历算全书

割以正切乗余切所作矩形既各与半径方幂等则他弧亦然故可以互相视而成相当之率

如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同

如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并同

厯算全书卷八

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

小引

环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经纬厯然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬厯然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑体为平面而写诸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑仪取影于烛而惟肖也故可以算法证仪亦可以量法代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶霑寒疾诸务屏絶展转牀褥间斗室虚明心闲无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸臆积思所通引伸触类乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面相离聊足以彷佛意象啓人疑悟而不可以实度比量固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算即可以量为的确而简易也病间録枕上之所得輙成小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大致竢同志之讲求耳【此第一卷原序也余详目録】

康熈三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十有八

钦定四库全书

厯算全书卷九

宣城梅文鼎撰

环中黍尺卷一之二

总论

有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未有以处也环中黍尺之法则可以三边求角【如有黄赤两纬度可求其经】可以径求对角之边【如有黄道经纬可径求赤道之纬】立术超妙而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熈庚辰非一时之笔故与举要各自为首尾

凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是以测浑圆则衡缩欹衺环应无穷殆不翅累黍定尺也本书命名盖取诸此

用八线至弧度而竒然理本平实以八线量弧度至用矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷之先数后数所为直探其根以发其藏也

平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即眎度皆实度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法也【黍尺名书于兹益着】

矢度之用已详首卷而余之用亦可参观故又有三卷之初数次数也　初数次数本用乗除亦可以加减代之故有加减法以疏厥义【自三卷以后非非一时所撰今以类相附而仍各为之卷】

四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乗除此以加减则繁简殊矣

五卷之法亦加减也而特为省径故称防焉【用初数不用次数用矢度不用余以视甲乙数又省其半】然不可不知其变故又有补遗之术也

恒星厯指之法别成规式而以加减法相提而论固异名而同实是以命之又法也

【以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也甲乙数也捷法也又法也本书中具此六术然而加减捷法其尤为善之善者欤】

外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用斯博并附数则于五卷之末以发其例

弧三角用平仪正形之理

作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之【如置身大员之表以观大员】则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏而解

平仪用实度之理

斜视之图无实度可纪【弧角之形聊足相拟其实度非算不知】兹者平仪既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为一术【以横径查角度以距纬查弧度并详二卷】

平仪用矢线之理

八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然亦惟平仪正形能着其理【下文详之】

矢线之用有二

一矢线为角度之限　钝角用大矢　鋭角用小矢【小矢即正矢也从半径言之为正矢从全径言之为小矢】法曰置角度于平仪之周则平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢【平仪横径即浑员之腰围故大矢即钝角度小矢即鋭角度】

如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故同用已乙为大矢

一矢较为弧度之差　大弧用大矢【弧度过象限为大弧故大矢亦大于半径】小弧用小矢【弧度不及象限为小弧故正矢小于半径】较弧与对弧并同法曰置较弧对弧于员周【角旁两弧之较为较弧亦曰存弧对角之弧为对弧亦曰底弧】则各有矢线而同轴可得其差谓之两矢较也较弧对弧并小则为两正矢之较【两弧俱象限以下故俱用正矢】较弧小对弧大为正矢大矢之较【较弧在象限以下用正矢对弧过象限用大矢】

较弧对弧并大为两大矢之较【两弧俱过象限故俱用大矢】

凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也【若较弧用大矢则对弧必更大】

如图丑乙弧之正矢辛乙【庚乙寅乙

二弧同用】子乙弧之正矢壬乙【癸乙夘乙

同用】则辛壬为两矢之较即为【癸乙

寅乙】两弧度之较也【或丑乙与子乙或庚乙与

癸乙或寅乙与卯乙并同】　又如戊乙弧之

大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳壬皆大矢与正矢较也　又如甲丑弧之大矢辛甲与甲夘弧之大矢壬甲相较得较辛壬则两大矢较也约法

凡求对角之弧并以角之矢为比例【钝角用大矢鋭角用正矢】求得两矢较【半径方一率正矩一率角之矢三率两矢较四率】以加较弧之矢【较弧大用大矢较弧小用正矢】得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小【遇象限】加不满半径为小矢其对弧小【不过象限】此不论角之鋭钝边之同异通为一法

凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢【半径方一率余割矩二率两矢较三率角之矢四率】得数大于半径为大矢其角则钝得数小于半径为正矢其角则鋭亦不论边之同异通为一法

