历算全书

法为半径与大边之正若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余与对弧之余

借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形【三角俱钝】作丑午为较弧丑辛正【以丑丁同乙丁故】其庚癸为对弧乙辛之正【以庚辛即乙辛故】较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛其较癸午与丑乙等　依前论壬乙为距等圈小矢则乙丑为大矢壬丑为距等圏全径与其大矢乙丑之比例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也而丑已原为乙丁大边之正【丑乙原与癸午等】故法为半径【甲辛】与钝角之大矢【子辛】若大边之正【已丑】与两矢较【丑乙或癸午】也

一　半径甲辛　　一　半径甲辛

二　【大邉正】丑巳　　二　【大邉正】丑已

三　【钝角大矢】子辛　　三　【钝角余】子甲

四　【两矢较】癸午　　四　【对邉余】乙已【用余入表得度以减半周得对邉之度】一系　距等圏上弧度所分之矢与余与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等

又按前法亦可以算一邉小于象限之三角

于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角【余角一钝一鋭】有丙戊大边足九十度有乙戊边小于九十度　求对戊角之乙丙边

法从乙作壬已线为小邉乙戊之正【以壬戊即乙戊故】又从乙作庚癸为对弧乙丙之正【以庚丙即乙丙故】　于是较弧之矢为夘丙　对弧之矢为癸丙而得两矢之较为癸夘　则又引戊乙小邉之弧过半径于子而合大圏于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之余法曰丙甲【半径】与壬已【小邉】若子丙【戊角之矢】与乙壬【两矢较】也得乙壬即得癸夘

捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正作庚癸为乙丙对弧之正其余癸中　又引小邉戊乙分半径于子得子甲为戊角之余

法曰丙甲【半径】与壬已【小邉正】若子甲【戊角余】与乙巳【对邉余】得乙己得癸甲矣

又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角【余角并鋭】有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度　求对戊钝角之辛乙邉

用防法　于乙作壬丑为乙戊小邉之通　作庚癸为乙辛对弧之正　其余甲癸　又引戊乙小邉割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角余

法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲一　半径甲辛【即丙辛全径之半】

二　【小邉王】丑已【即壬丑通之半】

三　【钝角余】子甲

四　【对邉余】癸甲【即乙巳】

若先有三邉而求角则反用其率

一　半径

二　小邉余割

三　对邉余

四　角之余

一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正若角之矢与两矢较也亦若角之余与对邉之余

若置大小邉于员周其算亦同

乙丁丙斜弧三角形　乙丁

邉适足九十度　丁丙邉小

于九十度　有丁锐角　求

对邉丙乙　法于平员邉取

丙丁度作丙已为小邉之正

　又自丙作丙甲过心线

又作壬夘线为丙壬较弧

之正　又作庚乙癸线为对弧乙丙之正【庚丙即乙丙故】　乙壬为丁角之矢　乙甲为丁角之余　癸丙为对弧之矢　癸甲为余　夘丙为较弧之矢　夘甲为余　对弧较弧两矢之较夘癸【亦即乙辰】

法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙【半径】与丙已【小邉正】若壬乙【角之矢】与乙辰【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲癸【对弧余】

三邉未角法

一　半径壬甲【即甲丙】　二　【小邉余割】甲甲

三　【对弧余】癸甲　　　　四　【角之余】乙壬

又于前图取乙戊丙三角形　用戊鋭角【余角一钝一鋭】　有乙戊邉九十度　有戊丙大邉　求对戊角之丙乙邉用防法　自丙作丙已为丙戊大邉之正　即从丙作丙甲半径　乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正其余癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之余法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙【半径】与丙巳若乙甲【角之余】与甲癸【对边余】

若丁为钝角【余角并鋭】　用大矢

借前图作丑乙为对角之弧

成丑丁乙三角【丁为钝角】　作

丑甲寅径　又作辛丑较之

正辛午　【以辛丁同丁乙故】　作

丑乙对弧之正子酉引过

乙至亥成通　又作辛未

线与酉午平行而等　较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较得酉午【亦即未辛】　乙辛与丁钝角大矢　乙甲为钝角余

法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑【半径】与丑已【小邉正】若乙辛【角大矢】与未辛【两矢较】亦若乙甲【角之余】与甲酉【对弧余】

又于前图取乙戊丑形　用戊钝角【三角俱钝】　有乙戊邉九十度有丑戊大邉　求对钝角之丑乙邉

用防法　自丑作丑已为丑戊大邉之正　又自丑作丑甲寅全径　又自乙作亥酉为对邉丑乙之正【以亥丑即乙丑故】　其余酉甲而乙甲原为戊钝角之余法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑【半径】与丑已【大邉正】若乙甲【钝角余】与甲酉【对邉余】

