历算全书

求甲中为句取其幂以

减甲心幂即心中股幂开

方得心中

简法取乙甲【即原楞之半又即小分】自幂三之一以减乙心【即大分又即原楞均半处至形心即斜立面中线】之幂即心中幂

又解曰原以甲乙半楞【又即二十等面中剖所成之楞即十等边之一边故为小分】为句【在形内为小分乃乙戊也今形外之甲乙与甲乙同大故亦为小分】乙心【即二十等面中切成十等边自角至心之故为大分又即为二十尖锥各立面三角形之中长线】为股则甲心为【自各角至体心之线】而甲心幂内有乙心股甲乙句两幂今求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而仍以甲心为幂内减甲中句幂则其余心中股幂也　依防何补编甲乙幂三分加一为甲中幂故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心为则中乙为句而心中为股依补编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一为句幂以减心乙幂即得心中股幂开方得心中此法尤防

作法　以二十等面之楞【如甲丁】折半【如甲乙或丁乙亦即甲戊】为理分中末之小分求其大分【如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外切立方之半径】　再以大分为股【乙心】小分为句【甲乙亦即甲戊亦即戊乙】取其【甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径】　再以原楞【甲丁】为底切员半径为两【甲心及丁心】成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣　如是作立锥形二十聚之成二十等面体

立锥体之中高线【心中】以乘三体面之幂而三除之得各锥积二十乘锥积得立积　其中高线【心中】即内容立员之半径

立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底原体之楞【甲丁】折半【甲乙】为小分为句取其大分【心乙】为股句股求得自角至心为外切员之半径【心甲】

假如【甲丁】原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘【三千○二十五】为句幂其大分乙心【即外切立方半径】八十九自乘【七千

九百二十一】为股幂并二幂【一万○九

百四十六】平方开之得【一○四又六二

不尽约为一○四半强】为角至体心之

线【心甲】即外切立员之半径

算二十等面之楞于浑天度

得防何分

法以心甲为浑天半径甲乙

为正法为心甲与甲乙若

半径与甲心乙角之正查正表得度倍之为丁甲通所当之度

算十二等面

五等边面为十二等面之一　面有五边在体之面则为五楞锥其一楞设一百一十【甲丙】半之五十五【乙丙】以甲丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也【即丙丁壬丁壬戊丁角为丙中甲角之半与平圆十等边之一面等】半之八十九已丙也【即乙辛以丙巳乙为两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小分乙巳或辛乙为大分】为内作小五等边之一边【乙辛】亦即十二等面从腰围平切之十等边面也

又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也【分图辛心乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙防即五等面边两楞相凑之角　　　乙丙辛虚线形即前图乙丙辛形】为甲丙半楞【乙丙】之全分何则前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙心形内【分图】作庚辛乙形与丙巳乙形等【庚乙即乙丙五等面一边之半乙辛庚辛即丙巳乙巳为小五边形之一边】则乙庚为小分乙辛为大分【心庚同】今又以乙辛为小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也【乙癸同】夫心乙乃庚乙【小分】辛乙【大分即心庚】之并则乙心为庚乙之全分矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切立圆半径也

右法杨作枚补

今求心中线为五等边最中一防【中】至体心【心】之距亦即内容浑员半径

先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距　法为甲乙比乙中若半径与五十四度之切线

一　半径　　　　　　一○○○○○

二　乙甲中角【五十四度】切线一三七六三八

三　半楞甲乙　　　　五十五

四　中乙　　　　　　七十五【七○】

用句股法以心乙【一百四十四】为中乙【七十五七】为句句各自乘相减得心中股幂平方开之得中高线【心中为容员半径】求得容员半径一百二十二半弱【心中】

又求甲心线为各角至体心之距【即外切浑员半径】　用句股法以甲乙【五五】为句心乙【一四四】为股并句股幂求甲心

求得外切圆半径一百五十四强【甲心】

十二等面根一一○【甲丙】

外切立员半径一四四【心乙】全径二八八○

内容浑员半径一二二半【心中】全径二四五【弱】

外切浑员半径一五四【甲心】全径三○八【强】

十二等面之分体并五楞锥并以五等边面为底原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分求其全分乙心一百四十四【即外切立方半径】乙甲【五十五】自乘【三千○二十五】为句幂心乙【一百四十四】自乘【二万○七百三十六】为股幂并之得【二万三千七百六十一】平方开之得【一百五十四强】为自角至心之线甲心即外切员半径

作法　以五等面之一边为

底楞【甲丙】以外切员半径【角至心之】

【线】为两之楞【甲心及丙心】而防于心五边悉同则为十二分体之一如是十二枚则成十二等面体

变体数

求浑圆积

设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一【古法】乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例亦得圆面七八五七一四以四因之得浑圆之幂三一四二八五六

置浑圆之幂以半径五○○因之得一五七一四二八○○○是为以浑圆面幂为底半径为高之圆柱形积置圆柱形积以三为法除之得五二三八○九三三三是为以浑圆面幂为底半径为高之圆角形积亦即浑圆之积

浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公积

立方

置公积即浑圆积【五二三八○九三三三】立方开之得立方根八○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方

