历算全书

为斜平面句股形【壁亢卯】之股又即为立面句股形【氐亢卯】之故其比例在斜平面为亢卯与张卯若亢壁与张丙也而在立面为亢卯与张卯若亢氐与张井也合而言之则亢壁与张丙亦若亢氐卯与张井余仿此

问此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也试平置方锥【以方底着地使卯鋭直指天顶而卯氐棱线正立如垂】而从其卯顶俯视之则卯井庚己氐棱线上分段之界因对视而成一防亢卯棱线与亢氐线相疉室卯线与室氐相叠皆脗合为一惟亢壁室氐直　形因平视而得正形其壁卯棱线则成壁氐而斜界于对角分直方形为两句股形矣又其分截之三方直形亦以平视得正形亦各以棱线分为两句股而大小相疉成相似之形而比例等矣

如图亢氐室壁长方以壁氐

线成两句股而张井辛丙长

方【即张氐辛丙】亦以丙卯线【即丙井亦

即丙氐】成两句股并形相似则

亢壁与张丙若亢氐与张井【张井即张氐】

又癸己亥斗长方【即癸氐亥斗】以斗卯线【即斗己又即斗氐】成两句股而房庚甲子长方【即房氐甲子】亦以子卯线【即子庚又即子氐】成两句股而形相似则癸斗与房子若癸己与房庚【癸己与房庚即癸氐与房氐】

展形【展之成四句股面一方直底】　　　合形【合之则成句股方锥】

作方直仪法【即句股立方锥】

法以坚楮依黄赤大距二十三度半画成立面再任设赤道距至度画成平面再依法画距纬斜立面及黄道距至度斜平面并方直底然后依棱折辏即浑员上各线相为比例之故了然共见

任指黄道或赤道之距至一弧为式即各弧可知其所用距至弧或在至前或在至后或冬至或夏至并同一理

方堑堵内容员堑堵法

先解方堑堵

堑堵以正方为底【氐卯丁乙形】其上有

赤道象限【氐干乙弧乙春分氐夏至】以长方为

斜面【亢卯戊乙形】其上有黄道象限【癸巽

乙弧乙春分巽夏至】底与而一邉相连【卯乙邉为

底与斜面所同用故相连乃黄赤道之半径】一邉相离

【氐丁邉在底与赤道平行亢戊邉在斜面故相离其距为亢氐为戊】

【丁皆大距度癸氐弧之切线】其形似斧

从斜面作戊卯对角线切至底【戊丁卯对角线于底】分堑堵为两则赤道为两平分【赤道平分于干干乙距春分干氐距夏至各得四十五度】而黄道为不平分【黄道分于巽则巽乙距春分四十七度二十九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分强】于是黄道切线【戊乙】与大距度割线【亢卯】等而方堑堵之形以成【亢卯为大距二十三度三十一分半之割线其数一○九○六五戊乙为黄道四十七度二十九分之切线其数亦一○九○六五两数既同故能作长方斜面而成堑堵】乃黄道求赤道用两切线之所赖也【若赤道求黄道则反用其率】

法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面句股比例【戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳卯皆大句股也其酉未乙则为小句股】

右黄道求赤道为以求句

一　赤道半径氐卯　　　大句

二　大距割线亢卯　　　大

三　赤道切线未乙【甲乙赤道】　小句

四　黄道切线酉乙【丙乙黄道】　小

右赤道转求黄道为以句求

自黄道四十七度二十九分以后用余切是斜平面句股比例【斜面亢虚卯为大句股癸斗卯为小句股在平面则为氐危卯大句股己心卯小句股】一　黄道半径癸卯　小股

二　大距割线亢卯　大股

三　黄道余切癸斗　小句　【牛乙黄道其余弧牛癸】

四　赤道余切亢虚　大句　【女乙赤道其余弧女氐】

右黄道求赤道为以股求句

一　赤道半径氐卯　　　大股

二　大距余己卯　　　小股

三　赤道余切危氐【即亢虚】　大句　【女氐即女乙赤道之余】四　黄道余切心己【即癸斗】　小句　【牛癸即牛乙黄道之余】右以赤道转求黄道亦为以股求句

论曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史员容方直之理但郭法起二至则此所谓余弧乃郭法之正弧又郭法只用正而此用切线为差别耳

