子藏 · 算法

历算全书

70 万字 · 约 33 小时 32 分钟 · 55 / 90

会员可开白话

各线并从心起数惟立方线初防最大割线亦然又五金线之用近尺末故俱不到心以便他线之书字然其实并从心起算用者详之【尺心即尺端也两尺端聫于枢心成一防故从兹起算】

钦定四库全书

厯算全书卷三十九

宣城梅文鼎撰

目録

第一平分线

第二平方线【原名分面】

第三更面线【原名变面】

第四立方线【原名分体】

第五更体线【原名变体】

第六割圆线

第七正线【旧名节气】

第八切线【旧名时刻】

第九割线【旧名表心】

第十五金线【附三线比例】

以上十线并如旧式惟平方立方改从古名取其易晓又正改附割圆切线分为时刻取其便用割线去表心之目以正其名免悮用也説见各条之下

又按罗序言此器百种技艺无不赖之功倍用防为造玛得玛第嘉之津梁然则彼中借此制器如工师之用矩尺则日晷等制并其恒业乃书中图説反有参错非故为靳秘也良由仿造者众未必深知法意爰致承讹抑或译书时语言不能尽解而强以意通遂多笔误耳今于其似是而非之处彻底厘清以合测量正理起立法之人于九京必当莫逆

比例尺式【即度数尺也原名比例规以两尺可开可合有似作圆之器故亦可云规】

用薄铜板或厚纸或坚木【黄杨木等】作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股两面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半规余地以固枢也用时张翕防移

比例尺又式

前式两股相叠此式两股相并股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令宻无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两尺横直相得成一方角可作矩尺

规式【此本为画圆之器尺算赖之以取底数葢相湏为用者也】

用铜或鐡亦如尺作两股但尺式扁方此可圆也首为枢可张可翕末鋭以便于尺上取数也当其半腰缀一铜条横贯之势曲而长如割圆象限之弧与枢相应得数后用螺钉固之

凡算例假如有言取某数为底线者并以规之两鋭于平分线上量而得之其用底线为得数者并以规取两尺上线相等之距于平分线上量而命之故规之两鋭可当横尺数度衍以横尺比量反不如用规之便利而得数且真也

第一平分线

此线为诸线之根取数贵多尺大可作一千然过宻又恐其不清也故以二百为率

分法　如设一直线欲作百分先平分之为二又平分之为四又于每一分内各五分之则已成二十分矣于是用更分法取元分四改为五分【如甲乙丙有丙戊丁三防是元分之四也今复匀作五分加己庚辛壬四防】则元分与次分之较【如壬丙及巳戊】皆元分五之一亦即设线百分之一分凖此为度而周布之即百分以成

解曰元分为设线百分为二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一则甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度参差作防互相攷订即成百分匀度矣【每数至十至百皆作字记之】　或取元分六复五分之亦同何则元分一内函五分则元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也

用法一　凡设一直线任欲作几分假如四分即以规量设线为度而数两尺之各一百以为乃张尺以就度令设线度为两之底置尺【置尺者置不复动故亦可云定尺下仿此】数两尺之各二十五以为敛规取二十五两防间之底以为度即所求分数【即四分中一分也以此为度而分其线即成四分】　若求极微分如一百之一如上以一百为设线为底置尺次以九十九为取底比设线其较为百之一　若欲设线内取零数如七之三即以七十为设线为底置尺次以三十为敛规取底即设线七之三

谨按尺筭上两等边三角形分之即两句股也两句聫为一线而在下直谓之底宜也若两尺上数原系斜改而称腰于义无取今直正其名曰

用法二　凡有线求几倍之以十为设线为底置尺如求七倍以七十为取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之

用法三　有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其两等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】

用法四　有两数求相乗假如以七乗十三先以十防为取十三防为底置尺次检七十之等取其底得九十一为所求乗数【若以十为七为底置尺而检一百三十防之底得数亦同】

【论曰乗法与倍法相通故以七乗十三是以十三之数七倍之是七个十三也以十三乗七是以七数十三倍之是十三个七也故得数并同】

用法五　有两数求相除假如有数九十一七人分之即以本线七十为取九十一为底置尺次检十防之取底必得十三为所求

又法以九十一为用规取七十为底置尺敛规取一十为底进退求其等亦得十三如所求

【论曰筭家最重法实今当以七人为法所分九十一数为实乃前法以法数七为实数九十一为底又法反之而所得并同何也曰异乗同除以先有之两率为比例筭今有之两率虽曰三率实四率也徴之于尺则大与大底小与小底两两相比明明四率较若列睂故先有之两率当则今所求者在底是以之比例例底也若先有之率当底则今所求者在是以底之例例也但四率中原缺一率比而得之固不必先审法实殊为简易矣】