问用矢用余异乎曰矢余相待而成者也可以矢算者亦可用余立算但加减尚须详审若矢线则一例用加尤为简妙

先数后数法

【此以平仪弧角正形解浑球上斜弧三角用矢度矢较为比例之根也】

【先得数者正上距等圈矢也与角之矢相比后得数者而矢较也与较弧矢相加】

设丙乙丁斜三角形　有乙鋭角　有丙乙弧小于象

限丁乙弧大于象限【是为角旁

之两弧不同类】　求丁丙为对角

之弧　用较弧【角旁两弧相减】及

对弧两正矢之较为加差

法以大小两边各引长之

满半周遇于戊作戊甲乙

圜径　又于圜径折半处【巳】命为浑圜心　又自己心作横半径【如巳寅辛】则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢【平视之为矢度实即角度之弧跻缩而成】而寅已即乙角之余弧亦即为乙角余【因视法能令余弧跻缩成余】　又自丁作横半径【巳辛】之平行线【如壬丁甲】此平行线即乙丁大边之正【因平视故乙丁小于乙壬其实乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊壬及乙壬之正亦即为乙丁之正矣】而此正【壬甲】又即为距等圈之半径也【想戊巳乙为半浑圜之中剖国面侧立形乃自壬丁甲横切之则壬甲为其横切之半径】则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧之矢线矣【有距等圈半径即有其弧】而此大小两矢线各与其半径之比例皆等【己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度皆乙角故比例一也距等虽用戊角而戊角即乙角有两弧线限之故也】法为已辛与甲壬若寅辛与壬丁

一率　半径已辛

二率　【大弧正】壬甲【卯距等圈之半径】

三率　【乙角矢】寅辛

四率　【先得数】壬丁【即距等圏之正矢】

次从丙向已心作丙巳半径此线为加减之主线【以较弧对弧俱用为半径而生矢度】　又从壬作壬夘为壬丙较弧之正【壬乙既同丁乙则丁乙弧之大于丙乙其较为壬丙】　又从丁作癸丁午线为丁丙对弧之正【因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧与癸丙同大癸午既为癸丙正亦即丁丙之正矣】因两正平行又同抵巳丙半径为十字正方角故比例生焉此立算之根本　又从丁作丁子线与午夘平行而等【以有对弧较弧两正为之限也】成壬丁子句股形又从丙作丙辰线为乙丙小边之正成已丙辰句股形　此大小两句股形相似【巳丙辰与卯已奎小形相似则亦与壬丁子形相似等角等势故也】法为丙已与辰丙若壬丁与丁子

一率　半径丙已　

二率　【小弧正】辰丙　股

三率　【先得数】壬丁　小

四率　【两矢较】丁子　小股

省算法用合理

【因上两宗内各冇先得数而一为三率一为四率故对去不用】

乃以后得数为矢较加较弧矢【以午夘加夘丙也】成对弧矢【午丙】末以对弧矢【午丙】减半径【巳丙】成对弧余【午已】检表得对弧【丁丙】之度

又法　以后得数减较弧余【以午夘减夘已】成对弧余【午己】检表得对弧【丁丙】度亦同【两正矢之较即两余较也故加之得矢者减之即得余】

若先有三边而求乙钝角则反用其率【因前四率反之以首率为次率三率为四率】

以乙角矢【寅辛】减半径【辛巳】得余【寅巳】检表得乙角之度右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较为加差【以差加较弧矢得对弧大三边求角则为三率】亦为两余较【依又法以差减较弧余为对弧余三边求角则两余弧相减为三率】　角旁弧异类对边小

设亥乙丁斜弧三角形　有乙钝角　有亥乙小弧丁乙大弧　求亥丁【对角弧】　用较弧正矢与对弧大矢之较为加差

戊乙径为取角度之

根亢寅角度及房甲

与亥虚两正皆依

之以立

大矢即钝角之弧度

小矢即鋭角之弧度

亥斗径为加减之根

房氐及危心两正

依之以立　有两正即有两余及大小矢而加减之用生焉

法以大小两边各引长之满半周遇于戊　又依小边半周【乙亥戊】补其余半周【戊辛乙】成全圆　又从戊至乙作圆径　又作亢辛横径两径相交于已即圆心　则寅辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢【寅已亢即乙钝角之弧度平视之成大矢】　若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之度加象限即角度　又从丁作房丁壬横线与亢辛横径平行此线即丁乙大邉正之倍数【房丁壬与亢辛平行则房乙即丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙之正亦即丁乙正也房甲既为正房壬则倍正矣倍正即通】而此【房壬】倍正又即为距等圏之全径【想全体浑圆从壬丁房横切之成距等圈而房壬其全径】则房丁分线亦即为距等圏上丁甲房弧之大矢【有距等圈全径即有其全圏而房甲丁其切弧】而此两大矢线各与其全径之比例皆等【亢辛全径大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全径小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大矢亦各与其全径之比例等】即各与其半径之比例亦等【若以甲为心壬为界作半圆于房壬线上则距等之弧度见矣】法为亢辛【全径】与房壬【距等全径即倍正】若寅亢【钝角大矢】与房丁【先得数亦距等大矢】而亢已【半径】与房甲【乙丁正亦距等半径】亦若寅亢与房丁

