰迟一刻十四分】

浙江偏东三度四十一分二十四秒【江氏永曰迟一刻】福建偏东二度五十九分【江氏永曰迟十二分】

江南偏东二度十八分【江氏永曰迟九分】

山东偏东二度十五分【江氏永曰迟九分】

江西偏西三十七分【江氏永曰早二分】

河南偏西一度五十六分【江氏永曰早八分】

湖广偏西二度十七分【江氏永曰早九分】

广东偏西三度三十三分十五秒【江氏永曰早十四分】

山西偏西三度五十七分四十二秒【江氏永曰早一刻一分】广西偏西六度十四分四十秒【江氏永曰早一刻十分】

陜西偏西七度三十三分四十秒【江氏永曰早二刻】

贵州偏西九度五十二分四十秒【江氏永曰早二刻九分半】四川偏西十二度十六分【江氏永曰早三刻四分】

云南偏西十三度三十七分【江氏永曰早三刻九分】

朝鲜偏东十度三十分【江氏永曰迟二刻十二分】

【江氏永曰偏东西度盖屡测月食时刻定之节气近子半东西可差一日则朔望亦然而月大小惟据顺天府时刻定者尊　京师也各省交食时刻则以东西偏度定　地球周九万里一度二百五十里此南北纬度里数也若东西经度惟南海外当赤道之下者里数如之中国当赤道之北则里数渐少愈近北则愈少如圆球上作距等圈近腰者大近顶者小至顶则成一防矣各省相距东西相望或正或斜欲求其里数皆可以弧三角法算之法用各省北极髙度减象限其余为距地北极度如求　京师与　盛京相去之里数　京师距地北极五十度五分为一边　盛京距地北极四十八度九分为一边偏度七度一十五分为所夹之角两边相并九十八度一十四分为总弧余一四三二两边相减一度五十六分为存弧余九九九四二并之一○一三七四折半五○六八七与角之矢八○○相乘为实半径十万为法除之四○五为对弧存弧两矢较以较加存弧矢五八为四六三即所求对弧矢以矢减半径为余九九五三七查表五度三十一分以五度三十一分化里得一千三百八十里为　盛京距　京师斜望之实里数考之驿程一千四百四十五里盖人迹纡曲多六十五里也他省算经度里数仿此】

蕙田案以上北极髙度及东西偏度

右推步法下

附戴氏震勾股割圆记【吴氏思孝解】

蕙田案史记黄帝迎日推防世本黄帝之臣首作算数防谓日月躔离之可推者是也数谓自一至九因而九之以尽乘除之用是也二者相资以成能考之周官经九数之计于六蓺居其一而保氏掌之以教国子司徒掌之以教万民数之用句股为尤大故周髀算经记周公访问于商髙于是得勾广三股修四径隅五之率其书中指要则曰数之法出于圜方圜出于方方出于矩矩出于九九八十一又曰方数为典以方出圜又曰智出于句句出于矩此数言者古今推步家莫能出其范围盖步算之大端有二曰象曰形象者日月星经纬之行昭昭可覩也形者方圜句股所以测此象也古人有句股术有弧矢术今为平三角弧三角平三角即句股之异名弧三角即弧矢之异名句股弧矢方圜之义备矣习其术不得其理则繁碎而近于蓺戴氏句股割圜记三篇上篇古之句股法今之平三角也中篇古之弧矢法今之正弧三角也下篇亦古弧矢法今之斜弧三角也其于平三角正比例以同度六句股明之于斜弧三角之两边侠一角及三边求角用两矢较不用余皆前此所未又以为诸术之巧一同度句股相权之外更无余术总以周髀首章之言衍而极之称名立法一用古义以补九章之亡蓺也进乎道矣因取以附推步之后而步算之大全举焉