又论曰正切线法亦可用于半象限以上余切线亦可用于半象限以下此因方堑堵之底正方则所用切线至方角而止故各用其所宜【云半象限者主赤道而言若黄道以四十七度二十九分为断一平一斜故其比例如与句】

又论曰正切线法即句股锥形也余切线法即句股方锥也以对角斜线分堑堵为两成此二种锥形遂兼两法

次解员堑堵

方堑堵内容割浑员之分体以癸牛丙乙黄道为其斜面之界以氐女甲乙赤道为其底之界而以癸氐大距弧及牛女丙甲等逐度距弧为其髙髙之势曲抱如浑员之分斜面平面皆为平员四之一【其髙自癸氐大距渐杀至春分乙角而合为一防】

员堑堵者虽亦在方堑堵之内然又在所容割浑员分体之外与割浑员体同底亦以赤道为界而不同面其面自乙春分过子过奎至亢其形卯乙短而亢卯长如割平撱员面四之一其撱员邉之距心皆以逐度距纬【如丙甲牛女等】之割线所至为其界【如卯子为丙甲距弧割线卯奎为牛女距弧割线之类】而以逐度距纬之切线为其髙【如子甲为丙甲距弧切线奎女为牛女距弧切线之类】

法以赤道为围作员柱置浑员在员柱之内对赤道横剖之则所剖员柱之平员底即赤道平面也又自夏至依大距二十三度三十分半之切线为髙斜对春秋分剖至心则黄道半周在所剖之斜面矣

然黄道半周虽在所剖斜面而黄道自为半平员所剖斜面则为半撱员黄道平员在撱员内两端同而中广异【两端是二分如乙为平撱同用之防中广是夏至如黄道癸在撱面亢之内其距为癸亢】此员堑堵之全体也

于是又从亢癸对卯心直剖到底则成员堑堵之半体即方堑堵所容也此员堑堵斜面之髙俱为其所当距纬弧之切线浑员上弧三角法以距纬切线与赤道平面之正相连为句股而生比例是此形体中所具之理

此堑堵体与前图同惟多一亢奎子乙撱弧以此为撱员界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方则成员堑堵真体

此员堑堵为用子甲丑句股形之所頼子甲为距弧切线甲丑为赤道正也又子甲如股甲丑如句法为子甲与甲丑若亢氐与氐卯

前图为从心眎邉此为从邉眎心盖因欲显圆堑堵内方直形故为右观之象与前图一理惟多一己庚辛乙撱弧【前图亢奎子乙撱弧在黄道斜面此图己庚辛乙撱弧在赤道平面】

员堑堵有二

若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成员堑堵象限然又在剖浑员体分之内其体以斜面为正象限但斜立耳其底在赤道者转成撱员

此撱员形在赤道象限之内惟乙点相连此即简平仪之理

其撱之法则以卯乙半径为大径癸氐距弧之余卯巳为小径小径当二至大径当二分与前法正相反然其比例等何也割线与全数若全数与余也

此员堑堵以撱形为底象限为斜面以距度逐度之正为其髙乃黄道距纬相求用两正之所頼也此员堑堵内又容小方堑堵乃郭太史所用员容方直也

浑员因斜剖作角而生比例成方员堑堵形其角自○度一分以至九十度凡五千四百则方员堑堵亦五千四百矣【乙角以春分为例则其度二十三度半强其实自一分至九十度并得为乙角合计之则五千四百】

每一堑堵依度对心剖之成立句股锥及方句股锥之眠体自○度一分至大距止亦五千四百

以五千四百自乗凡二千九百一十六万而浑员之体之势乃尽得其比例乌呼至矣

每度分有方堑堵方堑堵内函赤道所生撱体赤道撱体内又函黄道所生撱体黄道撱体内又函小方堑堵每度分有此四者则一象限内为五千四百者四共二万一千六百【以乙角五四○○乗之则一一六六四○○○○】