又设丙乙丁三角形　乙为钝角【余一钝一鋭】　乙丙邉小丁乙邉大　对邉丁丙大于象限　较弧壬丙亦大

于象限

惟对邉较弧俱大于象限故

所得为两大矢之较

其正比例仍用小矢以角

为鋭角也

壬丙较弧之大矢夘丙加后得数午夘为对弧丁丙之大矢【丁丙即癸丙故】　大矢午丙内减半径已丙得午已为余以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧丁丙之度

又法以得数午夘加较弧之余夘巳得午已为对弧余【以两大矢较即两余较也余同上】

若于前图取丁乙庚三角形则角旁两邉俱大于象限而对邉小于象限较弧亦小于象限乙为钝角【三角俱钝】有庚乙与丁乙两大邉而较弧丑庚小故所得为两小矢之较其正比例则用大矢以乙为钝角故也　丑庚为较弧其正丑亥余亥已　对弧庚丁即庚酉其正酉午余午已【两矢较亥午即余较】

又设丙乙丁三角形

乙为鋭角【余一钝一鋭】

乙丙邉小　丁乙邉大　对

弧丁丙大于象限　较弧壬

丙小于象限　所得为对弧

大矢与较弧小矢之较

其正比例仍用小矢以乙

鋭角故

两余并即大矢与小矢之较也

法以得数午夘加较弧之正矢夘丙成午丙为对弧之大矢午丙内减去半径已丙得午巳余乃以余检表得度以减半周得对弧丁丙之度

若于得数内减较弧余弧夘己亦即得午己余余如上

又于前图取丁乙庚三角形　乙为钝角【三角俱饶】　角旁两邉俱大于象限惟对邉小故用两正矢较其正比例仍用大矢以钝角故　乙丁弧之通丑壬为乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角大矢而比例等　又丑庚为较弧其正丑亥其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸其矢午庚两矢之较为亥午

以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧丁庚之矢【以矢减半径庚已得对弧之余午巳检表得丁庚度】

论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等圏径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所分其分之一端必与对弧相防【葢对弧亦从此分也】其又一端必与较弧相防是此分线在较弧对弧两正平行线之中斜交两线作角而为则两正距线必为此线之句矣而两矢之较即从两正之距而生故不论大矢小矢其义一也

然则正上所作句股何以能与先得数之句股相似邪曰两全径相交于员心则成角各正又皆为各全径之十字横线则其相交亦必成角而横线所作之角必与其径线辏心之角等角等则比例等矣大邉小邉之正皆全径之十字横线也较弧对弧之正皆又一全径之十字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等

仍于前图取丁戊庚三角形　戊钝角【余并鋭】　三边俱小于象限　戊丁弧之通丑壬正甲壬　又引戊丁弧过全径于寅防于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦割丑壬通于丁则丑丁与通若寅戌大矢与全径也　又戊庚弧之正庚申为句则已庚半径为其其比例若丑未为句而丑丁为也　又丑庚为较弧其正丑亥其余亥已其矢亥庚　对弧庚丁之通酉癸正癸午余午已其矢午庚两矢之较为亥午【对弧小故用两小矢之较戊钝角故以角之大矢为比例并同上条】

两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并同即此可明三角之理

仍于前图取丁丙戊三角形　有丁丙及戊丙二大边有丙鋭角【余一钝一鋭】求丁戊对边　法引丁丙及戊丙二弧防于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边正而丁丙弧割癸午正于丁亦割亢已半径丁心则亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙弧之正成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之正其矢甲戊又取癸戊为较弧【以癸丙同丁丙故】作癸氐为较弧正其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊与井戊句若癸丁与斗丁句也【此因对弧小故所得为小矢之较而用丙鋭角故只用角之正矢为比例　又此因用丙角求戊丁邉故另为比例若用戊角求丁丙弧则与第一条之法同矣】

以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取其度得丁戊

右例以一图而成四种三角形皆可以入算而诸线错综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也【又丁丙戊三角形亦可以戊角立算余三角并然　丁乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚角】计开

一图中三角形凡四

一丁乙丙形　一丁戊丙形　一丁乙庚形　一丁戊庚形

全径凡二

一戊乙径　一庚丙径

算例凡八

右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线

一系　凡三角形以一邉就全员则此一邉之两端皆可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线皆视其所用之角

凡所用角在径线之端则此径为主线余一径为加减线

几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内凡角旁两弧线引长之各成半周必复相防而作角其角必与原角等

凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然

一系　凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半周其首尾皆至主线之端是主线即为此弧之径也如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全员也故角旁两弧皆以主线为之径　加减线既为对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径

一系　凡全径必有其十字过心之横径而正皆与之平行皆以十字交于全径引之即成通

主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正通皆以十字交于主线之上而其余其矢皆在主线加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正皆以十字交于加减线而其余其矢皆在加减线

