历算全书

凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同防【切立方有六处所同者皆在其方面之最中一防若从此一防刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言防若言防则有十二皆切在立方边折半处】

凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处【凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中防】凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上

凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大

凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处【四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处】准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知

凡立圆内容十二等面体　又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大

凡二十等面体内容立圆　内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大

凡二十等面体内容立圆　内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处

凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆

惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难着立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆

其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线

凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处

凡相容两体之相切或以尖或以边【即体之棱】或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一防皆在立方每面之中央【立方六面相切凡六防】

立方在浑圆内为以尖切面【立方之角有八故相切有八防】有一防不相切者即非正相容也

浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处亦皆一防也然其数不同如四等面则切防有四方灯则切防有六八等面则切防有八十二等面及圆灯则切防有十二二十等面则切防有二十其切防之数皆如其面之数而皆在其面之中央也方灯则以其方面为数圆灯则以其五等边之面为数而不论三角之面者何也三角之面距体心逺故不能内切立圆也

诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同谓其皆以各体之尖切浑圆之面也其数亦各不同如四等面则切防亦四方灯则切防十二八等面则切防六十二等面则切防二十二十等面则切防十二圆灯则切防三十皆如其尖之数也

四等面在立方内以边棱切立方之面四等面有六棱以切立方之六面皆徧其四尖又皆切于立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其边棱切立方之面两种各有三十棱其切立方只有其六以立方只有六面也

此三者为以楞切面

八等面在立方内以尖切面凡六防　圆灯在立方内亦以尖切面有六防皆在立方面中尖与八等面同方灯在立方内则以面切面皆方面也方灯之方面六亦与立方等也其十二尖又皆切于立方之十二边楞皆在其折半处为防

十二等面与二十等面逓相容皆以内体之尖切外体之面

十二等面在八等面内以其尖切八等面之面体有二十尖只用其八也

方灯在八等面内亦以面切面而皆三角面方灯之三角面有八数相等也又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处棱有十二与灯之尖正等也

圆灯在十二等面内以面切面皆五等边平面也圆灯体之五等边平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之边楞而皆在其中半

圆灯在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圆灯体之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之边楞而皆在其中半

问十二等面与二十等面体势不同而圆灯之尖皆能切其楞边何也曰圆灯有三十尖而两等面体皆有三十楞故也

凡能容之体皆可改为所容之体递相容者亦可递改如立方容圆即可刓方为圆浑圆容方即可削圆为方递相容者如立方内容浑圆圆内又容十二等面体体内又容二十等面即可递改

凡所容之体皆可补为能容之体皆以数求之

如立方外切立圆以其尖角则求立方心至角之线为立圆半径

凡以面切面者其情相通

如方灯以其方面切立方面又能以其三角切八等边面则此三者皆方斜之比例也

又如圆灯以其五等边面切十二等面又能以其三角面切二十等面则此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方灯之内则立方之尖所切者必三角面若八等面在方灯之内则其尖所切又必方面也若令十二等面在圆灯内则所切者必三角面而二十等面居圆灯内所切者又必五等边面也故曰其情相通

诸体相容

凡立圆立方皆可以容诸体

凡立圆内容立方立方内又可容立圆两者不杂他体可以相生而不穷

凡立圆内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圆三者以序进亦可以不穷

凡立圆内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圆与立方尖所切必同防

凡立圆容四等面在立圆所容立方内必以其楞为立方面之斜依此斜线衡转成圆柱形必为立圆之所容而此柱形又能含立方

外圆者柱之底若面内方者

立方之底若面直而斜者四

等面之边

凡四等面体在立圆内任以一尖为顶以所对之面为防旋而作圆锥此锥体必为立圆之所容而不能为立方之容

此两体虽非正相容体然皆有法之体

凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相与为不穷

凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容则所容体之尖皆切于为所容大体之面之中央而等

凡立方内容立圆此立圆内仍容八等面其八等面尖切立圆之防即可为切立方之防

八等面内容立圆此立圆内仍容立方则立方尖切立圆之防亦即可为其切八等面之防

凡立圆可为诸等面体所容其在诸体内必以圆面一防切诸体之各面此一防皆在其各等面之中心而等而徧

凡八等面内容立圆仍容立方　立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圆以切八等面叠串四体皆一防相切必在八等面各面之中心

