御制数理精蕴

以减纵减纵方余一千九百二十六万八千○四十加益纵之实得二千六百七十五万三千○七十并隅法共二千七百○九万六千○七十为下法乗初商得一十八亿九千六百七十二万四千九百减实余五千八百三十九万四千七百八十为次商之实以二乗益纵之实得一千四百九十七万○六十为益纵之亷以三乗减纵得九百六十一万三千八百为减纵之方以三乗初商得二百一十乗纵二亷得十三万七千三百四十为起下减亷以四乗隅法得一百三十七万二千为方法以初商自乗得四千九百而六之得二万九千四百为上亷以初商四之得二百八十为下亷次商二以乗纵一亷得二十一万三千八百五十八并益纵之亷得一千五百一十八万三千九百一十八为益纵之实以次商乗起下减亷得二十七万四千六百八十为减纵之亷以次商自乗得四乗纵二亷得二千六百一十六以并减纵之方减纵之亷共九百八十九万一千○九十六为减纵之实以次商乗上亷得五万八千八百以次商自乗得四乗下亷得一千一百二十以次商自乗再乗得八为正隅以并方法上下亷乗数共一百四十三万一千九百二十八为隅法以本叚减纵之实减纵方余一千二百五十八万一千五百四十四加本叚益纵之实共二千七百七十六万五千四百六十二并本叚隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法乗次商得五千八百三十九万四千七百八十减实尽得方七十二广诸乗方【少广之十二】

开诸乗方説

凡积数若千以平面开之适得自乗之数者为开平方其立方乃开平再乘积也三乘方长立方也【如以二自乗起者得两立方以三自乗起者得三立方之类但以平方一边之数为凖】四乗方平靣立方也【如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方】五乗方大立方也【如系二自乗起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乗起者有二十五立方则进并一百二十五立方之类】自此推之六乗方视三乘形七乘方视四乗形八乗方视五乘形余乘仿此可至无穷今立捷法由平面至诸乗总一条理先以诸乗原委布图乗母为原乗出之子为开

初商寻原图

凡开方列位以防分叚者平方每二位防作一叚再乗方每三位一叚三乗方每四位一叚仿此推之至九乗则十位一叚

矣皆自尾小数起而先以最大数

之首叚捡上图以寻其原即以原

数开之

如平方开者首数系四十九平

行横查知七是原数用七自乗可

开若首叚数系六十四者即知八

是原数用八自乗可开若系六十

三者不及六十四一数仍以七开

之如再乗方开者首系二十七查知其原系三即以三自乗再乘开之若首叚系六十四者即知四是原数用四自乘再乗开之若系六十三仍以三开之如三乗方者首系八十一即知三是原数用三自乗再乗三乗开之

通曰商还原而如其积积还原而如其商也

如四乗方者首叚系一千○二十四即知四是原数如五乗方者首系一万五千六百二十五即知五是原数

如六乘方者首叚系二十七万九千九百三十六即知六是原数如七乗方者首叚系五百七十六万四千八百○一即知七是原数虽千万乗方其原皆可得也原数即初商也

次商用通率图

右图已得首位方法余实倍方为亷平方者一倍再乗方者再倍三乗方者三倍四乗以上皆以本乗之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为二○立方有二率为三○○为三○三乗方有三率为四○○○为六○○为四○【一○为十両○为百】自此以上诸乗仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乘之以乗出之数较余实约得几何母之几何而即以其母为亷法也以首行所列之二为平方三为立方四为三乗方至十七则十

六乗方也他乗

仿此

首行之数自一

顺列二行之数

承首行上格二

数积之如首行

三格是三二行

三格亦是三相

并得六故二行

之四格为六也

又如首行四格

是四二行四格

是六相并得一

十故二行之五

格为一○也三

行以至九行皆

然

三乗之四系

廻用

四乗之五五

乗之六与一

五皆廻用

六乗廻用二

位七乗廻用

三位

如前平方一乗者用一率曰二乃加一○为二○与方法相乗立方再乗者用两率曰三曰三乃以右小数加一○为三○左大数加两○为三○○而以三百乗方法其三乗方者用三率曰四曰六止两数则又廻用右方之四为一率以补之曰四六四先以末位四加一○为四○次以六加两○为六○○再以首位四加三○为四○○○乃以四千乗方法四乗方者廻用首行之五补足四率曰五曰一十曰一十曰五然后加○如右图五乗方者廻用首行之六及二行之一十五补足五率也

