历算全书

九

如法于初商表取三乗方积二五六

减原实定初商为四十余实【三二○四八○

一】为次商实　法置初商四○自乗

再乗得【六四○○○】为亷积【本方三乗故亷积用再乗为减一等】又以四为亷数【三乗方故用四为亷数为加一数】亷数乗亷积得【二五六○○○】为法以除次商实得九为次商【得数可进一十因欲存第二亷以下亷隅积数不得满除只商作九数待酌】遂合初商次商共四十九依法自乗得【二四○一】又以【二四○一】自乗得【五七六四八○一】以较原实相同减尽即定四十九为三乗方根

厯算全书卷五十九

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>

钦定四库全书

厯算全书卷六十

宣城梅文鼎撰

壍堵测量二

总论

堑堵测量者句股法也以西术言之则立三角法也古九章以立方斜剖成堑堵其两端皆句股再剖之则成锥体而四面皆句股矣任以锥体之一面平寘为底则其鋭上指环而视之皆成立面之句股而各有三角三边故谓之立三角也

立三角之法以测体积方圆斜侧靡所不通其测浑圆之弧度则有二理其一用视法如弧三角所诠用三角三弧之正切线移于平面【谓浑圆立剖之平面】即成三层句股相似之比例今谓之浑圆容立三角也其一不用视法而用实数如句股锥形等法用三弧三角之割线余各于其平面自成相似之句股以为比例【三弧直剖至浑圆之心即各成句股形之面】今谓之堑堵测量也【浑圆内容之立三角亦堑堵之分形而堑堵测量所测亦浑圆之度因书匪一时所为而意各有属其名遂别二而一一而二者也】

以上通论立三角及堑堵测量命名之意并其同异之处【因立三角有堑堵之名因浑圆内三层句股生堑堵之用故存此二者以为堑堵测量基本】

凡数之可算者皆可作图以明之故浑圆可变为平圆如古者葢天之图是也数之可算可图者皆可制器以象之故浑圆可剖为锥体堑堵测量之仪器是也凡测算之器至今日大备且益精益简古者浑仪经纬相结为仪三重至郭太史之简仪立运仪则一环而已足今则更省之为象限仪是益简益精之效也至于浑象无与于测而有资于算所以证理也西法之简平浑葢以平写浑亦可谓工巧之至独未有器以证八线夫用句股以算浑圆其法莫便于八线然八线之在平圆者可以图明在浑圆者难以笔显【鼎】葢尝深思其故而见浑圆中诸线犁然有合于古人堑堵之法乃以坚楮肖之为径寸之仪而三弧三角各线所成之句股了了分明省笔舌之烦以象相告于作圆布算不无小补而又非若浑象之难成因名之曰堑堵测量从其质也堑堵形析浑象之一体亦如象限仪割浑仪之一隅环而测之则象限即浑仪之全周也周徧析之则堑堵即浑象之全体也是故堑堵形可析为两可合为一其析者一为句股锥【亦曰立三角仪】则起二分讫二至一为句股方锥【亦曰方直仪】则起二至讫二分起二分者西率起二至者古率也是两者九十度中皆可为之【自分讫至九十度并可为句股锥自至讫分九十度并可为句股方锥】然至半象以上割切三线太长溢出于方堑堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股锥近至度用句股方锥以黄道四十七度赤道四十五度为限过此者互用其余如是则两锥形合之成方堑堵矣

方堑堵内又成圆堑堵二其一下为赤道圆象限而一为撱形之象限距度之割切二线所成也其一下为撱形象限而上为黄道之圆象限距度正黄道半径所成也【两圆堑堵之用已括于两锥形内】两圆堑堵内又以黄道正距度正成小方堑堵之象则郭太史圆容方直本法也于是又有圆容方直仪简法而立三角之仪遂有三式【一句股锥其形四鋭一方直仪其底长方一圆容方直简法仪其底为浑圆幂之分】

之三者或兼用割切或专用正而并不用角合浑圆内三层句股观之可以明立法之根

以上论堑堵测量仪器【句股锥形及句股方锥形二种为堑堵测量正用而圆容方直形专用正成小堑堵尤正用中之正用也此小堑堵在两重圆堑堵内故兼论之又此小堑堵足阐授时弧矢之秘因遂以郭法附焉】

问八线生于角用八线而不用角何也曰角与弧相应故用角即用弧也用弧即用角也明于斯理而后可以用角浑圆内三层句股是也明于斯理而后可以不用角堑堵三仪是也用角者西法也而用角即用弧则通于古法也不用角者古法也而用弧即用角则通于西法也于是而古法西法可以观其防通息其烦喙矣