一率　亢巳【半径】

二率　房甲【大邉之正亦距等半径】

三率　寅亢【钝角大矢】

四率　房丁【先得数亦距等大矢】

次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线【较弧对弧之俱过此全径而生大小矢】　又从房作房氐线为房亥较弧之正【准前论房乙同丁乙则丁乙之大于亥乙其较房亥】　又从丁作心丁娄线与房氐正平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对弧之倍正【因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心危者心亥弧之正也是即亥丁弧之正而心丁娄其倍矣】　又从丁作丁女线与斗亥径平行亦引房氐较弧之正为通而与丁女线遇于女成丁女房句股形　又从亥作亥虚线与亢辛横径及大边之正房甲俱平行成亥虚已句股形　此大小两句股形相似【亥巳即径线与丁女平行亥虚与房甲丁平行则大形之丁角与小形之亥角等而女与虚并正角则为等角而相似】法为已亥【半径】与亥虚【小边正】若房丁【先得数而距等大矢】与丁女【后得数亦即氐危为较弧正矢氐亥及对弧大矢危亥之较】

一率　半径已亥　

二率　【小边正】亥虚　句

三率　【先得数】房丁　大

四率　【后得数】丁女　大句

乃以省算法平之

乃以后得数加较弧正矢【以氐危加氐亥成危亥】为对弧大矢内减半径得对弧余检表得度以减半周为对弧之度又法于后得数内减去较弧余成对弧余【于氐危内减氐巳其余危巳即对弧余】乃以余检表得度以减半周为对弧之度　大矢与小矢之较即两余并也内减去一余即得一余矣观图自明　前用鋭角是于较余内减得数为对弧余此用钝角是于得数内减较弧余为对弧余

若有三边而求角度者则反用其率

一半径上方　　　　一两正矩　　半径上方

二两正矩　　　　二半径上方　　两余割相乗矩三钝角大矢寅亢　　三两余并氐危【即较弧正矢与对弧大矢之较】四两余并丁女【即氏危】四钝角大矢寅亢

乃于所得大矢内减去半径成余以余检表得度用减半周为钝角之度

右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较为加差【以差加较弧正矢得对弧大矢又为三边求角之三率】亦为两余并【依又法减较弧余得对弧余三边求角即并两余为三率】　其钝角旁两弧异类对弧大

设丁辛乙斜弧三角形

有辛丁边【五十度一十分】丁乙对角

边【六十度】辛乙边【八十度】三边并

小求辛鋭角

法先为戊亢辛全员　作戊

辛员径　又作亢巳横员径

【两径十字相交于巳心此线上有角度】

次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边【五十度一十分】之数截丁辛为小边　又从丁过巳作径线【此线上有加减度】为较弧对角弧两正所依　仍自辛过丁数至房如所设大边【八十度】之数截房丁为大小两边之较弧　又自丁过房数至心如所设对边【六十度】之数截心丁与乙丁等　仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄心直线聨之为心丁对弧之倍正　又从房作房甲横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正【因视法房辛即乙辛详后】　次视娄心倍与房甲正两线相遇于乙命为斜弧形之角　乃从乙角向辛作乙辛弧【此弧亦八十度与房辛同大】是所设角旁之大边【理在平仪视法房辛是真度乙辛是视凸为平跻缩之形想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度不惟乙辛与房辛同大即甲辛亦与房心同大也他仿此】　又从乙向丁作乙丁弧【此弧亦六十度与心丁同大】是所设对角之边【切浑角以心娄距等圈而以丁为极则危丁亦六十度与心丁同大矣乙丁同大不言可知】　遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形与所设等　又从乙引乙辛弧线至戊成心乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛角矢度而寅己其余　次从丁作丁虚横线与房甲正平行是为辛丁小边之正　又从房作房夘线与心危娄平行则此线为房丁较弧之正其心危则乙丁对弧之正　又从乙作乙女线与夘危平行而等【线在两正平行线之中而赤平行不得不等】是为较弧与对弧两正矢之较【房夘为较弧正则夘已为余而夘丁其矢又心危为对弧正则危巳为余而危丁其矢此两正矢之较为危卯而乙女与之等则乙女亦两矢之较矣】