每度有正有余对心斜分则正度成句股锥余度成方底句股锥之眠体一象限凡四万三千二百【以五四○○乘之则二三三二八○○○○】

员容方直简法序

古未有预立算数以尽句股之变者有之自西洋八线表始古未有作为仪器以写浑员内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之仪分之曰句股锥形曰句股方锥形合之则成堑堵形其称名也小其取类也大径寸之物以状浑员而弧三角之理如指诸掌即古法之通于弧三角者亦如指诸掌矣虽然犹无解于古法之不用割切也故复作此简法以互征之而授时厯三图附焉盖理得数而彰数得图而显图得器而真草野无诸仪象借兹以自释其疑不敢自私故以公之同好云尔【句股锥形是以西法通国法句鈠方锥形是以郭法通西法今此简法是専解郭法而两法相同之故自具其中】

员容方直仪简法【即句股方锥之方直仪而不用割切线祗以各弧正矢度相求其用己足亦不须用角】

立面中有句股形二其一大句股形【癸巳乙】以黄道半径【癸乙】为大距度正【癸巳】为股大距度余【巳乙】为句其一小句股形【壬戊乙】以黄道余【壬乙】为距纬正【壬戊】为股楞线【戊乙】为句

平面中亦有句股形二其一小句股形【庚戊乙】以距纬丙甲之余【庚乙】为以黄道正【戊庚】为股楞线【戊乙】为句其一大句股形【甲辛乙】以赤道半径【甲乙】为以赤道正【甲辛】为股赤道余【辛乙】为句【戊乙线于弧度无取然平立二形并得此补成句股谓之楞线】黄道正本在斜平面而能移于平面者有相望两立线【丙庚壬戊】为之限也距度正本在斜立面而能移于立面者有上下两横线【丙壬庚戊】为之限也此四线【两立两横】相得成长方其立

如堵故又曰弧容直濶也

有大距有黄道而求距纬　更之可求大距　反之可求黄道一　半径　　　癸乙　一　黄道余　一　大距正二　大距正　癸己　二　距纬正　二　半径三　黄道余　壬乙　三　半径　　　三　距纬正四　距纬正　壬戊　四　大距正　四　黄道余

有赤道有距纬而求黄道　更之可求赤道　反之可求距纬一　半径　　　甲乙　一　距纬余　一　赤道正二　赤道正　甲辛　二　黄道正　二　半径三　距纬余　庚乙　三　半径　　　三　黄道正四　黄道正　庚戊　四　赤道正　四　距纬余

郭太史本法

弧矢割员图【见授时厯草下并同】

凡浑员中割成平员任割平

员之一分成弧矢形皆有弧

背有弧有矢割弧背之形

而半之则有半弧背有半弧

有矢　因弧矢生句股形

以半弧为句【即正】矢减半

径之余为股【即余】半径则常为　句股内又成小句股则有小句小股小而大小可以互求或立或平可以互用【平视侧视二图皆从此出】

侧视之图

横者为赤道【赤道一规因旁视如一直线黄

道同】

斜者为黄道

因二至黄赤之距成大句股

【即外圈】

因各度黄赤之距成小句股

平视之图

外大员为赤道

内撱者黄道【从两极平视则黄道在赤道内

而成撱形】

有赤道各度即各其有半弧

以生大句股

又各有其相当之黄道半弧

以生小句股【此二者皆可互求】

授时厯求黄赤内外度及黄赤道差法

置黄道矢【本法用带从三乗方求各度矢】去减周天半径【即立面黄道半径】余为黄赤道小【即黄道余也半径为大故此为小】置黄赤道小以二至内外半弧【即二至大距度正当时实测为二十三度九十分】乘之为实黄赤大【即周天半径以其为立面大句股之故称大】为法除之得黄赤道内外半弧【即各度黄赤距度正也原法以矢度度半背差加入半弧得内外半弧背今省】

又置黄赤道小以黄赤道大股【即二至内外度余也在立面大句股形为大股】乗之为实黄赤道大为法除之【解见前】得黄赤道小股【即立面平面两小句股同用之楞线在立面与大股相比故称小股】置黄道半弧【即黄道正也原法以黄道矢求半背差减黄道度得之】自乗为股幂黄赤小股自乗为句幂【即楞线也先在立面为小句股形之股今又为平面句股形之句故其幂称句幂】两幂并之为实开平方法除之为赤道小【即各度黄赤距度余也周天半径为平面上大句股之故称大则此为小句股当称小】置黄道半弧以周天半径乗之为实赤道小为法除之得赤道半弧【即赤道正也原法求半背差以加半弧得赤道今省】

