历算全书

三　赤道切线　　三　黄道切线

四　黄道切线　　四　赤道切线

若求角者反用其率　　　　又法

四　乙角割线　　　　　四　乙角余

第二层句股比例图

子甲丑句股形以黄赤距度之切线【子甲】赤道之正【甲丑】相连于甲成正角则子甲为股甲丑为句而与坎震丑及女娄丑二句股形同在一立面又同丑角故可相求术为以赤道半径【震丑】比乙角之切线【坎震】若赤道正【甲丑】与距度之切线【子甲】也【是为以句求股】又为以乙角之正【女娄】与乙角余【娄丑】若距度之切线【子甲】与赤道之正【甲丑】也【是为以股】

【求句】

解曰震丑即氐夘赤道半径也坎震即亢氐乙角之切线也女娄即癸己而娄丑即己夘乙角之正余也从乙窥夘则乙丑夘成一防而合为一角其角之切

线正余尽移于堑堵第二层立面为句与股以赤道求距度　以距度求赤道　又法

一　半径　　　一乙角正　一乙角切线　半径二　乙角切线　二乙角余　二半径　　　【乙角余切】三　赤道正　三距度切线　三　距度切线四　距度切线　四赤道正　四　赤道正若求角则反用其率　　　又法

一　距道切线　半径　　一　赤道正　半径

二　赤道正　　　　　二　距度切线

三　半径　　　【距度余切】　　三　半径　　　【赤道余割】

四　乙角余切　　　　　四　乙角切线

第三层句股比例图

丙辛壬句股形以距度正【丙辛】黄道正【丙壬】相连于丙而成鋭角则丙壬为丙辛为股而与干艮壬及奎胃壬二句股同在一立面同用壬角故可相求

术为以黄道半径【奎壬】比乙角之正【奎胃】若黄道正【丙壬】与距度之正【丙辛】也【是为以求股】又为以乙角之切线【干艮】比乙角之割线【干壬】若距度之正【丙辛】与黄道正【丙壬】也【是为以股求】

解曰奎壬即癸夘黄道半径也奎胃即癸己距度正也干艮即亢氐而干壬即亢夘则乙角之切线割线也从乙窥夘则乙丑壬夘半径因直视成一防而合为

为一角其角之正切割线尽移于堑堵之第三层立面以为为股

以黄道求距度　　以距度求黄道　又法

一　半径　　　一　乙角切线　一　乙角正　半径二　乙角正　二　乙角割线　二　半径　　　【乙角余割】三　黄道正　三　距度正　三　距度正四　距度正　四　黄道正　四　黄道正

若求角则反用其率　　　　又法

一　距度正　半径　　一　黄道正　半径

二　黄道正　　　　　二　距度正

三　半径　　　【距度余割】　　三　半径　　　【黄道余割】

四　乙角正割　　　　　四　乙角正

弧三角锥体【即割浑圜体之一分】

法曰依前论从丙防对夘直割至底则截黄道于丙截赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖浑圜之迹又成丙甲弧【为两道距纬】三弧相凑成丙甲乙弧三角面　丙夘甲夘乙夘同为半径三半径为楞辏于夘心夘为三角之尖乙甲丙弧三角面为底成乙甲丙夘弧三角锥体为割浑圜体之一分也

此弧三角锥体含于句股立锥体内凖前论可以明之因此弧三角锥与句股锥同鋭【夘尖】异底【一以弧三角面为底一以句股平面为底】故以弧三角变为句股以求其比例而有三法【即前条所论三层句股】