通曰凡补一位者止廻用首行之数补二位者则兼用二行之数补三位者则兼用三行之数也其加○之法每一位加一○毋论其数之原有○无○与夫原数之为零为几十几也

诸式

一乗方式【即平方】术实六百七十六万五千二百○一初商二为方法以求亷法立二○为通率列中位列方法于左位以相乗得四十以较余实之首二七约得六之一【二二七六作二百七十六是二百七十内有六回四十也】乃立六为亷法列于右位自乗得三十六为隅法附列乃以亷法六乗四十得二百四十并隅法三十六共二百七十六尽第二叚余实五二○一并亷入方为二

十六列左乗通率二十得五百二十以较余实得一又以一为亷法列右自乗仍是一为隅法共五二一而实不足减乃作五千二百○一尽第四叚商得二六○一也

又式　术若已得亷法而以乗通率反浮余实或亷法相合而隅法又浮余实者皆减其亷法以乗之如实二百八十九初商一除实余实一百八十九次商以方法乗通率得二○以较余实可用九除实一百八十而隅法八十一则浮原积是九不可用矣减一数用八仍不足除乃用七为亷法乗得一四除实一百四十尚余四十九足除隅法故商得一十七也

再乘方式【即立方】术实二十三万八千三百二十八寻原母六自乘再乘得二一六除实余二万二千三百二十

八以六为方法求亷法用二率曰三

十曰三百自下而上叠位以方六对

三○以方六自乘得三六对三○○

各列于左初乗以三六乗三○○得

一万○八百以视余实约得二之一乃立二为亷以对三○○复以亷二自乗得四又以二四相乗得八为隅皆列右以亷二乗一万○八百得二万一千六百再乗以六乗三○得一百八十又以四乗之得七百二十并初乗数及隅八共二万二千三百二十八减实尽商得六十二也

又式　术若初商方法只系一数者通率无乗须并诸率除之如实一千三百三十一初商以一为方法除浄首实一千次并中位两通率一除可净即以一为亷法对通率三百亷

自乗仍得一对通率三十再乗仍得一为隅附列共并得三百三十一【两率一隅】除实尽商得一十一也

通曰凡以一为方法者皆可以诸位通率并之以求也三乘方式　术实一千四百七十七万六千三百三十

六寻原母六自乗再乗三乗得一

二九六除实余一百八十一万六

千三百三十六以六为方法求亷

用通率三位曰四十曰六百曰四

千方六自乗得三六再乗得二一

六自下而上对列初乗以二百一十六乗四千得八十六万四千较余实约二之一以二为亷自乗得四再乗得八三乗得十六自上而下对列乃以二乗八十六万四千得一百七十二万八千再乘以三十六乗六百得二万一千六百以四乗得八万六千四百三乗以六乗四十得二百四十以八乗得一千九百二十乃并三数及隅十六共合余实商得六十二

四乗方式　术实九亿一千六百一十三万二千八百三十二寻原母六自乗至四乗得七七七六除实余一亿三千八百五十三万二千八百三十二求亷用四位通率曰五十曰一千曰一万曰五万以方法六自乗得三十六再乗得二百一十六三乗得一千二百九十六自下而上对列初乘以一千二百九十六乗五万得六