论曰弧矢割员者平员法也以测浑员则有四用一曰立弧矢势如张弓以量黄赤道二至内外度即侧立图也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平视图也一曰斜弧矢与平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起处如二至内外之度以量黄道即平视图中小句股也一曰斜立弧矢与立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即侧立图中小句股也自离二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小于二至之距邢台郭太史弧矢平立三图中具此四法即弧三角之理无不可通言简而意尽包举无穷好古者所当珤爱而翫也

又论曰割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台葢有所本厥后授时厯承用三百余年未加修改测箕之讲求益稀学士大夫既视为不急之务而台官株守成法鲜谙厥故骤见西术羣相骇诧而不知旧法中理本相同也畴人子弟多不能自读其书又忌人之读而各私其本久之而书亦不可问矣攷元史厯成之后所进之书凡百有余卷【郭守敬传有修改源流及测騐等书齐履谦传有经串演撰诸书明厯法之所以然】今其存轶并不可攷良可浩叹然天下之人岂无有能藏弆遗文以待后学者庶几出以相证予于斯图之义类多通而深有望于同志矣

问元初有回回厯法与今西法大同小异邢台葢防通其説而为之故其法相通若是与曰九章句股作于首为测量之根本三代以上学有専家大司徒以三物教民而数居六艺之一秦火以后吾中土失之而彼反存之至于流逺分遂以各名其学而不知其本之同也况东西共戴一天即同此句股测员之法当其心思所极与理相符虽在数万里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人进万年厯未经试用迨明洪武年间始命词臣吴伯宗西域大师马沙亦黒等译回回厯书三卷然亦粗具筭法立成并不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八线或更有他法俱无可攷虽其子孙莫能言之攷元史所载西域人晷影堂诸制与郭法所用简仪髙表诸器无一同者或测量之理触类増智容当有之然未见其有防通之处也徐文定公言回回厯纬度凌犯稍为详宻然无片言只字言其立法之故使后来入室无因更张无术盖以此也又据厯书言新法之善系近数十年中所造则亦非元初之西法矣而与郭图之理反有相通岂非论其传各有本末而精求其理本无异同耶且郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用八线故先得又西専用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论东西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而啓深思务集众长以观其防通毋拘名相而取其精粹其于古圣人创法流传之意庶几无负而羲和之学无难再见于今日矣

角即弧解

问古法只用弧而西法用角有以异乎曰角之度在弧故用角实用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚钝角有己庚辰庚二邉欲求诸数依垂弧法于不知之辰角打线线先补求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度为丙丁是用庚角者实用丙丁也其法庚丙九

十度之正【即半径】与丙丁弧之正弧【即庚角正】若庚辰正与辰辛正是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割线【即庚角割线】与庚丁九十度之正【亦即半径凡角度所当弧其两边并九十度】若庚辰之切线与庚辛之切线亦是以大句股之例例小句股也

既补成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度为乙甲是求巳角者实求乙甲也其法辛己弧之正与辰辛弧之切线若己甲象弧之正【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也

又如己辰庚形庚为鋭角当自不知之辰角打线分为二形以求诸数其一辰辛庚分形先用庚角而庚角之度为丙丁用庚角实用丙丁也法为丙庚象弧之正【即半径】于丙丁弧之正【即庚角正】若辰庚之正与辰辛之

正又丙庚象弧之正弧【即半径】与丙丁弧之余【即庚角余】若辰庚之切线与辛庚之切线是以大句股例小句股也

其一辰辛己分形【以庚辛减己庚得己辛】有辰辛己辛二邉可求己角而己角之度为乙甲求己角实求乙甲也法为己辛之正与辰辛之切线若己甲象之正【即半径】与乙甲弧之切线【即己角切线】是以小句股例大句股也一系　用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求角是以小句股比例比大句股

厯算全书卷六十