以上论角即弧解之理

立三角法序

立三角者量体之法也西学以几何原本言度数而所译六卷之书止于测面其测体法则未之及葢难之也余尝以句股法释几何而稍为推广其用谓之几何补编亦曰立三角法本为体积而设然其中义类颇有与浑圆弧度之法相通者故摘録之以明堑堵测量之理

立三角法摘録

总论

一立三角为有法之形

立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆为有法之形故立三角亦不拘斜正而皆为有法之形

一立三角为量体之宻率

凡量体者必析之析之成立三角形则可以知其容积可得而量矣若不可以立三角析者则为无法之形不可以量

一立三角即锥体

立三角任以一面平安如底则余三面皆斜立【亦有一面正立者】而鋭必在上即成三角立锥

一各种锥体皆立三角之合形

凡锥体必上尖下濶任取其一面观之皆斜立之平三角也凡锥形自其尖切至底则其中剖之立面亦平三角也锥体之底或四边五边以至多边若以对角线分其底又即皆成平三角也故四棱锥可分为两五棱锥可分为三六棱以上无不可分分之皆立三角形故知一切锥体皆立三角之合形也

底之边多至于三百六十又析之为分为秒以此为底皆可成锥体再析之至于无数即成平员底可作员锥要之皆小平三角面无数以成之者也

一各种有法之形亦皆立三角之合形

如立方体依其棱剖至心成立分体皆扁方锥其斜面辏心皆成立三角长方体亦然

四等面体从其棱剖至心成四分体八等面则成八分体二十等面成二十分体皆立三角锥

十二等面依棱剖至心成十二分体皆五棱锥其立面五皆立三角

浑员形以浑员面幂为底半径为髙作大员锥而成浑积凖前论皆无数立三角所成然则浑员亦立三角也

浑员既为立三角所成则半之而为半浑员【一平员面一半浑员面如员中剖】或再分之而为一象限或更小于象限之浑员【细分弧面自象限以内至于一度内若干分秒如剖橘瓤并一弧面两半平员面】以浑员之理通之皆立三角所成

一无法之形有面有棱即皆为立三角所成

凖前论各依其楞线割之至底或依对角线斜剖之即皆成立三角而无法之形皆可为有法之形

一立三角体之形不一而皆有三角三边

非四面不能成体故立三角必四面非三角三边不能成面故立三角体之面皆三角三边

约举其类有四面相等者即四等面形也【其面幂等其棱之长短亦等】

有三面相等而一面不等者其不等之一面必三边俱等余三棱则自相等

【以上皆形也四等面任以一面为底其雉尖正立居中三等面形以等边之一面为底锥尖亦正立居中】有二面两两相等者

有二面相等余二面不等者

有四面各不相等者

有三面非句股而一面成句股者有两面成句股者【其句股或等或否】

有四面并句股者句股立锥也

【以上不皆正形而皆为有法之形】

一立三角形有实体有虚体

实者如台如墖如堤虚者如井如池又如隔水测物皆自其物之平面角作直线至人目即成虚立锥体以人目为其顶鋭而所测平面则其底也所作直线皆为其棱若所测平面为四边五边以上皆可作对角线分为立三角锥形【虚体实体并同一法】

立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直线至星宿所居之度则此三星之相距皆弧度也三弧度为边即成弧三角形以为之底其三直线皆大员半径以为之棱而合于地心以为之顶鋭亦立三角之虚形【即弧三角锥体】

若于浑球体作三大圏相交成弧三角形从三角作直线至员心依此析之即成实体与上法并同一理

一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安则其鋭尖上指如人之立

眠者以底侧立如堵墙而锥形反横如人之眠此惟正形之锥则有之【既定一面为底则底在下者为立在旁者为眠】如虚形则不拘正斜皆以所测为底

又如弧三角锥以浑员面上所成之弧三角为底以三直线辏于浑体之心为其顶鋭则四面八方皆可为底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹【亦惟有底有鋭之正形则然若他形底无定名随人所置】眠体倒体以及他形之欹侧不同而皆为有法之形者三角故也

一古法有壍堵阳马鳖臑刍甍等法皆可以立三角处之【壍堵一作堑堵】

凡立方体从其面之一棱依对角斜线剖至其底相对之一棱则其积平分而成壍堵形

【甲乙为顶有袤无广丙丁戊己为方底或长方则丙丁同巳戊为袤丁己仝丙戊为广乙丙同甲丁为其髙甲丁乙丙为立面甲乙戊己为斜面皆长方乙丙戊同甲丁巳为两端立面皆句股形而相对相等】