句股割圜记上割圜之法中其圜而觚分之截圜周为弧背縆弧背之两端曰截圜径得矢矢之内成相等之句股二半弧为句减矢于圜半径余为股縆句股之两端曰径隅亦谓之句股之得圜半径也

句股三矩【凡有分数刻识者皆谓之矩】方之【各自椉得方幂】合句与股二方适如之大方

句股第一术

句与股求其句自椉股自椉并之为实开方得

句股第二术

句与求其股句自椉自椉相减余为股实开方得股

句股第三术

股与求其句股自椉自椉相减余为句实开方得句【与第二术同】

减矢于圜径余为股和矢恒为股较和较相椉为句之方

句股第四术

股与求其句用和较率股相加为和相减为较以较椉和为句实开方得句【句与求其股用和较率术同】

句股第五术

句与股较求其股或求其句自椉股较除之得股和和较相减余为倍股半之得股若相加则为倍半之得【股与句较求句术同】

句股第六术

句与股和求其或求其股句自椉股和除之得股较以加股和半之得以减股和半之得股【股与句和求句术同凡句与股之名可互易故不两列】

句股第七术

截圜径得矢求弧背之用第四术命矢为小矢于圜径减小矢余为大矢以小矢大矢相椉四之开方得弧背之若不四其实则得半弧【凡方面倍其积必四倍】或不用和较率则矢与圜半径相减余为股圜半径为用第三术得句倍句为弧背之

句股第八术

弧背之与矢求其圜径用第五术折半自椉矢除之【若自弃则四其矢除之】加矢为圜径

减句于圜半径余为次弧背之矢倍股为次弧减次弧背之矢于圜径余为句和其矢为句较和较相椉为股之方

句股第九术

圜径平截之得弧背之求其矢折半与圜半径相减得次弧背之矢【即句较若相加则得句和】用第七术得次半弧背之于圜半径减次半弧背之得矢或不用和较率则弧背之半之为句圜半径为用第二术得股股即次半弧背之也

引径隅于弧背外成句股弧背外之句谓之矩分谓之径引数股得圜半径也次弧背外之股谓之次矩分谓之次引数句得圜半径也

方圜相函之体用圜一帀而函句股和较之率四分圜周之一如之方四帀而函圜之周凡四觚如之句股三帀而函圜之半周凡三觚如之

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>

句股第十术

凡凖望折而成方者皆为句股形其方折倨句中矩【吴曰今亦名直角又名正方角】适四分圜周之一余两觚测知一觚弧度以减四分圜周之一余为所未测一觚之度若三觚形不折而成方其觚或倨【吴曰今名钝角】或句【吴曰今名锐角】于圜半周减一觚弧度余为两觚之和减两觚则余一觚

圜周之外内所成句股皆方数也随径隅所指割圜周成弧背皆圜度也度同则外内相权句股三矩通一为道外内相权句股三矩通一为道斯可以小大互求矣

小句　　　　小股　　　　小　　　【表一】

大句　　　　大股　　　大　　　　【表二】句股第十一术

以原有之两矩定其率今有之一矩与之相权异椉同除【如前表隔表相权异名椉同名除凡用表仿此】得所求之一矩凡推步

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>大句小句除之得大股也若重测于表长减人目髙以椉两表闲【前后表相去之数】古人谓之表闲积人目前后去表两数相减为较除之加表得所测之髙此小股椉两大句之较两小句之较除之得大股也若以人目去前表之数或去后表之数椉表闲人目前后去表两数较除之得前表或后表距所测处之逺此任以一小句椉两大句之较两小句之较除之各得其一大句也凡表为小股人目去前后表各为一小句其较为两小句之较所测髙为大股前后表距所测处各为一大句两表闲为两大句之较其前后各成同度之大小句股故能以小知大迭更互求无所不通髙深广逺一理皆句股比例之一端附论之

圜之半容句股则圜径为句股之句与股复为而析之成同度之句股三

吴曰第七第八第九三术之理以所成之句股同度故可互求圜内函同度三句股即以为句股和较之率又即句实股实倂之适与实相等之故盖第一术至第九术一理相贯也

四分圜周之一随径隅所指成同度之句股三

句　　　　股　　　　　

内矩分　　　次内矩分　　径隅　　　　【表一】

矩分　　　　圜半径　　　径引数　　　【表二】圜半径　　次矩分　　次引数　　　【表三】

用表互求如前第十一术

凡同度相权之法句股之大恒也句股应矩之方变而三觚不应矩之方以句股御之截为句股六而同度者各二三三交错是以展转互权三觚句于句股【吴曰今之三锐角】内弧【吴曰凡锐角用本角弧度】三觚一倨于句股【吴曰今之一钝角二鋭角】外弧【吴曰惟钝角用外角弧度】