一系　凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角之余若钝角则分大矢

角旁引长之弧过横径者亦过正通故其全与分之比例皆与角之大小矢及余之比例等平仪论　论以量代算之理

以横线截弧度以直线

取角度并与外周相应

如艮已弧距极三十度

为申未横线所截故其

度与外周未已相应坎

乙应戌乙亦同又干乙

弧距极六十度为丑夘横线所截故其度与外周丑乙相应巽已应午已亦同

又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应子丑度亦然又庚已子钝角有午夘庚直线为之限知其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应也壬乙辛百二十度角应戌乙辰夘辛弧亦然

论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面皆实度也弧线在平面则惟外周为实度其余皆视度也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧立而其线渐缩而短离邉愈逺其侧立之势益髙其跻缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻缩之状随度之髙下而迁其数无纪故曰不可以量也然而以法量之则有不得而遁者以有距等圈之纬度为之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于邉之真度其实与邉度并同无小大也特外周则眠体而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也【量法详后】然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试于平仪内任作一弧角

如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其度则引此弧线过横径于戊而防于乙则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而

钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何以量其度法于戊防作庚辛直线与乙丙直径平行则已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其余庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角此相遇之两防即余两弧起处法即从此起数借外周以求其度而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得余一角之所在遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法也

今设乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角

法先作戊巳庚丙平员

又作巳丙及戊庚纵横

两径任以丁丙邉之度

自直线之左从丙量至

丁得五十○度为丁丙

邉又自丙左右各数五

十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联之为五十五度之距等圈　又自丁作夘丁径线自丁左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦作丑癸线聨之为六十○度之距等圈　此两距等线相交于乙则乙防即为乙丙及乙丁两邉相遇之处而又为一角也　乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦俱可知　欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子径上距等圈之真形也乃自乙防作直线与午丙径平行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛钝角之度也　欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦丑癸径上距等圈之正形也乃自乙防作直线与辰夘径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此即乙丁丙钝角之　度以减半周得亥丑若干度又即乙丁丑钝角之度也

计开

丙角七十八度稍弱【以算考之得七十七度五十五分】丁角六十七度三分度之二【以算考之得六十七度三十九分】

右量角度以图代算【欲得零分须再以算法考之即知无误】

又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉【对角之邉】法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知

之作辛十子线为一百

二十○度之距等圈

又以距等之半线辛午

为度午为心作辛酉子

半圈匀分一百八十度

乃自辛数至酉如所设

丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁遂如法作丁丙邉　又自丙数至乙如所设乙丙邉一百○○度又从乙过甲心至夘作大圈径亦作寅壬横径乃补作丁乙邉【乙丙丁三角弧形宛然在目】　又自丁作丑丁癸距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁之度

计开

丁乙线五十九度强【以算考之得五十九度○七分】

右量弧度以图代算【若用规尺可免逐圈匀分之度有例在后条】

又若先有乙丁对角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉【仍借前圏】

法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角度作酉丁直线遂从丁作丁丙邉皆如前　次以所设丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取其通【即距等线癸丑之度】乃以通线就丁防迁就游移使合于外周而不离丁防成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙邉于是补作乙丁线成三角之象

又法以丁乙倍度之通【丑癸】半之于辰乃从辰作夘甲辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度余如上又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中【亦仍借前图】法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙截乙丙为所设之邉　次作丙角法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度遂从亥防作弧【如丙亥己】则丙角成矣　次作乙角法于乙防作乙甲夘径亦作壬寅横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂从未防作弧【如夘未乙】则乙钝角亦成矣　两弧线交于丁角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得【案此两弧线必以鸡子形作之方凖若丁防离两横径不逺则所差亦不多也】

再论平仪

凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度

惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度平仪上弧线皆在浑靣而直线皆在平靣

试以浑球从两极中半濶处直切之【如用极至交圏为度以剖浑仪】则成平靣矣以此平面覆置于案而从中腰横切之【如赤道半圏】则成横径于平面矣【如赤道之径】又以此横径为主离其上下作平行线而横切之则皆成距等圏之径线于平面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圏之径则其径上所乗之距等圏距极皆等即任指一防作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也

若又别指一处为极【如赤道极外又有黄道极又如天顶亦为极】则其对度亦一极也亦可如前横切作横径【如黄道之径】于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏与其径线矣【如黄道亦有纬度】故直线有相交之用也

凖此观之浑球之外圏随处可指为极即有对度之极两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而句股之形成比例之用生加减之法出矣【如黄赤两极外又有天顶地心之极而天顶地心随北极之髙下而变】又此所用外周特浑球上经圏之一耳若凖上法于球上各经圏皆平切之皆为大圏则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用乃不可以亿计矣【如天顶地心既随极出地度而异其南北亦可因各地经度而异其东西】由是推之浑球上无一处不可为极故所求之防即极也何以言之凡于球上任指一防即能于此防之上作十字直线以防于所对之防而十字所分之角皆九十度即逐度可作线以防于对防而他线之极此防上线皆能与之防故曰所求之防即极也

又论平仪

凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度也若无经度则亦无纬度矣

平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣【所云直线指横径及其上下之距等径而言】弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短

假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也

然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也

复论平仪

平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正也若引此经度作弧以防于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也