方锥

置公积【五二三八○九三三三】以三因之得数立方开之得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑圆等积之方锥

方

锥

圆柱

置公积【同上】十四因之十一除之为实立方开之得高濶相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之积之圆柱

【圆柱】

圆锥

置公积【同前】以三因之【变圆锥形积为圆柱积】再以十四因之十一除之为实【变圆柱积为立方积】立方开之得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥　或置积以四十二因之十一除之立方开之亦同

【圆锥】

按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其余三形皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆长濶相等而不为浑圆立方者耳夫不为浑图立方而仍可以法求者以其长濶相等则仍为有法之形也然而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误耶或其所用非径七围二十二之率耶俟攷

浑圆以径求积

置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之见积

解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一　径自乗则为平方形以十一乗十四除则平方变为平圆矣以平圆为防半径乗之成圆柱形再以三归之成圆角形【即圆锥】浑圆面幂为防半径为髙之角形四倍大于此圆角形故又四因之即成浑积也

防法　径自乗以乗半径乃以四十四因四十二除见积　或径上立方形二十二因四十二除或用半数十一因二十二除见积并同

浑圆以积求径

置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方开之得圆径

解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为髙全径之平圆为防今以十四乗十一除则变为全径之平方为防半径为髙矣故加一倍即成全径之立方

防法　积倍之以四十二因四十四除立方开之得圆径　或用本积以八十四乗四十四除立方开之　或用半数以四十二乘二十二除立方开之　或又折半以二十一乗乗十一除立方开之得积并同

按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似尚有盈朒然所差在防忽之间而已吾及锡山杨昆生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十二之率则其所得圆积亦必小于古率矣

杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五

约法

立方与立圆之比例若二十一与十一　平圆与外方若十一与十四　平圆与内方若十一与七

圆内容方之余【即四小弧矢形】若七与四圆外余方【即四角减弧矢】若十一与三准此则余圆【即小弧矢】与余方若四与三而小弧矢与其所减之余方角若一与七五亦若四与三也

厯算全书卷五十八

少广拾遗序

少广爲九章之一其开平方法爲薄海内外测量家所需非隶首不能作也平方而外有立方以爲凿筑土方之用课工作者犹能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣尝见九章比类厯宗算会算法统宗俱载有开方作法本原之图而仅及五乗竝无算例同文算指稍变其图具七乗方算法而不适于用诠释不无譌误西镜録演其图爲十乗方而举数仅详平立三乗一式而已余皆未及康熙壬申余在都门有友人传逺问属询四乗方十乗方法葢诸乗方法独此二端不可以借用他法而问者及之窃喜朋侪中固自有留心学问之人遂稍取古图防绎发其指趣爲作十二乗方算例颇觉详明然后知今日所用开平方法廼算数家径捷之用而不及古图之简括精深也宣城梅文鼎

钦定四库全书

厯算全书卷五十九

宣城梅文鼎撰

少广拾遗

开方求亷率作法本原图

自开平方至开八乗方

古图附説

图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无乘除之可言而数从此起也次并列【一一】者方邉也西法谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即有平幂故第三层　者幂积也西法谓之面即一百二十一也左一百为初商自乗之幂即大方积也右单一为次商自乗之幂即隅积也小平方也中二十则两亷积也并长方也

如图大小两方幂以

一角相聫必得两亷

以辅之而其方始全

故平方亷积二也

第四层　者立方积也西法谓之体积即一千三百三十一也左一千初商再乗之积大立方也右单一为次商再乗之积隅积也小立方也中三百三十皆亷积也三百为三平亷积扁立方也三十为三长亷积长立方也

如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角必得三平亷之扁立方体补于大立方之三面又有三长亷之长立方体补于小立方之三面及三平亷之隙而方体始全故立方之亷积有二等而其数各三也

第五层　者三乘方也即一万四千六百四十一也左一万者大三乗方也初商方积也右单一者小三乗方也次商隅积也大方积既以三乗之故而积陞至万小

【隅虽　　　　　三　　　　　乘】

【仍单一也其相隔已三位故必有第一亷为】【千数第二亷为百数第三亷为十数以补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以】【上不可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者焉以其相生之序言之则皆】【加一筭法也初商次商如十与一而其幂则如百与一故于之下各加即成如十一之自】【乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成即三乗方率四乗】【以上凖此加之皆加一法　也曰若是则诸乗】【方皆以十一逓乗而得非十一者何以处之】【曰根非十一而其理皆如十与一何则凡増一乗积陞一等而亦増一亷亷与亷之积亦】【皆如十与一也幂幂旧名方法旧名上亷旧名下亷一一一一音觅周礼幂人掌共巾幂説文覆也开平方四邉俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文故谓之幂亦谓之面同上省文也见张参五经文字书或小写】

亷率立成附説

凡开方一位除尽者无亷隅也亷隅皆生于次商次商之根必小于初商一等而其小隅之体必与初商之大方同状【如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方】此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法则不然每増一乗则亷増一等【如平方但有亷立方则有平亷长亷三乗方则有三种亷四乘方则有四种亷其亷之等并与其乘数同増】而亷亦加多【如平方只二亷立方则平亷长亷各三三乗方则三种亷共有十四乗以上则更増而多如图所列】此亷率所由立也