【然则乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之谓之得数乗则先缺者必大数也故得亦大数除则先缺者必小数也故得亦小数所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦诸家所未发也】

假如有银九十六两四人分之法以人数取四十分为底置银数九十六两为定尺敛规取一十分为底进退求其等得二十四两为每人得数

又法取银数九十六两为底置一百分为定尺敛规于二十五分等取其底亦得二十四两为每人数

又如有数一百二十三欲折取三分之一法以规取三十分为底置一百二十三等数为两定尺敛规取一十数为底进退求其等数为必得四十一命为三分之一如所求

用法六　凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十防为两定尺取两五十防之底【即五倍】得六十进一位命所得为六百【以一十二当一百二十是一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法】

又法以规取一十数为底于尺之一十二防为两【一十二以当一百二十是一当十也或二十四亦可为一当五】定尺展规取五十数【以当五倍】为底进退求其等数之必得六十进位成六百

假如有银十三两每两换钱一千二百文法退二位以规取十二分【当一千二百以尺上一数当一百】为底置一十防【即每两之位】为定尺然后寻一百三十防【即十三两之位】为展规取其底得一百五十六分进二位命之得共钱一十五千六百

又如有银四两每两换钱九百六十文法作两次乗先乗六十取六数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得二十四次乗九百取九数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得三十六进一位并之得三八四末増一○为进位得三千八百四十文

【二四三六】　　因每两是九百六十故末位増○

【三八四○千百十文】

假如有数一百二十欲折取三分之一法以规取六十【折半法也】为底置九十分为定尺然后寻两之三十分防【即三之一】取其底于本线比之必二十命所得为四十【加倍法也先折半故得数加倍】凡所用数在一十防以内近心难用则进位取之如前条所设宜用六数九数为底其防近心取数难清即进位作六十取数用之是进一位也但先进一位者得数后即退一位命其数此可于前假如中详之【用尺时有退位得数后进位命其数用尺时有进位得数后退位命其数其理相通故不另立假如】或先进二位者得数亦退二位或先加倍者得数折半并同一法

用法七　　　　　　凡四率法有中两率同数者谓

之连比例假如有大数【三十六】小

数【二十四】再求一小数与此两数

为连比例法以大数为【如辛甲】小数为底【如辛巳】定尺再以辛巳

底为【如甲丁】而取其底【如丁戊】其

数必【十六】则三十六与念四之比

例若念四与十六也【其比例为三分损一】若先有小数【十六】大数【二十四】而求连比例之大数则以小数为底【如丁戊】大数为【如丁甲】定尺再以丁甲为底【如辛巳】取其【如辛甲】其数必三十六则十六与念四若念四与三十六也【其比例为三分増一】他皆仿此【原书有断比例法今按断比例即古法之异乗同除西法谓之三率前各条中用尺取数皆异乗同除之法故不更立例】

用法八　　　　　　　凡句股形有句有股有共

三件先有两件而求其不知

之一件法以尺作正角取之

假如有句【八尺】股【十五尺】欲知其

法以规量取八十防为底

一端指尺上之六十四防一

端指又一尺之四十八防以

定尺则尺成正角乃于尺上

取八十防为句又于一尺上

取一百五十防为股张规以就所识句股之两防必一百七十退一位得十七尺如所求【取句股数时原进一位故所得数退一位命之説见前】

若先有【十七尺】股【十五尺】求其句则以规取一百七十防为句股之乃以规端指一百五十防以余一端又于一尺上寻所指之防必八十也如上退位得句八尺或先有【十七尺】句【八尺】求其股亦以规取【一百七十】而一端指【八十】寻又一端之所指必得【一百五十】命【一十五尺】为股如所求

