御制历象考成后编

如太隂在震甲丁震角当戊

巽弧过于九十度成钝角则

自天顶甲作甲离垂弧于形

外使离角成直角求得甲离

离丁二边以离丁与丁震相

加即得离震边用之与甲离

边求震角也又如黄道在天

顶北太隂在坤甲坤丁赤经

高弧交角

大于九十度则自天顶甲作

垂弧至兊而所求之丁兊距

极分边反大于丁坤影距北

极则以坤兑甲兑二边求坤

角之外角即知甲坤丁角为

钝角也若所求距极分边与

影距北极等即知赤经高弧

交角为直角不待求也至于

赤经高弧交角有与黄道赤

经交角相等者亦有与黄道

赤经交角共为一百八十度

者有反大于黄道赤经交角

而不足减者亦有与黄道赤

经交角相加大于半周而又

减去半周者如北极出地二

十三度二十九分以下夏至

前后黄道

正当天顶太隂子防在夏至

未防之前而在正午之西当

以赤经高弧交角与黄道赤

经交角相减为黄道高弧交

角今甲子丁赤经高弧交角

与己子辰黄道赤经交角相

等两角相减无余即知黄道

与高弧合无交角也又如太

隂申防在夏至未防之前而

在正午之东当以赤经高弧

交角与黄道赤经交角相加

为黄道高弧交角今甲申丁

赤经高弧交角与巳申戌黄

道赤经交角相加共一百八

十度亦如黄道与高弧合无

交角也又如北极出地在二

十三度以

下夏至前后黄道在天顶北

太隂子防在夏至未防之前

而在正午之西当于黄道赤

经交角内减赤经高弧交角

为黄道高弧交角今甲子丁

赤经高弧交角与辰子夘角

等反大于巳子辰黄道赤经

交角则于辰子夘赤经高弧

交角内反减巳子辰黄道赤

经交角余巳子夘角为黄道

高弧交角即知黄平象限在

天顶北也又如太隂申防在

夏至未防之前而在正午之

东当以赤经高弧交角与黄

道赤经交角相加为黄道高

弧交角今甲申丁赤经高弧

交角与戌

申酉角等与巳申戌黄道赤

经交角相加大于一百八十

度则减去巳申戌角及戌申

未角共一百八十度余未申

酉角为黄道高弧交角亦如

黄平象限在天顶北也总之

黄道出入于赤道之内外随

天左旋其高低斜正旣随时

不同又以人所居之南北异

地改观益多变换然定之以

数自无遁形或从地平立算

或从子午圈立算或从赤道

经圈立算法虽不同理实一

致合而观之益见弧线三角

之用至通变矣

求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】

定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同

求白经高弧交角

日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左

如图甲为天顶乙丙丁戊

为地平圏丙己戊为赤道

庚己辛为黄道己为春分

庚为冬至辛为夏至癸为

赤极【即北极】壬为黄极庚壬

癸辛为过二至经圏即过

二极经圏冬至日行在庚

黄赤二经合为一线无交

角冬至后日行自南而北黄

经必在赤经西渐逺则角渐

大至春分而止如日行在子

壬子黄经在癸子赤经西壬

子癸角为黄赤二经交角即

癸子己黄道赤经交角之余

春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬

己癸角为黄赤二经交角与

戊己辛二道交角等是为最

大过此又渐小【壬己辛角戊己癸角

皆九十度】夏至日行在辛则黄

赤二经又合为一线无交角

夏至后日行自北而南黄经

必在赤经东渐逺则角又渐

大至秋分而止如日行在丑

壬丑黄经在癸丑己子壬角

九十度壬己辛角戊己癸角

赤经东壬丑癸角为黄赤

二经交角即癸丑辛黄道

赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘

角等】秋分日行在寅壬寅黄

经在癸寅赤经东壬寅癸

角为黄赤二经交角与丙

寅辛二道交角等过此又

渐小至冬至乃复合为一

线也至白道之交于黄道

亦如黄道之交于赤道但

其行度自正交起算交食

时日月又必近交故其南

北东西及两经交角惟以

两交为定设白极在辰正

交在午白道自南而北【犹黄

道之春分】日行在正交防如午

或正交前如子正交后如

巳白经皆在黄经西黄白

二经交角皆与黄白二道

交角为相等【惟日在正交午防其壬午

辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在

交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经

交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与

上编捷法同】此黄经在赤经西

白经又在黄经西则以黄

白二经交角与黄赤二经

交角相加为赤白二经交

角也设白极在申中交在

酉白道自北而南【犹黄道之秋分】日行在中交防如酉或中

交前如子中交后如已白

经皆在黄经东黄白二经

交角亦与黄白二道交角

为相等此黄经在赤经西

而白经在黄经东则以黄

白二经交角与黄赤二经

交角相减为赤白二经交

角黄赤二经交角大则从

黄经之向白经亦在赤经

西也设黄经在赤经西而

中交近二至经圏如戌亥

戌白经在壬戌黄经东壬

戌亥黄白二经交角反大

于壬戌癸黄赤二经交角

相减余癸戌亥角为赤白

二经交角则从白经之向

白经转在赤经东也旣得

赤白二经交角是为初亏

食甚复圆同用之数【初亏至复

圆太阳行度无几故二经交角不改】随时求

得赤经高弧交角与之加

减即得各时白经高弧交

角如日行在子是为午后

甲子癸角为赤经高弧交

角辰子癸角为赤白二经交

角此赤经在高弧西白经又

在赤经西则相加得辰子甲

角为白经高弧交角白经更

在高弧西是知太阳在白平

象限西也又如日行在己是

为午前甲己癸角为赤经高

弧交角辰己癸角为赤白二

经交角此赤经在高弧东白

经在赤经西则相减余甲己

辰角为白经高弧交角赤白

二经交角大白经为在高弧

西是知太阳虽在午东而却

在白平象限西也盖惟太阳

正当白平象限则白道经圏

过天顶与高弧合为一线限

东者白经

必在高弧东限西者白经必

在高弧西是定白经之东西

与白平象限一理也又与白

道平行作干坎线则辰子坎

角为九十度甲子坎角为白

道高弧交角与干子艮角等

甲子辰白经高弧交角即甲

子坎角之余是用白经高弧

交角与用白道高弧交角一

理也又如癸丁北极出地二

十八度赤道距天顶之甲震

弧亦二十八度春分巳防在

午西夏至前巽防当正午震

巽距赤道北二十三度余正

交在离巽甲距黄道北又四

度余则白道在天顶与高弧

合日行在

离甲离癸赤经高弧交角与

癸离坤赤白二经交角相加

得甲离坤白经高弧交角适

足九十度盖白经与白道相

交其角必九十度白道既与

高弧合故白经高弧交角亦

九十度也过此以徃北极愈

低则白道极北入地平下南

出地平上白道即在天顶北

白经高弧交角即大于九十

度而成钝角则与半周相减

余为白道南之经圏与高弧

相交之角是不求限距地高

而白平象限在天顶之南北

俱以白经高弧交角为定也

白经在赤经东者仿此

求高下差

高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太隂地半径差恒大故于太隂地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉【见上编日食三差及日月地半径差篇】如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太隂以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比【见本编日躔地半径差篇】而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正之比【交食时日月高弧畧相等故即以日高弧为月高弧】必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太隂距地数求得太隂地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正为比例其法甚为省便也

