同文算指

截取丁辛之数其辛己线与乙丙戊为平行若其表仅

与身等或小于身另立一小表为己戊而以目切之为己亦可乃以丙戊为首率丁辛为次率乙戊为三率算之得甲庚之髙加目至足之数己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至则用两表之较为算如前图立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛数乃或前或却又立一表【或即用前表或两表等】为癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅数此癸寅与丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相减截己辛于卯得卯辛较为首率以表目相减之较癸寅或丁辛为二率以两目相距之较己丑或戊子为三率算之得甲庚加自目至足之数得甲乙之髙【前图为进步立重表者后图为退步立重表者】

以表测地平逺

欲于甲测甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窥望次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙相参直次移丙度于己截取丁己之度为首率以丙己或甲戊为次率丙甲表度为三率算之得甲乙

之逺

以矩尺测逺

欲于甲测地平逺者先立一表为甲丁与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺际之乙稍移就之使丁戊与乙相参直次回身从丁丙尺上亦望地平之己使丁丙与己相参直乃量己至表下甲为首率表身丁甲为次率又为第三率依法算之得甲乙逺

以重矩兼测无广之深无深之广

有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之深则用重矩法先于甲岸上依垂下直线立戊甲己勾股矩尺其甲己勾长六尺人从股尺上视勾末己与谷底

丙相参直以目截取戊甲股上之庚

庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂

下直线取壬壬去甲一丈五尺于壬

上亦依垂直线更立一辛壬癸勾股

矩尺壬癸勾亦长六尺从股尺上视

勾末癸与谷底丙相参直而以目截

取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如

欲求深者以前股所得庚甲五尺与

两勾间壬甲十五尺相乘得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五尺如欲求广者以勾六尺与两勾间十五尺相乘得九十尺为实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺【测深法与重表测逺同测逺法与重表测髙同】

移测地平逺及水广

凡测江河谿壑之广逺身不能至而其傍近有平地与彼相当者立表于乙际为甲乙与地平为直角次用一小尺或竹木等为丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相参直次以表带尺旋转向平地以目视丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之数　如不用

表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便

以四表测逺【前测逺诸法不依极髙不得极逺此法能于平地测极逺】逺望一山或城或台为甲欲测其逺择平旷处立表【前云

依地平线必依直线取平此不必拘】为乙次

任却后若干步更立一表

为丁望两表与甲一直线

次从乙丁各横行若干步

取平方为四角形其二角为丙为己就丙上更立一表又从丁己直行若干尺望丙与甲一直线此际立表为戊乃以乙丙减丁戊之较为首率乙丁为次率乙丙为三率算之得乙逺

假如丁戊三十六乙丙三十相减余六乙丁四十以六为首率四十为次率三十为三率算之得二百四十为甲乙逺

测髙深逺近不谐布算而得其度

凡测量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立处距所测物之底若不能至者则其影较度或两测较度也其三表度或距较度也设如测一髙其影较八而距较十步其影较八【一率】与表十二【二率】

之比例若距较十步【三率】与其所求之

髙【四率】如不谙算法则于平面画作甲

乙甲丙两直线任和交于甲从甲向

乙用规作八平分为影较甲丁次用

元度从丁向乙规取十二平分为矩

度丁乙次从甲向丙规取十平分为

矩较甲戊【此用度与前两率度任等不等】乃从戊至

丁画一直线次从乙亦画一直线与

戊丁平行而截甲丙线于丙次取甲戊元规度从丙向戊画得若干分即所求之髙

又法若景较七度有半距较八度三

分度之一即物髙度十三步三分步

之二如后图加目至足髙即得全髙

附勾股畧

测量之法専用半矩则勾股所必借也故补入勾股以显测望原本旧法勾三股四五葢勾自乘股自乘并之即自乘数故得勾股可以求得勾可以求股得股可以求勾而引伸其义可以求勾股中容方容圆可以各较求勾求股求可以各和求勾求股求其变无穷今撮其要者十五则着于篇

