御制数理精蕴

银之分故知爲十

二两七钱二分又术

以二十四人作法尺

二尺四寸以五钱三

分作实尺五分三厘将实尺比定五分三厘安于法尺一寸空处量法尺十寸空处得五寸三分倍之得一尺○六分爲二十人所得数又于法尺四寸空处量得二寸一分二厘并得一尺二寸七分二厘亦合

通曰所截爲二十人故加倍若三十人则用三乗四十人则用四乗也

除法

术曰法实数定之后将实尺比定实数定于法尺之法数空处乃量法尺之一分或一寸空处得几何卽爲所求除出数也亦用降数折数二法或有实无法任意作几分者不论实数多寡将实尺比数安于法尺之百分空处用随分法量之

式有银二十二两四十四人分之问各若干曰五钱术以二十二两作二寸二分为实以四十四人作四寸四

分为法将实尺比

定二寸二分安于

法尺四寸四分空

处乃量法尺之一

分空处得几何今得五厘因以尺之分为银之两则厘当为钱又因以分为人则五钱为一人所得数也通曰量一寸空处得五分降为五厘亦合一分为一人一寸则为十人量四寸空处得四十人银数四分空处得四人银数此用乘以知除也

降数式有银四十四两二十二人分之问各若干曰二两术以四十四两作四寸四分为实以二十二人作二寸二分为法将实尺比定四寸四分安于法尺二寸二分上实大不可安顿降为四分四厘安于法尺二寸二

分空处乃量法尺

一分空处得二厘

因先降数此当升

为二分分为银之

两则知所得为二两也

折实式有一十八两六人分之问各若干曰三两术以一十八两折半得九两作九寸为实以六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处乃量法尺一寸空处得一分五厘

因降实此当升为

一寸五分又因折

实此当倍为三寸

以寸为两故知一

人所得为三两也

法实俱折式有一十八两一十二人分之问各若干曰一两五钱术以一十八两折半得九两作九寸为实以一十二人折半得六人作六寸为法将实尺比定九寸安于法尺六寸上实大降作九分安于法尺六寸空处

乃量法尺一寸空

处得一分五厘因

降实当升为一寸

五分寸为两故知

一人所得为一两五钱也

通曰法实俱折者除与乘不同乘折则所得止半数故湏倍之除折则所得即所求数不必又倍矣葢折亦除故也

随分式有银八十两或四平分或五平分问各若干曰四分之一得二十两五分之一得一十六两术以八十

两作八十分为实

将实尺比定八十

分安于法尺百分

空处如欲作四平

分者则量法尺二寸五分空处得二十分每人即得二十两也如欲作五平分者则量法尺二寸空处得一十六分每人即得一十六两也

通曰四平分者先将四除十寸得二寸五分五平分者先将五除十寸得二寸

整零截量式有三十二两五人分之问各若干曰六两

四钱术以三十二

两作三尺二寸为

实以五人作五寸

为法先截实末二

寸求之将实尺比定二寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得四分后截实首三尺求之将实尺比定三尺降作三寸安于法尺五寸空处量法尺一寸空处得六分应升为六寸并前四分得六寸四分以两为寸故知每人得六两四钱也

通曰后量法尺之十寸空处得六寸亦合此不升数而升度也

比例法

术曰有实数于此以某法数分之得某数今又有实于此照前分例求法几何将实尺比前实数安法尺之前法数上又将实尺比后实数于法尺空处上下推移求至脗合处视法尺之分寸几何即所求数也

通曰比例无穷不可尽举引而推之存乎其人

式有银四百四十两二百二十人分之人得二两今又有银八百八十两照前二两分数该人几何曰四百四十人术将二百二十人作二寸二分为法将四百四十

两作四寸四分为

实以实尺比定四

寸四分安于法尺

二寸二分上实大

降作四分四厘安于法尺二寸二分空处又将八百八十两作八寸八分亦降作八分八厘以实尺比定八分八厘于法尺空处上下推移至四寸四分空处适合以寸为百数即知为四百四十人矣

通曰前后俱降实故不升且前以人为法银为实后亦以银为实求出法数人降实则不升法也

又式有银三两给六人今又有银七两照前例应给几人曰一十四人术以三两作三寸爲法以六人作六分爲实将实尺比定六分安于法尺三寸空处乃量法尺七寸空处视得几何今得一寸四分以分爲人卽知所

得爲一十四人也

又术以三两作三

分爲实以六人作

六分爲法将实尺

比定三分安于法尺六分空处又将实尺比定七分在于法尺空处上下推移至法尺一寸四分空处适得脗合一寸四分卽一十四人也

通曰法实可互更乗除可互用此尺算之异于他算也凡求得数皆以比例卽乗除亦无非比例故比例以尺爲便

数度衍巻五

钦定四库全书

数度衍卷六

桐城方中通撰

勾股【勾股之一】

周髀勾股圆方图

赵君乡注曰勾股各自乗并之为实开方除之即也【鸾曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五开方得五】按图又可以勾股相乗为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾差二为四自乗得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通】加差实亦成实【加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也】以差实减实半其余以差为从法开方除之复得勾矣【以差实九减实二十五余十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减实二十五余二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通】加差于勾即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实