其一为酉未乙句股形

用酉乙【为黄道丙乙弧切线】未乙句【为赤道乙甲弧切线】以当乙角之与句

其一为子甲丑句股形

用子甲股【为距度丙甲弧切线】甲丑句【为赤道乙甲弧正】以当乙角之股与句

其一为丙辛壬句股形

用丙辛股【为距度丙甲弧在】丙壬【为黄道丙乙弧正】以当乙角之股与

问两弧求一弧非句股锥乎与此所用同耶异耶曰形不异也乃法异耳何言乎法异曰句股锥一也而有用角不用角之殊此用角度其句股在锥形之底【以夘心为锥形之鋭则三层句股皆为其底】而遥对浑体之心以视法成比例两弧求一弧不用角度其句股同在锥形之一面无假视法自成比例所以不同然其为句股之比例一而已矣然则两弧求一弧惟用割线余此所用者惟正切线又何不同若是耶曰角之句股在心【如夘亢氐等形皆依极至交圏平剖浑圜成平面其象始着是在浑圜之心】与为比例之句股在面【如酉未乙等形皆以一角连于浑圜之面】二者相离以视法相叠如一平面然惟正切线能与之平行【从凸面平视则设度之正切线皆与浑圜中割之平面诸线平行】若割线余皆非平行因视法而跻缩失其本象【或斜对则长线成短线或对视则直线成一防】不能为比例无所用之矣若两弧求一弧则其句股自相垜叠于一平面【平立斜三面各具三句股而如相垜叠并以一大句股横截成三】皆以本数自相为比例全不闗于视法故无跻缩而其算皆割线余所成于正切线反无所取所以不同　若以量体之法言之割线余为量立楞斜楞之法正切线则量底之法也【两弧求一弧法见二卷】

如图　以卯为句股立

锥之顶卯乙为直立之

楞如浑圆半径夘未夘

酉为斜面之楞并如割

线酉乙未乙两底线并如

切线若依底线平截之成

大小三形则比例见矣

剖浑圜用余度法

乙丙黄道弧在四十五

度以上求甲乙赤道弧

【即同升度】

依前法　半径【癸卯亦即庚乙】与乙角【春分】之余【乙壬亦即

卯己】若乙丙【黄道】之切线【尾乙】与乙甲【赤道】之切线【箕乙】

此法无误但如此则两切线大于堑堵须引之于形外是以小比例例大比例也若至八十度切线太大不可作图矣

今改用余度　法自卯浑圜心遇黄道设弧丙作线至酉【剖至底】

以乙丙黄道之余弧癸丙取其切线于斜面如癸斗又以乙甲赤道之余弧甲氐取其切线于底如氐

未即以氐未移至斜面之楞如亢酉变立句股【尾箕乙】为平斜句股【酉亢卯及斗癸卯两形皆相似】　法为半径【癸卯】与乙角之正割线【乙角即卯角其割线戊乙亦即卯亢】若乙丙黄道之余切线【癸斗】与乙甲赤道之余切线也【亢酉亦即氐未】

按此法从亢戊边剖堑堵成句股方锥之眠体

其剖形以亢氐酉未长方形为底以卯为锥尖以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形为相对之二边又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形为相对之二边其四面皆句股其底长方而以卯为尖故曰眠形

不直曰方锥者以面皆句股而卯氐线正立故不得仅云阳马谓之句股方锥可也亦如句股锥立三角不得仅谓鼈臑

堑堵测量二

句股锥形序【即两弧求一弧】

正弧三角之法即郭太史侧视图也郭法以侧视取立句股又以平视取平句股故有圆容方直之法而不须用角西法専以侧视之图为用故必用角用角即用弧也惟其用角故所用者皆侧立之句股也余此法则兼用平立斜三种句股而其大小句股之比例并在一平面尤为明白易见而不更言角既与授时之法相通其兼用割线起算春分又西厯之理也葢义取适用原无中外之殊笇不违天自有源流之合敬存此稿以质方来其授时厯侧视平视之图详具别卷

正弧三邉形以两弧求一弧法【句股锥形之理】

用割线余以弧度求弧度而不言角其理与郭法相通

丙甲乙三角弧形　甲为正角

卯为浑员心丙乙为黄道距春分之

一弧甲乙为赤道同升之弧丙甲为

黄赤距度【即过极圈之一弧】丙卯为黄道半

径甲卯为赤道半径卯乙为黄赤两

道之半径壬卯为丙乙黄道之余【以丙壬为其正故】丑卯为甲乙赤道之余【以甲丑为其正故】辛卯为丙甲距度之余【以丙辛为其正故】子卯为丙甲割线【以子甲为切线知之】酉卯为丙乙割线【以酉乙为切线如之】未卯为甲乙割线【以未乙为切线知之】

斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为丙乙黄道　平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为甲乙赤道　立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧为丙甲距度【其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形为切线正所作兹不论】论曰因诸线成平面句股形为底两立面句股形为墙斜面句股形为面则四面皆句股形矣而酉未联线及子甲切线丙辛正皆直立上对天顶下指地心故谓之句股锥形也既成句股则其相等之比例可以相求用法