如图甲为地心乙为地面丙

丁为日天戊己为月天假如

日在庚实距天顶为丙甲庚

角视距天顶为丙乙庚角与

丙甲丁角等其差庚甲丁角

即地平太阳地半径差与甲

庚乙角等甲乙地半径即其

角之正与庚辛等又如日

在壬实高为壬甲丁角视高

为壬乙庚角与癸甲丁角等

其差壬甲癸角即本时太阳

地半径差与甲壬乙角等将

壬乙线引长作甲子垂线即

其角之正与壬丑等甲乙

子勾股形子角为直角乙角

与丙乙壬角为对角即太阳

视距天顶

之度甲乙即地平太阳地半

径差之正甲子即本时太

阳地半径差之正因其边

度甚小正与弧线可以相

为比例则甲乙即为地平太

阳地半径差与庚丁弧等甲

子即为本时太阳地半径差

与壬癸弧等故以子直角正

与乙角正之比即同于

地平太阳地半径差甲乙与

本时太阳地半径差甲子之

比也假如太隂在寅实距天

顶为寅甲戊角视距天顶为

寅乙戊角与已甲戊角等其

差寅甲巳角即地平太隂地

半径差与甲寅乙角等甲乙

地半径亦

其角之正【甲乙同为地半径甲庚日

天半径大故角小甲寅月天半径小故角大】与

寅夘等又如月在辰实高为

辰甲己角视高为辰乙寅角

与巳甲己角等其差辰甲巳

角即本时太隂地半径差与

甲辰子角等甲子亦其角之

正与辰午等因以正作

弧度则甲乙即地平太隂地

半径差与寅己等甲子即

本时太隂地半径差与辰巳

弧等故以子直角正与乙

角太隂视距天顶正之比

亦同于地平太隂地半径差

甲乙与本时太隂地半径差

甲子之比也试以日天半径

与月天半径为甲乙同为地

半径甲庚日天半径大故角

相等而比较之【日天月天半径不等

故地半径虽等而差角不等今以日天半径与月天

为相等则差角之不等者其正亦不等乃可相较

也】自地平太阳实高线割

月天之未防与乙庚视高

线平行作未申线则甲未

申角与甲庚乙角等甲申

即地平太阳地半径差【甲申

本系甲未申角之正因以正作弧度则甲申正

与未已弧等而月天之未已弧与日天之庚丁弧

同当庚甲丁角其度相等故甲申即为地平太阳地

半径差】与甲乙地平太隂地

半径差相减余申乙即地

平高下差【甲乙当寅已弧甲申当未巳弧

乙申当寅未弧】自本时太阳实高

线割月天之酉防与乙壬

视高线平行作酉申线引

长至戌则甲酉戌角与甲

壬乙角等甲戌即本时太

阳地半径差与甲子本时

太隂地半径差相减余戌

子即本时高下差与申亥

等【甲子当辰巳弧甲戌当酉巳弧子戌当辰酉弧】申乙亥与甲乙子为同式

形故以亥直角正与乙

角日距天顶正之比亦

即同于地平高下差申乙

与本时高下差申亥之比

也

右求高下差以半径与太

阳视距天顶之正为比

例今日食所推太阳高弧

乃实距天顶之度而即以

其正比例高下差者盖

实高与视高所差无多故

借用之自来实高视高相

求皆同一地半径差加减互

用不列二表也如细辨之地

平太阳实高在丁太隂实高

在已丁乙庚角为地平太阳

地半径差与甲丁乙角等甲

乙地半径为其角之切线当

庚丁弧巳乙辛角为地平太

隂地半径差与甲己乙角等

亦以甲乙地半径为其角之

切线当辛巳弧前以地半径

为其角之正此以地半径

为其角之切线其角度虽有

微差然最大者不过半秒愈

高则愈小故亦以弧度为比

例而甲乙即为地平太阳地

半径差亦即为地平太隂地

半径差也

本时太阳实高在壬太隂在

癸壬乙子角为本时太阳地

半径差与甲壬乙角等乙丑

为其角之垂线当子壬弧癸

乙寅角为本时太隂地半径

差与甲癸乙角等亦以乙丑

