历算全书

一千假如立方一尺其积必千寸】纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同

防法　取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图

【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意】

又防法用立方表

以量分　如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之则二若求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加　三加者即四率连比例也】

几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第二率也】

假如有立方体积又有加倍之积

法以两积变为线【元积如辛庚倍积如辛巳】作

壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚

两各引长之以形心【戊】为心作圈

分截引长线于子于午作子午直

线切辛角【如不切辛角必渐试之令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积

若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】

解四率连比例之理

试于辛防作卯辛为子午之垂线次

用子壬度从午作卯午直线截卯辛

线于卯又从卯作直线至子又从辛

防引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成

各句股形皆相似而比例等

【卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例

等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股

则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也　卯辛子句股形从辛正角

作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等　卯辰辛形卯辰为句辰

辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子

亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例】

一率　辛庚　即午丑

二率　午庚　即丑辛　亦即辰卯

三率　子巳　即辛辰　亦即丑卯

四率　己辛　即辰子

试法　元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉

又取二倍邉倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八倍体积之邉【六十四其二也】

三加比例表【平方立方同理即连比例】

第一率　　第二率　　第三率　　第四率

按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也【比例规觧乃云本线上量体任用其邉其根其面其对角线其轴皆可其説殊不可晓今删去】

用法一　有立积求其根【即开立方】

假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一防之底定尺而取四十防之底得三十四强即立方之根【説见平方】

用法二　有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率用作本线一防之底而取大数之底为二率既有二率可求三率

假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一防之底定尺而于八防取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率

一率三　二率六　三率十二　四率二十四

用法三　设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】

假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一防之底定尺而取八防之底得四十即大体邉如所求

用法四　有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得

假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一防之底定尺而取四十一防之底为总体邉如所求　若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之

用法五　有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一防之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八防取底为较形之邉

用法六　有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八防之底定尺而于五防取底为邉作立方体即其容为设体八之五

第五更体线【旧名变体线】

体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体

六等面体各面皆正方即立方也有

十二棱八角测量全义曰设边一百

求其容为一○○○○○○

浑圆体亦曰球体即立圆也几何补

编曰同径之立方积与立圆积若六

○○○○○○与三一四一五九二

设径一百求其容为五二三五九八

此三角平面形相合而成有六棱四

角测量全义曰设边一百求其容为

一一七四七二半

此体各面亦皆三等边形有十二棱

六角测量全义曰设边一百求其容

为四七一四二五有竒

此体各面皆五等边有三十棱二十

角测量全义曰设边一百求其容为

七六八六三八九

此体各面亦皆三等边有三十棱十

二角按几何补编二十等面体设边

一百其积二百一十八万一八二八

测量全义作边一百容五二三八○

九相差四倍故今不用

分法

置公积百万依算法开各类之根则立方六等面体之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五○半强二十等面体之根为七七圆球之径为一二四【原本十二等面根五○二十等面根七六圆径一二六今并依几何补编改定】　因诸体中独四等面体之根最大故本线用二○四平分之从心数各类之根至本数加字

用法一　有各类之立体以积求根【即开各类有法体之方】法皆以设积于立方线求其根乃移置更体线求本号之根即得

假如有十二等面体其积八千问邉若干法以一千之根十为立方一防之底定尺而取八防之底得二十为所变立方之根次以二十为本线上立方号之底而取十二等面号之底得一十○强即十二等面之一邉【他仿此】

用法二　有各类之立体以根求积　法先以所设根变为正方根乃于立方线求其积

假如有二十等面体其邉三十一弱问积法以根三十一弱为本线二十等面号之底定尺而取立方号之底得四十弱为所变立方之邉次于立方线以一十为一防之底而以四十进退求等数得【十六】防命其积【一万六千】如所求【邉一十其积一千则邉四十积一万六千】

用法三　有不同类之体欲相并为一【此以体相加之法并变为正方体积即可相并】

假如有三立体甲浑圆体【径一百二十四】乙二十等面体【邉七十七】丙十二等面体【邉五十○半】欲相并用前条法各以积变为立方积则三体之积皆一百万并之得三百万如所求

用法四　有不同类之两体求其比例与其较【此以体相减之法】法各变为立方体即可相较以得其比例并同更面线法

第六分圆线【即各弧度之通也旧名分线亦曰分圈】

分法有二一以量一以算

以量分　法作半方形如甲乙丙令甲丙斜与本线

等长以乙方角为心甲为界作象限

弧如甲丁丙乃匀分之为九十度各

识之次从甲防作直线至各度移入

尺上识其号　若尺小可作六十度

即本线之长为六十度号　若尺大可作一百八十度即本线之半为六十度号

以算分　法用正表倍之为倍度之通　假如求六十度通即以三十度之正【五○○○○】倍之得【一○○○○○】即六十度之通他皆若是

试法十八为半周十之一【即全圈二十之一也】三十六为半周五之一【即全圈十之一】四十五为半周四之一【即全圈八之】七十二为半周五之二【即全圈五之一】九十为半周之半【即全圈四之一谓之象限】百二十度为半周三之二【即全圈三之一】

