历算全书

四刻九分十二年中共长一刻○三分【中积只十一年】

壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分【中积共只八年】

又合计癸亥夏至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻【一分】　辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分然二分之相距则无甚差何也葢最髙移而东则夏至后多占最髙之度而减度加时之数益多故益长髙冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也

乃若二分与中距虽亦歳移而中距皆为平度不系加减其最髙前后视行小之度固全在春分后半周最髙冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无动移故无甚消长也

西国月日攷

攷回国圣人辞世年月

回国圣人辞世年月据西域斋期【江寕至鸿堂刻单】以康熙庚午五月初三日起是彼中第九月一日谓之勒墨藏一名阿咱而月也至六月初三日开斋是彼中第十月一日谓之绍哇勒一名荅亦月是为大节再过一百日至九月十三日为彼中第一月第十日谓之穆哈兰一名法而干而丁月其日为阿叔喇济贫之期谓之小节鼎尝以回回厯法推算本年白羊一日入第六月之第八日与此正合

又据斋期云本年庚午圣人辞世共计一千○九十六年【此太阳年】攷本单开圣人生死二忌在本年十一月十四日在彼为第三月谓之勒必欧勒傲勿勒又名虎而达查西域阿刺必年是开皇己未距今康熙为一千○九十二算减一为一千○九十一乃开皇己未春分至今康熙庚午春分之积年

又查己未年春分在彼中为太阴年之第十二月初五日　以距算一千○九十一减圣人辞世千○九十六相差五年逆推之得开皇十四年甲寅为圣人辞世之年

约计甲寅至己未此五年中节气与月分差闰五十五日甲寅春分当在彼中第十月之初

圣人辞世既是第三月则在春分月前七个月为处暑月即今七月也

自开皇甲寅七月十四日圣人辞世至今康熈庚午七月十四日正得一千○九十六年故曰共计一千○九十六年也

据此则开皇甲寅是彼中圣人辞世之年薛仪甫谓为回回厯葢以此而误

又按圣人以第三月辞世而其年春分则在第十月今彼以第十月一日为大节葢为此也

攷泰西天主降生年月

据天地仪书耶苏降生至崇祯庚辰一千六百四十年算至康熈庚午一千六百九十年

查康熙戊辰年瞻礼单诞辰在冬至后四日日躔箕宿七度　逆推汉哀帝庚申约差卝四度则是当时冬至在斗宿之末　约计耶苏降生在冬至前二十余日为小雪后四五日也

自哀帝庚申十月算至隋开皇甲寅七月望回回教圣人马哈木徳辞世实计五百九十四年不足两个多月攷厯书所纪西国年月

万厯十二年甲申西九月十五日日躔夀星二度　又十三年乙酉西九月卄八日日躔夀星十五度半万厯十四年丙戌西十月【阙】　日日躔夀星二十九度又十五年丁亥西十月卝六日日躔大火十二度太

万厯十六年戊子西十一月初八日日躔大火二十六度太　又十七年己丑西十一月卝二日日躔析木十一度弱

万厯十八年庚寅西十二月初六日日躔析木卄五度又十九年辛卯西十二月卄一日日躔星纪九度

万厯二十三年乙未西正月三十日日躔枵卄一度万厯三十五年丁未西七月初九日日躔鹑首廿六度五三　又三十七年己酉西七月廿一日日躔鹑火八度半

万厯三十八年庚戍西八月初二日日躔鹑火二十度又三十九年辛亥西八月十五日日躔鹑尾二度按此所纪皆是以日躔星纪二十度为正月初一日析木二十度【或十九度】为十二月朔　大火【十九】度【或二十度】为【十一】月朔　夀星十八度为十月朔　鹑尾十八度为九月朔　鹑火十九度【或十八度】为八月朔　鹑尾十八度为七月朔【此亦约畧之算细求之尚有太阳盈缩】

