历算全书

问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何

法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二数得八而益之共五十为四甲多于三己之数【损甲六益己故较与甲同名其二数甲所多也故以之益数】

以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五数得二十以相减余一百二十为四己多于三甲之较【损己二十益甲故较与己同名其五数巳所少也故以之减较】

己同减余七为法　异并六百三十为实　法除实得九十为己原数四因己数同减一百二十余二百四十甲三除之得八十为甲原数

计开

甲八十

己九十

以列位之理言之

甲四共三百二十　己三共二百七十　是甲多五十甲三共二百四十　己四共三百六十　是己多一百二十

以问之意言之

甲损六数余七十四　己加六数共九十六　以九十六四分之而取其三得七十二　是为甲如己四之三而多二数

己损二十余七十　甲加二十共一百　以一百四分之而取其三得七十五　是为己如甲四之三而少五数

论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增六共四十二也以甲当己四之三而多二数则以四甲当三己而共多八数也　合而观之此四十二者四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己之数也故皆与甲同名而列其较为五十也

以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增二十共一百四十也　以己当甲四之三而少五数则以四己当三甲而共少二十也　合而观之此一百四十者四己多于三甲之数也与己同名也而其二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以相减而余者列为己同名之较也

损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数则以四甲当三己而共多五十矣

损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数则以四己当三甲而共多一百二十矣

问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五十益丙则乙如丙十五之九若损丙三十益甲则甲如丙二之一而少五数各若干

法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较【损甲益乙故与甲同名】

以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百为十五乙当九丙之较【损乙益丙故与乙同名】

以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五数共十而加之共一百为一丙当二甲之较【损丙益甲故与丙同名其甲所少五数即丙所多也故亦与丙同名】

如法逓减余丙五十四为法　异并三万七千八百为实　法除实得七百为丙数　丙数同减一百余六百甲二除之得三百为甲数　六因甲数一千八百同减八百余一千乙二除之得五百为乙数　十五乗乙数得七千五百同减一千二百余六千三百丙九除之仍得七百为丙数【反覆相求列位之理着矣】

计开

甲三百

乙五百

丙七百

甲损一百余二百乙增一百得六百是甲为乙六之二乙损五十余四百五十丙增五十得七百五十是乙为丙十五之九

丙损三十余六百七十其二之一则三百三十五甲增十得三百三十是甲为丙二之一而少五数

问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与乙五之一相易则适均其原所得若干

法以三分通甲数损一与乙而存其二分　又以五分通乙数损一与甲而存其四分

乃以和数列之

乙七为法　余五十为实　法除实得七又七之一为乙之一分　以乙分母五乗之得三十五又七之五【为乙数】以减一百得六十四又七之二为甲数计开

甲六十四【又七之二】其三之一为二十一【又七之三】其三之二为四十二【又七之六】

乙三十五【又七之五】其五之四为二十八【又七之四】其五之一为七【又七之一】以甲三之一加乙五之四五十也　以乙五之一加甲三之二亦五十也

论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓异彼是以其全数偕彼防分此则以所存之余数偕彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借增率而无损也

问二人物数不均若于甲取三之一于乙取四之一以和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原数各若干

法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙余五分以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲余七分以和数列位

解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其数之半也　于三之一取其半是六之一以与乙而甲余其五也于四之一取其半是八之一以与甲而乙余其七也

偏乗对减以得法实　法除实得五又十七分之十五为乙八之一　以乙分母八乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以两五十共一百减乙原数余五十二又十七分之一十六为甲原数