用法一　有圆径求若干度之弧以半径当六十度取之

假如有甲乙丙全圈有甲丙径求五十度之弧即以甲丙径半之于丁以甲丁半径为本线六十度之底定尺而取五十

度之底如甲乙直线以切圆分即得甲戊乙弧为五十度如所求

用法二　若以弧问径则反之

如先有弧分如甲戊乙为五十度而问全径法从弧两端聫之作直线如【甲乙】用为本线五十度之底定尺而取六十度之底为半径【甲丁】倍之得全径【甲丙】

用法三　直线三角形求量角度

法以角为心任用规截角旁两线作通如法得角度

假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲为心作虚圈截甲丙线于丁截甲乙线于戊次作丁戊直线次即用甲丁原度以乙为心如法截甲乙于辛截丙乙于庚

作辛庚直线末以甲丁为六十度之底定尺乃用丁戊为底进退求其等度之号得甲角之度用辛庚为底亦得乙角之度合两角减半周得丙角度

如甲角六十五乙角四十则丙角必七十五

用法四　平面等邉形求其径

假如有五等邉平面形欲求径作图【即对角辏心直线】法以设邉为分圆线七十二度之底而取其六十度之底为半径以作平圆末以原设边为度分其周为五平分即成五等面如所求【他等邉形并同】

五等邉形有一邉如丙乙如法求

得乙甲半径以甲为心乙为界作

平圆而以丙乙邉度分其圆得丁

戊己等防作线聫之即成五等邉形而所作圆即外切之圆

第七正线【旧名节气线以其造平仪时有分节气之用也然正在三角法中为用甚多不止一事不如直言正以免挂漏】

正线不平分亦近枢心大而渐小与分圆同

分法　全尺为一百平分尺大可作一千于正表取数从枢心至各度分之每十度加号

简法　第一平分线可当此线其线两傍一书平分号一书正号

又法　分圆线可当此线以分圆线两度当正一度纪其号

假如分圆六十度齘即纪正三十但分圆之号直书则正横书以别之

解曰凡正皆倍度分圆之半故其比例等然则分圆之一度即正之半度而半度亦可取用为尤便也

如图甲乙为通甲丙乙丙皆正

用法一　有设弧求其正法以九十度当半径假如有七十五度之弧求正即以本圈半径为正线九十度之底定尺而取七十五之底为正如所求

用法二　有弧度之正数求径数则以前条反用之假如有七十五度之正数即用为本线七十五度之底定尺而取其九十度之底得半径数

用法三　句股形有角度有求句求股法以当半径正当句与股

假如句股形之二丈有对句之角

三十度即取平分线之二十当数

为正线九十度之底而取三十度

之底得一十即其句一丈

又于其角之余【即六十度正】取底得【一十七又三之二弱】即其股为【一丈七尺三寸二分】

若以句求则反之如句一丈其句与所作之角为六十度其余角三十度即取一十数为三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其二丈

用法四　三角形以邉求角　假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉数为丙角正之底定尺而以甲丙

邉为底进退求其等度取正线上号为乙角度如所求

用法五　三角形以角求邉

假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉为戊角正之底定尺而取己角正之底得数即为庚戊邉如所求　余详三角法举要

用法六　作平仪求太阳二至日离赤道纬度

如图以十字分大圆直者为两

极横者为赤道横直交于圆心

即地心也赤道即春秋分日行

之道也地心至两极半径为正

线九十度之底定尺取二十

三度半之底于地心上下各作防于直线于此防作横线与赤道平行为二至日道近北极者夏至近南极者冬至也

又求作各节气日道

法先求黄道线

法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半径为九十度之底定尺每十五度正取底移至黄道半径上【并从地心起度】

于地心上下各识之即各节气日躔黄道上度也【或三十度取底则所得皆中气】

乃自黄道上各防作直线并与赤道平行即各节气日行之道此与分至日道皆东升西没一日一周者

也其各线两端

抵大圆处即各

节气赤道纬度

也春分以后在

赤道北秋分以

后在赤道南

试法于二至日道两端作横线聫之【如甲乙】次以此横线之半为度【如丙乙】过赤道处【如丙】为心作半圈于大圆之上【如乙戊甲半圆】亦如法作半圈于下两半圈各匀分十二分作识【若但求中气可分六分】上下相向作直线聫之即必与先所作日行道合为一线　又以甲丙为正九十度之底定尺而于其各正取底亦即与原定日道纬度线合【如丙辛三十度之正也与赤道旁第一纬线合丙丁六十度之正也与第二纬线合左右上下考之并同】

用法七　定时刻【仍用平仪】

法以平仪上赤道半径为正线九十度之底定尺而于各时刻距卯酉之度取其正于赤道作识【过两极轴线处即夘正酉正也距此而上三十度午前为辰正午后为申正距此而下三十度子前为戌正子后为寅正距此而上六十度午前为巳正午后为未正距此而下六十度子前为亥正子后为丑正至圆周处上为午正下为子正】即春秋分之时刻也欲作各时初正及刻凖此求之并以正为用【每时分初正各加距十五度初正又各分四刻每刻加距三度又四分之三并取正如前法】又以二至日道之半径为正

