历算全书

即自乗数则自乗数中有句股各自乗之数也今于自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见

又法曰句相并得数相减得数两数相乗得数开方得股

如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线【乙巳与乙子等】两线【乙丁乙子】相乗得子丁矩即

甲乙股上方

论曰己午方者已丙线上方即甲丙上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣

又法曰句自乗倍依长濶相和法求之得股差用减得股

论曰甲乙丙句股形甲丙也丁己亦也丁戊上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形

即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为乙丙并午戊为倍曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股差

三题

股求句

法同二题句求股

附长濶相和法

如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干　法以和数

自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺【即丁甲乙甲二边之较数】以与和【六十三尺】相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法【图同上】

丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺【乙丙即甲乙】为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数【九尺】自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺【即戊乙甲乙二边之和数】以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较【九尺】相减折半得二十七尺为甲乙短边

解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也【甲丑即乙甲】自乗得丙

子大方四倍矩积也并大方内戊丁

庚辛四矩形之积【大方内所容四矩俱与元形等如丙

壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形】相减存己壬小

方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也【卯亥即甲乙股卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也】既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣

若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣

四题

与句股较求句股

法曰自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句

论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为上方辛壬亦句上方

庚已亦股上方两方并亦共为上

方此即自乗倍之之数也而两句

方两股方并为丙己大方则中间重

叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也

又法曰自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股

论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二

形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股

五题

股与句较求句

法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得

论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上

方所余丙戊戊壬两形即为句与句较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句【或不用折半倍较为法除之亦同】

又法曰股自乗以较为法除之得句和于是加较折半得减较折半得句

论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛　折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句和也

又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得减较得句

论曰甲乙丙句股形甲丙也甲丁上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等

即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较

六题

句与股较求股

法同五题

七题

与句股和求句股

法曰自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句

论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即自乗倍之之数

也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较

又法曰句股和自乗内减自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股

论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形

之两边即句股

八题

股与句和求句

法曰句和自乗内减股自乗余半之以句和除之得句用减句和得【或不用折半倍句和除之亦同】

论曰甲乙丙句股形甲丁为句和甲巳为和上方又甲午为上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句和其一邉如甲未即句

又法曰股自乗得数以句和除之得句较于是用加句和半之得用减句和半之得句

论曰甲乙丙句股形甲丁句和也甲戊上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁

矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句和丁子边即句较

又法曰句和自乗股自乗相并倍和为法除之得减和得句

论曰甲丁为句和甲戊为和自乗

戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩

即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲

巳为上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并

前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形

即为两自乗相并之数形之甲癸邉

即句和之倍形之甲庚边即是

也

九题

句与股和求股

法同八题

十题

句较股较求句股

法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得和较【和句股和也】于是加股较得句加句较得股以句较加句或以股较加股得

论曰甲乙丙句股形甲丙也甲巳即股也巳丙股较也甲壬即句也壬丙句较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为和较也次作甲戊为和上方午未为句较上方午子为股较上方【即庚辰方】两较上方相并共为午未辰磬折形内减

未子句股较上方余辰午癸磬折形

即戊午和较上方何则试观丑午

已磬折形句上方也子戊形亦句上

方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎

又法曰两较相乗倍之开方亦得

和较以下同前法

论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁

得甲丁为句股和甲戊为和上方【甲未股未丁句】丁子己子句也丁辛己壬也子辛子壬句较也未子亥子股也未申亥卯也子申子卯股较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午和较上方【丙丁为和较】何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形【辛未及亥壬皆是和较】及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎

十一题

句股较句较求句股【句短股长看此题】

法曰先以两较相减得即为股较次以两较各自乗相减余为实倍股较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句较得

论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句

丙巳戊乙句股较戊己句较乙

巳股较乙丁亦为句丙丁为句股

和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑

子午磬折形等矣于是依壬申形作

壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与

壬辰等即辰未未酉为股较之倍

为长濶之差

按此法句股较句较相减得股较即三较皆备矣十题第一法句较股较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳

十二题

句股较股较求句股【股短句长看此题】

法同十一题

十三题

句和股和求句股

法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为和和【和也句股和也和和与句股和相并也】于是内减句和得股内减股和得句内减句股得

论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股

和也乙午股和上方也乙丙

句也丙子句和也丙未句和

上方也甲丙也丙丑股也丑巳

句也甲己和和也甲壬和和

上方也乙午丙未两方并较甲壬

方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中股句三方即乙午丙末两方中句股三方也甲壬方中股矩二句矩二即乙午丙未两方中股矩二句矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余方一则方一与句股

