历算全书

内容灯体之边

一率　理分中末之大分　　六十一【八○三三九八】二率　理分中末全分之半　五十○

三率　十二等面之边　　　一百○○

四率　内容灯体之边　　　八十○【九○一七】

灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣

总乘较为实戊丙底为法法

除实得丙辛以丙辛减戊丙

得戊辛折半为戊己

法当以所得戊己自乘为句

幂用减甲戊幂余为甲己幂

开方得一十七【八四一一】为中高

今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂

九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一

故其幂为九之一】得五百四十五【四二

三七】

或径用戊丁幂三之一亦同

又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力

戊丁幂　一千六百三十六【二七一二】

三之一　　　五百四十五【四二三七】

并得　　二千一百八十七【六九四九】

甲丁【即甲丙幂】二千五百○○

相减余【甲乙幂】　三百一十八【三○五一】　　与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同

前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式

订定三角锥法【圆灯所去】

用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂

甲丁【甲乙甲丙】皆设五十

丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其

半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线

甲己一十七【八四一一】为中高

丙乙丁底幂二千八百三十四

【一○三八】

法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】　以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】　三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】　又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五　内容灯体边八十○【九○一七】

依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体

二十等面边设一百则灯体之边五十

捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积

一　灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二　灯体积七百三十四万五千一百二十五

三　灯体边五十之立方一十二万五千

四　灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯

边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九

内有三角锥计二十共计一十二万

八千七百五十二

五棱锥计十二共积二十七万四千

五百九十六

丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一　乙丁丙三等边面巳为平面心　中为体心　中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱　戊中为斜垂线

乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一　乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心　中庚为分体中高　其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明

先算三角锥【共二十】

半边一十五【四五○八五】戊丁幂二百三十八【七二八七】

平面容圆半径【即戊巳】○八【九一○五】其幂七十九【五七六二用捷法取戊丁幂以三除得之】

平面积【乙丙丁面】四百一十三【四八七九】

中高【即己中】四十六【七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也】

三角锥积六千四百三十七【六六二○】

二十锥共积一十二万八千七百五十三【三四】

次算五棱锥【共十二】

半边一十五【四五○八五戊丁】

半周七十七【二五四二五用半边五因得之】

平面容圆半径二十一【二六六三戊庚】

五等边平积一千六百四十二【九一二○】

中高四十一【七八五三庚中】

五棱锥积二万一千九百六十二【六六】

十二锥共积二十七万四千五百九十六

求戊庚半径

一率　三十六度切线　○七二六五四

二率　全数　　　　　一○○○○○

三率　半边戊丁　　　一十五【四五八五】

四率　平面容圆半径【戊庚】二十一【二六六二】

戊丁句幂二百三十八【七二八七】丁中幂二千五百○○

戊中股幂二千二百六十一【二七一三】

戊庚句幂四百五十二【二五五五】戊中幂二千二百六十一【二七一三】庚中股幂一千八百○九【○一五八】

戊丁半边幂四因之为全边三十○【九○一七】之幂

一　灯体边五十之立方一十二万五千

二　灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四

十八

三　灯体边三十○【九○一七】之立方二万九千五百○八

【四九八七】

四　灯体边三十○【九○一七】之体积四十○万九千三百二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一

柱积六万八千六百四十九

锥积二万二千八百八十三

十二锥共积二十七万四千五百九十六

孔林宗附记

方灯可名为二十四等边体　圆灯可名为六十等边体

四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三边之面四凡十二角

又可变为二十四等面体面皆三边凸边二十四凹边十二十字之交六凡八角如蒺藜形

六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三边之面八凡二十四角

八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为四边之面六凡二十四角

又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面八凡二十四角

大圆容小圆法　平浑

甲大圆内容乙戊丙三小圆

法以小圆径【如乙戊戊丙】为边作

等边三角形而求其心如丁

乃于丁戊【三角形自心至角线】加戊甲

【小图半径】为大圆半径【丁甲】

凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆自相扶立　若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆夹之

甲大浑圆内容丙戊乙己四

小浑圆法以小浑圆径【如乙戊戊

巳等】为边作四等面体而求其

体心如丁　次求体心至角

线【如丁戊丁己丁乙丁丙又为外切立圆半径】加小浑圆半径【即戊甲】为大圆半径【如丁甲】

凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑圆皆直以小浑圆自相扶　若浑圆内二十浑圆则中多余空必内有稍大浑圆夹之