句股求

甲乙股四乙丙勾三求以股自乘得十六勾自乘得九并得二十五为实开

方得甲丙五【开方法见后编】

勾求股

如前图乙丙勾三自乘得九甲丙五自乘得二十五相减得较十六开方得甲乙股四

股求勾

如前图甲乙股四自乘得十六甲丙五自乘得二十五相减得较九开方得乙丙勾三

勾股求容方

甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形为实并勾股得甲戊长线六十三为法

除之得庚戊长方其辛乙乙癸各

边俱一十五零六十三之二十七

约之为七之三为勾股内所容方形

余勾余股求容方求勾求股

甲丁余股七百五十戊丙余勾三十

求丁乙戊己容方边以丙戊勾甲丁

股相乘为辛壬己庚方形得二万二

千五百为实开方得容方乙丁丁己

各边俱一百五十加余股得股九百加余勾得勾一百八十【辛壬己庚形与丁乙己戊方形等説见防何原本六卷其羃相同故开方即容方】

容方与余勾求余股与余股求余勾

容方丁乙己丁各边俱一百五十戊丙余勾三十求甲

丁余股以容方边自乘为实以余勾

为法除之得甲丁余股七百五十以

容方与余股求余勾法同【辛己方之羃既等丁

戊方之羃矣开方即容方矣加余股非全股乎加余勾非全勾乎】

勾股求容圜

甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九万二千为甲乙丙丁方形倍之得三十八万四千为丙丁戊己方形以为实别以勾股求得甲丙边

六百八十并

勾股得甲

辛长线一千

六百为法除

实得辛壬癸

甲长方形其辛壬边相等之乙子二百四十即容圜径半径为圜心【于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与等得甲辛为和和为法除实即成辛壬癸甲长方形与丙丁戊己方形之羃等而壬癸边截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各边名和较皆容圜径亦皆切圜线也详着徐太史勾股义】

又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十与甲丙六百八十相减亦得乙子二百四十

勾股较求股求勾

甲丙四十五甲乙股甲丙勾之

较为甲丁九求股求勾以自乘

得二千○二十五为甲戊方形倍

之得四千○五十为己丙方形较

自乘得八十一为甲庚小方形以减己丙之两羃存三千九百六十九为实开方得勾股和六十三即丑辰大方形四边之一也以之加较九得七十二半之得三十六为甲乙股即以减较得二十七为乙丙勾【丑辰方形内之丑寅方及卯辰方两股羃也丙壬方癸子方两勾羃也以比甲己方形只中心多一个较羃耳故减此开方即得勾股和矣再加较得两股故折半得股以减较得勾】

勾较求勾求【附较和求勾求和较求勾求】

甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八求勾

求以股自乘得一千二百九十六

为甲戊方形较自乘得三百二十四

为庚丁小方形两方形相减【于甲戊方内去

其等庚丁　方之辛癸　方即得甲壬戊之磬折形】存九百七

十二为实倍较乙寅为法除之得乙

子长方形其丙乙之边二十七为勾以加较得四十五为甲丙【乙子方何以等于甲壬戊形之实也葢加一同较羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即与股羃甲戊方形等也又甲辰方形羃也内兼勾股二羃试照庚丁较羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌较也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相并勾羃也庚丁形丁午形相并股羃

也各加较羃则甲戊午之磬折形与子卯癸之磬折形　　　　　等亦与甲戊股羃等内各减较羃则乙子方形即甲壬戌磬折形矣】

又法股自乘得甲己方形一千二百

九十六为实以勾较甲丁十八【即同

乙癸】为法除之得甲壬之勾和七十二

加较得九十半之得四十五减较

得勾二十七【甲壬何以知为勾和葢羃甲丑形内既兼】

【勾股羃矣试以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分为三方形其丙丁寅辰形勾羃也则甲卯卯辰两形并即股羃也亦即甲辛长方形也子卯也卯寅也甲庚也皆较也甲子也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬线为勾和】