千四百八十万以较余实约得

二之一以二为亷自乗得四再

乗得八三乗得十六自上而下

对列又四乗得三十二为隅乃

以二乗六千四百八十万得一

亿二千九百六十万次乗二百

一十六乗一万得二百一十六万以四乗得八百六十四万三乘三十六乗一千得三万六千以八乗得二十八万八千四乗六乘五十得三百以十六乗得四千八百乃并四次乘数及隅共合余实商六十二

五乗方式　术实五百六十八亿○二十三万五千五

百八十四寻原母六以其五

乗数除实余一百○一亿四

千四百二十三万五千五百

八十四求亷用五位通率曰

六十曰一千五百曰二万曰

一十五万曰六十万以方六

自乗再乗三乘四乘自下而

上对列初乘左首位乘中首位得四十六亿六千五百六十万以较余实约得二之一以二为亷自乗再乗三乗四乗自上而下对列又五乗得六十四为隅乃以右首位乗所得较数得九十三亿三千一百二十万次乗左次位乗中次位又以右次位乗之得七亿七千七百六十万三乗左三位乗中三位又以右三位乗之得三千四百五十六万四乗左四位乗中四位又以右四位乗之得八十六万四千五乗左末位乗中末位又以右末位乗之得一万一千五百二十并五次乗数及隅共合余实商得六十二

六乗方式　术实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八寻原母六以其六乗数除实余七千二百二十二亿五千四百六十万○六千二百○八求亷用六位通率曰七十曰二千一百曰三万五千曰三十五万曰二百一十万曰七百万以方六自乗再乗三乗四乗五乗自下而上对列初乗左首位乘中首位得三千二百六十五亿九千二百万以较余实约得二之一以二为廉自乘再乘三乘四乘五乗自上而下对列又

六乗得一百二十八为隅

乃以右首位乗所得较数

得六千五百三十一亿八

千四百万次乗左次位乗

中次位又乗右次位得六

百五十三亿一千八百四

十万三乗左三位乗中三

位又乗右三位得三十六

亿二千八百八十万四乘左四位乗中四位又乗右四位得一亿二千○九十六万五乗左五位乗中五位又乗右五位得二百四十一万九千二百六乘左六位乗中六位又乗右六位得二十六万八千八百并六次乗数及隅共合余实商得六十二

七乗方式　术实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一寻原母一除实一兆余实求亷用七位通率曰八十曰二千八百曰五万六千曰七十万曰五百六十万曰二千八百万曰八千万方法一数无乗当并通率诸位以较余

实而惟首次两数同为

大数其余小数不足为

多寡且从省只并首次

两率开之并得一亿○

八百万以较余实约可

用三然自乗之九乗中

次位其数浮当减用二

为亷自乗再乗三乗四

乗五乗六乗自上而下

对列又七乗得二百五十六为隅初乗右首位乗中首位得一亿六千万次乗右二位乗中二位得一亿一千二百万三乗右三位乗中三位得四千四百八十万四乘右四位乗中四位得一千一百二十万五乘右五位乗中五位得一百七十九万二千六乘右六位乗中六位得一十七万九千二百七乗右七位乗中末位得一万○三百六十八乃并七次乗数及隅共三亿二千九百九十八万一千六百九十六以除余实尚余实二千九百五十一万五千六百○二亿六千三百五十七万

二千一百六十一【乗得三亿从三兆除

起】再商自首至尾以一叚开

之乃并亷入方共一十二自

乗再乗三乗四乗五乗六乗

自下而上对列于左初乗左

首位乗中首位得二千八百

六十六万五千四百四十六

亿四千万以较余实只可用

一以一为亷无乗隅亦是一

次乘左次位乗中次位得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乗左三位乗中三位得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乗左四位乗中四位得一百四十五亿一千五百二十万五乘左五位乗中五位得九千六百七十六万八千六乘左六位乗中六位得四十万○三千二百七乗左末位乗中末位得九百六十乃并七次乗数及隅共合余实商得一百二十一寻原之法平方可求立方之原兼平方立方可求多乗之原若三乗方者以平方开之得数又平方开之即得原矣五乗方者以平方开之得数又立方开之或先开立而后开平即得原矣六乗方者作四乗方开二次即得其原七乗方者作平方开三次即得其原八乗方者作立方开二次即得其原九乗方者先开平而后开四乗或先开四乗而后开平即得其原若十乗方者作四乗方开三次即得其原矣

