历算全书

诸算术而后能言方程犹之必深知诸量法而后能治句股故以是终

诸方田少广凡属量法者往往有可以句股立算而诸法不能治句股方程之于粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法

例如后

假如有粮一万九千石与甲乙丙三县各以其人戸多少米价贵贱僦值逺近舟车险易而均输之　甲县戸三万米价毎石一两四钱逺输二百里用车载二十石行一里僦值一钱三分　乙县戸二万米价一两二钱逺输五百里用舟载二十五石行一里僦值三分　丙县戸一万米价一两二钱逺输二百里道险可用负担每负六斗行五十里顾值一钱八分

法曰各以其县米价并僦值之数命其户以方程较数列之　以甲县车载二十石除其僦值一钱三分得六厘五毫【每载一石行一里数也】以乗二百里得一两三钱并米价一两四钱共二两七钱　以乙县舟运二十五石除其僦值三分得一厘二毫以乗五百里得六钱倂米价一两二钱共一两八钱

以丙县负担六斗除其顾值一钱八分以乗一石得三钱又以五十里除之二百里乗之得一两二钱并米价共二两四钱

原法以各县米价并僦值之数以除其戸为衰列而并之并衰为法各衰乗总米为实法除实得各县米今用方程则不湏尔竟以二两七钱命甲县之衰为二十七戸以一两八钱命乙县之衰为一十八户以二两四钱命丙县之衰为二十四户以三县衰命为适足而列之

如三色有空法乗　余丙县异倂一百一十四戸为法　正三十四石二斗为实　法除实得丙县每戸粮三斗　以丙一戸三斗减共一石九斗余一石六斗乙县四戸除之得每戸粮四斗

以乙二戸八斗甲县三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其县之戸总得各县转

计开

甲县三万户　共粮八千石　共僦车值一万○四百两毎户粮二斗六升六合又三之二　每三户粮八斗每戸僦值三钱四分又三之二　每三户僦值一两○四分总计米价与其僦值每戸共银七钱二分

乙县二万户　共粮八十石　其僦船值四千八百两每户粮四斗　僦值二钱四分

总计米价僦值每户亦七钱二分

丙县一万户　共粮三千石　共顾担夫银三千六百两毎户粮三斗　僦值三钱六分

总计米价僦值每户亦七钱二分

以米言之

论曰此因米价不等加以僦值不同故以法均之粮虽不均而每户所出之银数则均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯谓能均

问官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其则例各若干

法以和较列位【依省算以和数十之一列之】

如法乗减　得丙戸十八为法　二十一石六斗为实　法除实得一石二斗为下等每戸则例　加正五斗为中等则　又加七斗为上等则

计开

甲上等毎戸二石四斗　二十戸共四十八石

乙中等毎戸一石七斗　五十戸共八十五石

丙下等每戸一石二斗　一百一十戸共一百三十二石合计之共二百六十五石

问有米六百七十四石以四等里甲输纳乙为甲十之八丙为乙十之七丁为丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户问各若干

解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三七四六差分故与带分条所设不同合而观之可也

法以和较列位

如法乗减而重列其余与三行对

又以余数与四行平列

数益多用省算法四除减余然后列之

如法乗减余丁六百七十四爲法　五万六千六百一十六石无减爲实　法除实得八十四石爲丁共数　十因丁数六除之爲丙共数　十因丙数七除之爲乙共数　十因乙数八除之爲甲共数

计开

甲共数二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗二升五合　乙共数二百石爲甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗　丙共数一百四十石爲乙十之七以七十戸除之得每户二石　丁共数八十四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗总计之共六百七十四石

论曰此所问是总数相差非毎户相差也故原列者总户而得亦总户之米若云问毎户之差则当以毎户列之而所得者亦毎户米也如后例

假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六

问各户则例

法以戸细数列位

依省算以首行退位十而一与次行对减而重列之又半其减余然后列之与三行对

又列减余以对末行

如法乗减异并一千二百九十二为法　一千四百一十五石四斗无减为实　法除实得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁毎戸则例【法实皆四约之】

十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为丙每户则例

十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙每户则例

十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半为甲每戸则例

计开

甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一

乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十　为甲每户十之八

八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二

丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九

为乙每户十之七

七十戸共一百二十七石八斗　○　又三百二十三之三百一十

丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八为丙每户十之六

七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六

合计共六百七十四石【凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三収之为升得此数】

问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数多于甲一百八十两原数几何

法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之【庚与甲五之二庚自存五之三】相减余五之一【是为以庚五之一较甲全分而甲多一百六十八两也】

【甲与庚廿一之九　甲自存廿一之十二】相减余二十一之三【是为以甲二十一之三较庚全分而庚多】【一百八十两也】

庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相减而余之一分与甲相较

甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之九故以相减而余之三分与庚相较

甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为甲之一分　二十一分共二百一十两　减负一百六十八两余四十二两爲庚之一分　五分亦共二百一十两