凡三觚三距对所知之距其觚曰正觚弧度曰正弧余两觚或右或左正弧内矩分为句对正觚之矩为之右弧内矩分为句对右觚之距为之若左弧内矩分为句则对左觚之距为之以句求其先知两觚者也【知两觚一距】以求句其先知两距者也【知一觚两距】

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>

句【矩与形通一为道】　句【此形之实数】　　

正弧内矩分　截右觚之距　对正觚之距　【表一】右弧内矩分　截正觚之距　对右觚之距　【表二】

句　　　　句　　　　　

正弧内矩分　截左觚之距　对正觚之距　【表一】左弧内矩分截正觚之距　对左觚之距　【表二】

句　　　　　句　　　　　

右弧内矩分　截左觚之距　对右觚之距　【表一】左弧内矩分　截右觚之距　对左觚之距　【表二】句股第十二术【吴曰今名两角夹一边求余角余边所知之两角不夹所知之一边术同】凡三距成三觚之形自右至左两测所得弧度及两测相距之数求余两距于圜半周减两测弧度余为对所知一距之觚弧度是为正觚正弧两测为对所求两距之觚弧度以所知之距椉对所求一距之觚弧度内矩分正弧内矩分除之得所求之距凡倨于句股之一觚其弧过四分圜周之一用外弧内矩分互求之术并同

句股第十三术【吴曰今名两边一角角有所对之边求余角余边】

知两距及一觚弧度所知之一距与所知之觚相对其觚为正觚弧度为正弧其距为对正觚之距余一距与所求之觚相对以正弧内矩分椉余一距【所知两距之一】对正觚之距除之得所求之觚弧度内矩分既知两觚两距则如前第十二术可推其余

若先知两距一觚而无正觚则所知之觚曰本觚弧度曰本弧以弧矢术御之于圜半周减本弧余为两弧之和割圜成弧背弧背之与两弧内矩分成同度之句股二两弧内矩分为句弧背之为其两之和半之得半弧背内矩分为半和句与通一为道半弧背之外内矩分通一为道半弧背也者所求两觚之半和度也所知之两距实对所求两觚之距故两距之和较与半和度半较度之矩分通一为道

句股第十四术【吴曰今名两边夹一角求余角余边用梅勿庵切线分外角法】知两距及一觚弧度不知其觚所对之距及两距所对之觚于圜半周减所知一觚弧度余为所求两觚弧度之和【吴曰亦名外角】半之为半和度以所知两距相减之较椉半和度矩分所知两距相并之和除之得半较度矩分以半较度半和度相减得对所知小距之觚弧度若相加则得对所知大距之觚弧度既知三觚两距则如前第十二术可推其一

凡矩分随数之和较得以相权凡内矩分不随和较全半相权也

吴曰三角形任以两边为余一边或为两句之和【锐角形之边或对钝角之边】或为两句之较【钝角旁之边】截之成句股二两之和较相椉得长方幂同于两句之和较相椉所得长方幂也以两句之和除之得两句之较若较除之则得和以是为三边求角之率分三角形为两句股然后用句股求角法以八线表之半径全数【或十万或千万】与句相椉除之得句所交之角余此术为平三角法边角互求之一记中所不载者

又术凡三角之容圜半径截三边为六而相等者各二成角旁相等之边以为股皆以容圜之半径为之句三边相并半之为半和三边各与半和相减而得三较角所对边之较即边所对角两旁相等之边也先知三边求其角以三较连椉【连椉者两较相椉得数余一较又椉之】半和除之开方得容圜半径以八线表半径全数与容圜半径相椉角所对边之较除之得半角之正切倍之得角若三较连椉又椉以半和则开方得三角形积半和除之得容圜半径三角形积者容圜半径与半和相椉之幂也此求角求积及容圜三术交通皆不论角之锐钝颇为便用附存之