甲大平圆内容乙戊丙己四

小平圆法以小圆径【如乙戊等】为

边作平方【如乙戊丙己方】而求其斜

【如丁乙即方心至小圆心线】加小圆半径

【如乙甲】为大圆半径【如丁甲】

若先有大圆【甲】而求所容小圆则以三率之比例求之一率　方斜并数　二四一四

二率　方根　　　一○○

三率　所设之浑圆半径　丁甲

四率　所容之小圆半径　乙甲

推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆则大圆容五小圆俱如上法

若六等边于其鋭作小圆仍可于其心作圆共七小圆何也六等面之边与半径等也其法只以小圆径【即六等边】

二分加一为大圆半径

甲大浑圆内容乙丙等六小

浑圆

法以小浑圆之径为边作八

等面虚体如乙己丙辛戊皆

小立圆之心联为线则成八

觚　乃求八等面心【丁】至角

之度【如丁乙等】加小圆半径【如甲乙】为大浑圆半径【如甲丁】

捷法以小浑圆径为方【即乙己丙

辛平方】求其斜【如丁乙】加小圆半

径【如甲乙】为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方得根加小圆半径为大圆半径亦同

或先得大圆而求小圆径则用比例

一率　方斜并　二四一四

二率　方根　　一○○

三率　所设大浑圆之径

四率　内容六小浑圆之径

甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆

法以小立圆径【如乙丙等】作二十

等面虚体之棱【如乙丙等俱小圆之心联

为线则成二十等面之棱】次求体心【丁】至

角【即小圆心】之线【如乙丁】加小圆半

径【如甲乙】为大圆半径【如甲丁】按体心至角线即二十等面

外切圆半径

二十等面之例边一百【即小浑圆

例径】

外切浑圆例径二百八十八

【一三五五】

二十等面边一百者其外切浑圆径一百八十八奇又加小浑例径得此数

若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率爲一率四率爲三率

一　外切浑圆之例径二百八十八【一三五五】

二　二十等面之例边一百【卽小浑圆例径】

三　设浑圆之全径一百

四　内容十二小浑圆之径三十八【六九　其比例如全四八　分与小分】甲庚大平圆内容七小圆

法以甲庚圆径取三之一【如丁

乙庚辛等】爲小圆径若容八圆以

上则其数变矣假如以七小圆

均布于大圆周之内而切于

边则中心一小圆必大于七

小圆而后能相切【以上仿此】

甲大浑圆内容八小立圆

法以小圆径作立方【如乙庚方】求

其立方心至角数【即外切浑圆半径如

乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大

浑圆半径【如甲丁】

按八小员半径十【甲乙】则其全径二十内斜线【乙丁】十七加【甲乙】共二十七内减小圆径二十余七倍之得十四是比小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小圆在内乎

又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之内而为所容

又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容　四等面有四尖可作四小圆

又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也

十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立圆以切大浑圆内有稍大浑圆夹之

圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑圆径为所作虚体边

如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径

浑圆内容各种有法之体以查曲线弧面之细分公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆之面

凡浑圆面与内容有法体之尖相切成防皆可以八线知其弧度所当

内惟八等面皆以弧线十字相交为正角余皆鋭角其十二等面则钝角

十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三

角形五则辏心之角

皆七十二度半之三

十六度即甲心乙角

其余心乙甲角必五

十四度倍之为甲乙

丁角则百○八度故

为钝角

凡浑圆面切防依内切各面之界联为曲线以得所分浑体之弧面皆如其内切体等面之数之形

如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四边弧形

凡浑圆面上以内切两防联为线皆可以八线知其几何长

其法以各体心到角之线命为浑圆半径以此半径求其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两防所当之度即知两防间曲线之长

凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂积

假如四等面外切浑圆依切防聨为曲线分浑圆面为四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以浑幂分为四即与浑圆中剖之平圆等幂矣

推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平圆三之二

八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分幂

假如四等面所分为浑圆幂

四之一而作三角弧面若中

分其边而防于中心则一又

剖为三为浑圆幂十二之一

与十二等面所分正等但十

二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如方胜而边不等若自各角中防于心成三边形其幂亦不等也

再剖则一剖为六为浑圆面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半而边不等】若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等又非直角

假如八等面所剖为浑幂八

之一若一剖为二则十六之

一剖为四则三十二之一可

以剖为六十四至四千九十

六　若以三剖则浑幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒防剖之可至无穷

惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两防于极其形皆相似故剖之可以不穷

又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆

以平径为两以防于平圆

之心则其幂为平圆四之一

若浑体四面以腰围九十度

为底两端各以曲线为两

以防于浑圆之极则其幂为

平圆二之一矣

假如六等面【即立方】在浑圆内

剖浑幂为六得浑幂六之一

若一剖为二则与十二等面

所剖等剖为四则二十四之

一再剖则一为八而得四十

八之一

假如十二等面剖浑幂为十

二各得浑幂十二之一若剖

一为五则得六十之一再剖

一为十则得百二十之一而

与八等面所剖为十五之一

假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必等也

凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即分球体为若干分

如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成三角锥其锥积亦为球体四之一推之尽然

防何补编【补遗】

平三角六边形之比例

平三角等边形

甲丁丙三边等形其边【丁甲】折半

【丁乙】自乘而三之即为对角中

长线幂开方得中长线丙乙

既得中长线丙乙以乘丁

乙半边即等边三角形积　若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积

防法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积　或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同