为其角之垂线当寅癸弧丑

壬之长小于甲壬丑癸之长

小于甲癸则角度必较弧度

为稍大盖视高低于实高其

大固宜然所差甚微故亦以

弧度为比例而乙丑即为本

时太阳地半径差亦即为本

时太隂地半径差也试自地

平太阳视髙线割月天之卯

防与甲丁实高线平行作卯

辰线则乙

夘辰角与甲丁乙角等乙辰

当辛夘弧即地平太阳地半

径差以乙辰与地平太隂地

半径差甲乙相减余甲辰当

夘已弧即地平高下差自本

时太阳视高线割月天之巳

防与甲壬实高线平行作巳

辰线则乙巳辰角与甲壬乙

角等乙午当寅巳弧即本时

太阳地半径差以乙午与本

时太隂地半径差乙丑相减

余午丑与辰未等当巳癸弧

即本时高下差甲乙丑与甲

辰未为同式形丑未二角为

直角甲角为日月实距天顶

之度故以直角正与实距

天顶正

之比同于地平地半径差甲

乙与本时地半径差乙丑之

比亦同于地平高下差甲辰

与本时高下差辰未之比也

今日食用简平仪法求地面

日影心之所在皆用实高比

例高下差设日实高在丁则

正射地心照至地面酉防之

影当月天巳防之度照至地

面乙防之影当月天夘防之

度是酉乙地面上应日天实

距天顶之丙丁弧而其当月

天之度则为夘巳高下差也

设日实高在壬则正射地心

照至地面申防之影当月天

癸防之度照至地面乙防之

影当月天

巳防之度是乙申地面上

应日天实距天顶之丙壬

弧而其当月天之度则为

巳癸高下差也若以地平

高下差为半径作地面平

圆则甲乙即夘巳之度为

地平　　　　　　　　　　　　　　　【等】高下差当乙酉地

【以地球为平面则地面之弧与正等甲乙为乙酉

弧之正故甲乙当乙酉弧】面与日天

之丙丁弧等乙丑即巳癸

之度为本时高下差当乙

申地【乙丑为乙申弧之正故乙丑当乙申弧】面与日天之丙壬弧等由

此推之时时实距天顶之

度在地面皆与本时高下

差【实距天顶之度原与地面之弧度等简平仪以

地球为平面则地面之弧又与地面之正等今地

面之正既为高下差故实距天顶之度即与高下

差等】故随高弧之所向以高下

差之度自圆心取之即日影

心之所在随白经之所向以

实纬之度自圆心取之即月

影心之所在此所以用实高

为比例于视差之理尤为显

而易明也差等

求日食食甚真时及两心视相距

日食求食甚真时及食甚视纬新法算书用浑天仪法以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较得视行以用时之东西差比例得时分与食甚用时相加减【限西加限东减】而得食甚真时以真时之南北差与食甚实纬相加减【白平象限在天顶南纬南则加纬北则减白平象限在天顶北纬南则减纬北则加】而得食甚视纬上编言之详矣【见日食三限时刻及求食甚真时食甚视纬篇】然其求真时也必求太隂视行正当实纬之度乃以视行之道与白道为平行故与实纬成直角而视纬与实纬必合为一线也夫近时之东西差与用时之东西差既不等【因白道髙弧交角及高下差不同之故】则南北差亦不等而视行即不与白道平行视行既不与白道平行则实纬即不与视行成直角而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣近日西法用简平仪绘图算【浑仪从上视如观平面是为简平仪】以本日地平高下差【本日地平日月两地半径差相减余为本日地平高下差】为半径作平圆【即地径当月天之度】即地受日照之半面上应浑天半周圆心即日射地面至地心之防以人视日则人所处之地面即日影心以日照月则