计开

【庚甲】各原银二百一十两【庚五之二计八十四两其五之三仍一百二十六两　甲二十一之九计九十两其二十一之十二仍一百二十两】

庚以八十四与甲【甲共有二百九十四庚仍余一百二十六】相较甲多一百六十八

甲以九十与庚【庚共有三百　　甲仍余一百二十】相较庚多一百八十此设问之意也

以【庚之一分四十二甲全分二百一十】相较甲亦多一百六十八

以【甲之三分计三十庚全分二百一十】相较庚亦多一百八十

此列位之理也

论曰右例以此之分益彼而转与此之余分相较与帯分条所设不同　带分条此之分较彼全分其全分即是原数　今则一损一增以相较非原数也故曰不同

及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数矣是之谓尾同而首异

相减列位亦有变为和数者如后所设

问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于甲二百六十两

法亦以所与彼之分与其余分相减列之

庚【与甲五之三自存五之二】相减余五之一【此为所用之分多于存分是变和数也庚五之一偕甲全分共二百五十二两也】

甲【与庚二十一之十三自存二十一之八】相减余二十一之五【此亦用分多存分少是变和数也　甲二十一之五偕庚全分共二百六十两也】

甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之分又多于庚之余分者一也故甲所多之数乃是甲全数偕庚之一分所共也

庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之分又多于甲之存分者五也故庚所多数亦是庚全数偕甲之五分所共也

甲一百分为法除实一千而得十两为一分　以甲五分计五十两减共二百六十两余二百一十两为庚原银　五除之得四十二两为一分　以减共二百五十二两亦得二百一十两为甲原银

庚五之三计一百二十六两以加甲银共三百三十六两　内减去庚自存五之二计八十四两　仍多二百五十二两　即是甲全数偕庚一分之数也

甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四十两　内减去甲自存二十一之八计八十两　仍多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也

论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和数同然以相减而得之亦是尾同首异　带分条和数较数据问而分　今则设问只是较数相减列位乃有和较之分

依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与所存分相减而得之　列位时巳变不待其重列减余也故又与寻常较变和者异

总论曰此二条者皆一损一益例也

问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十三两其原重若干

法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之较　银得较而增重故与金同名

银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半　加正六两五钱得金每锭三十五两七钱半

计开

金每锭三十五两七钱五分　金九锭【得三百二十一两七钱五分】银每锭二十九两二钱五分　银十一锭【亦得三百二十一两七钱五分】金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二钱半

银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两二钱半

共多一十三两　若交易二锭而差二十六两则以二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较余可类推【或半相差二十六两为一十三两命为金二锭银二锭之较尤为平穏】

论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也

凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所差者其半也

问甲有硃砂银七锭壬有鑛银九锭相较甲原多十五两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两

法以原多十五两今多二十七两相减余十二两半之得六两为甲二锭壬三锭之较【甲得较而增重故与壬同名】

壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两　以九锭乗得二百一十六两加正一十五两共二百三十一两甲七锭除之得每锭三十三两

计开

甲以二锭与壬余五锭一百六十五两加易得壬三锭七十二两共二百三十七两

壬以三锭与甲余六锭一百四十四两加易得甲二锭六十六两共二百一十两

相较甲多二十七两

此问意也

问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相交易壬多三两

法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九两为一锭之较【壬得之而变轻为重故与甲同名】

壬二锭除四十八两得每锭二十四两　加九两得甲每锭三十三两

计开

甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两相较壬多三两　此交易一定之数　余同前问

论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半之为较故三法一法也

又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作问明之

问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两湏令辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛存数四之三则其数适均

法以庚自存三分今添二分共五　以辛自存四分今添三分共七通为两家适足数之分

又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较【辛失之而减重故与辛同名】

解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分则适足也

辛一分得二十两　七分共一百四十两　五除之得庚之一分二十八两

计开

其相易【庚二分五十六两辛三分六十两】较之辛多四两即相易几锭之理

总论曰此皆两相交易也又与庚甲损一益一者不同凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转以甲之既增者与庚之余数相较也　损庚益甲以相较是明有增损

今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然后以既损且增之庚与亦增之辛相较也

两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而增损隠寓于其中　以上四条皆同此论

问两数不知总但云取甲之九加乙则乙与甲等若取乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干

畣曰甲六十三　乙四十五

解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有増数而所取者

无损数如云以此之全数偕彼之几分而共得几何乃和数也今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数较今所列者是取彼几数加此而转与彼之余数较当细辨之

又此是以数相增损而得其相较之分

前数条则是以分相损增而得其相较之数

二者大异不但与带分条别也

法以所加之九数命甲乙所相当之数乗之为较数列位

甲倍乙是甲二乙一合之则三以乗九得二十七为较甲得此而当倍乙故与乙同名

甲乙等是各一也合之则二以乗九得十八为较乙得此而与甲等故与甲同名

余乙一为法

并四十五为实

法一即以四十五命为乙数

异加十八得六十三为甲数

试更列之

同减余甲一为法　异并六十三为实　法一即以六十三为甲原数　异加正二十七共九十乙二除之得四十五为乙原数

论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算海説详推论借银相当加半倍者不可通用因别立术然复未确不如用方程之为无弊