竒零诸乗开方法

式　术凡开方诸法以寻原为第一义即竒零中有母数子数俱有原可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二为原以三自乗再乗得二十七以二自乗再乗得八也又如三乗方所得【一八】之【六一】亦以三之二为原以三自乗再乗三乗得八十一以二自乗再乗三乗得一十六也有二数并列子母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乗法两母乗得三十六两子乗得一十六是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四以四九三十六四四一十六可用四为纽数者也有以全数带竒零而亦有原可寻者如有全数二又【七二】之【○一】依化法化得【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四以三再乗为二十七四再乗为六十四归整得一又三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开也寻原之术数之多者约之以至于寡如【五四】之【○二】约之为九之四其开平方之原即是三之二也如【一八】之【四二】约之为【七二】之八其开立方之原即是三之二也他一有原一无原者如九之六九有原六无原又如【○二】之【一二】则命分数与得分数俱无原皆不可开矣然数穷则变变则通不可开者又立法以开之如无原有数之最相近者可借以为原即以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥宻其原亦弥近也弥近之数或稍多于所求或稍约于所求而皆可以为原者也如以五数为开平方是为无原而任借【○一】为之原以一十自乗得一百以五乗得　虽【○一】不为　之原乃其原之最近者有两数其一为　以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四也】此近而朒者其一为　以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九也】此近而盈者何也试以所借【○一】为命分之母以【二二】为得分之子以【○一】之【二二】自乗【此系整二又带零一十之二】所得　之内除四百为四整数余【四八】为　之【四八】夫以四零　之

【四八】视二零【○一】之二犹五百与二十二之比例也试以所借【○一】为母以【三二】为子以【○一】之【三二】自乗【此系整二又零一十之三】得之　内除五百为五整数余【九二】为　之【九二】夫以五零之【九二】视二零【○一】之三犹五百与二十三之比例也故五可以借一十也如以九数为开立方亦为无原而任借【○一】为　之原以九乗得　虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为　以【○二】为原此近而朒者一为以【一二】为原此近而盈者何也试以【○一】为母【○一】之【○二】系

整二数自乗再乗即得【○一】之八试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗即得九零　之　也【母一十自乗再乗得一千子整二化二十并入一为二十一自乘再乗得九千二百六十一以九千归整得整九余为一千之二百六十一也】故【○一】可以为九借也如以【○四】数为四乗方亦为无原任借【○一】自乘至四乗得一十万以一十乗之得四百万用前法推衍其原之近者一为【○二】一为【一二】何也以【○一】为【○二】之母则【○一】之【○二】系整二数自乗至四乗为【○一】之【二三】以视【○四】近而朒以【○一】为【一二】之母则【○一】之【一二】系整二数零一十之一自乗再乗【化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乘得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还原得整四十数其零为八四二○一也】以视【○四】近而盈故【○一】可以为四十借也

数度衍卷十四

钦定四库全书

数度衍卷十五

桐城　方中通　撰

丈量【方田之一】

定亩

通曰弓步丈尺虽二法一理也横一步纵二百四十步横一丈纵六十丈皆亩也方五尺为步是为一弓五寸为分五分为厘二十五尺为弓羃四其弓羃则方面一丈故知二百四

十其弓羃即六十其方面一丈也每一弓得亩四毫一丝六忽六微六无尽亩至百则曰顷

积步求亩法

长弓几何广弓几何相乗为积步二广者并数用二折三广用三折四广用四折长亦若是折为一长一广然后相乗非折而少之折而方之也既得积步用除法求亩详后式【按三折四折语有误】

用二十四除式　术直田一坵长四十弓广十四弓四分相乗得五百七十六步用二十四除之得二亩四分折广式　术长四十弓四广一曰十三弓一曰十九弓四尺一曰十二弓一尺一曰十二弓三尺先并诸广得五十六弓八尺每尺作二分归整得五十七弓六分四广当用四除折之折得十四弓四分始与长弓相乗得五百七十六步用二十四除见亩