若以股与较和求勾求者股自乘为实次以股减较和余即勾较除实得勾和乃以加减同前若以股与和较求勾求者股自乘为实以股减和较余即勾较除实加减同前

股较求股求【附和较求股求较较求股求】

乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九求股求以勾自乘得乙己方形七百二十九较自乘得丙丑

方形八十一【丙庚同】相减存乙庚己磬

折形得六百四十八为实乃倍丙丁

较为辛乙线以为法除实得辛壬方

形其乙辛边三十六即甲乙股数以加较得甲丙四十五【羃甲癸方形内兼勾股二羃试依丙丑较羃线分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子为股羃而余为勾羃之实也甲丑与丑癸并固与乙庚己磬折之形等亦与辛壬长方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之两较甲丁及寅癸均为两股合并成乙壬之股】

又法勾自乘得丙戊方形七百二十九为实以丙丁较九为法除之得丙己方形其丙庚边八十一为股和

加较得九十半之得四十五减

较得股三十六【丙庚线何以为股和也甲丙羃

内兼有勾股二羃试依丙丁较截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸】

【方形为股羃而余为勾羃亦即丙己长方形之实也夫甲癸也壬辛也庚己也均较也而甲丁之股丙辛之并之非丙庚乎故云股和】

若勾与和较求股求者勾自乘为实次以勾减和较余即股较除实得股和乃以加减同前又勾与较较求股求者勾自乘为实以勾减较较余即股较除实加减同前

勾股和求股求勾

甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁线自乘得甲己方形三千九百六十九相减得八十一开方得勾股较甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六减较得乙丙勾二十七【勾股和自乘为甲己方形此形内函甲辛及癸己之两股羃乙寅及庚壬之两勾羃而中间重借一癸辛小方形正其较羃若以自乘只得一勾一股羃倍之当得两勾两股羃今以减甲】

【己方形少一较羃之癸辛形故以癸辛开方得较也】

勾和求勾求【附和和求勾求较较求勾求】

甲乙股三十六乙丙甲丙勾和七十二求勾求以股自乘得一千二百九十六又以勾和作乙己线自乘得五千一百八十四为乙戊方形次用股羃减之【就乙戊大方内减去庚壬长方】余三千八百八十八【即丁辛及丙己两长方形】半之得

一千九百四十四为实以勾和

乙己为法除之得乙丙勾二十七

以减和得甲丙四十五【何以知庚壬长

方为股羃也试于乙戊方之乙己线以勾度截之取子寅二防作子】

【癸线寅丑线又照取丙庚二防作丙壬庚辛二线则一形内四隅有勾羃四中央有较羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰为勾较相乗之羃亦四也夫一勾一较相并为则卯己之方形为幂而幂之内存一午己之勾幂而此外子午辛之磬折形即为所减之股羃兹以庚未形代子午形则庚壬固所减之股羃矣此丁辛丙己两形所以为减余形也半之即丙已形次以乙己线除之】

又法股自乗得一千二百九十六

以勾和七十二为法除之得十

八为勾较加勾和得九十半

之得四十五为减较得二十七

为勾【此与前勾较求勾求又法同理】

若以股与和和求勾求者既得股自乗之数乃以股减和和余即勾和除之得勾较加减如前因多一股故用一减

又股与较较求勾求者股自乘为实以股并较较即得勾和除实加减同前

股和求股求【附和和求股求较和求股求】

乙丙勾二十七甲乙乙丙股和八十一求股求以勾自乗得七百二十九股和自乘为乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相减去戊己长方形

存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实以和为法除之得甲乙股三十六以减和得甲丙四十五【大方形内之戊乙句羃也余论同前】