又正德九年甲戌西五月初五日子正前日躔大梁二十二度四十分　是以大梁十九度为五月朔【所测在子正前西厯纪日月午正故曰十九度】

正德十五年庚辰西四月三十日日躔大梁十七度四八　是以降娄十九度为四月朔

又本年七月十三日日躔鹑火初度　是以鹑首十八度为七月朔

嘉靖二年癸未西十一月卄九日日躔析木十五度五四　是以大火十八度为十一月朔

嘉靖六年丁亥西十月初十日日躔夀星卄七度　是以夀星十八度为十月朔

嘉靖八年己丑西二月初一日日躔枵廿一度　是以廿一度为二月朔

万厯十年壬午西二月廿六日申初二刻日躔娵訾十七度四十九分四二　是以枵廿二度为二月朔万厯十一年癸未西九月初六日日躔鹑尾廿三度是以鹑尾十八度为九月朔

万厯十四年丙戌西十二月廿六日申初二刻太阳在星纪宫十四度五十一分五三　是以析木十九度为十二月朔

万厯十六年戊子西十二月十五日巳初刻太阳在星纪三度五十三分　是以析本十九度为十二月朔万厯十八年庚寅西二月初八日午正后三十四刻太阳视行在娵訾初四十秒　是以枵廿三度为二月朔又本年九月初七日子正日躔鹑尾二十四度　据此初一日鹑尾十八度

万厯廿一年癸巳西八月初十日日躔鹑火廿七度是以鹑火十八度为八月朔

又汉顺帝永建二年丁卯西三月廿六日酉正太阳在降娄一度十三分　是以娵訾七度为三月朔

顺帝阳嘉二年癸酉西六月初三日申正太阳在实沈九度四十分　是以实沈七度为六月朔

顺帝永和元年丙子西七月初八日午正太阳在鹑首十四度十四分　是以鹑首七度为七月朔

又本年西八月三十一日九月初一太阳在鹑尾七度顺帝永和二年丁丑西十月初八日太阳在夀星十四度　是以夀星七度为十月朔

顺帝永和三年戊寅西十二月廿二日子正前四时日躔析木九度十五分　据此初一日是大火八度当是十一月非十二月

顺帝阳嘉二年癸酉西五月十七十八日太阳在大梁二十三度　据此五月朔大梁七度

按自汉顺帝永建丁卯为总积四千八百四十年至明万厯十二年甲申为总积六千二百九十七年相距一千四百五十七年相差十二三度即歳差

之行也

汉时月朔俱在各宫七八度之间万厯间月朔俱在各宫之十八九度或卄一二度

据此论之则西厯太阳年用恒星有定度其恒星节气虽从歳差西行而每月之日次则以太阳到恒星某度为定千古不变也想西古厯法只是候中星每年某星到正中即是某月

又按此法于歳差之理甚明但欲敬授民时则不如用节气为妥天经或问欲以冬至日为第一月第一日可以免闰又可授时谓本于方无可先生然沈氏笔谈已先有其説矣

今查瞻礼单

康熙丁卯年正月十八丁酉日　应西厯三月初一日

【亥宫十度　　　　危十一度二十六分　　　　二三】

二月二十戊辰日　应西厯四月初一日

【戌宫十一度十三分】　　　　壁六度二三

二月二十戊戌日　应西厯五月初一日

【酉宫十度二十九分】　　　　娄十度五三

四月廿二己巳日　应西厯六月初一日

【申一十度十五分】　　　　毕六度九分

五月廿二己亥日　应西厯七月初一日

【未八度四十九分】　　　　井七度五一

六月廿四庚午日　应西厯八月初一日

【午八度二十一分】　　　　柳二度二二

七月廿五辛丑日　应西厯九月初一日

【巳八度一十分】　　　　张六度四八

八月廿五辛未日　应西厯十月初一日

【辰七度三十○分】　　　　轸一度○四

九月廿七壬寅日　应西厯十一月初一日

【卯八度二十二分】　　　　亢八度一八

十月卄七壬申日　应西厯十二月初一日

寅八度【四二】　　　　心五度一八

十一月【卄八】癸卯日　应西厯正月初一日

【丑十度二十分】　　　　斗四度二六

十二月【三十】甲戌日　应西厯二月初一日

【子十一度五十六分】　　　　女四度三○

据此则西国厯日是以建子之月为正月也其法不论太隂之晦朔只以太阳为主然又不论节气但以太阳到斗宿四度为正月一日耳

又其数与新法厯书所载不同岂彼国亦有改宪耶按西厯以午正纪日则以上宿度宜各加三十分依此推之欧罗巴之正月一日在斗宿五度

新法厯书万厯二十三年乙未西正月三十日太阳在枵卄一度于时日行盈厯逆推初一日是星纪卄一度以歳差攷之万厯乙未至今丁卯距九十二年计差一度半弱其时星纪卄一度是斗十四度二法相较差十度必是改宪抑彼有多国各一其法耶