珠算飞归法

诀曰一加三隔四　　　　二加六隔八

进一除二四　一曰二十四子一方归

进二除四八　一曰四十八子进二枚

进三除七二　一曰七十二子进三枚

进四除九六　一曰九十六子进四枚

独三进一位二五【下位无子曰独】　独九进三位七五

一二身作五　一曰见一作五下除二

六退一进二　一曰六十进二五　一曰六除留五上

添二　　　　　　　　　一四四作六

一六八作七　　　　　　一九二作八

一八作七五　　　　　　三六进一五

二一六作九

通曰飞归者二十四除之捷法也进在左位作加皆在本位隔在右位之下位也

式　术直广皆六百六十六弓相乗得四十四万三千五百五十六步用飞归丑寅二位作四十四曰进一除二四进一在子位丑除二十存二寅除四空曰二加六隔八丑存二加六为八卯三加八寅得一卯存一曰一加三隔四寅一加三为四辰五加四为九曰一二身作五卯一竟改作五辰九内去二存七曰进三除七二卯五加三为八

辰去七空巳除二存三曰进一除二四进一在辰位巳除二存一午除四存二曰一二身作五巳一改作五午除二实尽而止得一千八百四十八亩一分五厘原积千位为亩也

用三除八除式　术积二百四十步先用三除得八后用八除得一乃一亩也先用八除后用三除亦可用四除六除式　术积二百四十步先用四除得六后用六除得一亩先用六除后用四除亦可

用两次五因又六除式　术积二百四十步用五因得一百二十再用五因得六十又用六除见亩

通曰用二十四除者二百四十步为一亩也三八乗得二十四四六亦乗得二十四故皆可用五因即二除折半法也两次五因即四除也犹如先用四除后用六除耳

积尺求亩法

用六除式　术直八十尺广七十五尺相乗得六千尺用六除之得一亩

通曰广一弓直二百四十弓即广五尺直一千二百尺也以五乗一千二百得六千尺故用六除

用倍尺又二十四除式　术直八十尺倍为一百六十尺广七十五尺倍为一百五十尺然后相乗得二万四千尺再用二十四除见亩

通曰此通尺为步也五尺为步宜用五除然二因即五除倍即二因也尺之一百即步之一十此倍虚尺而求实积也

合积求亩法

或直步广尺或直尺广步其积步法则化尺为步其积尺法则化步为尺凡步下有零尺寸者皆化之

化尺式　术直十六步广七十五尺以二因广尺得一百五十尺作十五弓然后相乗得二百四十为积步如法见亩

化步式　术直十六步广七十五尺以五因直步得八十尺然后相乗得六千尺为积尺如法见亩

不积求亩法

直广不须相乗积步随意以直为主以广为主而算其不主之弓数也主直则算广主广则算直

诸率

二弓折半六而一【而一者归也】　三弓用八归

四弓用六归

五弓用六八归【或先六后八或先八后六皆可】

六弓用四归　　　　　　八弓用三归

九弓用五因又四归　　　十二弓用折半

十五弓用二八归　　　　十六弓用三归又加倍十八弓折半又五因

二十四弓十为亩【见十弓为一亩也】

二十五弓折半又六八归　三十二弓四因又三归三十六弓用五因

三十七弓半用八八归【两次八归也】

四十八弓加一倍　　　　六十四弓三归又八因七十二弓加倍又五因　　七十五弓用四八归九十六弓用四因

主直式　术如以直为主者直或二弓或二十弓或二百弓则以广弓之数在位折半余用六归见亩

主广式　术如以广为主者广或十五弓或一百五十弓则以直弓之数在位先用二归后用八归见亩

步带竒零法

单分母子式　术直十五步广三步五分步之四置三步以分母五通之为十五加分子四共十九又置直十五步以分母五通之为七十五乃以七十五与十九相乗得一千四百二十五为实另以分母五自乗得二十五为法除实得积步

双分母子式　术直九十七步四十九分步之四十七广二步二十分步之九置广二步以分母二十乗之【乗即通也】得四十加分子九共四十九又置直九十七步以分母四十九乗之得四千七百五十三加分子四十七共四千八百乃以两共数相乗得二十三万五千二百为实另以分母二十与四十九相乗得九百八十为法除实得积步