半径与赤道之余若黄道之割线与距度之割线

反之则赤道余与半径若距度割线与黄道割线一　甲乙余　丑卯小句　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲割线　子卯小　四　丙乙割线　酉卯大又更之则黄道割线与半径若距度割线与赤道余一　丙乙割线　酉卯大　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲割线　子卯小　四　甲乙余　丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯两句股形以乙卯半径为比例偕一余两割线而成四率

半径与距度之割线若黄道之余与赤道之余一　半径　　　丙卯小　二　丙甲割线　子卯大三　丙乙余　壬卯小句　四　甲乙余　丑卯大句反之则距度割线与半径若赤道余与黄道余一　丙甲割线　子卯大　二　半径　　　丙卯小三　甲乙余　丑卯大句　四　丙乙余　壬卯小句又更之则黄道余与半径若赤道余与距度割线一　丙乙余　壬卯小句　二　半径　　　丙卯小三　甲乙余　丑卯大句　四　丙甲割线　子卯大右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半径偕一割线两余而成四率

半径与赤道割线若距度割线与黄道割线

更之则赤道割线与半径若黄道割线与距度割线一　甲乙割线　未卯大句　二　半径　　　甲卯小句三　丙乙割线　酉卯大　四　丙甲割线　子卯小又更之则距度割线与半径若黄道割线与赤道割线一　丙甲割线　子卯小　二　半径　　　甲卯小句三　丙乙割线　酉卯大　四　甲乙割线　未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半径偕三割线而成四率

半径与黄道余若赤道割线与距弧余

一　半径　　　乙卯大句　二　丙乙余　壬卯小句三　甲乙割线　未卯大　四　丙甲余　辛卯小更之则黄道余与半径若距弧余与赤道割线一　丙乙余　壬卯小句　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲余　辛卯小　四　甲乙割线　未卯大又更之则赤道割线与半径若距弧余与黄道余一　甲乙割线　未卯大　二　半径　　　乙卯大句三　丙甲余　辛卯小　四　丙乙余　壬卯小句右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半径偕两余一割线而成四率

半径与距度余若赤道余与黄道余

更之则距度余与半径若黄道余与赤道余一　丙甲余　辛卯小　二　半径　　　甲卯大三　丙乙余　壬卯小句　四　甲乙余　丑卯大句又更之则赤道余与半径若黄道余与距度余一　甲乙余　　丑卯大句　二　半径　　　甲卯大三　丙乙余　　壬卯小句　四　丙甲余　辛卯小右取平面【甲丑卯辛壬卯】二句股以甲卯半径偕三余而成四率

半径与黄道割线若距弧余与赤道割线

更之则黄道割线与半径若赤道割线与距弧余一　丙乙割线　酉卯大　二　半径　　　丙卯小三　甲乙割线　未卯大句　四　丙甲余　辛卯小句又更之则距弧余与半径若赤道割线与黄道割线一　丙甲余　辛卯小句　二　半径　　　丙卯小三　甲乙割线　未卯大句　四　丙乙割线　酉卯大右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半径偕两割线一余而成四率