【壍堵形有如屋者甲乙顶袤如屋脊甲乙丙丁及甲乙戊巳两长方皆斜面而相等丙丁戊己为底乙丙戊与甲巳丁两圭形相对而等而以乙辛为其髙其辛丙及辛戊俱平分而等】

【又或甲乙顶袤不居正中而近一边然甲乙与丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及甲巳乙戊两斜面虽有大小而并为长方形乙辛垂线不能分丙辛及辛戊为平分而必与丙戊底为十字正角则乙辛为正髙】

以上三者皆壍堵之正形并以髙乘底折半见积何也皆立方之半体其两端皆立三角形也【第一形两端为句股第二第三皆以乙辛中剖成两句股】

凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙为顶长丙丁戊己为底眠者以戊己为顶长反以甲乙丙丁为底如隔水测悬崖之类

【又有斜壍堵形其各线不必平行底不必正方但俱直线则底与两斜面皆可作对角线以分为三角形而诸数可测实体虚体并有之于测量之用尤多】

斜壍堵本为无法之形而亦能为有法之形者可析之成三角也

凡壍堵形从顶上一角依对角线斜剖之为两则成一立方锥一句股锥

【堑堵形从乙角作乙巳乙丁两对角线依线剖之则成两形】

【立方锥一　　　　句股锥一】

【名阳马　　　　　名鳖臑】

阳马形【以丙丁戊己方形为底以乙为顶鋭而偏居一角故乙丙直立如垂线以为之髙其四立面皆成句股形故又名句股立方锥】

论曰阳马形从壍堵第一正形而分故其髙线直立于一隅乃立方之楞线四面句股形因此而成是为句股方锥之正体若斜壍堵等形之分形则但可为斜立方锥而不得为句股方锥亦非阳马

【斜立方锥者其顶不居正中然又不能正立一隅故非句股立锥而但为斜立方锥如上二形顶既偏侧底亦非方亦斜立锥形也然其立面皆三角故亦为有法之形斜立方锥亦可立可眠皆可以立三角法御之但不如句股立方锥之有一定比例】

鳖臑形【以甲乙为上袤而无广以丁巳为下广而无袤故称鳖臑象形也其各面或句股或不为句股而皆三角故又名三角锥】

句股立锥形【其上有袤而无广下有广而无袤并同鳖臑所异者甲角正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面并成句股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜面并成句股又丁角正方故甲丁巳平面乙丁巳斜面并成句股是四面皆句股也故谓之句股方锥而不得仅名鳖臑】

论曰鳖臑中有句股立锥犹斜立方锥中之有句股方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明测量比例之理

又论曰立三角所以为有法形者谓其可施八线也而八线原为句股之比例此二者既通体皆句股所成故在有法形中尤为有法矣

又论曰若于句股方锥再剖之即又成二句股锥而皆等积故阳马为立方三之一句股锥则为六之一皆立方之分体也

又论曰句股方锥及句股锥皆生于堑堵故堑堵形为测量之纲要

【刍薨形亦如屋而两端渐杀故顶窄而底寛其丙丁戊己底或正方或长方甲乙顶小于丙丁或居正中或稍偏然皆与丙丁及戊己平行】

刍甍葢取草屋之象乃壍堵形之一种亦可分为三鳖臑

又有刍童者形如方台皆立方之变体方台面与底俱正方蒭童则长方而面小底大则同亦皆可分为立三角

凖前论方台作对角线并可为两刍甍即可再分为六鳖臑即皆立三角锥也

论曰量面者必始于三角量体者必始于鳖臑皆有法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角耳量体者析之至鳖臑而止再析之仍鳖臑耳面之可以析为三角者即为有法之面体之可以析之为鳖臑者即为有法之体葢鳖臑即立三角之异名也量体者必以立三角非是则不可得而量

算法

凡算立三角体须求其正髙以正髙乘底以三而一见积其法有三其一顶居一角其棱直立即用为正髙其二顶鋭不居一角而在三角之间其三顶斜出底三边之外并以法求其垂线为正髙

假如巳甲乙丙立三角体甲乙丙为底已为顶鋭正居丙角之上巳丙如垂线为髙先以乙丙五十六尺甲乙边【六十一尺】甲丙边【七十五尺】求

其羃积【一千六百三十尺】以乘已丙髙【四十尺】得【六万七千二百尺】为实以三为法除之得【二万二千四百尺】为立三角锥体若欲知已乙甲已两斜依句股求即得【已丙既直立则恒为股以股自乘幂加乙丙句幂为幂开方得已乙又以股幂加甲丙句幂为幂开方得甲乙】若已顶不居一角而在三角之中则已丙非正髙乃斜棱也法当分为两形其法依丙已棱直剖至底