立方设一百内容二十等面边六十一【八○三三九八】内又容立圆也十三【四一七二】

简法取内容立圆径幂三之一开方得内容小立方再以小立方为理分中末之全分而求其大分得内容十二等面边

凡十二等面二十等面皆能为立圆之所容皆以其尖切浑圆凡十二等面二十等面皆能容立圆皆以各面之中心一防正与浑圆相切

凡十二等面与二十等面可以互相容皆以内体之尖切外体之各面中心一防

凡十二等面内容浑圆浑圆内又容二十等面与无浑圆者同径二十等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦与无浑圆同径何也浑圆在各体内皆以其体切于外体各面之中心防而此防即各内体切浑圆之防故也以上皆可以迭串相生而不穷

凡十二等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦可以相生不穷

二十等面与浑圆递相容亦同

凡立方内容十二等面皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六皆遥相对如十字

假如上下两面所切十二等

面之边横则前后两面所切

之边必纵而左右两面所切

之边又横若引其边为周线

则六处相交皆成十字

立方内容二十等面边亦同

凡各体相容皆以内之尖切

外之面惟立方内容四等面

则以角而切角立方内容十

二等面二十等面则以边而

切面

厯算全书卷五十七

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷五十八

宣城梅文鼎撰

防何补编卷四

方灯

凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心

如图

灯体者立方去其八角也平

分立方面之边为防而联为

斜线则各正方面内成斜线

正方依此斜线斜剖而去其

角则成灯体矣此体有正方

面六三角面八而边线等故

亦为有法之体

凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心

凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之防同防于灯体之六方面而成一防

凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同

凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内

灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一【四二一三】为灯之高及其腰广【边如方面高广如斜故倍幂求之】以高一百四十一【四二一三】乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积

立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积

灯积为立方六之五

以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高　其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例

八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也

灯形内容立方其边为灯体高广三之二　设灯体边一百其高广一百四十一【四二一三】则内容立方边九十四【二八○八】立方积八十三万八千○五十一

灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之

二如戊正方丙丁矩一万三千

三百三十三【三三】戊正方八千

八百八十八【八八】为内容正方

之一面幂其根九十四【二八○八】以根乘面得八十三万八千

○五十一

凡等边平三角之心依边剖

之皆近大边三之一灯内容

立方之八角皆切于平三角

之心灯改立方则所去者皆

四围斜面三之一于前形爲六之一四围皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣

凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八者合之卽同八等面体

依前算八等面体其边如方其中高如方之斜若以斜径爲立方则中含八等面体而其体积之比例爲六与一

何以言之如己心辛爲八等

面之中高庚心戊爲八等面

之腰广己庚己戊戊辛辛庚

则八等面之边也若以庚心

戊腰广自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方【立方一面之形与平面等】则八等面之角俱正切于立方各面之正中而爲立方内容八等面体矣夫己心辛庚心戊皆八等面【己庚等面】爲方之斜也故曰以其斜径爲立方则中含八等面体也