又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也　乙与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二九而甲又添九数岂非三九乎

问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干

法以甲一乙一有半并之共二半以乗六钱五分得一两六钱二分半为乙一有半多于甲之较

以甲乙相等各一并之共二以乗六钱五分得一两三钱为甲多于乙之较

乃列之

同减余半乙为法异并二两九钱二分半为实　法除实得五两八钱五分为乙银　异加正一两三钱共七两一钱五分为甲银

计开

甲原银七两一钱五分

乙原银五两八钱五分

相差一两三钱　若损甲之六钱五分以加乙则各得六两五钱是相等也

若损乙六钱五分余五两二钱　益甲六钱五分得七两八钱是甲之数如乙一有半也

若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银相较则多一两六钱二分半

论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有半是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也何也甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂非共差两个半六钱五分乎

又论曰此即算海説详所设之问以驳统宗者彼自立术以为当矣不知其宜用方程也

试更设问以明之

今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙二数则丙如三丁问原数各若于

依前术列位【合丙丁各一共二以乗二得四为丙多于丁之较　合丙一丁三共四以乗二得八为三丁多于一丙之较】

同减余丙二为法　异并二十为实　法除实得一十为丙数　同减负四余六为丁数

计开

丙原数十　原多于丁者四

丁原数六　三之则十八多于丙者八

若损丙之二以益丁则各得八故相等

若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁

论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也　丁以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也

又论曰因算海説详立术未确故复设此以相攷用方程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问

问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍己以五十两与戊如三己

依前术列位【并戊二己一共三以乗五十得一百五十为二戊多于一己之较　并戊一己三共四以乗五十得二百为三己多于一戊之较】

同减余己五为法　异并五百五十两为实　法除实得一百一十两为己银　异加正一百五十两共二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银计开

戊原银一百三十两　倍之二百六十两多于己一百五十两

己原银一百一十两　三之得三百三十两多于戊二百两

此列位之理

戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则戊如三己　己加五十两得一百六十两戊损五十两得八十两则己如戊之倍

此则问意

问香炉二座不知重有一葢重百两以加甲炉则甲多于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若干

解曰多乙两倍是三倍也甲得葢如三乙也　多甲一倍是两倍也乙得葢如两甲也

法以葢重为较而列之　甲得葢如三乙是三乙之重于甲者如葢也故与乙同名　乙得葢如倍甲是两甲之重于乙者如葢也故与甲同名

炉同减余乙炉五为法　较异并三百两为实法除实得六十两为乙炉重

异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为甲炉重

计开

甲炉八十两　加葢共一百八十两则如乙炉重者三乙炉六十两　加葢共一百六十两则如甲炉重者倍论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以五十两损彼益此虽亦相差一百两然非真有一百两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加葢则实增一百两矣而于彼又无所损因炉葢乃两家公物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同若改问各铸炉而均铸葢则必于鑪重各加半葢乃合原金得数与戊己银同矣

问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三之一各若干

法以南兵为西北之较而列之

西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者数如南兵也

北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北者亦如南兵也

余北兵五为法　倂十六万为实　法除实得三万二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除之得二万四千为西兵数

计开

南兵四万

西兵二万四千　偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也北兵三万二千　偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也论曰此与香炉借葢为较同　其所用较乃是南兵而非取于西北兵故得之有增而不得无损与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同

问二人擕银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减甲三两与乙则相等其原数若干

解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前术乗其较数而列之【合甲一乙二共三以乗六两得十八两为倍乙多于一甲之较合甲乙各一共二以乗三两得六两为甲多于乙之较】

列位

同减余乙一为法　异并二十四两为实　法一即以实为乙数　异加六两为甲数

计开

乙二十四两　倍之得四十八两多于甲一十八两甲三十两　原多于乙六两

若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如乙之倍

若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等

问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一

依前术列位【并六与一共七以乗十二两得八十四两为六乙多于一甲之较　并十与一共十一以乗十五两得一百六十五两为十甲多于一乙之较】

同减余甲五十九为法　异并一千○七十四两为实　法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数　异加正八十四两共一百○二两【又五十九之一十二】乙六除之得一十七两【又五十九之二】为乙数

计开

甲银一十八两【又五十九之一十二】十之则一百八十二两【又五十九之二】多于乙者一百六十五两

乙银一十七两【又五十九之二】六之则一百○二两【又五十九之一十二】多于甲者八十四两

若损乙一十二两与甲则甲有三十两【又五十九之一十二】乙仅有五两【又五十九之二】而乙于甲为六之一

若损甲一十五两与乙则乙有三十二两【又五十九之二】甲仅三两【又五十九之一十二】而甲于乙为十之一【以五十九通二两得一百一十八加子二从之共一百二十是三十两又五十九之一百二十岂非十倍于甲乎】

论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于六乙中各减十二两也一添一减共七个十二两是为八十四两也

甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是为一百六十五两也

损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以六乙当一甲而乙多八十四两矣

损甲之十五两与乙而甲为乙十之一若其原数则以十甲当一乙而甲多一百六十五两矣

问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何