以上二形乃中剖为二之象其中剖之立

面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂线即为正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得数为实三除见积

又法不必剖形但于形外任依一楞如丙已于庚作垂线至丙以法取庚防与已顶平行即庚丙为正髙与己戊等【或量得庚已横距为句以己丙为求其股即得庚丙正髙亦同】

立三角之顶有斜出者或在底外则于已顶作垂线至庚与甲乙丙底平行乃任用相近一棱如己乙为量庚乙之距为句依法求其股得己庚为其正髙以乘底三除见积

问己顶既居形外己庚何以得为正髙也曰此易知也但补作甲庚虚线成四边形为底则为四棱立锥而己庚为其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以己庚为正髙矣

假如乙庚丙甲为底丙甲与乙庚等丙乙与甲庚等或斜方或正方其己庚一棱正立如垂则即为正髙正髙乘方底三除之即体积也若从甲乙对角线分其底为均

半又依甲己甲乙二棱从顶直剖之至底则分为两三角形而各得其积之半矣【底既平分为两则其积亦平分为两】其己庚乙甲形与己甲乙丙形既皆半积则相等而庚乙甲底与甲乙丙底又等则其髙亦等而己庚乙甲形既以己庚为髙矣则己甲乙丙形之髙非己庚而何又论曰量体积者必先知面犹量面幂者必先知线也然则量体者亦先知线矣是故量体之法可转用之以求线也【量体者有先知之面幂有求而得之面幂夫求之而得面者必先求其面幂之界界即线也故量体之法可用之以求线也】何谓以量体之法求线曰测量是也前论立三角有虚体为测量之用夫虚体者无体者无体而有线如实体之有棱故可以量体之法求之也如所测之物有三防即成三边三角当以三直线测之则立三角锥形矣所测有四防当以四直线测之则四棱立锥形矣两测则又为堑堵形矣故测量之法可以求线也