作立三角仪法【即句股锥形】

法以坚楮依各线画成句股而折辏之则各线之在浑员者具可覩矣　任取黄道之一弧为例则各弧并同

底上甲乙弧赤道同升度

也赤道各线俱在平面为

底面上丙乙弧黄道度也

黄道各线俱在斜面立面

丙甲弧度黄赤距纬也距

纬各线俱在立面　外立面为黄赤两切线之界论曰此即郭若思太史员容方直之理也太史法从二至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半为界直切至赤道平面截黄赤道两半径成小立句股以此为法求得平面大句股则赤道之正半也其直切两端下垂之迹在二至半径者既成小立句股其在所求本度者又成斜立句股此斜立句股之股则本度黄赤距度之正半也于是直切之迹有黄道正半为其上下之横长有黄赤距度之正半为两端之直濶成直立之长方形而在浑体之中故曰弧容直濶也此侧立长方之四角各有黄赤道之径为其楞以直凑浑体之心成眠体之句股方锥句股方锥者底虽方而锥尖偏在一楞则其四面皆成句股此郭太史之法也今用八线之法以句股御浑体其意略同但其法主于用角故从二分起算遂成立句股锥形立句股锥形亦可以卯心为锥尖是为眠体锥形如此则两锥形之尖皆在员心【一郭法一今法】而可通为一法是故用郭太史法则以句股方锥为主而句股锥形其余度所成之余形今以句股锥形为主则员容直濶所成句股方锥又为余度余形矣然则此两法者不惟不相违而且足以相法古人可作固有相视而笑莫逆于心者矣余窃怪夫世之学者入主出奴不能得古人之深而轻肆诋诃者皆是也吾安得好学深思其人与之上下其议哉

句股方锥序

堑堵虚形以测浑员原有二法一为句股锥形一为句股方锥其句股锥之法向有法方锥之法亦略见于诸篇而未畅厥防故复着之其法以弧求弧而不求角与句股锥同而起算二至则郭太史本法矣方锥与锥形互相为正余故亦可以算距分之度也

筭黄赤道及其距纬以两弧求一弧又法【用句股方锥形亦堑堵形之分】以八线法立筭起数二至本郭法史员容方直之理而稍广其用亦不言角

如图癸为二至黄道癸丙为

距至黄道之一弧【如所设】氐为

二至赤道氐甲为距至赤道

之一弧【与癸丙黄道相应】癸氐为二

至黄赤大距弧【二十三度半强】丙甲

为所设各度之黄赤距纬【即过极圈之一弧】卯为浑圆心黄道癸丙之正丙张余张卯正矢癸张切线癸斗割线斗卯

赤道氐甲之正甲庚余庚卯正矢氐庚切线氐室割线室卯

大距度癸氐之正癸己余己卯正矢氐己切线氐亢割线亢卯

距纬丙甲之正丙辛余辛卯正矢甲辛切线甲子割线子卯

论曰因诸线成各句股形为句股方锥之面其鋭尖皆防于卯心又成方直形以为之底遂成句股方锥之眠体

一斜平面有黄道弧诸线成句股形二【一丙张卯一斗癸卯】又有相应之赤道诸线亦成句股形二【一壁亢卯一子房卯】四者皆形相似而比例等

一平面有赤道弧诸线成句股二【一甲庚卯一室氐卯】又有相应之黄道诸线亦成句股二【一辛井卯一亥己卯】四者皆形相似而比例等

一立面有大距弧诸线成句股二【一癸己卯一亢氐卯】又有相对之距纬诸线亦成句股二【一张井卯一房庚卯】四者皆形相似而比例等

一斜立面有黄赤距度诸线成句股二【一丙辛卯一子甲卯】又有相对之大距度诸线亦成句股二【一斗亥卯一壁室卯】四者皆形相似而比例等

论曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而并为相似之形者皆以一大句股截之成四也其股与并原线而所截之句又平行其比例不得不等

一内外两方直形【一在浑员形内即郭法所用乃黄道及距纬两正所成一在浑员形外乃赤道及大距两切线所成】有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等

一不内不外两方直形【一跨黄道内外乃赤道正及距纬切线所成一跨赤道内外乃黄道切线及大距正所成】有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等

论曰方锥眠体以平行之底横截之【即四种方直形皆方锥之底】成大小四方锥其锥体之顶鋭【卯】与其四棱皆不动所截之底又平行故其比例相似而等

又论曰黄道在斜平面赤道在平面而其线互居者以方直形故也大距度在立面距纬度在斜立面而其线毕具者亦以方直形故也葢形既方直则横线直线两两相对而等

用法

斜平面比例

黄道半径与黄道正若距纬割线与赤道正

更之黄道正与黄道半径若赤道正与距纬割线

一丙张小股　二丙卯小　三子房大股　四子卯大又更之距纬割线与黄道半径若赤道正与黄道正

一子卯大　二丙卯小　三子房大股　四丙张小股右取斜平面张丙卯房子卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正而成四率

黄道半径与黄道切线若大距割线与赤道切线

更之黄道切线与黄道半径若赤道切线与大距割线一癸斗小股　二癸卯小句　三亢壁大股　四亢卯大句又更之大距割线与黄道半径若赤道切线与黄道切线一亢卯大句　二癸卯小句　三亢壁大股　四癸斗小股右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半径偕一割线两切线而成四率