法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似【房乙与丁虚平行乙女与巳丁平行则所作之大形丁角小形乙角必等而大形之虚小形之女并正角则两形相似】故丁虚【小边正】与丁巳【半径】若乙女【即夘危较弧余与对弧余之较】与乙房【先得数】

又房甲正之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与分之比例皆相似【从房甲线切浑员成距等圏而房甲为其半径犹浑员之有亢巳为半径也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圏半径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相似】故房甲【大邉正即距等圏半径】与亢巳【大员之半径】若乙房【先得数即距等圏之矢】与寅亢【后得数即角之矢线】

以省算法平之即异乘同乘异除同除

较弧【二十九度五十分】余【八六七四八】正矢【一三二五二】其较三六七四八

对弧【六十度　　　　五○○　　五○○○○　　　○○】

一半径方一○○○○○○○○○○【首率除宜去十尾乃先于二率】二余割矩一三二二三二三四○八九【去五位故得数只去五位即如】

三两矢较　　　　　　　三六七四八【共去十位也】

四锐角矢　　　　　　　四八五九二【用减半径得辛角余五一四○八】检表得五十九度四分为辛角之度【此与厯书所算五十八度五十三分只差十一分】又法径求余　法曰房甲之分为乙房而其余乙甲犹亢已之分为亢寅而其余寅已也故其全与分余之比例亦相似法为房甲【正】与亢己【半径】若乙甲【正分线之余】与寅已【半径截矢之余即角之余】

准前论小边之正虚丁【句】与半径丁巳【】若较弧对弧两矢之较乙女【小句】与大边正之分线乙房【小】也先求乙房为先得数以转减大边正房甲得分余线乙甲

一　小边【五十度一○】正　　丁虚　七六七九一

二　半径　　　　　　　　　丁巳一○○○○○三　【较弧二十九度五○对弧六　十度○○】两正矢较乙女　三六七四八

四　先得数【大邉正之分线】　　　　乙房　四七八五四以先得数减大邉八十度正房甲　九八四八一得大边正内乙房分线之余乙甲　五○六二七未以分余线为三率

一　大边正　　房甲　九八四四一

二　半径　　　　亢已一○○○○○

三　分余线　　　乙甲　五○六二七

四　角之余　　寅已　五一四○七【检表得五十九度○四分与先算合】附厯书斜弧三角图【稍为校正】

丙乙丁弧三角形

乙丙角旁小弧　壬乙同丁

乙角旁大弧　壬丙为较弧

癸丙同丁丙为对角之弧

甲壬为大弧正　辰丙

为小弧正　壬夘为较弧

正　癸午为对弧正　寅辛为乙角之弧　庚辛为乙角之矢　夘丙为较弧之矢　午丙为对弧之矢午夘为两矢较　酉壬为先得数　酉子同午夘亦

两矢之较

法为全数【己辛】与大弧正【甲壬】若角之矢【庚辛】与先得数【酉壬】又全数【巳丙】与小弧正【辰丙】若先得数【酉壬】与两矢较【酉子】也一率全之方　二率两正矩　三率角之矢　四率得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢

论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚为角度之正直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉者大弧正甲壬上所作距等圈之正也从顶视之而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上眎之与已庚余同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪为正形也

若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之正矢【牛亥】与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两矢之较【牛危即女酉】以较加较弧正矢为对弧大矢【法详前例但前例钝角旁小弧不同乙丙故此图以相同者论之更见其理之不易】

乙为钝角用大矢之图

【此用平仪正形故丁与酉同为一点】

设角之一边适足九十度一边大　用锐角【余角一钝一鋭】法为半径与大边之正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对弧之余

乙丁丙斜三角形　丙丁边适

足九十度乙丁边大于九十度

丁鋭角求对边丙乙　法先作

平员分十字从丁数丁壬及丁丑

并如乙丁度作距等线聫之【壬丑】又于壬丑线上取乙点【法以壬巳为度巳为心作半员】

【分匀度而自壬取角度得乙防】作庚乙癸直线为对弧之正　又取壬丙为较弧作壬夘正较弧之矢夘丙对弧之矢癸丙其较夘癸与壬乙等壬已正又即距等圈半径而为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如余与角之丙子矢子甲余同比例

一　半径丙甲　　　一　半径丙甲

二　【大邉正】壬已　　　二　【大邉正】壬已

三　【角之矢】子丙　　　三　【角之余】子甲

四　【两矢较】壬乙【即夘癸】　四　【对弧余】乙已【即癸甲】

若丁为钝角　用大矢

法为半径与大边之正若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余与对弧之余