即成实【勾实九股实十六并得二十五实】或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股差为广股并为袤【以差一为广股四并五得九为袤左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于实开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法开矩勾之角即股差【倍股四为八为从开九得一也】加股为【加差一于股四得五】以差除勾实得股并【以一除九得九即股四五并数】以并除勾实亦得股差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二以十八除之得四】股实之矩以勾差为广勾并为袤【以差二为广勾三并五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于实开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法开矩股之角即勾差【倍勾三为六为从开十六得二也】加勾为【加差二于勾三得五】以差除股实得勾并【以二除十六得八即勾三五并数】以并除股实亦得勾差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八以十六除之得三】两差相乗倍而开之所得以股差増之为勾【一与二乘得二倍为四开得二増一为三】以勾差増之为股【以二増二得四】两差増之为【二之上又增一与二得五】倍实列勾股差实见实者以图考之倍实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也】以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九开得七即勾三股四并数】令并自乗倍实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差【七自乗得四十九倍实二十五为五十相减余一开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八半得四也】其倍为广袤合【倍二十五得五十为广袤合淳风曰倍五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实四实以减之开其余所得为差【以七七自乗得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乗得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股差减股并余数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾并余数鸾言错也】以差减合半其余为广【以差一减合七余六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十余二四半之得一与二也一即股差二即勾差以差减即各袤广也鸾言错也】减广于即所求也【以广三减五即所求差二也淳风曰以广一与二各减五即所求股四勾三也鸾言错也】观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂防也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以五除之得勾股之羃六此即半其互乗也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为羃之一角羃之一角三分损一而为矩股之一角也

容股股容勾图説

通曰方内之容递差于二九九之内容八八余为十七八八之内容七七余为十五七七之内容六六余为十三六六之内容五五余为十一五五之内容四四余为九四四之内容三三余为七三三之内容二二余为五二二之内容一一余为三是余之相降莫不差于二也则实之容股实股实之容勾实七九之余所固然矣自而推之与勾股差并六实三十六其容实之余较容股实之余必増二矣与勾差并七实四十九其容与勾股差并实之余较其并实容之余必増二矣与勾并八实六十四其容与勾差并实之余较其并实容与勾股差之余必増二矣与股并九实八十一其容与勾并实之余较其并实容

与勾差之余必増二矣自勾而降之勾差二实四容于勾实之中其余较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾差实之中其余较勾之容勾差必损二矣容有大小余无异同受容者变而容之者亦变故耳

勾股名义

勾【横也】股【直也】【斜也】勾股较【勾股相减也】勾较【勾相减也】股较【股相减也】勾股和【勾与股并也】勾和【勾与和也】股和【股与并也】较和【与勾股较并也】和和【与勾股和并也】和较【与勾股和相减也】较较【与勾股较相减也】

勾股求法

式甲乙股四乙丙勾三问甲丙几何曰甲丙五术股四自乘得十六勾三自乗得九两自乗数并之得二十五为实积用少广章

开平方法除之得边五即也

又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为也

通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也

勾求股法

式乙丙勾三甲丙五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乗得九五自乗得二十五相减余十六平方开之得边四即股也

又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为板厚为勾求阔为股也

通曰圜内切中径成两勾股也

股求勾法

式甲乙股四甲丙五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乗得十六五自乗得二十五相减余九平方开之得边三即勾也

又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台髙为股袤斜为求勾以益上方斯得下方也【一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也】

又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为先以亩法通池八分为一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股求勾得水深也

勾与股较求股法

式乙丙勾二十七甲乙股甲丙之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九较九除之得八十一为股和和内减较余七十

二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为二术勾自乗得七百二十九较自乗得八十一相减余六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乗较自乗并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为

第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为

丙巳直角形即得丙庚边与甲

乙甲丙股和等何者甲丙

羃之甲辛直角方形内当函一

股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与等即丙庚与股和等

第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙羃之

甲癸直角方形内当函一勾羃一股

羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之

外分作甲五丑癸丑子三直角形即

丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等

通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚

磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也

又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股较引葭至岸为水深为股

又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股较门阃之半为股门广为【门广并不合之半为】

又式垣髙一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股较木长为画去墙为股

又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为锯道为勾锯深为半股较半勾自乗得二尺五寸半较除之又加半较

得径为

通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也【按此条图説有误处】

股与勾较求勾法

式甲乙股三十六乙丙勾甲丙之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千

二百九十六较除之得七十二为勾和和内减较余五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为

通曰勾与股较求股之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛

直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾

和等何者甲丙羃之甲丑直角方形

内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内

截取子卯丑辰边各与甲丁较线等

即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲夘夘辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾和等

第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角

方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折

形为实次倍甲丁较线为乙寅线以

为法除实即得乙子直角形与甲壬

戊磬折形等何者乙子直角形加一

等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙夘夘寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等

通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也

与勾股较求勾股法

式甲丙四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术自乗得二千零

二十五倍之得四千零五十较自乗得八十一相减余三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较余五十四半之得二十七为勾二术较自乗得八十一折半得四十零五与自乗二千零二十五相减余一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五余二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股

第一术论曰羃为甲戊直角方

形倍之为己丙直角形较羃为甲

庚直角方形与甲辛等相减即得

减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾

通曰第二术较羃为甲辛直角方形

半之为甲戊直角形与甲庚直角形

等羃为甲壬直角方形减较羃半

甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸

午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也

勾与股和求股法

式乙丙勾二十七丙甲甲乙股和八十一问甲乙股几何甲丙几何曰甲乙股三十六甲丙四十五术勾自乗得七百二十九

股和八十一除之得九为股较较加和八十一得九十半之得四十五为较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余

第一术形论同勾与股较求股第一术

通曰第二术以股和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也

今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也

又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股和去根三尺为勾折处为股

股与勾和求勾法

式甲乙股三十六乙丙丙甲勾和七十二问乙丙勾几何甲丙几何曰乙丙勾二十七甲丙四十五术股自乗得一千二百九

十六和七十二除之得十八为勾较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为

通曰勾与股和求股之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾较求勾第一术第二术形论同勾与股和求股第二术

与勾股和求勾股法

式甲丙四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术自乗得二千零二十五倍

之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股

通曰和各自乗相减又减自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直