矩二其较为句股较上方何则试

观另图甲丙也甲丁上方也

甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句

股矩形之半也而丙巳丁丁子丑

丑午甲三形皆与甲乙丙形等共

四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也

又法曰两和相乗倍之开方得

和和以下同前法

论曰甲乙丙形乙丁股和也丁

午句和也乙午两和矩内形也丙子句和也丙辛股和也丙未两和矩内形也甲丙也丙丑股也丑

巳句也甲己和和也甲壬和

和上方也乙午丙未两矩形与甲

壬方形等者两矩形中有两方

甲壬形中有方一股方一句方

一亦即两方也两矩形中有股

矩二句矩二句股矩二甲壬形亦有股矩二句矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎

十四题

句股和句和求句股

法曰先以两和相减得即为股较次以两和各自乗相减余为实倍股较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句和得

论曰甲乙丙形甲丁句和也甲戊句和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较

为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差

十五题

句股和股和求句股

法同十四题

十六题

句股形中求容方

先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若

作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左【独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙两邉即乙丙邉也若容矩则否】

法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边

论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲

午边甲乙股乙午即句乙子即方

边何则甲丙为甲丙矩形之对

角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎

又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边

论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗

得乙丁方即未已矩形形之戊丙

即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也

十七题

句股形中求容圆

法曰句股相乗倍之为实句股共为法除之得容圆径【或句股相乗为实句股共为法除之得容员之半径　或句股相乗半之为实句股并而半之为法除之得容圆之半径】

论曰试于形之三边截取己子未

三防令乙子与乙巳等甲巳与甲

未等丙未与丙子等次于已子未

三防各作己丁未丁子丁三线为

形三边之垂线必相遇于丁而相

等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦

得圆之半径或三边之全分元形

之四倍得全圆径也

又法曰句股三边半之内减

得圆之半径【或倍用减三邉之全得全圆径】论曰甲乙丙元形之乙角既是正

角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙也于是子壬减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍数用减三边之全得全圆径

又法曰句股并以减之得全圆径

论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也

巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也

勾股较勾股和　句股较句和　句股较股和句较句和　句较句股和　句较股和股较股和　股较句股和　股较句和已上共九题

【句】和和

较较　　　句较较　　　股较较

和较　　　句和较　　　股和较

较和　　　句较和　　　股较和

巳上十则各以　　　　　　　　　　　【股】三则配之得三十题

各以　　　　　　　　　　　　　【股和】三则配之得三十题

各以　　　　　　　　　　　　　【股较】三则配之得三十题

又巳上十则　　　　　　　　　　【股】和和为一则以下九则配之得九题较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题

已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也

又一题【后十四题尽句股之变】

容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股

论曰乙丁方边也自乗得乙壬方

即壬丑矩【论详前十六题】故以己壬【即丙未余】

【句】除之得子壬【即甲丁余股】以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边【余句小于方邉】得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股【余股大于方邉】得数即用以除方边得余句

论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉

则方边为几倍小即以中率方边

比前率余句则余句亦必为几倍

小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除

又二题

余句余股求容方因得全句全股

法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股

论曰子壬即余股也己壬即余句

也丑壬矩即乙壬方也【论详前十六题】因

以甲丁【余股】丙未【余句】加之得全股【甲乙】全句【乙丙】

又法曰以余句除余股【以小除大】得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉

论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣

右两题宜附前十六题之后

又三题

句股形句股较求句股

法曰形四倍之另以较自乗相并开方得次依前四题法求句股

论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较

乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙

又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午

为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和

又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股

论曰甲乙丙句股形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商

得乙丙为句乙巳加已甲为股

又四题

句股形句股和求句股

法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得次依前七题法求句股

论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲

辛丁丙方开方得甲丙

又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句

论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑

方开方得子乙为句股较

又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股

论曰甲乙丙句股形倍之得乙巳

矩形甲乙股乙丙句并之为和今试

商得乙丙为句用减和余甲乙即股

又五题

句股形中求从直角【句股相联处】至作垂线【与相交为直角】分元形为两句股形

法曰上方句上方并之内减股上方余半之以除之得数为上作垂线之处于是以所得数与句依句求股法作垂线

论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙也甲丑上方也乙丙句也乙己句上方也

甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午

线上方也乙巳方中之丁申方亦

乙午线上方也即两方等矣又乙

辛方中之子辛未磬折形甲丑方

中之午壬方也今于甲丑乙巳两

方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑除之得丙午【若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以除之得甲午同上论按此法不但可施诸句股直角形凡鋭角钝角形俱可用此法求垂线】

又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以除之得数用减余半之得数为上作垂线之处

如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相

加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲

巳相乗得数以甲丙除之得甲

子用减余丙子半之于午即午防为上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也【甲壬与甲巳等】辛甲未磬折形即壬丁矩也【壬未矩与辛丁矩等】未辛方