计开

甲原数五十二【又十七分之十六】三除之得十七【又十七分之十一】为甲三之一　以三之一转减甲余三十五【又十七分之五】为甲所存三之二

乙原数四十七【又十七分之一】四除之得十一【又十七分之十三】为乙四之一以四之一转减乙余三十五【又十七分之五】为乙所存四之三

以甲三之一乙四之一和合之共二十九【又十七分之七】半之得十四【又十七分之十二】为和合平分之数以加甲乙存数各得五十

论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以平分之数加之而适均

又法

以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分又总计各得五十六共一百为和数

以甲取三之一余三之二乙取四之一余四之三命为适足【甲取三之一乙取四之一以和合平分而等则其所存者亦等也故命之适足】乃以和较杂列位

如法乗甲同减尽　乙异并一十七分为法　正二百无减就为实　法除实得一十一又十七之十三为乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数　以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六

按此所得与前无异而较捷故并存之

问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百其原携金若干

法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之【以七百为和数】

和数列位

如法减并　丙七分为法　二千一百为实　法除实得三百为丙之一分　以丙分母三乗之得九百为丙原金　以丙之一分减乙剰七百余四百为乙所余二之一　二因之得八百为乙原金　以乙二之一减甲剰金七百余三百为甲自剰四之三　三除之得一百为甲三之一　四乗之得四百为甲原金

计开

甲原金四百　加赢乙四百【二之一也】共八百　除丙又赢去甲一百【四之一也】仍余七百

乙原金八百　加赢丙三百【三之一也】共一千一百　甲赢去四百【乙二之一也】仍余七百

丙原金九百　赢甲一百【四之一也】共一千　乙赢去三百【丙三之一也】亦仍余七百

论曰此与刋误条骡马逓借一匹同但马一骡二驴三即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三却是各所存之余分偕所赢之一分而为和数也得数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之于骡矣

又论曰此三条皆是两相交易而又是和数与前数条金银交易几锭不同

难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索子去量竿却比竿子短一托

解曰一托者五尺也

法以零整襍列位　因双折是二之一故以二通索

法一即以实一丈命为绳之一分　分母二因之得绳长二丈　减负五尺余得竿长一丈五尺

假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则短于竿八尺

法二除实三丈得竿长一丈五尺　加正六尺得绳长二丈一尺

论曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此问以明之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法不能御方程　此条统宗原入均输今改正

问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干

法以两母【三四】相乗得十二分为绳母数　以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是为以绳十二分之四汲水而长四尺以绳十二分之三汲水而长一尺也

余一分为法　即以实三尺命为绳十二分之一以十二分乗一分得三十六尺为绳长　以绳之三分计九尺同减负一尺得八尺为井深

计开

井深八尺

绳长三十六尺

三折之得一十二尺　比井多四尺

四折之得九尺　　　比井多一尺

论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程能御杂法也

试更之则先得井深

法一省除即以八尺命为井深　加正四尺共十二尺绳之四分除之得三尺为一分　一十二分母乗之得绳长三十六尺

论曰此余八尺者即物实也前以余三尺为绳长实者即人实即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳【人实物实不同而除法则同故皆可以互求】

今有绢一疋欲作帐幅先折成六幅比旧帐长六寸改折作七幅却又短四寸其绢并旧帐幅各长若干【折作六幅以较长即六之一七幅即七之一】

法如前以【六七】幅相乗得四十二分为总母　以【六七】互乗其【之一之一】得【之七分之六分】为所用之分而列之【以绢四十二之七则长于帐六寸　以绢四十二之六则短于帐四寸】为较数