又论曰用立三角以量体者所用者仍平三角也而用三角以量面者所用者仍句股也吾防是而知圣人立法之精深广大

浑圜内容立三角体法

全形为堑堵

分形为鼈臑即立三角体又为句股

立锥西法所用

若内切小堑堵则为圜容方直形即

郭太史弧矢法

先解全形　堑堵体

亢戊乙夘为堑堵斜面　其形长方

夘乙为浑圜半径【夘为浑圜之心】亢戊为四十五度切线与夘乙同度同为横边　亢夘为乙角割线与戊乙同度同为直边

亢氐戊丁为堑堵立面　其形横长方

亢氐者乙角切线也与戊丁同度以为之髙　亢戊及氐丁皆四十五度切线与半径同度以为之濶

亢氐夘戊丁乙皆堑堵两和之墙　其形皆立句股氐夘同丁乙皆半径为句　亢氐同戊丁皆乙角切线为股　亢夘同戊乙皆乙角割线为

夘乙丁氐为堑堵之底　其形正方

夘乙及夘氐皆浑圜半径其对边悉同

法曰先为立方体以容浑球使北极在上南极在下皆正切于立方底葢之中心则赤道平安而赤道之二分二至亦皆在立方四面之中心矣

次依赤道横剖方体为均半而用其上半为半立方容半浑圜形则二分二至皆在半立方之底线各中心而赤道全圈居其底

次依二分二至从北极十字剖之又成四小立方各得原立方八之一而小立方内各容浑圜分体八之一此小立方有一角之楞直立为北极之轴上为北极下即浑圜心夘角也其立方根皆浑圜半径

次依黄赤道大距取切线为髙作横线于小立方夏至之一边即亢戊线

次依亢戊横线斜剖至对边之足则成堑堵矣【对边之足即夘乙也本为黄赤道半径今在小立方体为方底之边故云足也】

堑堵体有五面　其一斜面【亢戊乙夘长方】　其三立面【一亢氐戊丁长方二亢氐夘戊丁乙相等两句股】　其一方底【夘乙氐丁平方】

堑堵形面　有赤道象弧在方底　有黄赤大距弧在立句股边　即两和之墙

底形　　　　　底形正方　其夘角即黄赤道心

氐甲乙为赤道一象限　乙为春分

氐为夏至赤道　夘氐及夘乙皆

赤道半径　其对边氐丁及乙丁皆

四十五度切线

立句股面形一　　立句股之面有二【一亢氐夘一戊丁乙】皆同角

同边　亢氐夘形内有氐癸弧为夏

至黄赤大距二十三度半强　氐夘

为赤道半径　癸夘为黄道半径

夘角为黄赤大距角【氐癸弧之角】　亢氐

者氐癸弧之切线【亦即夘角切线】　亢夘者

氐癸弧之割线【亦即夘角割线】

癸弧之割线【亦即夘角割线】

立句股面形二　戊乙丁形即前图亢氐夘形之对面

戊丁髙同亢氐切线【如股】　戊乙斜

线同亢夘割线【如】　丁乙横线同氐

夘【如句】　乙角同夘角

又有黄道象弧在斜面

斜面形　　　　斜面形长方【其斜立之势依黄道】　其夘角为

黄道心【即赤道心】　乙丙癸为黄道一象

限　乙为春分【与赤道同用】　癸为黄道

夏至　夘癸及夘乙皆黄道半径【内夘

乙与赤道同用】　亢夘为二十三度半强之

割线【夏至黄赤大距割线】　其相对戊乙边与亢夘割线同度亢戊边与夘乙半径相对同度乃四十五度之切线【与底上切线氐丁相应】

立面形　　　　立面形亦长方其势直立　亢戊及

氐丁二边为其濶皆四十五度切线

与半径同度　亢氐及戊丁为其高

皆二十三度半之切线【夏至黄赤大距切线】以亢戊边庋起斜面之亢戊边而成

角体仍以氐丁边联于方底之氐丁

边则其形直立矣

次解分形　立三角体【古谓鼈臑即句股锥】

内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角锥

夘为浑圜心【黄赤同用】　夘乙浑圜半径【黄赤同用】　乙丙弧为黄道经度　丙夘为黄道半径　乙甲弧为赤道经度甲夘为赤道半径　丙甲弧为黄赤距纬　乙为春

分防　酉乙未角为春分角二十三度半与二至大距之纬度相应此角不动　丙为所设黄道度距春分后之防此防移则丙之交角变而诸数皆从之而变法曰于前图全形堑堵斜面黄道象弧内寻所设黄道经度自春分【乙】起数设度至丙从丙向圜心夘作丙夘半径遂依半径引长至堑堵之边【酉】成酉夘直线依酉夘直线直剖至底【未夘线为底酉未线为边】成酉未乙夘立三角体此立三角体有四面而皆句股故又曰句股立锥立句股之锥尖为酉

其斜面为酉乙夘句股形【乙正角　乙酉为股乙夘为句　酉夘为】其立面二

一为酉未乙句股形【未正角　酉未垂线为股未乙为句　酉乙为】一为酉未夘句股形【未正角　酉未垂线为股未夘为句　酉夘为】

其底为未乙夘句股形【乙正角　未乙为股乙夘为句　未夘为】

以上四句股面凡楞线六

夘乙半径也酉乙黄道丙乙弧之切线也而酉夘则其割线也未乙赤道乙甲弧之切线也而未夘则其割线也惟酉未垂线于八线无当今名之曰锥尖垂线亦曰锥尖柱亦曰外线以其离于浑圜之体也

句股面有四而用者一酉未乙也以其能与乙角之大句股为比例也

楞线六而用者二酉乙及未乙也以其为二道之切线为八线中有定数可为比例也

第一层句股比例图

酉未乙句股形以黄道切线【酉乙】赤道切线【未乙】相连于乙角【成鋭角】则酉乙为未乙为句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面又同用乙角故可以相为比例术为以赤道半径【丁乙】比乙角之割线【戊乙】若赤道切线【未乙】与黄道切线【酉乙】也【此为以句求】又以黄道半径【牛乙】比乙角之余【昴乙】若黄道切线【酉乙】与赤道切线【未乙】也【此为以求句】

解曰丁乙与氐昴同大则皆赤道半径也戊乙与亢夘同大则皆乙角割线也牛乙与癸卯同大皆黄道半径昴乙与己夘同大皆乙角余也　从乙窥夘则成一防而乙角夘角合为一角其角之割线余尽移于堑堵之第一层而同在一立面为句若【观总图自明】

以赤道求黄道　　以黄道求赤道

一　赤道半径　　一　黄道半径

二　乙角割线　　二　乙角余

三　赤道切线　　三　黄道切线