论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积

法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积

解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也　又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六【理同前条】

解曰甲戊庚丁为平方形丁

丙甲为等边三角形其边同

为甲丁题言丁甲线上所作

三等边形与所作正方形其积之比例若平积三与十六之平方根也【即一七竒与四○】

防法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点即正方积　若以边问积则以边之方幂数于分面线之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设数得数并于平分线取之【此用比例尺算】

又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而尽一端取其四分如丑癸【丑癸为辰癸十七分之四则丑子为辰子十六分之三】

折半于丁以丁为心丁癸为

半径作癸壬丑小半员又以

丁癸折半于子作卯子直线

【与辰癸径为十字埀线】割小员于壬则

壬子与卯子之比例即三等

边幂与正方幂积比例

用法有三等边形求积法以甲丁边上方形【即庚甲】积作卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边积

防法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股而求其是为并方法也其一用半员取中比例此所用者中比例也【详比例规觧】

附三等边求容圆

法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半径

解曰原边幂十二之一即半边三之一也

附三等边形求外切圆

法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半径　一法倍容圆半径即外切圆半径

新増求六等边法

法曰六等边形者三等边之六倍也【以同边者言】　用前法得三等边积六因之即六等边积

依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒【亦若一○○与二五五】

今有六等边形问积　法以六等边形之一边自乘得数再以二五五乘之降两位见积

解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二五五之比例也

若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以二五五为法乘之得数降二位见积亦同【降二位者一○○除也】依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一

四与二五五

论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半

径代边其比例等【半径上方与六等边

形亦若一与二五五】然则员全径上方

形与内容六等边形必若四

○○与二五五【全径上方原为半径上方】

【之四倍】而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣【员径上方与员幂原若四○○与三一四故也】

用尺算　用平分线　求同根之幂

平方幂　四○○　　　　八十○　　　【皆倍而退位之数】平员幂　　　三一四　　约爲六十三弱【实六二八】

六等边幂　　二五五　　　　五十一

三等边幂　　一七○　　　　三十四

右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与员同径乃对角之径也于六等边之边则爲倍数三等边则只用边

若六等边形亦卽用边与平方平员之全径相比则如后法

平方　　　四○○　　　平方　一○○○○平员　　　三一四　　　平员　　七八五四六角　　一○二○　　　六角　二五五○○三角　　　一七○　　　三角　　四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则爲平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也

量体细法

四等面体求积

法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等面积也

又法置半边幂三除之得数以乗半边幂得数副寘之又以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四分之一也【即三角扁锥】

算二十等面

二十等面之棱线甲丁设一百七十八【原设一百一十因欲使外切立方与十二等面同故改此数】　心乙一百四十四【即原切十等边之半径又为外切立方之半径】　外切立方径二百八十八

求中心为分体之高　法先

求乙中【乃各棱折半处至三角面中央一点之距】依防何补编半甲丁得八

十九为甲乙自乘【七千九百二十一】取三之一【得二千六百四十又三之一】为

乙中句幂又以心乙【一四四】自乘【二○七三六】为幂相减余【一万八千○九十五又三之二】为股幂开方得心中一百三十四半强为分体鋭尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立员径

求甲心为分体斜棱　法以甲乙为句其幂【七九二一】以乙心为股其幂【二○七三六】并之【二八六五七】为幂开方得甲心一百六十九二为分体自角至鋭之斜棱　倍之三百三十八半弱为外切浑员之径

或取理分中末线之大分【如心乙】为股小分【如甲乙或丁乙】为句取其【甲心或丁心】为二十等面自角至心之楞线合

之成甲心丁形即二十等面分形之

斜立面也甲丁则原形之楞也

如【甲心丁】之面三皆以心角为宗以甲

心等合之【三面皆有此】则甲丁等底【三底

并同甲丁】以尖相遇而成三等边之面即

二十等面之一面也以此为底则成

三角尖锥矣　尖锥之立三角面皆等皆稍小于底解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心【即乙心】不等如与股【乙戊即十等边之一边乃二十等面横切之面之边】今欲求心中正立线中即

二十等面一面之中自此至

心成心中线则其正高也

法先求甲中为句取其幂以