问亷既有等【如平方亷为十立方亷为十为百之类】而今亷率只作单数用何也曰此亷之数也非亷之积也亷积有等则既于其次序分之矣挨次乗之其等自见【如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是】若同一等中应各有若干亷必先知之而后可用故立成中所列皆单数问古图以右为隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自右而左便于取用故也【亷法相生之序左右同数如立方平亷三长亷亦三也三乗方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷则其近小隅亦有若干亷故左右并同可以左为初商大方右为小隅亦可以右为大方而左为小隅此亦见古图之妙也】

问旧有方法亷法之目今防曰亷法何也曰开方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方与隅之间次商初商相乗而得者皆亷也旧以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四为序较画一耳

问平方之亷皆平幂也立方之平亷长亷皆体积也不知三乗方以上之亷积亦能与方隅并状乎曰凡诸乗方之亷积无不与方隅之乗数等也试以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗积而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根数而又以次商之立积乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗积也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗积也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂积也又以乗次商再乗积其第四防有五皆初商根也又以乗次商之三乗积皆四乗也五乗方以上俱如是观后算例自明

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

诸乗方根同而积不同本易知也惟根之一者积同为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三乗以上诸乗方之一虽曰积同为一其实不同也今以方根之为单一为一十为一百者为例如右

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九>

因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无次商者去尾○用之则方根只为单数

多【如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根】近小隅者次商乗之遍数多【如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立积】各乗方皆如是

开诸乗方大法

诸乗方法惟平方为用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至于多乗而通为一法是为大法【诸乗方大法可以开平方而平方専法不可以开诸乗方】

总法　凡诸乗方皆先列实　次作防分段　次查表以定初商　次求亷隅以定续商

列实之法　依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存其位

作防分段之法　皆于原积末位单数作一防起【凡减隅积必至单位故分段之法以此为宗同文算指但言起末位殊混】依各乗方宜以若干位为一段即隔若干位防之【或作实防丶或作虚防□俱可然虚防尤便以减商积时有借上位之防免凌杂也】如平方以每两位为一段则隔一位防之立方以三位为一段则隔两位防之乃至十二乗方以十三位为一段则隔十二位之并同一法

谨案作防分段其用有二一以定开方有若干次也如有一防则只开一次有两防则开二次三防则开三次之类一以定开方所得为何等数也如只有一防则初商即单数二防则初商是十数三防则初商是百数之类是故初商减积必至于最上防而止也次商减积必至于次防而止也每开一次必减积一次而所减之数必各尽于其作防之位亦可以验开方之无误也又最上防以上初商实也次以上次商实也每商皆以防位截实此法于初商尤为扼要

又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类山隂周述学厯宗算防悉着其説而同文算指西镜录本其意以作防定之施于笔算为极善也【鼎于三十年前见同文算指作防之法惊叹其竒后读诸书始知其有所祖述非西人创也】

初商之法　皆以最上一防截原积若干位为初商实乃查初商表视本乗方下数有与实相同或较小于

实者录之纪于左线之左【皆以表数末位对右线上原实最上纪之】是为初商应减之积　即于本表旁行查方根纪于左线之右【皆对所纪表数首位进一位纪之】是为初商数

以初商应减之积【左行所纪】与初商实【右行最上防所截原实】对位相减【皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作防于上一位借十数减之】减不尽者为余实以待续商

凡原实有二则初商为十数而有次商有三防初商为百数而有次商及三商以上仿论如实只一防则初商即是单数无续商

次商之法　皆以第二截余实为次商实

凡初商皆为方积次商以后则有亷积隅积

先求亷率　查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干数平列之为若干行谓之定率【如平方只一种亷其定率二立方有二种亷曰平亷曰长亷其定率并三若三乗方则有三种亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四详后式】每増一乗即亷増一等而定率増一行【有亷之等有亷之数如平方有二亷立方有三平亷三长亷此亷之数也平方之两亷同积共为一等立方之三平亷同积为一等三长亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义】

求亷泛积　以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积【有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止】

求防商数以泛积约余实得之

求亷定积　以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣】

求隅积　以次商数查初商表各依本乗方取之【以次商对横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之】列于亷积之后一行是为隅积【小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上并同故可借初商表用之】

求亷隅共积　以所得各亷定积及隅积用并法并之即得

求次商定数　以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数　如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数

三商以后并同上法

不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商　其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商　余法并同次商

审○位之法　凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一防余实为续商余实

次商单一之法　凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商【惟单一则然若商得一十一百一千仍须如法乗之】

开平方【即一乗方】

设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干

答曰五千七百八十三

列实法【先作两直线次以方积三三四四三○八九列

右线之右】　作【法于实末位单数作一防起逆上每

隔一位防之有四防宜商四次初商是千】初商法曰

【用最上一防截原实两位三三为初商实查表有小于实三三】

【者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作防借上一数为十三减去五余八改书八于实三之右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】