又法勾自乘得七百二十九以股和八十一为法除

之得九为股较加股和得

九十半之得四十五为减较

得三十六为股【此与勾较求勾求又法同理】

若以勾与和和求股求者勾自乘为实以勾减和和仍得股和除之余如前亦因多一勾故用一减若以勾与较和求股求者勾自乗为实勾和相并即股和除之

股较勾较求勾求股求

甲乙股甲丙较二乙丙勾甲丙较九求勾求股求以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为和较加勾较九得甲乙股十五加股较二得乙丙勾八以勾较加勾或股较加股得十七为甲丙【此最要者在求与勾股和之较法以二九互乘是乘两次也故倍之戊癸及子丑长方

形是也倍之而开方得六即和较矣然所以三十六开方为和

较者何也葢一之羃常兼有勾股两羃今试于甲乙股线引之加

甲辰之亦于丙乙勾线引之加乙午之于甲丙引之加丙艮

之股艮申之勾此三线者各以自乘为三大羃则兼勾股之羃比

诸股与勾相并之羃共欠四十九数而此四十九为合减之数就

于多羃中心减之所余三十六即开方之和较何者试取三大羃

而各以元设之勾股分之为诸小羃相当相抵其甲酉羃内多勾

股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多羃一以此两多之形又相

当抵所差者有四十九数而原设股较二勾较九相减余七自

乗之数亦相符焉至于中心减之而余三十六葢又有説试以股

较二自乘得四为己庚方形以勾较九自乘得八十一为辛壬方

形并得八十五而以四十九减之减去干兑形其余形之干离离壬

及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之数也用此开方得

六以作寅卯方形令于甲酉方减此寅卯而丙戊方亦减辛壬而乙

亥方亦减己庚则其兼勾股之羃不等于股勾之二羃乎葢

甲酉四隅四羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所谓

羃兼勾股羃者既相当抵而甲寅辛坎两形并亦与寅防方形相

当中心除出干兑之四十九而干离离壬及己庚又与寅卯相当故

以寅卯开方求之而和较得焉夫丙巽即寅卯边也在甲丙巽申

两之间者也丙距申为勾股和则丙截巽为和较明矣已得

和较即以元设两较相加而勾股皆可得矣加九者巽距艮也艮

申为勾而艮丙为股也加二者丙距坤也坤甲为股而巽坤为勾也】

【以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆也】

勾和股和求勾求股求

甲丙乙丙勾和七十二甲乙甲丙股和八十一求勾求股求以两和相乘得五千八百三十二为乙己

长方形倍之得一万一千

六百六十四为丁戊大方

形以为实平方开之得己

庚形其边一百○八为

和和求乙丙勾者以股

和减之得勾二十七求甲乙股者以勾和减之得股三十六欲求者以勾股和减之得四十五【己庚形与丁戊形等其开方边为和和者葢丁戊全形内有羃二股矩形及勾矩形各二与己庚方形内诸形比各等其丁戊形内余一羃己庚形内亦余一句羃一股羃又相等故己庚形之各边皆和和】

论曰勾股三合成形错综立义勾股相减其差曰较勾股相并其名曰和股之差曰股较勾之差曰勾较并勾股与较其差曰和较勾股之差与相减其差曰较较股相并曰股和勾相并曰勾和勾股之差并曰较和勾股并曰和和勾股各自乘并之为实故开之得勾各自乘减余为股实故开之得股股各自乘减余为勾实故开之得勾勾股和自乘倍实相减开其余即勾股较也勾股较自乘以减倍实开其余即勾股和也并勾以除股实得勾较若以勾较除股实即得勾和矣并股以除勾实得股较若以股较除勾实即得股和矣勾股和自乗减实除以较较得较和矣除以较和非即较较乎勾股较自乘减实除以和和则得和较矣除以和较非即和和乎勾乘股为实并勾股为法除得容方径勾乘股倍之勾股求并之除得容圜径容圜之径即和较也又错综论之勾为主以加股较即较较以减股较即和较若加较和又即股和也股为主以加勾较即较和以减勾较即和较若加较较又即勾和也勾股较为主以加股较即勾较若减股和亦即勾和也勾股和为主以加股较复得勾和若减股和亦得勾较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取勾股较以加勾股和半之得股以减勾股和半之得勾若取股较以加股和半之得以减股和半之得股取勾较者以加勾和半之得以减勾和半之得勾取和较者以加和和半之得和以减和和半之得取较较者以加较和半之得以减较和半之得较加减乘除圜变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢准此而推亦在乎熟之而已