又按今之斗四度是星纪十度逆推前此六百六十余年则正是冬至日太阳所躔之度也当此北宋之初瞻礼单必是此时所定

若厯书所载斗十四度则又在其前六百六十年距今丁卯共有一千三百二十余年当在汉时葢其时冬至日躔斗十四度故以为歳首意者厯书所载故是古法而瞻礼单所定乃是新率耶由是观之则耶苏新教之起必不大逺

又按西法以白羊宫初度为测算之端而纪月又首磨羯何耶曰测算论节气是以太阳之纬度为主纪月论恒星是以太阳之经度为主故也

地度弧角

地度求斜距法

有两处北极髙度又有两处相距之经度而求两地相距之里数

甲乙丙为赤道象弧丁为极【丁角之度为甲乙】戊

甲距四十五度甲乙十度半【即经度之距亦即丁角】巳乙距四十度求戊巳之距法作戊庚丙

象弧斜交于赤先求庚乙距以减巳乙得

庚巳边又求戊庚边求庚角成戊庚巳小三角弧算戊庚巳小三角先有一角【庚】两边【一戊庚边一已庚边】而求已戊边　法先作已辛垂弧截出戊辛边并求戊角因得巳戊边乃以度变成里此所得即大度若距赤同度则但以距赤道余求其比例得里数

一率　全　　　　　　　　二率　距赤余三率　大度里数【二百五十里】四率　纬圈里数如距赤四十五度依法算得离赤道四十五度之地每一度该一百七十六里二百八十步　如东西相距二十七度该四千七百七十二里三百五十歩弱

论曰地有距赤纬度又有东西经度经度如句纬度相减之余如股两地斜距如

既有句有股可以求而不可以句股法求者地圆故也又论曰此为一角两边而角在两边之中法当用斜弧三角法求其对角一边之度变为里即里数也或用垂线分形法并同补论曰已防或在庚上或在其下其用庚角并同　但在下则当于庚乙内减巳乙而得己庚

以里数求经度法

或先有两地相距之里数而不知经度

法先求两处北极髙度乃以两髙度之余为两边及相距里数变成度【用二百五十里大度】又为一边成弧三角形　乃以三边求角法求其对里数边之一角即经度也论曰凡地经度原以月食时取其时刻差以为东西相距然月食歳不数见又必多人两地同测始能得之况月天最近有气刻时三差及朦影之改变髙度非精于测者不易得凖　今以里数求之较有把握　得此法与月食法相参伍庶几无误　凡以里数论差当取径直若遇山林水泽峻岭回谷则以测量法求其折算之数而取直焉

不但左右不宜旋绕曲折斯谓之直即髙下若干亦须用法取平

若两地极髙同度则但以距赤道余【即极髙度正】求其比例得经度

一率　距赤度余

二率　全数

三率　里数所变之度【用二百五十里为度】

四率　相应之经度【纬圏经度也与赤道大圏相应但里数小耳】

论曰北极髙度虽有凖则然近在数十里内所争在分秒之间亦无大差今以里数凖之则当以正东西为主如自东至西之路合罗金卯酉中线斯为正度若稍偏侧亦当以斜度改平然后算之视极髙度反似的确里差攷

时宪厯各省太阳出入昼夜时刻

京师　三十【九度五十五分】夏至昼五十九刻【七分】夜三十六刻【八分】盛京　四十【二　天问度　略无】　六十刻四分　三【十五】刻十【一分】山西　三十八度　　　五十八刻【八分】　三十七刻【七分】山东　朝鲜　【三十六度】　　五十七【刻十三分】　三十八刻【二分】河南　陜西　【三十　四度竒】　五十七刻【一分】　三十八【刻十四分】江南　三十二度半　　五十六刻【六分】　三十九刻【九分】湖广　三十一度　　　五十六刻【二分】　三十九【刻十三分】四川　三　十　度　　五十【五刻】十【一分】　四十刻四分浙江　廿　九　度