又用前图甲乙丙丁爲立方之上下平面从己庚庚辛辛戊戊己四线剖至底则所存爲立方之半而其所剖

三角柱体四合之亦爲立方之

半也

此方柱也其高之度如其方之斜

立方之四隅各去一立三角

柱则成此体　其积爲立方

之半爲八等面之三倍其中

仍容一八等面体

八等面体在方柱体内

柱形从对角斜线【如己辛戊庚】剖

至底又从对边十字线【如丑尾卯

箕】剖至底又从腰线【角申亢】横

截则剖为三角柱一十六【即皆

如心辛申未丑之体】

三角柱眠视之则堑堵也

堑堵从一尖【即心尖】斜剖至对

底【未申】则鼈臑也鼈臑居堑堵

三之一

堑堵立则为三角柱鼈臑立

则为三角锥

八等面体从尖心剖至对角

亦剖至对边而皆至底【子】又

从腰【角申亢】横剖之则成三角

锥十六

夫方柱为堑堵十六而八等

面为鼈臑亦十六则堑堵鼈

臑之比例即方柱八等面之

比例矣鼈臑为堑堵三之一

则八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣

立方内容灯体

甲庚立方体六面各平分其

边【如壬丑癸卯及子未酉午辰诸防】而斜剖

其八角【如从丑癸剖至子从从癸卯剖至酉从酉

剖至午未则立方去其八角】成灯体

灯体立方六之五

何以知之立方所去之八角

合之即成八等面八等面既

为立方六之一则所存灯体

不得不为立方六之五矣

凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其边线必等其中径亦等

剖立方之角成此

以剖处为底则三边等以立

方之角丁为顶成三角扁锥

扁锥立起则成偏顶锥为八

等面分体

凡八等面容灯体皆以灯体

之边线得八等面之半八等

面内之灯体又容立方则亦

方斜比例与八等面竟容立

方无异也

甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁

乙皆八等面之一己子卯等

小三角在甲丁丙等大三角

面内即灯体之八斜面正切

于八等面者也其中央心防

即内容立方角所切

等径之比例

立方径一　　　其边一　　其积一　　一○○○○○○内容灯径一　　其边○七　其积六之五○八三三三○○内容八等面径一　其边○七　其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其切于立方之面之中央凡六处皆同一防若立圆内容灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一防

凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其外切立圆之半径与边等　如圆灯横剖成十等边面故其外切立圆之半径与其边若理分中末之全分与其大分

凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之

凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而防于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚者盈之即成原体所以化异类为同体也

如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面如圆灯依五等边引之补其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成二十等面

増异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此化异为同之道也

凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖【方灯十二尖二十四棱圆灯三十尖六十棱】

凡灯体之棱【即边】皆可以联为等边平面圏　如方灯二十四棱联之则成四圏每圏皆六等边如六十度分圆线　圆灯六十楞联之则成六圏每圏皆十等边如三十六度分圆线　此外惟八等边联之成三圏每圏四楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法其余四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联为圏

灯体亦有二

其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角之面八有边棱二十四而皆同长棱尖凡十有二其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱尖凡三十

立方及八等面所变是刓方就圆终方势谓之方灯十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例同

甲乙立方体丙丁戊己庚辛

壬癸子皆其边折半处各于

折半防联为斜线【如丙戊丙己等】依

此灯体斜线剖而去其角则

成灯形矣

灯形之丁辛高丙丁濶皆与立方同径　其边得立方之半斜【假如立方边丁辛一百则灯体边丁壬七十有竒】其积得立方六之五【假如立方边一百其积百万则灯体边七十有竒其积八十三万三千三百三十三三三】此为立方内容灯体之比例也若灯与立方同边必反小于灯【假如灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也】解曰灯体边一百【如前图之丁壬】其外切立方必径一百四十一【四二一三如前图之丁辛】其自乘之幂二万以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百三十五万七千○二十一

又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五因六除

见积亦同

甲乙为八等面体　甲乙丙

丁戊皆其边棱所辏之尖

甲丙丁面三边皆等其三边

折半于辛于庚于己

甲丁戊面其边折半于辛于

壬于癸乙丙丁面其边折半

于寅于己于丑乙丁戊面其

边折半于丑于癸于子各以折半防联为斜线则各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边皆半于原边如庚辛得丁丙之半余三边同

各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形矣

如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角【以丁角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推】

八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同

灯形之高濶皆得八等面之半

如辛丑高得甲乙之半

己癸濶得丙戊之半

其边亦为八等面原边之半

其积得八等面八之五

何以知之曰同类之体积以

其边上立方积为比例故边

得二之一其积必八之一也

今所剖去之各尖俱以平

方为底而成方锥两方锥合

为一八等面体皆等面等边

与原体为同类而其边正得

原边二之一则其积为八之

一也　原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也

如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一　丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一　通共剖去同类之形三

假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五　以八等面积五因八归之见积

或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同

右法乃八等面内容灯体比例也

若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之　此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例

准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一

灯体内容八等面　五之一　【用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体　八之五　【得八乘母数五得四十】

外灯体四十　八等面体八　内灯体五　合之为内体得外体四十之五约为八之一

又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一　其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八

以三之二自乘再乘为三加之比例也

六　之　五　一百三十五

二十七之八　四十八

准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八　若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体

三角锥棱皆五十即原边之

半【甲乙甲丙甲丁】　底之边皆七十

○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】

求甲戊斜垂线

法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十

求丙戊中长线

以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线

求甲己中高线

法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂开方得甲己中高二十八【八六七五】

又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂

又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠然不过万分之一耳】

圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别

公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面　依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同

如图

十二等面每面五边等今自

其各边之半联为斜线则成

小平面于内亦五等边为同

类

依此斜线剖之而去其角所

去者皆成三角锥锥体既去

即成三等面为异类

原有十二面故所存小平面

同类者亦有十二

原有二十尖故所剖锥体而

成异类之面者亦二十

求灯体边

法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边