平面比例

赤道半径与赤道正若距纬余与黄道正

更之赤道正与赤道半径若黄道正与距纬余一甲庚大股　二甲卯大　三辛井小股　四辛卯小又更之距纬余与赤道半径若黄道正与赤道正

一辛卯小　二甲卯大　三辛井小股　四庚甲大股右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半径偕一余两正而成四率

赤道半径与赤道切线若大距余与黄道切线

更之赤道切线与赤道半径若黄道切线与大距余一氐室大股　二氐卯大句　三己亥小股　四己卯小句又更之大距余与赤道半径若黄道切与赤赤道切线一己卯小句　二氐卯大句　三己亥小股　四氐室大股右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半径偕一余两切线而成四率

立面比例

黄道半径与大距正若黄道余与距纬正

更之大距正与黄道半径若距纬正与黄道余一癸己大股　二癸卯大　三张井小股　四张卯小又更之黄道余与黄道半径若距纬正与大距正

一张卯小　二癸卯大　三张井小股　四癸己大股右取立面己癸卯井张卯二句股形以癸卯半径偕一余两正而成四率

赤道半径与大距切线若赤道余与距纬切线

更之大距切线与赤道半径若距纬切线与赤道余一氐亢大股　二氐卯大句三庚房小股　四庚卯小句又更之赤道余与赤道半径若距纬切线与大距切线一庚卯小句　二氐卯大句三庚房小股　四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半径偕一余两切线而成四率

斜立面比例

黄道半径与距纬正若黄道割线与大距正

更之距纬正与黄道半径若大距正与黄道割线一丙辛小股　二丙卯小　三斗亥大股　四斗卯大又更之黄道割线与黄道半径若大距正与距纬正

一斗卯大　二丙卯小　三斗亥大股　四丙辛小股右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正而成四率

赤道半径与距纬切线若赤道割线与大距切线

更之距纬切线与赤道半径若大距切线与赤道割线一甲子小股　二甲卯小句　三室壁大股　四室卯大句又更之赤道割线与赤道半径若大距切线与距纬切线

一室卯大句　二甲卯小句　三室壁大股　四甲子小股右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半径偕一割线两切线而成四率

以上方锥形之四面每面有大小四句股形即各成四率比例者六合之则二十有四并以两弧求一弧而不言角

方直形比例

黄道正与距纬正若赤道切线与大距切线

更之距纬正与黄道正若大距切线与赤道切线一张井小股　二井辛小句　三亢氐大股　四氐室大句又更之赤道切线与大距切线若黄道正与距纬正

一氐室大句　二亢氐大股　三井辛小句　四张井小股再更之大距切线与赤道切线若距纬正与黄道正

一亢氐大股　二氐室大句　三张井小股　四井辛小句右取浑体内所容方直形上黄道及距纬两正偕浑体外所作方直形上赤道及大距两切线而成四率

赤道正与距纬切线若黄道切线与大距正

更之距线切线与赤道正若大距正与黄道切线一房庚小股　二庚甲小句　三癸己大股　四己亥大股又更之黄道切线与大距正若赤道正与距纬切线

一己亥大句　二癸己大股　三庚甲小句　四房庚小股再更之大距正与黄道切线若距纬切线与赤道正一癸己大股　二己亥大句　三房庚小股　四庚甲小句右取方直形上黄道切线大距正偕又一方直形上赤道正距纬切线而成四率

以上大小方锥形之底各成方直形而两两相偕即各成四率比例者四合之则八并以三弧求一弧而不言角

凡句股方锥形所成之四率比例共三十有二皆不言角内四率中有半径者二十四并两弧求一弧四率中无半径者八以三弧求一弧其不言角则同

问各面之句股形并以形相似而成比例若方直形所用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何以得相为比例曰句股形一居平面一居立面而能相比例者以有棱线为之作合也何以言之如亢卯割线为方锥形之一棱而此线既为斜平面句股形【壁亢卯】之股又即为立面句股形【氐亢卯】之故其比例在斜平面为亢卯与张卯若亢壁与张丙也而在立面为亢卯与张卯若亢氐与张井也合而言之则亢壁与张丙亦若亢氐卯与张井余仿此