开平方法第十二

凡平方开者依除法列位先审当以几位除尽列实自末位下防记之每隔位一防每一防即定开下一位乃从左位起用自乘开除凡防在左首位下者以一字取数自乘【如系九数则用三除三三见九除尽之类】若防在左次位下者以二字共取一数自乘各除之【如系一六则用四除四四一十六除尽之类】是为初商以纪格右亦注首防之下两相呼除不尽者作余数再商【如系二十者用五则廿五矣是不可也须用四自乘得十六外剩四作余数以再商除之】倍初商为亷法注初防初商之次位若干以除上位视其可得防转以定次商若干注次防之下为隅法亦纪于格右先与亷呼除若干再与隅呼除若干有不尽者再倍亷法商除如前若剩数仅及开数一倍以下以法命之【开者一面数也加倍又加一数乃得二面是于小平方外添一勾股为大平方若不及加倍増一总是不满方面即以加倍増一为母余数为子命曰几分之防】

列式

列实二千一百一十七万八千四百○四凡八位従末位防起每隔一位用一防共四防知用四字开尽

此首位无防而防在次位者以二一相连且作二十一数只一字开之

初商用四除注防下亦纪格右四四乘之除一十六尚剩五　四上一变五完首段

既用四自乘除剩五矣第二段所防従五至七凡三位且只作五百八十四而商以从简便先立亷法须倍前商数前系四则此倍作八注八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有防个八该得六纪六于格右四字之次亦注次防下为隅法如八十六者然乃与次商相呼先呼六八除四十八剩三数八上一变三尚剩三十七又以六六相呼要见六于三十七内恰好否若可除则用六如总数不足则宁减一数以就之如前除法相似所谓商也此呼六六三十六尚剩一六上七变一完次段除实二千一百一十六万余实一万八千

次于所剩之一除起因此第三防管

到四字止则自一到四作一百八十

四除之其格右四六乃四十六倍作

九十二列次下为亷法列式且让四下

之防不填以待所商之隅法而列二

于八下列九于一下凡亷法商法冩

式皆仿此九不可除一作○于格右

四六之次以存虚位余皆抺之另商

第四防所用仍剩一万八千四百四

竟以一数开毕

前所用四六○是四百六十仍再倍为

亷法当作九百二十数让空四下所防

一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也当用二为再商右纪二亦注于所防四下为隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二减四次○不必除次又以二乘二除四恰尽凡开方每面四千六百零二若欲还原用自

又有开方不尽者

具式于后假如列

实四亿五千六百

七十八万九千○　　　　首防左第一位下只以本

一十二数凡九位　　　　一位开之首位系四当用

从小数间防至大　　　　二盖二之自乘四也系二

数共五防该以五　　　　于四下右纪二为初商相

位开尽　　　　　　　　呼二二除四完初段除实

四亿余实五千六百七十

八万九千一十二俟再商

次除五六且作五十六以从简

便倍初商二作四为亷法让防

下一位系四于五下所商以四

除五得防转四除五只一转右

纪一亦注一于防下先呼一四

如四五除四剩一四上五变一

次呼一一如一六除一剰五也

一上六变五完二段除实四亿

四千一百万余实一千五百七

十八万有竒另商

次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是为二十一今倍作四十二为亷法空有防之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡几转计得三转即用三数为再商纪格右亦系三于有防八字之下先呼三四一十二于十五内除十二则抺五改三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九