江西　二十九度　　　五十五刻【七分】　四十刻八分福建　广西　【二十七度】　　五十四【刻十二分】　四十一刻【三分】贵州　二十五度　　　五十四刻【四分】　四十一【刻十一分】云南　二十四度　　　五十四刻　　四十二刻广东　二十三度半　　五十三【刻十一分】　四十二刻【四分】此据壬申年厯日数也其刻数与天问略同者京师江南湖广浙江江西云南广东也刻分同则极髙确矣

山西天问略长五十八刻六分今八分是所差不多或字画误也其极髙三十八度应亦无讹

山东天问略长五十八刻四分今只五十七刻十三分是极髙原测三十七度后改测三十六度也

时宪厯各省节气时刻

以京师为主　在东者加　在西者减　毎加减四分为经度一度

朝鲜　　　　　　　　加二刻十分

盛京　　　　　　　　加二刻

浙江　　福建　　　　加十二分

江南　　　　　　　　加八分

山东　　　　　　　　加五分

以上地在京师之东皆加

江西　　　　　　　减十分

河南　　湖广　　　减一刻

广东　　山西　　　减一刻五分

广西　　陜西　　　减二刻四分

贵州　　　　　　　减二刻八分

四川　　　　　　　减三刻七分

云南　　　　　　　减四刻八分

以上地皆在京师之西皆减

天象同时并见而在东者早见日故其刻分加在西者迟见日故其刻分减假如京师正午时太阳在午线而居东者已见其过午矣故加居西者方见其将午到而犹未正午也故减

陜西天问略长五十七刻十三分今只五十七刻一分是极高原测三十六度后改测三十四度奇也河南天问略长五十七刻七分今只五十七刻一分是极高原测三十五度后改测三十四奇也

褔建天问略长五十四刻八分今有五十四刻十二分是极高原测二十六度后改测二十七度也广西天问略长五十四刻四分今亦五十四刻十二分是极髙原测二十五度后改测二十七度也贵州天问略长五十四刻今有五十四刻四分是极髙原测二十四度半后改测二十五度也

天问略四川极髙二十九度半江西二十九度

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷十二>

南北纬度以北极髙下定　东西经度以月食时刻定地在东一度则见食早其差为十五分刻之四节朔同地在北则昼夜差多南则渐平

仰规覆矩　以里差赤纬为用

一查地平经度为日出入方位

一查赤道经度为日出入时刻

约法

求每日出入地平广度【春分至秋分在正卯酉北秋分至春分在正卯酉南】一率　大员半径

二率　极髙度割线

三率　赤道纬度正

四率　日出入卯酉正【地平经度】

求每日昼刻长短【春分至秋分加秋分至春分减】皆加减半昼二十四刻为半昼刻

一率　大员半径

二率　极髙度切线

三率　赤道纬度切线

四率　日出入加减度正【赤道经度】　以变时刻为加减之用

求二至日出地广度图【广者地平经度距正卯酉也即日出入方位举二至为例余日皆以赤纬定之】

已丙极髙度　即甲角之

弧【亦即乙甲丁之余弧】　乙丁为夏

至日距赤道之纬　即壬

辛【其正弧辰乙即卯甲】　今求乙甲

为夏至日出地平之广【冬至

同广但夏至在卯酉北冬至在正卯酉南逐日赤纬

皆可以此法求之得逐日出地之广】用甲乙

丁弧三角形　法为丙戊正与丙甲半径若乙丁之正乙辰与乙甲也【乙甲即正　丙戊正即北极髙度之余庚甲也以丙甲戊角即巳甲丙之余角】　或用乙甲卯句股形　则为庚甲余【巳甲丙角之余】与巳甲半径若壬辛之正卯甲与乙甲也末皆以乙甲查正表得弧为出地之广【壬辛之正壬未与乙辰卯甲同大即知乙丁与壬辛亦同大而卯甲之弧亦与壬辛同大而今以直视竟成正】

捷法　以比例尺取丙甲半径于正线之九十度定尺乃以乙甲正取对度得弧命为出地之广

法曰半径与北极出地之割线若赤道纬度正与地平出入经度距正卯酉之正也

此图已为南极　甲乙为冬至日出入之广　卯乙为冬至日轨所减于半昼之度　与前图同理

量法从乙作直立线【与午

甲平行】至戌得戌午弧即

乙星出入地平距正卯

酉经度【大圈即子午规侧望之形故午

甲线即正卯酉】

求时刻法　若欲知卯乙在距等圏之度法以卯为心癸若壬为界作半圏次从卯心出半径直线至干平分半员成象限末于乙出线与卯干半径平行至象限弧止为乙坎则其所分坎干之弧即卯乙在距等圏之度此度与甲丁赤道度相应可以知所歴时刻矣