凡杂三角形内无正角不可以句股

算法先作角假如先有一角及角

旁之两边求余一边法于平分线

【任用一笾如甲乙】取数为底分圆线【六十】度为

两定尺以规取所设角之底【为平分线上任用甲乙边等度之底】定尺则尺间角如所设【如乙角】乃于两尺上依所设取角旁两边之数于两尺各作识【如甲乙丙乙】遂用规取斜距之底【如甲丙】即得余一边如所求

又法　假如乙甲丙三角

形有甲角【五十三度○七分】甲乙

边【五十六尺】甲丙边【七十五尺】而求

乙丙边法以规取一百分

为分圆线上六十度之底敛规取五十三度强之底移于平分线上作百分之底定尺乃于尺上取五十六防【如甲乙】又一尺上取七十五防【如甲丙】乃以规取两防斜距之底于尺上较之即得六十一尺【如乙丙】命为所求邉【分圆线见后】

用法十　有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十防之底定尺展规取五十防之底必得六十命为六尺如所求

用法十一　平圆形周径相求法于平分线上作两识以一百八十八半弱上为周六十为径各书其号假如有径【七十一】求周法以规取七十一加于径防为底定尺展规取周防之底即得周二百二十三如所求【以周求径反此用之】

用法十二　求理分中末线法于线上定三防于九十

六定全分五十九又三之一

为大分三十六又三之二为

小分假如有一直线【一百四十四】欲分中末线即以设线加于

全分防为底取其大小分防之底即得【八十九强】为大分【五十五弱】为小分

【按平线上既作周径之号若又作此则太繁不如另作一线其上可寄五金线也　又按原书全分七十二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有讹错今改定】

以上十二用法姑举其概其实平分线之用不止于是善用者自知之耳

第二平方线【旧名分面线凡平方形有积有邉积谓之幂亦谓之面边线亦谓之根即开平方法也】

原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一防为底求十六防之底则得方根八十或置于二防为底则求三十二防之底或置于三防为底则求四十八防之底皆同

分法有二　以算一以量

以算分

算法者自枢心【甲】任定一度命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同【按用方根表甚简易】

以量分

以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍

积之根即于横

线上截丁乙为

甲乙之倍次平

分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又防法　如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一防而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙

尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作

斜以加于甲乙尺上为三百之根甲

戊又自戊至丙作以加于甲乙尺上

为四百之根甲已如此递加即得各方

之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】

试法　甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也　凡言倍其度者线上度也如正方四百分之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书】

用法一　有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百

二十五尺欲求其根以约分法求得

二十五为设数四十九之一即以规

于平分线取五防为平方线上一防

之底定尺展规于四十九防取其底

即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】　或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底而取平方二十五防之底亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一防之底定尺有假如在用法七】

用法二　凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形但形相似即为同类】假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为

底二防为定尺【若用第二形之边为底定尺即用三防为】而于十六防又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等

若但有同类之形而不知面积亦

不知边数则先求其积之比例如

甲乙丙丁方形四法以小形甲之

边为底平方线第一防为定尺

次以乙形边为底进退求等数得

第二防外又五分之一即命其积

为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次

丙形边为底求得【二又四之三】丁形边

得【四又六之五】并诸数及甲形一得【十又

六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上

寻十防外十一防内之距取其五

之四为等数之两【即十一弱】用其底

为大方形边其面积与四形并数

等

【此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上】

用法三　平面形求作一同类之他形大于设形几倍

【以设形之邉为一防之底定尺】　假如有正方形面

积四百其邉二十今求别作一方形

其容积大九倍法以设形邉【二十】为平

方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍】

用法四　平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】　假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法

用法五　有两数求中比例【即三率连比例之第二率】

假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八防之底而取二防之底得四如所求

二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率

用法六　有长方形求作正方形　假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等

直八尺横二尺　其积一十六尺

方形各边并四尺其积亦十六尺

用法七　有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例

假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一防之底而取二十五防半之底得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱】

第三更面线

【凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求】

分法

置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号

用法一　有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边

假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根【依前卷用法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平方一防之底定尺而于其二十七防十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求

用法二　有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积

假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方下同】书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半【其法以甲

邉为平方十防之底定尺而以乙所变方边进退求等度之命之】即

于乙形作方底线书之次以丙圆径

为平圆号之底如前求得十六弱并

三数得四十七半弱为总积【此因三形之邉

无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其

所变方邉定尺则所得皆真数如上

三形但知丙形之积十六【或十六尺或十六寸】

【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也

末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形并同一法】

用法三　有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底