法一　实一尺即为绢之一分　以分母四十二乗之得绢长四丈二尺　以绢之七分计七尺减负六寸余六尺四寸为旧帐之长

计开

旧帐幅六尺四寸

绢长四丈二尺

均作六幅得七尺　比帐长六寸

均作七幅得六尺　比帐短四寸

论曰此与井不知深皆是以一物之细分与一整物较皆零整杂用之法也

又以上三条盈朒章旧有求法然皆因所较之井深与旧帐幅皆为一数而不变故可用盈朒之法若亦有分数不同则非盈朒所能御此方程之用能包盈朒诸法而诸法不能御方程

今有台不知髙从上以绳缒而度之及台三之二而余六尺双折其绳度之及台之半而不足三尺问台之髙及绳之长若何

法以台【三二】之【二一】用母相乗为母之法通台为六分　又用母互乗子为子之法变台三之二为六之四台之半为六之三　又以双折通绳为二　皆以化整为零而列之

余绳二分为法　并三十尺为实　因二为分母与法同省除与乗径以实三十尺为绳长　减负六尺余二十四尺以台之四分除之母六乗之得三十六尺为台髙

计开

台髙三十六尺

绳长三十尺

台三之二髙二十四尺　以绳度之余六尺

台之半髙一十八尺　　以半绳一十五尺比之短三尺

今有井不知深以乙绳汲之余绳二尺以庚绳汲之亦余绳四尺双折庚绳三折乙绳以相续而汲之适足问井深及二绳各长若何

法以乙绳通为三　庚绳通为二

以三色列之　井整数乙庚用分

以隔行之同名仍为较数列之　余较皆与庚同名

余庚一分为法　即以实一丈命为庚二之一　倍之得庚绳二丈　减负二尺得乙绳一丈八尺【用减余之右行葢乙正三即全数也】

又减负二尺得井深一丈六尺【用原列之右行亦以乙负三即全数故】计开

井深一丈六尺

乙绳一丈八尺　比井多二尺

庚绳二丈　　　比井多四尺

三折乙绳六尺加双折庚绳一丈共一丈六尺即同井深

论曰此二条与前井深绢帐同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以绳折比量水面亦然

今有直田欲截一段之积只云截长六歩不足积七步截长八步又多积九步问所截之积及原濶

法以较数列之【其原濶即截长每一步之积】

上　　　　　中　　　　　　下

长二步除积十六步得原濶八步　以截长六步乗濶得四十八步加不足七步得截积五十五步

论曰此盈朒中方田也然无闗于方田之实用故入盈朒然不知宜入方程也

试更作问

今有方田欲截横头之积改为直田但云截濶五步则不足十二步截濶九步则如所截之积一有半问所截直田积并原田之方

如法列位

濶一歩半为法　积十八歩为实　法除实得原方一十二歩　以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩

计开

原方田方十二歩　积一百四十四歩

截直田七十二歩　宜截濶六歩

若此条则盈朒不能御

今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及布价

法列位

上　　　中　　　下

布二疋为法　四斗为实　法除实得布价每疋二斗　以九疋适足乗布价得原米一石八斗

论曰此盈朒中粟布法也

试更设问

今有谷换绢十疋余三石以谷之半换绢六疋不足五斗问原谷若干及绢价

法列位

法一免除　得绢每疋价二石　以十疋乗价加余三石得原糓二十三石

若此条则非盈朒所能御

论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截积及糓换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也【如旧法芝蔴粜银是其例也】虽盈胸亦有求法颇多转折非其质矣不如用方程之省约

今有芝蔴不知总但云取麻八分之三粜银十两不足二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及每银一两之麻

法先以麻【八　之三三　之一】用母相乗得二十四为母母互乗子得【之九之八】为所用之分而列之　依省算左加九之一而径减

法一两省除即以麻二石命为银每两之麻　以银八两麻八分适足省乗除径以二石为麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石

计开

原麻四十八石　　　　银毎两麻二石

其八之三计一十八石　银十两该二十石　故不足二石

其三之一计一十六石　银八两恰该一十六石　故适足

若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石价五钱

按此条宜入方程旧列带分盈胸之末

问者若云有银买麻以麻八之三与之则余二石以麻三之一与之适足问原麻及银所买

依法求得二石为麻之一分　以总母廿四分乗之得原麻四十八石　以九分乗二石减负二石得银所买麻十六石

论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以方程法求之亦同　观此益见前条之宜入方程也

今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤

法先以通分齐其分

乃列位

如法乗减　余木香二十二分为法　异并黄连二十二斤为实　法除实得每木香一分【即三十五分之一】换黄连一斤　以木香十分换黄连十斤异加正二斤共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一分　以分母十二乗之得总黄连三十六斤