或用比例尺　以癸卯【即赤纬余】为距等半径加正线九十度定尺乃以卯乙取对度得弧

又算法　求时刻加减度【谓逐日时刻所加减于半昼二十四刻之数春分后加秋分后减皆以度变时】　用前图巳甲乙斜弧三角形　有甲角【极出地度】有巳甲边九十度　有巳乙边赤纬之余【按用斜弧法厯书未有】　求巳角【其弧甲丁】赤道经度用查时刻

法为半径丙甲与甲角之切线酉丙

若已乙之余切亥丁【乙丁为巳乙之余故也实即

赤纬之正切也】与已角之正甲丁【甲丁即弧即正

以直视故弧线变为直线用法以甲丁查正表得角度】

右即夏至卯酉前后日行地平上之赤道度以距等圏上之卯乙即赤道上之甲丁以甲丁度化时即得本地卯正前酉正后所多之刻冬至日卯后酉前所减之度及其时刻并同【逐日求之可列表】

求乙甲边【地平经度查日出方位】此为求出地平之广与前算法并同但用斜弧形故其名顿易　法为半径丙甲与极出地甲角之割线酉甲若已乙之余乙辰与乙甲边【乙甲亦即边即正】　末以乙甲边查正表得乙甲边之度

厯算全书卷十二

自序

授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段各以段日除其叚之积度得数乃相减为一差一差乂相减为二差则其数齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为毎日之定差矣若其布立成法则直以立差六者因之以为毎日平立合差之差此两法者若不相而其术巧防从未有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而试为思之其中原委亦自晓然爰命孙【瑴成】衍为垜积之图得书一卷

钦定四库全书

厯算全书卷十三

宣城梅文鼎撰

授时平立定三差详説

太阳行天有盈有缩立成以八十八日九十一刻就整为限者【据盈厯言之】此由测验而得之也葢自定气冬至至定气春分太阳行天一象限【依古法以九十一度三一竒为象限】该歴九十一日三十一刻有竒而今则不然毎于冬至后八十八日九十一刻而太阳已到春分宿度故盈厯以此为限也

夫八十八日九十一刻而行天一象限则于平行之外多行二度四十分竒也是为盈厯之大积差若缩厯即其不及之数必行至九十三日竒而后满一象限也故缩厯之限多于盈厯日数其积差极数亦与盈厯同但此盈缩之差絶非平派或自多而渐少或由少而渐多何以能得其毎日参差之数郭太史立为平立定三差法以齐其不齐可得毎日细差及积差其理则出于垜积招差之法也

定差者何曰所测盈缩初日最大之差也凡盈缩末日即同平行其盈缩之最多必在初日今欲求逐日之差必先求初日最大之差以为之凖则故曰定差也既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆以渐而少法当用减故又有平差立差皆减法也然何以谓之平差曰平者平方也其差之増有类平方故以名之也差何以能若平方曰初日以后其盈缩渐减以至于平以常法论之数宜平派即用差分法足矣而合之测验所得则又非平派也其近初日也所减甚少其近末日也所减骤多假如一日减平差一则二日宜减二而今则二日之平差増为四又初日平差一二日平差四则三日宜为七四日宜为十而今则三日之平差増为九四日増为十六故非平方垜积之加法不足以列其衰序也

然则又何以为立差曰立者立方也差何以又若立方曰以平差合之测验犹为未足故复设此以益之假如初日减平差一又带减立差一至二日则平差四而所带之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也乃二十七也葢必如此而后与所测之盈缩相应其分为六段何也曰此求差之法也一二日间虽各有盈缩之差然差少则难辨积至半次其差始多而可见矣故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气分四象限各有六气故其分亦以六也

既匀分六段矣又以后段连前段何也曰此所谓招差也虽匀分六段其差积仍难细分故惟于初段用本数以其盈缩多而易见也【如盈厯初段积盈七千分是最多而易见也】若末段必带前段以其盈缩少而难真也【如盈厯末段积差与第五段相减则其本段中只共盈七百四十九分数少难分故连前段论之】借彼易见之差以显难真之数此立法之意也【以太阳盈差为例他仿此】