九十度之底定尺如

法取各正作识即二

至之时刻也　末以分

至线上时刻作弧线聫

之即得各节气之时刻

凖此论之平仪作时刻亦用正比例规觧以正名节气线切线名时刻线区而别之非是

第八切线【旧名时刻线今按平仪时刻原用正惟以日景取髙度定时刻斯用切线耳又如浑盖通宪等法亦皆切线其用甚多故不如直名切线】

切线不平分先小渐大至九十度竟平行无界故只用八十度或只作六十度亦可

分法　简切线本表八十度之切线五六七即于尺上作五六七平分次简各度数分之逢十加识

用法一　三角形求角

假如乙甲丁三角形求乙角任截角

旁线于丙得乙丙十寸自丙作垂线

戊丙量得七寸次用十数为切线四十五度之底定尺而以戊丙七数为底进退求等度得三十五度为乙角

用法二　求太阳地平上髙度【用直表】

法曰凡地平上直立之物皆可当表以表高数为切线四十五度之底定尺而取表影数为底进退求等度得日髙度之余切线

假如表髙一丈影长一丈五尺法以丈尺变为数用一十数当表髙为切线四十五度之底定尺次以一十五数当影长为底进退求等度得五十六度十九分为日髙之余度以减九十度得日髙三十三度四十一分

癸丙地平上日高度与壬辛

等其余度癸丁为日距天顶

与戊辛等甲戊为表长其影

戊已乃日距天顶之切线在

日高癸丙为余切线也

用法三　求太阳髙度用横表

植横木于墙以候日影即得倒影为正切线之度假如横表长一尺倒影在墙壁者长一尺五寸法用十数当横表为四十五度之底定尺次以十五数当影长进退求等度得五十六度十九分即命为日高之度

凡亭台之内日影可到者量其檐际之深可当横表

卯寅墙　子甲为横表

太阳光从丁过表端甲射丑成子丑倒影丁丙为

日在地平上髙度与午子度等故以子丑倒影为日髙度之正切线也

按直表之影低度则影长髙度则渐短日度益髙则影极短故以余切线当直影【前图是也】横表之影低度则影短髙度则渐长日度益髙则影极长故以正切线当倒影【后图是也】比例规觧乃俱倒説今正之

用法四　求北极出地度分　假如江宁府立夏后九

日午正立表一丈测得影长为

二尺四寸法以一百数当表髙

为切线四十五度之底定尺而

以二十四数为底进退求等数

得一十三度半如法以减九十度得七十六度半为日出地平上髙度简黄赤距度表是日太阳北纬一十九度以减日髙度得赤道髙五十七度半转减九十度得北极髙三十二度半防法以直表所得一十三度半加太阳北纬十九度即得三十二度半为北极髙度

解曰直表所得太阳距天顶度也加北纬即赤道距天顶度亦即北极出地度

又如顺天府立春后四日如法

用横表三尺得倒影二尺一寸

依切线法求得日髙三十五度

简表得本日太阳南纬一十五

度以加日髙度得赤道髙五十

度以减九十度得北极髙四十度

第九割线【旧名表心线今按割线非表心又割线之用甚多非只作日晷一事故直名割线为是】

割线不平分先小后大并与切线略同故亦只作八十度或只作六十度亦可

分法　用割线本表八十度之割线五七五平分之其初防与切线四十五度等次依表作度加识

用法一　三角形以割线求角

假如有甲乙丙三角形求甲角法任

于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂

线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十

九寸次以十数为割线初防之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度

用法二　作平面日晷【兼用割切二线】

法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲防起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分【如七度半加之成十五度即第二时又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八

八十二度半合线末元定之防】若逓加三

度四十五分而取底作识

即每时四刻全矣【按每七度半加

防乃二刻也今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰横线上定时刻

讫次取甲交防左右各十

二刻之度【即元定四十五度之切线亦即】

【半径全数】为割线上北极髙度之底定尺而取割线初防之底为表长【如壬庚】　次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极髙度之正切取底自甲防向

南截之如甲壬以壬为表位

又于北极髙度之余切线取底

自表位壬向南截之如壬辛以

辛为晷心　末自晷心辛向横

线上原定时刻作斜直线引长

之得时刻　时刻在子午线西

者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正

对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影若已末午初则庚防之影不射甲而射乙而庚甲影如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之防并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径则必与四十五度之切线同长】

以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道髙度随各方北极之髙而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极髙度之割线而取其初防为表长初防者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极髙度则庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北极度髙则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道髙甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲防失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之

庚壬表上指天顶下指地心为半径

壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬

为余切线甲角即赤道髙度壬庚甲

角即北极髙度与辛角等

用法三　先有表求作日晷【借用前图可解】

法先作子午直线任于线中定一防为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极髙余度之底得壬辛余切线于表位南作防【如辛】即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲防左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识防即得午前后时刻并如前法

用法四　有立面向正南作日晷并同平面法但以北极髙度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符