另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三斤得每黄连一斤换木香一斤半【原少连一斤减木香三斤而转多连一斤故知其数】

此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半

计开

黄连三十六斤

木香五十二斤半

每黄连一斤换木香一斤半

三分三十六斤而取其一得一十二斤为黄连三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也

四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤也

若于木香五之四减三斤余三十九斤该换连二十六斤今连有二十七斤是连多一斤也

论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用银若钱以权物价后世事耳

问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共价绫比罗少三十六文

畣曰绫每尺一百六十二文　罗每尺一百二十六文

罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六文　加多三十六文得绫价每尺一百六十二文

问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每疋多绢一两三钱五分　畣曰绫每疋四两三钱二分　罗每疋三两八钱五分　绢每疋二两半

绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五钱　加多一两三钱半得罗价三两八钱半　又加多四钱七分得绫价四两三钱二分

今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳

法以带分别之　皆变零从整

季弟二　除一百四十四歳得年七十二歳　加八歳得仲兄年八十　六因仲年五除之得伯年九十六歳

计开

伯九十六歳　仲八十歳【为伯年六之五】　季七十二歳【为伯年四之三】今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁与丙差四文

甲正五　　乙负六　　　空　　空　　　适足【此行不用乙无对故也】

丁四除二百七十二得丁钱六十八文

加四文得丙钱七十二文

四乗丙钱三除之得甲钱九十六文

五乗甲钱六除之得乙钱八十文

计开

甲九十六文

乙八十文

丙七十二文

丁六十八文

甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十四之一十七丁数也

论曰此虽四色实三色也故径以三色取之

今有七人逓差分钱但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各数亦不知余人数

法以逓差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之

重列减余与三行　减余变较

重列减余与四行

丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数倍丁数与六十五文相减得逓差三文　以差逓

加得甲乙丙数以差逓减得戊己庚数　皆加减丁数得之

计开　甲四十文　乙三十七文　丙三十四文　丁三十一文戊二十八文　己二十五文　庚二十二文

今有银二百四十两以四人逓差分之只云甲多丁一十八两

如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁　又依省算移甲于丁位

和较列位

重列两减余

又重列减余与末行

甲四除二百七十六两得甲数六十九两　甲数内减十八两得丁数五十一两　以甲数减二百四十两余一百七十一两丙三除之得丙数五十七两　并丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两计开

甲六十九两　乙六十三两　丙五十七两　丁五十一两　逓差六两

今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人与戊丁丙三人共数等

如前法列位　依省算倒甲位自下而上

重列减余与三行

又重列减余与四行

又重列减余与末行

甲十五除九百六十得甲数六十四石　倍甲数减一百廿石余得逓差八石　以差逓减各数得乙丙丁戊数

计开

细分之逓差八石

论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之兹不烦列

厯算全书卷四十五

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

歴算全书卷四十六

宣城梅文鼎撰

句股阐微卷一

句股正义

首题

句股者横曰句纵曰股【亦可云勾纵股横】斜曰三线相聨而成句股形也

如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为亦可云【甲乙为句乙丙为股】也　凡三角形或三角俱鋭或两鋭一钝或两鋭一

正【鋭钝正説具三角形算法中】句股形者两鋭一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙防句两线及股两线相遇而成者为鋭角如甲丙两防　此三线者或三线俱不等其最大者必或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股形一角正故也

一题

句股求

法曰句股各自乘并之开方得

如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙

论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也【凡句股不等则句股互相乗必是矩形】如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四

小方形必等又句与股既等则上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显

又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得

论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳

为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙上方也

又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股差加股为

论曰甲乙丙句股形甲丙也丁已亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦

句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股差

二题

句求股

法曰自乗内减句自乗余开方得股

论曰一题句股求苐一法句股各自乗并之即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见